下载文档原格式
回顾初中数学集合的等价关系与划分集合论是数学中的一个重要分支，其研究的核心概念之一是等价关系与划分。
等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系，而划分则是将集合拆分成多个不相交的子集。
本文将回顾初中数学中关于集合的等价关系与划分的基本概念和应用。
一、等价关系的定义与性质在集合的研究中，等价关系是一个非常重要的概念。
设集合A是一个非空集合，若一个二元关系R满足以下三个条件：自反性、对称性和传递性，即对于任意的a、b、c ∈ A，满足以下条件：1. 自反性：对于任意的a∈A，都有aRa；2. 对称性：对于任意的a、b∈A，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于任意的a、b、c∈A，若aRb且bRc，则aRc。
则称R为A上的等价关系，记作R∼。
集合A中任意两个元素a和b满足a∼b，则称a与b等价。
等价关系具有一些重要的性质，如：1. 等价关系将集合划分成几个非空的等价类；2. 等价类具有相同的元素，且两个等价类要么完全相同，要么完全不相交；3. 对于集合A中的元素a，一定有a∼a，即每个元素都与自身等价；4. 对于集合A中的任意两个元素a和b，若a∼b，则b∼a；5. 若a∼b且b∼c，则a∼c，即等价关系具有传递性。
二、划分的定义与表示划分是将一个集合拆分成多个不相交的子集，即这些子集之间没有共同的元素。
设集合A是一个非空集合，若存在一个集合B，满足以下条件：1. A是B的全集，即每个元素都属于B；2. B的任意两个子集之间是不相交的，即任意的两个子集A1和A2满足A1∩A2=∅。
则称B为A的一个划分。
对于划分中的每个子集Ai，称其为划分的一个划块。
一般情况下，划分可以用花括号表示，如{A1, A2, A3, ...}。
其中Ai 表示划分的一个划块。
三、等价关系与划分的联系等价关系与划分是密切相关的概念。
事实上，等价关系可以帮助我们对集合进行划分，而通过划分，可以构建等价关系。
具体来说，在一个集合A上，我们可以根据等价关系R构建一个划分B。
近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。
因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。
每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。
等价关系,商集和集合的划分1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b 是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）1.关于第二点：负号不影响整除关系1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合a1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价1.商集其实就是集合的集合2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完第二部分 --- 集合的划分1.注意这里面的si都是非空集合a的非空子集1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等。
等价关系与等价类等价关系是数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍等价关系的概念及其性质，并探讨等价关系所对应的等价类的特征和应用。
一、等价关系的定义与性质在集合论中，等价关系是指对于给定集合上的一个二元关系，它必须满足以下三个性质：1. 自反性：对于集合中的任意元素a，a与自身相等。
2. 对称性：如果元素a与元素b相等，则元素b与元素a相等。
3. 传递性：如果元素a与元素b相等，并且元素b与元素c相等，则元素a与元素c相等。
满足以上三个性质的关系被称为等价关系。
等价关系将集合中的元素划分为若干个等价类，每个等价类是具有相同特征或者具有相同关系的元素的集合。
二、等价类的特征等价类是等价关系的重要概念，它具有以下特征：1. 等价类是集合的划分：等价关系将集合划分为若干个互不相交的等价类，集合中的每一个元素必然属于且仅属于一个等价类。
2. 等价类的元素具有相同的特征：同一个等价类中的元素具有相同的特征或满足相同的条件。
例如，对于一个以人的身高为等价关系的集合，每个等价类中的人具有相同的身高。
3. 等价类的元素之间没有次序关系：在同一个等价类中，元素之间没有大小或顺序之分。
它们在等价关系下是等价的，彼此之间没有优劣之分。
三、等价关系的应用等价关系在数学和其他领域有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用：1. 等价关系在集合的划分和分类中的应用：等价关系将集合划分为若干个等价类，可以根据等价类的特征对元素进行分类和归类。
例如，在社会科学中，可以根据人们的教育程度等价关系将人群分为不同的等价类进行研究。
2. 等价关系在算法和数据结构中的应用：等价关系可以用于判断两个元素是否具有相同的特征或关系，从而在算法和数据结构中进行分类和操作。
例如，在图像处理中，可以使用等价关系将相似的像素点进行聚类，从而达到图像分割和特征提取的目的。
3. 等价关系在等价性证明中的应用：等价关系在数学证明中起到重要的作用，可以用于证明两个数学对象的等价性。
