泉州市2014届高三5月质量检查(数学理)(扫描版)

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =， 当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−， 因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=， 而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+， 所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+， 故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−， 且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=， 而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥， 再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ， 过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点， 理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =， 且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大， 又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ， 则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值， 所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ， 又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ， 所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =， 又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−， 则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+， 所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误； 对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确； 对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确； 对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ， 如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ， 因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤； 又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤， 整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=， 当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值， 则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++， 所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++， 令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数， 又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<， 综上，[]2,0a ∈−， 故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =； （2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+， 有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−， 整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ， 因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=， 故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ， 整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ， 连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ， 设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ； （3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上， 设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈， 则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=， 则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ， 三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =， 所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=， 因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +， 又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−， 又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−， 所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++， 当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥， 所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−， 又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−， 所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−， 所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<， 所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−， 又知()1212k y y y y −+=， 则1212121236S S y yS S y y +−====>， 综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点． 【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立， 则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−， 所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =， 则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+， 所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增， 则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =， 由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增， 又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减； 当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增； 由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++， 故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减； 当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增； 又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>， 故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>， 故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。

2024-2025学年福建省部分优质高中高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ={x|−1≤x <5}，N ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩N =( )A. {x|−1≤x ≤2}B. {x|−1≤x <5}C. {−1,0,1,2}D. {0,1,2}2.已知复数z 在复平面内对应的点为(2,−2)，则复数z 的虚部为( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3.若双曲线x 29−y 211=1的右支上一点P 到右焦点的距离为9，则P 到左焦点的距离为( )A. 3B. 12C. 15D. 3或154.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为23，则该圆台的体积为( )A. 63πB. 1433πC. 73πD. 283π5.函数f(x)=lg10−2x 2的值域为( )A. (−∞,1]B. (0,1]C. (0,12]D. (−∞,12]6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“落后”的1.013650.99365=(1.010.99)365≈1481倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过( )天(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．A. 15B. 11C. 7D. 37.函数f(x)=x 2log 42+x2−x 的大致图象是( )A. B. C. D.8.已知函数f(x)的定义域为R ，则“f(x +1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。

理科综合能力测试试卷 第1页（共46页）理科综合能力测试试卷 第2页（共46页）绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：H —1 O —16 S —32 I —127 Fe —56第Ⅰ卷（选择题 共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 用蛋白酶去除大肠杆菌核糖体的蛋白质，处理后的核糖体仍可催化氨基酸的脱水缩合反应。

由此可推测核糖体中能催化该反应的物质是（ ）A. 蛋白酶B. RNA 聚合酶C. RNAD. 逆转录酶2. 运动时汗腺分泌大量汗液，汗液初始的渗透压与血浆相等，在流经汗腺导管排出体外过程中大部分Na +、Cl -被重吸收，而水很少被吸收。

下列叙述正确的是 （ ） A. 出汗可使血浆渗透压降低B. 出汗不利于体温维持稳定C. 汗腺导管重吸收Na +需消耗ATPD. 下丘脑渗透压感受器兴奋减弱 3. 研究人员用样方法调查了某地北点地梅（一年生草本植物）的种群数量变化，结果如图所示。

下列叙述正确的是（ ）A. 1972年北点地梅个体间生存斗争程度较1975年低B. 1971年种子萌发至幼苗阶段的死亡率高于幼苗至成熟植株阶段C. 统计种群密度时，应去掉采集数据中最大、最小值后取平均值D. 由于环境条件的限制，5年间该种群数量呈“S ”型增长4. 细胞的膜蛋白具有物质运输、信息传递、免疫识别等重要生理功能。

下列图中，可正确示意不同细胞的膜蛋白及其相应功能的是（ ）A.B.C.D.5. STR 是DNA 分子上以2～6个核苷酸为单元重复排列而成的片段，单元的重复次数在不同个体间存在差异。

现已筛选出一系列不同位点的STR 用作亲子鉴定，如7号染色体有一个STR 位点以“GA TA ”为单元，重复7～17次；X 染色体有一个STR 位点以“ATAG ”为单元，重复11～15次。

2025届高中毕业班五校联考模拟检测高三数学2024.11本试卷共19题满分150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是A.(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B.(0)(0.5)(0.6)f f f <-<C.(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D.(0.5)(0)(0.6)f f f -<<【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】由2,()cos ()x R f x x x f x ∈-=-=得函数()2cos f x x x =-为偶函数，当(0,)2x π∈时，()2sin 0f x x x '=+>，所以()2cos f x x x =-在(0,2π上单调递增，即(0)(0.5)(0.5)(0.6)f f f f <=-<.故选：B ．2.已知函数()()2224x x f x x x a ee --+=--+有唯一零点，则a =（）A.12-B.-2C.12D.2【答案】B 【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x -=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】因为函数()()2222224(2)()4x x x x f x x x a ee x a e e --+--+=--+=--+-，所以()242424(42)()4()x x f x x a ee f x ---+-=---+-=，所以()f x 的图象直线关于2x =对称，函数()f x 有唯一零点，则必有(2)0f =，即420a --=，解得2a =-.故选：B【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题.3.正项等比数列{}n a 中，28,a a 是方程210160x x -+=的两根，则25log a 的值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】由韦达定理、等比数列性质以及对数运算即可得解.【详解】由题意得2816a a =，所以()2425252282211111log log log log 16log 24222222a a a a =====⨯=.故选：A.4.设全集是R ，集合1|01A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{|B x y ==，则R A B = ð（）A.[-2,1]B.(2,)+∞C.(1,2]D.(,2)-∞-【答案】B 【解析】【分析】化简集合,A B ，按补集和交集定义，即可求解.【详解】1|0(1,)1A x x ⎧⎫=>=+∞⎨⎬-⎩⎭，{|[2,2]B x y ===-，(,2)(2,)R C B =-∞-+∞ ，R (2,)A B =+∞ ð.故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、集合间的运算，属于基础题.5.下列关系中，正确的有（）A.∅ {}0B.{}(){}0,10,1= C.∈Q ZD.{}{}00,1,2∈【答案】A 【解析】【分析】利用集合与集合的基本关系判断.【详解】A.空集是任何非空集合的真子集，故正确；B.{}0,1的元素为0,1，(){}0,1的元素为()0,1，故错误；C.因为Z Q ⊆，故错误；D.因为{}0 {}0,1,2，故错误故选：A6.设,x y ∈R ，则“1xy x y +=+”是“1x =”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由1xy x y +=+得到1x =或1y =，再利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】由1xy x y +=+可得()11x y y -=-，所以1x =，或1y =，所以“1xy x y +=+”等价于“1x =，或1y =”，所以“1xy x y +=+”是“1x =”的必要不充分条件，故选：C.7.若函数()af x x =的图象经过点()8,2，则()1f -的值为（）A.1B.1-C.0D.2【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义解出函数()f x 的解析式，进而求出(1)f -即可.【详解】由题意知，函数()f x 图象过点(8)，2，所以28a =，即322a =，则13a =，得13a =，所以13()f x x =，有13(1)(1)1f -=-=-.故选：B8.设()f x 是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时，()f x 等于A.(1)x x +B.(1)x x -+ C.(1)x x - D.(1)x x --【答案】C 【解析】【详解】试题分析：当0x <时0x ->()()1f x x x ∴-=--，由函数为奇函数可得()()f x f x -=-()()()()11f x x x f x x x ∴-=--∴=-故选：C考点：奇偶性求函数解析式二、多选题9.已知0x >，0y >，且1x y +=，则（）A.122x y->B.22log log 2x y +≤- C.D.2212x y +≥【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知1x y +=，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如211x y x -=->-，()22222112212x y x x x x +=+-=-+≥，当然也可以用均值不等式求最值，如()222log log 2x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2x y x y x y =+++++.【详解】选项A ：因为0x >，0y >，1x y +=，所以211x y x -=->-，所以122x y->，故A 正确．选项B ：()2222221log log log log log 224x y x y xy +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B 正确．选项C ：22x y x y x y =+++++=≤，当且仅当12x y ==时取等号，故C 错误．选项D ：()22222211112212222x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，（另解：()2221122x y x y +≥+=，当且仅当12x y ==时取等号）,故D 正确．故选:ABD.10.如图，平面四边形ABCD 是由正方形AECD 和直角三角形BCE 组成的直角梯形，AD ＝1，π6CBE ∠=，现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成1ACD △（1D 不在平面ABC 内），若P 为BC 的中点，则在Rt ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（）A.1AD 与BC 可能垂直B.三棱锥1C BD E -体积的最大值为4C.若A ，C ，E ，1D 都在同一球面上，则该球的表面积是2πD.直线1AD 与EP 所成角的取值范围为ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项：根据线面垂直的判断定理，由11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，1AD ⊥平面1BCD ，则1AD BC ⊥；对于B 选项：取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，根据11C BD E D BCE V V --=，则平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E -体积的最大值，从而可判断；对于C ，根据1OE OD OA OC ===，可得1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为OC ，从而可判断；对于D 选项：由1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，即可求得1AD 与EP 所成角的取值范围.【详解】对于A 选项：由AD CD ⊥，则11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，且1D B AB <，此时满足1AD ⊥平面1BCD ，因此1AD BC ⊥，故A 正确；对于B ，取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，则122OE OD OA OC ====，且1OD AC ⊥，因为11C BD E D BCE V V --=，当平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E -体积的最大值，在Rt BCE 中，π,16CBE CE ∠==，则BE =，此时1111132212C BDE D BCE V V --==⨯⨯=，所以三棱锥1C BD E -体积的最大值为12，故B 错误；对于C ，因为122OE OD OA OC ====，所以1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为，所以该球的表面积是224π2π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，作AM EP ∥，因为P 为BC 的中点，所有1EP =，EP BE BP AM AB BM ==，所以333AM BM +==，所以30BAM ABC ∠=∠=︒，所以15MAC ∠=︒，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，所以AC 与1AD 夹角为45︒，AC 与AM 夹角为15︒，又1D 不在平面ABC 内，604515︒=︒+︒，304515︒=︒-︒，所以1AD 与DM 所成角的取值范围ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD .11.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则（）X －1012Pabc112A.a ＝512B.b ＝14C.c ＝14D.P (X ＜1)＝23【答案】ABCD 【解析】【分析】利用分布列的性质、方差与期望关系求参数a 、b 、c ，即可判断各选项的正误.【详解】由21()3E X a c =++，而E (X )＝0，则221()()[()]3D XE X E X a c =-=++，由题设有1112106113a b c c a a c ⎧+++=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪++=⎪⎩，可得5121414a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故A 、B 、C 正确；而2(1)(1)(0)3P X P X P X <==-+==，D 正确.故选：ABCD三、填空题12.已知:42p x -<<-，:q x a £，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______【答案】2a ≥-【解析】【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，可得{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，从而可得出答案.【详解】解：因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，所以2a ≥-.故答案为：2a ≥-.13.某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>，且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.①食品在08C 的保鲜时间是小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间__________.（填“是”或“否”）【答案】①4②是【解析】【详解】试题分析：①∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.∴46216k +=，即464k +=，解得12k =-，∴16264,0{2,0x x t x -+≤=>，当8x =时，4t =，故①该食品在08C 的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故答案为是.考点：1、函数模型的选择与应用；2、分段函数的解析式.14.已知方程22224230x y m x y m m ++++-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是______．半径R 的最大值为______．【答案】①.()1,4-②.52【解析】【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数m 的取值范围即可；再由2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤，进而求出半径R 的最大值即可.【详解】由题意知：()()222234x m y m m +++=-++，所以2340,14m m m -+->-<<，所以m 的取值范围为()1,4-；由因为2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤，当且仅当32m =时，max 52R ==.故答案为：()1,4-；52.四、解答题15.化简，求值：（1）3228sin cos cos i 3228s n + ；（2）已知3tan 4α=，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）sin 20sin 40cos 20cos 40- .【答案】（1）2；（2）7；（3）12-.【解析】【分析】（1）逆用两角和的正弦公式即可求解；（2）利用两角和的正切公式即可求解；（3）逆用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（1）()332283228sin 3s 228sin 60in cos cos s 2in +=+==（2）π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 1144ααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-⨯，（3）sin 20sin 40cos 20cos 40-()cos 20cos 40sin 20sin 40=-- ()1cos 2040cos 602=-+=-=-16.（1）已知4cos 5α=-，α在第二象限，求sin α，tan α的值；（2）已知tan 2α=-，求sin cos sin 3cos αααα+-的值；【答案】（1）3sin 5α=，3tan 4α=-；（2）15【解析】【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；（2）弦化切即可.【详解】（1）∵4cos 5α=-，α在第二象限，∴3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-；（2）由sin tan 2cos ααα==-，所以sin cos tan 1211sin 3cos tan 3235αααααα++-+===----.17.已知()()()25π3πsin cos tan π22πcos sin π2f αααααα⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若()2f α=，求2sin 3sin cos ααα-的值．【答案】（1）()tan f αα=（2）25-【解析】【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.【小问1详解】()()()()()22cos sin tan cos sin tan tan πsin sin cos sin π2f αααααααααααα--===-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）易得tan 2α=，所以22222sin 3sin cos tan 3tan 462sin cos tan 1415αααααααα---===-+++。

2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、144、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、406、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、610、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求、解答：解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴、故选：C、点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可、解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A、点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题、3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、14分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C、点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题、4、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可、解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误、故选：B、点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、40分析：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15、∴输出S=20、故选：B、点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键、6、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立、若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立、故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键、7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可、解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确、故选：D、点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题、8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可、解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能、选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能、选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能、故选：B、点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题、9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、6分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离、解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6、故选：D、点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题、10、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决、解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5、故选：A、点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1、分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值、解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小、此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2、分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积、解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=、故答案为：、点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积、正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求、解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题、14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率、解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为、故答案为：、点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6、分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论、解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个、点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、分析：（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可、解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z、点评：本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系、设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出、解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD、（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系、∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M、∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=、设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1、∴=（1，﹣1，1）、设直线AD与平面MBC所成角为θ、则sinθ=|cos|===、点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决、解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X6020P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案、对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X16020100PX1的数学期望为E（X1）=、X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=、由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2、点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1、当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，程联立，利用由S△OAB从而可得答案、解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2、所以=2、故c=a，从而双曲线E的离心率e==、（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1、设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1、以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件、设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，=|OC|•|y1﹣y2|得：由S△OAB|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）、由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点、因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1、点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜e x，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a、又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2、由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4、f（x）无极大值、（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、证明如下：令h（x）=x3﹣e x，则h′（x）=x2﹣e x、由（2）知，当x＞0时，x2＜e x，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜e x，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜e x、因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、点评：该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、属难题、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量、解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为、点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出、解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4、由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=、∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2、点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得、解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3、点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、。

保密★使用泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合(){}30A x x x =∈-<Z ，{}1,2,3B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,1,2,3- D.∅2.已知复数21iz =-，则2i z +=（）A.C. D.103.已知2sin 21cos 2αα=+，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2-B.12-C.12D.24.已知函数()2f x x =，()22x x g x -=-，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A.()()f xg x + B.()()f xg x ⋅ C.()()g x f x D.()()f xg x5.已知双曲线222:16x y C a -=的焦距为C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.y =C.3y x =±D.7y x =±6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若33S =，8596S S -=-，则6S =（）A.3- B.6- C.21- D.24-7.已知函数())2sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2内有且仅有3个零点，则ω的值可以是（）A.3B.5C.7D.98.方程2y xx y x y x=满足x y ≤的正整数解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知函数()22,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列结论正确的是（）A.()()03f f <B.()f x 为增函数C.()f x 的值域为()0,+∞ D.方程()f x a =最多有两个解10.某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)60,70内的人数为40.从分数在[)70,80和[)80,90的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在[)80,90内的人数为ξ，设事件A =“至少1人成绩在[)80,90内”，事件B =“3人成绩均在[)70,80内”.则下列结论正确的是（）A.0.03b =B.()65E ξ=C.A 与B 是互斥事件，但不是对立事件D.估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分11.已知圆柱12OO 的轴截面是正方形ABCD ，AB 为底面圆1O 的直径，点E 在圆1O 上，点F 在圆2O 上，且E ，F 不在平面ABCD 内.若A ，E ，C ，F 四点共面，则（）A.直线BE ∥平面ADFB.直线BD ⊥平面AECFC.平面ADF ∥平面BCED.平面BEF ⊥平面AECF12.已知ABP △的顶点P 在圆()()22:3481C x y -+-=上，顶点A ，B 在圆22:4O x y +=上.若AB =）A.ABP △的面积的最大值为B.直线PA 被圆C截得的弦长的最小值为C.有且仅有一个点P ，使得ABP △为等边三角形D.有且仅有一个点P ，使得直线PA ，PB 都是圆O 的切线泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年泉州市普通高中毕业班第二次质量检查理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}065,122<+-=>=x x x B x A x ，则=B C A ( )A ．()3,2B ．(][)+∞∞-,32,C ．(][)+∞,32,0D ．[)+∞,3 2.已知复数i a z +=().R a ∈若2<z ，则2i z +在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若123=S ，则=3a ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．14 4.已知实数y x ,满足约束条件y x z y x xy +=⎩⎨⎧≤--≤,022，则满足1≥z 的点()y x ,所构成的区域面积等于( ) A ．41 B ．21 C. 43D ．1 5.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械中常见的结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”的体积等于( )A ．12B ．13 C.14 D ．156.执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数()()R x x f ∈的表述，正确的是( )A ．()x f 是奇函数，且为减函数B ．()x f 是偶函数，且为增函数 C.()x f 不是奇函数，也不为减函数 D ．()x f 不是偶函数，也不为增函数 7.已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为P F ,为C 上一点，M 为PF 的中点，若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于( )A ．12-B ．12+ C. 22+ D ．215+ 8.已知曲线()⎪⎭⎫⎝⎛<+=22sin :πϕϕx y C 的一条对称轴方程为6π=x ，曲线C 向左平移()0>θθ个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则θϕ-的最小值是( ) A ．12π B ．4π C.3π D ．125π 9.在梯形ABCD 中，060,32,2,1,//=∠===ACD BD AC AB CD AB ,则=AD ( )A ．2B ．7 C. 19 D ．3613-10.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是4,3,2,1中的任一个，现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同，则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁 11.已知直线PB PA ,分别于半径为1的圆O 相切于点().12,2,,PB PA PM PO B A λλ-+==，若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( )A ．()1,1-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D ．()1,012.已知函数()().,2ax ax x g e x f x-==，若曲线()x f y =上存在两点，这两点关于直线x y =的对称点都在曲线()x g y =上，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,0B ．()+∞,1 C. ()+∞,0 D ．()()+∞,11,0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆134:22=+y x C 的左顶点、上顶点，右焦点分别为F B A ,,，则=⋅ ．14.已知曲线x x y C 2:2+=在点()0,0处的切线为l ，则由l C ,以及直线1=x 围成的区域的面积等于 ．15.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()()11,≥x x P ，则θθsin cos +的取值范围是 ．16.已知在体积为π12的圆柱中，CD AB ,分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥BCD A -的体积的最大值等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中,().221,4211n n a n na a n n +=+-=+（Ⅰ） 求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S ； 18.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1表.2已知表1 数据的中位数估计值为26，回答以下问题.(Ⅰ)求b a ,的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a b y ；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：回归方程ˆy ba ∧∧=+中，()1221,.ni ii nii x y n x y b a y b x xnx∧∧∧==-⋅==--∑∑）19.如图，在三棱锥BCD A -中，平面ABD ⊥平面42,60,,0===∠=BC BD CBD AD AB BCD ，点E 在CD 上，.2EC DE =（Ⅰ）求证：BE AC ⊥；（Ⅱ）若二面角D BA E --的余弦值为515，求三棱锥BCD A -的体积. 20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ,过点F 的直线l 交C 于B A ,两点,交x 轴于点BD ,到x 轴的距离比BF 小1.(Ⅰ)求C 的方程；（Ⅱ）若AOD BOF S S ∆∆=，求l 的方程. 21.已知函数().ln k kx x x f +-= (Ⅰ)若()0≥x f 有唯一解,求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1≤a 时，()().12--<-+ax e k kx x f x x（附：39.7,48.4,10.13ln ,69.02ln 223≈≈≈≈e e ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x ，（α为参数）；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为.sin cos 2θθρ= （Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线()0:≥=x kx y l 分别交21,C C 于B A ,两点（B A ,异于原点），当(]3,1∈k 时，求OB OA ⋅的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数().a x a x x f ++-= （Ⅰ）当2=a 时，解不等式()6>x f ；（Ⅱ）若关于x 的不等式()12-<a x f 有解，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBBCC 6-10:DBABC 11、12：BD二、填空题13.6 14.3115.(]2,1 16.8 三、解答题17.解：（Ⅰ）()n n a n na n n 22121+=+-+的两边同时除以()1+n n ，得()*+∈=-+N n na n a nn 211， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为4，公差为2的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ），得()121-+=n a na n， 即22+=n na n即n n a n 222+=，故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=+-+⋅=+=11121112122112n n n n n n n n a n , 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312121121n n S n , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=113121131211n n ,().1211121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn 18.解：（Ⅰ）依题意，得2650106-=a ，解得40=a ， 又10036=++b a ，解得24=b ； 故停车距离的平均数为.27100255100845100243510040251002615=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（Ⅱ）依题意，可知60,50==y x ，22222250590705030106050590907070605050303010⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∧b 107=, 255010760=⨯-=∧a ,所以回归直线为.257.0+=∧x y（Ⅲ）由（Ⅰ）知当81>y 时认定驾驶员是“醉驾” 令81>∧y ，得81257.0>+x ，解得80>x ,当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. 19.解：（Ⅰ）取BD 的中点，连接.,,EO CO AO 因为OD BO AD AB ==,，所以BD AO ⊥,又平面⊥ABD 平面BCD ,平面 ABD 平面⊂=AO BD BCD ,平面ABD , 所以⊥AO 平面BCD ,又⊂BE 平面BCD ,所以.BE AO ⊥ 在BCD ∆中，EC DE BC BD 2,2==,所以2==ECDEBC BD ， 由角平分线定理，得DBE CBE ∠=∠， 又2==BO BC ，所以CO BE ⊥,又因为⊂=AO O CO AO , 平面⊂CO ACO ,平面ACO , 所以⊥BE 平面ACO ,又⊂AC 平面ACO ，所以.BE AC ⊥（Ⅱ）在BCD ∆中，060,42=∠==CBD BC BD ,由余弦定理得32=CD ，所以222BD CD BC =+，即090=∠BCD ,所以DE BE EDB EBD ==∠=∠,300，所以BD EO ⊥,结合（Ⅰ）知，OA OD OE ,,两两垂直，以O 为原点，分别以向量OA OD OE ,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），设()0>=t t AO,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,332,0,2,0,,0,0E B t A , 所以()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0,2,332,,2,0BE t BA , 设()z y x n ,,=是平面ABE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BE n BA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0233202y x tz y ，整理，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,3y t z y x 令1-=y ，得23,1,.n t ⎛⎫=- ⎪⎭因为⊥OE 平面ABD ,所以()1,0,0m =是平面ABD 的一个法向量.又因为二面角D BA E --的余弦值为515， 所以5154133,cos 2=++=><t n m ，解得2=t 或2-=t （舍去）， 又⊥AO 平面BCD ,A 所以AO 是三棱锥BCD A -的高,故.3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-BCD BCD A S AO V 20.：（Ⅰ）C 的准线方程为2py -=， 由抛物线的定义，可知BF 等于点B 到C 的准线的距离，即2P y BF B +=, 又因为点B 到x 轴的距离比BF 小1， 所以12+=+B B y Py ， 故12=P，解得2=P ， 所以C 的方程为.42y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）得C 的焦点()1,0F ，因为直线l 交C 于B A ,两点，交x 轴于点D ，所以l 的斜率存在且不为0，故可设l 的方程为()()().,,,,011111y x B y x A k kx y ≠+=， 则⎪⎭⎫⎝⎛-0,1k D . 联立方程组⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x ，消去y ，得.0442=--kx x()()01616414422>+=-⨯⨯--=∆k k ,由韦达定理，得.4,42121-==+x x k x x 设点O 到直线l 的距离为d ,则.21,21AD d S BF d S AOD BOF ⋅=⋅=∆∆ 又AOD BOF S S ∆∆=，所以AD BF =.又F D B A ,,,在同一直线上，所以FB DA =，从而211x k x =⎪⎭⎫⎝⎛--，即k x x 112==,因为()()()()4444221221212-⨯-=-+=-k x x x x x x ,所以()()221444⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-k k ，整理，得01161624=-+k k ,故4252-=k ，解得225-±=k ,所以l 的方程为1225+-±=x y . 21.解:(Ⅰ)函数()x f 的定义域为().,0+∞要使()0≥x f 有唯一解,只需满足()0max =x f ,且()0max =x f 的解唯一,()xkxx f -='1, ①当0≤k 时,()0>'x f ,故()x f 在()+∞,0上单调递增,且()01=f , 所以()0≥x f 的解集为[)+∞,1,不符合题意；②当0>k ，且⎥⎦⎤ ⎝⎛∈k x 1,0时，()()x f x f ,0≥'单调递增；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1kx 时，()()x f x f ,0<'单调递减，所以()x f 有唯一的一个最大值为⎪⎭⎫⎝⎛k f 1, 令()()01ln 1>--=⎪⎭⎫⎝⎛=k k k k f k g ，则()()k k k g g 1,01-='=, 当10<<k 时，()0<'x g ,故()k g 单调递减；当1>k 时，故()k g 单调递增， 所以()()01=≥g k g ，故令01ln 1=--=⎪⎭⎫⎝⎛k k k f ,解得1=k ， 此时()x f 有唯一的一个最大值为()1f ，且()01=f ，故()0≥x f 的解集是{}1，符合题意；综上，可得.1=k（Ⅱ）要证当1≤a 时，()(),1--<-+ax e k kx x f x x即证当1≤a 时，01ln 2>---x x ax e x , 即证.01ln 2>---x x x e x由（Ⅰ）得，当1=k 时，()0≤x f ,即1ln -≤x x ，又0>x ，从而()1ln -≤x x x x , 故只需证0122>-+-x x e x ，当0>x 时成立； 令()()0122≥-+-=x x x e x h x，则()14+-='x e x h x,令()()x h x F '=，则()4-='xe x F ，令()0='x F ，得.2ln 2=x因为()x F '单调递增，所以当(]2ln 2,0∈x 时，()()()x F x F x F ,0,0≤≤'单调递减，即()x h '单调递减，当()+∞∈,2ln 2x 时，()()x F x F '>',0单调递增，即()x h '单调递增， 且()()()0182,020,02ln 854ln 2>+-='>='<-='e h h h , 由零点存在定理，可知()()2,2ln 2,2ln 2,021∈∃∈∃x x ，使得()()021='='x h x h ， 故当10x x <<或2x x >时，()()x h x h ,0>'单调递增；当21x x x <<时，()()x h x h ,0<'单调递减，所以()x h 的最小值是()00=h 或().2x h由()02='x h ，得1422-=x e x ，()()()122252122222222---=-+-=-+=x x x x x e x h x ,因为()2,2ln 22∈x ，所以()02>x h ,故当0>x 时，所以()0>x h ,原不等式成立.22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+=ααsin ,cos 1y x 可得()αα2222sin cos 1+=+-y x , 即1C 的普通方程为().1122=+-y x方程θθρsin cos 2=可化为θρθρsin cos 22= ()* , 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,代入方程()*，可得y x =2,所以2C 的直角坐标方程为y x =2，（Ⅱ）联立方程组()⎩⎨⎧==+-,,1122kx y y x 解得.12,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k A 联立方程组⎩⎨⎧==,,2x y kx y 可得()2,k k B ，故k k k k k OB OA 21121222=⋅+⋅+⋅+=⋅, 又(]3,1∈k ,所以(].32,2∈⋅OB OA 23.解：（Ⅰ）当2=a 时，()⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤->=++-=,2,2,22,4,2,222x x x x x x x x f当2>x 时，可得,62>x ，解得.3>x当22≤≤-x 时，因为64>不成立，故此时无解；当2-<x 时，由62>-x 得，故此时.3-<x综上所述，不等式()6>x f 的解集为()().,33,+∞-∞- （Ⅱ）因为()a a x a x a x a x x f 2=---≥++-=,要使关于x 的不等式()12-<a x f 有解，只需122-<a a 成立. 当0≥a 时，122-<a a 即,122-<a a 解得21+>a ，或21-<a （舍去）；当0<a 时，122-<a a ，即,122-<-a a 解得21+->a （舍去），或21--<a ； 所以，的取值范围为()().,2121,+∞+--∞-。

泉州市2014届高中毕业班5月质量检测数学（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为R，函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域为M，则∁R M为（）A．（0，1）B．（0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．已知角α的终边经过点P（m，4），且cosα=﹣，则m等于（）A．﹣B．﹣3 C．D． 33．已知=（1，2），=（3，n），若∥，则n等于（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 64．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．+πB．3（+π）C．3（+）D．+5．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概B容是（）A． i≥4？B． i＜4？C． i≥3？D． i＜3？7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”B．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题C．“x=﹣1”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件D．“0＜a＜1”是“函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在R上为减函数”的充要条件8．若不等式组所表示的平面区域被直线y﹣1=k（x﹣5）分为面积相等的两B9．双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定（）A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能10．若函数y=f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f（x）是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是（）①y=2x+1；②y=log2x；③y=2x+1；④y=sin（x+）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）（2014•泉州模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的共轭复数等于_________．12．（4分）（2014•泉州模拟）已知（3﹣）n的展开式中第三项为常数项，则展开式中个项系数的和为_________．13．（4分）（2014•泉州模拟）已知在等差数列{a n}中，a1=10，其公差d＜0，且a1，2a2+2，5a3成等比数列，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=_________．14．（4分）（2014•泉州模拟）如图，矩形ABCD的面积为3，以矩形的中心O为顶点作两条抛物线，分别过点A、B和点C、D，若在矩形ABCD中随机撒入300颗豆子，则落在阴影部分内的豆子大约是_________．15．（4分）（2014•泉州模拟）如图，已知点G是△ABC的重心（即三角形各边中线的交点），过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，若=x，=y，则+=3，由平面图形类比到空间图形，设任一经过三棱锥P﹣ABC的重心G（即各个面的重心与该面所对顶点连线的交点）的平面分别与三条侧棱交于A1、B1、C1，且=x，=y，=z，则有++=_________．三、解答题：共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•泉州模拟）已知某射击队员每次射击击中目标靶的环数都在6环以上（含6环），据统计数据绘制得到的频率分布条形图如图所示，其中a，b，c依次构成公差为0.1的等差数列，若视频率为概率，且该队员每次射击相互独立，试解答下列问题：（Ⅰ）求a，b，c的值，并求该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列和数学期望Eξ；（Ⅱ）若该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k的概率为P（X=k），试探究：当k为何值时，P（X=k）取得最大值？17．（13分）（2014•泉州模拟）已知m=（1，﹣），n=（sin2x，cos2x），定义函数f（x）=m•n．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，f（）=0．（i）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；（ii）记g（λ）=|+|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．18．（13分）（2014•泉州模拟）椭圆G的中心为原点O，A（4，0）为椭圆G的一个长轴端点，F为椭圆的左焦点，直线l经过点E（2，0），与椭圆G交于B、C两点，当直线l垂直x轴时，|BC|=6．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若AC∥BF，求直线l的方程．19．（13分）（2014•泉州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥AB，点E、F分别是棱AD、BC的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）若AB=AP，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）若△PAD的面积为1，在四棱锥P﹣ABCD内部，放入一个半径为R的球O，且球心O 在截面PEF中，试探究R的最大值，并说明理由．20．（14分）（2014•泉州模拟）已知函数f（x）=ln|x+1|﹣ax2．（Ⅰ）若a=且函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=0，求证f（x）≤|x+1|﹣1；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象在原点O处的切线为l，试探究：是否存在实数a，使得函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方？若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．本题有三小题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）（2014•泉州模拟）已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【选修4-4：坐标系与参数方】22．（7分）（2014•泉州模拟）直线l1：θ=（ρ∈R）与直线l2：（t为参数）的交点为A，曲线C：（其中α为参数）．（Ⅰ）求直线l1与直线l2的交点A的极坐标；（Ⅱ）求曲线C过点A的切线l的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】23．（2014•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分 所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)k k k P X k C k -==⨯⨯=. ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63k k k k k k C P X k k P X k C k ----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分 所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅=-=-m n ， ………………2分 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分 （Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=， 因为0A π<<，所以3A π=.…………5分 （ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =，因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分 所以()6B A C ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+⋅+，…10分 又3AB AC ==，3A π=，所以AB AC λ+2(1AB ==12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值………………13分 另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b +=，………………1分 因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分 故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分 （Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m m y y +=-+……① 1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分 故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分 由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分 当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分 所以直线l的方程为2x y =+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k =++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分 由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 代入②得2222228188181648343434k k k k k k -+-=+++………………11分 化简，得254k =， 当254k =时，0∆>，故k =，…………12分 所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分 （Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EF AB ⊥，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =，(1,2,PC =-，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====nn n ∴平面PAD 与平面PBC ……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP = 2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅=11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ， 则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅， 即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+， 不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分 令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分（Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+， 所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表： 又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=， 所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-， 令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分 所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y x x y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-， 所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式， 可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥， 当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分 故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。

福建省泉州市2025届高三质量监测（一）数学试题一、单选题1．设集合{}{4},0,1,4,9,16A x B =∈<=，则A B =I （ ） A ．{}0,1 B ．{}0,1,4 C ．{}0,1,4,9 D ．{}1,4,9,16 2．若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．163．已知向量,,a b c r r r 满足,a b a =r r r 与b r 的夹角为π,03a b c ++=r r r ，则a r 与c r 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π64．若sin 2θθ=，则tan θ=（ ）A．B．CD5．若函数()31,4,,4x a x x f x x a x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．(]1,4C ．(]1,8D ．(]1,16 6．已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､3，则该球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．16π D7．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，若()11f =，则()25f =（ ） A ．25 B ．125 C ．625 D ．156258．已知函数()11cos cos2cos323f x x x x =++，则（ ） A ．π是()f x 的一个周期 B ．πx =是()f x 图象的一条对称轴C ．π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 D ．()f x 在区间()0,π内单调递减二、多选题9．某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）A ．高一年抽测成绩的众数为75B ．高二年抽测成绩低于60分的比率为2.5%C ．估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分D ．估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数10．已知函数()31f x ax bx =-+，则（ ）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 图象的对称中心为()0,1C ．当0ab <时，()f x 无极值D ．当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减11．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()()121,0,1,0,,F F M x y -是动点．下列命题正确的是（ ）A ．若122MF MF +=，则M 的轨迹的长度等于2B ．若121MF MF -=，则M 的轨迹方程为224413y x -= C ．若124MF MF ⋅=，则M 的轨迹与圆226x y +=没有交点D ．若122MF MF =，则2OM OF ⋅u u u u r u u u u r 的最大值为3三、填空题12．若曲线ln y x =在2x =处的切线与直线10ax y -+=垂直，则a =.13．过双曲线E 的两个焦点分别作实轴的垂线，交E 于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则E 的离心率为.14．如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.四、解答题15．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin A B c b c C--=. (1)求A ；(2)若BAC ∠的角平分线与BC 交于点,2,D AD AC ==，求a c +.16．如图，在圆柱12O O 中，,AD AB 分别为圆柱的母线和下底面的直径，C 为底面圆周上一点.(1)若M 为BC 的中点，求证：1//O M 平面ACD ；(2)若1,AC BC ==，圆柱12O O 的体积为π，求二面角1B O C A --的正弦值.17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求E 的方程；(2)过1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交E 于,A B 两点，点M 为AB 的中点，记12MF F △的面积为112,S BF F V 的面积为2S ，求12S S 的取值范围. 18．已知曲线12:ln ,:e x C y x C y ==.(1)证明：e ln x x >；(2)若曲线1E 关于直线l 对称的曲线为2E ，则称l 为1E 与2E 的一条对称轴.请写出1C 与2C 的一条对称轴，并探究是否存在其它的对称轴；(3)已知11,A B 是1C 上的两点，22,A B 是2C 上的两点，若四边形1122A B B A 为正方形，其周长为L ，证明：2L >.（参考数据：ln2 1.649≈）19．已知正整数,p q 满足p q ≤，正整数()1,2,,i a i n =L 满足i a p ≤，21ni i a pq ==∑.对于确定的正整数,p q ，记1i ni a =∑的最小值为(),f p q .例如：当2,3p q ==时，22223211⨯=++或222222123111111,4ni i a =⨯=+++++=∑或()6,2,34f =. (1)当3p q ==时，写出1i ni a =∑的所有值及()3,3f 的值；(2)探究()()*3,31f k k +∈N 的值； (3)证明：2112(3,31)27n k f k =<+∑.。