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2019-2020学年度第一学期初三年级语文练习32019.12命题人:张芳王辉一、基础·运用(共12分)2019年初冬,我校初三年级师生参观了故宫博物馆,开展了以“走进紫禁城,感知文化瑰宝”为主题的社会实践活动。
阅读下面文段,完成1-5题。
(1)午门是紫禁城总体建筑的一个重要组成。
它是故宫的正门,是真正的“宫门。
”进了天安门、端门,这只是进宫的“前奏”,进了午门,才算是进了宫。
有午门,没有午门,是不大一样的。
没有午门,进天安门、端门,直接看到三大殿,就太敞了,好像一件衣裳没有领子。
有午门当中一隔,后面是什么,都瞧不见这才显得宫里神①庄严,【甲】。
(2)午门的建筑是很特别的。
下面是一个凹形的城台,城台上正面是一座九间重檐庑殿顶的城楼;左右有重檐的方亭四座。
城楼和这四座正方的亭子之间,有廊庑相连属,稳重而不笨拙,玲珑而不纤巧,极有气派,俗称"五风楼"。
在旧戏里,五凤楼是皇宫的代称。
《草桥关》里姚期唱的“到来朝陪王在那五凤楼”,《珠帘寨》里程敬思唱的“为千岁懒登五凤楼”,指的就是这里。
实际上姚期和程敬思都是不会登上五凤楼的。
楼不但大臣上不去,就是皇帝也很少上去。
(3)午门有什么用呢?旧戏和评书里常有一句话:“推出午门斩首!”哪能呢!这是编戏编书的人想象出来的。
午门的用处大概有这么三项:一是逢什么大典时,皇上登上城楼接见外国使节。
曾见过一幅紫铜的版刻,刻的就是这一盛典。
外国时使节、满汉官员,分班肃立,极为隆重。
其次是献俘。
打了胜仗,要把俘虏押解到京城来。
第三,是举行廷杖。
廷杖,就是在朝廷上受杖。
不过把一位大臣按倒在太和殿上打屁股,也实在不太像样子,所以都在午门外举行（4)不知从什么时候起,五凤楼就很少有人上去。
民国以后,在这里建立了历史博物馆。
据历史博物馆的老工友说,建馆后,曾经修②过一次,从城楼的天花板上扫出了一些烧鸡骨头、荔枝壳和桂圆壳。
他们说,这是“飞贼”留下来的。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题一.选择题1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B ．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.22y x =+ B.22y x =-C.2(2)y x =+ D.2(2)y x =-【答案】C【解析】【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），∴新的图象的二次函数表达式是：2(2)y x =+；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．3.在△ABC 中，∠C＝90°，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为（）A.点A 在圆外B.点A 在圆内C.点A 在圆上D.无法确定【答案】A【解析】∵△ABC 中，∠C＝90°，∴BC<AB ，∵⊙B 的半径为BC，∴点A 在⊙B 外，故选A.4.抛物线y ＝2x 2+4x ﹣4的对称轴是()A.直线x ＝﹣1B.直线x ＝1C.直线x ＝2D.直线x ＝﹣2【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可.【详解】解：y ＝2x 2+4x ﹣4中，∵a ＝2，b ＝4，c ＝﹣4，∴对称轴为：x ＝﹣2b a ＝﹣422⨯＝﹣1.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握对称轴的公式x ＝﹣2b a 是解题的关键.5.如图，在⊙O 中，点C 是»AB 上一点，若∠AOB ＝126°，则∠C 的度数为()A.127°B.117°C.63°D.54°【答案】B【解析】【分析】作圆周角∠ADB，使D在优弧上，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可.【详解】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝126°，∴∠D＝12∠AOB＝63°，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，故选：B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，灵活的将数形结合是解题的关键.6.二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A.﹣3＜x ＜0B.x ＜﹣3或x ＞0C.x ＜﹣3D.0＜x ＜3【答案】A【解析】【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax 2+bx+c＞mx+n 的x 的取值范围是﹣3＜x＜0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合准确识图是解题的关键．7.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE CE ＝1，则弧BD 的长是()A.39B.239C.33D.233π【答案】B【解析】【分析】连接OC ，先根据勾股定理逆定理判断出△ACE 的形状，再由垂径定理得出CE ＝DE ，故 BCBD =，由锐角三角函数的定义求出∠A 的度数，故可得出∠BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．【详解】连接OC ．∵△ACE 中，AC ＝2，AE =CE ＝1，∴AE 2+CE 2＝AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ．∵sin A 12CE AC ==，∴∠A ＝30°，∴∠COE ＝60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即12OC =，解得：OC 3=．∵AE ⊥CD ，∴ BC BD =，∴ 2360π31809BD BC ⨯===．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（）A.y 3最小，y 1最大B.y 3最小，y 4最大C.y 1最小，y 4最大D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【详解】∵二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，且y 3＜y 2＜y 4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P 1（-3，y 1）离对称轴的距离最大，P 3（1，y 3）离对称轴距离最小，∴y 3最小，y 1最大，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．二.填空题9.点（2，－3）关于原点对称点P′的坐标为.【答案】（－2,3）【解析】试题分析：两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数.考点：点关于原点对称.10.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式：_____________．【答案】22y x =-+(答案不唯一)【解析】【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．【详解】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与y 轴的交点坐标为（0,2），则可设顶点为（0,2），所以此时抛物线的解析式为y=-x 2+2．故答案为y=-x 2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.11.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为_____．【答案】110°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠B ＝110°∴∠ADE=∠B ＝110°故填：110°.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.12.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，则y1_____y2.(用“＜”、“＝”或“＞”号连接)【答案】＜【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，∴0＜﹣x1＜2＜x2，∴y1＜y2.故答案为＜.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解题的关键.13.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．【答案】16【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：______．【答案】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．【解析】【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【详解】解：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB．【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值_____．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】写出函数图象x轴下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，1＜x＜3时，y＜0．故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．16.如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是____________（填序号）．【答案】①③【解析】【分析】根据AB=CD 证明 AC BD =,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论.【详解】解:∵AB=CD,∴ AB CD =,∴ AB BC CD BC -=-,即 AC BD =,∴∠ABC=∠BCD=12∠BOD,∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×12∠BOD=∠BOD,∵BED α∠=,∴BOD α∠=,故①正确;②无法证明;∵∠ABC=12∠BOD,∴∠ABC=12 α,故③成立,综上,答案为①③.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三.解答题17.如图，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AD ，AC ＝AE.求证：BC ＝DE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出∠DAE ＝∠BAC ，根据SAS 推出△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质得出即可.【详解】证明：∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB+∠BAE ＝∠EAC+∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC ，在△BAC 和△DAE 中，AB ADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DAE ，∴BC ＝DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用题中条件证全等是解题的关键.18.已知一抛物线过点(﹣3，0)、(﹣2，﹣6)，且对称轴是x ＝﹣1.求该抛物线的解析式.【答案】y ＝2x 2+4x ﹣6【解析】【分析】先利用对称性得到抛物线与x轴另一交点是(1，0)，则可设交点式y＝a(x+3)(x﹣1)，然后把(﹣2，﹣6)代入求出a的值即可.【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线过点(﹣3，0)∴抛物线与x轴另一交点是(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把(﹣2，﹣6)代入得﹣6＝a•(﹣2+3)•(﹣2﹣1)，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2(x+3)(x﹣1)，即y＝2x2+4x﹣6.【点睛】本题考查了抛物线的解析式，利用题中所给的点坐标选择合适的解析式的设法是解题的关键，表达形式有一般式、交点式、顶点式.19.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣102…y…﹣3﹣4﹣35…(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标.【答案】(1)y＝x2+2x﹣3，顶点坐标为(﹣1，﹣4)；(2)与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【解析】【分析】(1)由待定系数法即可得出答案；(2)求出y＝0时x的值，即可得出答案.【详解】解：(1)由题意，得c＝﹣3.将点(2，5)，(﹣1，﹣4)代入，得423534 a ba b+-=⎧⎨--=-⎩解得12 ab=⎧⎨=⎩∴y＝x2+2x﹣3.顶点坐标为(﹣1，﹣4).(2)当y＝0时，x2+2x﹣3=0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【点睛】本题考查了二次函数的解析式及与x轴的交点，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式是解题的关键.20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB==BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【详解】（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB=AO=BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.【答案】(1)证明见解析；(2)ON＝3.【解析】【分析】(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝12∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝12∠FAD，于是得到结论；(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝12∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝12∠FAD，∴∠BAM＝12(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD ＝AD ＝4，60CAD ACD ︒∠=∠=由（1）知AB 垂直平分CD ，则AB 平分CAD ∠∴CE ＝DE ＝2，1302CAE CAD ︒∠=∠=OC OA= 30ACO CAE ︒∴∠=∠=30OCE ACD ACO ︒∴∠=∠-∠=在Rt OCE 中，设OC x =，则12OE x =根据勾股定理得222OE CE OC +=，即2221()22x x+=解得3x =∴OC ＝OA ＝3，∵∠ANO ＝∠OCE ＝30°，∴ON ＝2OA ＝3.【点睛】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）【答案】42a 【解析】【分析】连接OC,由题意知AB 6a =,OC OB 3a,OE a ===,AB CD ⊥于E ，根据勾股定理可求出CE 的值,即可求出CD 的值.【详解】解：如图，连接OC ．由题意知0.8 3.226AB a a a a =++=．3OC OB a ∴==．OE OB BE a ∴=-=．由题意可知AB CD ⊥于E ，∴2CD CE=.在Rt OCE中，CE===．CD∴=．【点睛】本题考查通过建模把实际问题转化为数学模型，这充分体现了数学的实用性．23.有这样一个问题：探究函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质.小东对函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是_______；(2)下表是y与x的几组对应值.x…﹣2﹣10123456…y…m﹣24﹣600062460…①m＝_____；②若M(﹣7，﹣720)，N(n，720)为该函数图象上的两点，则n＝_____；(3)在平面直角坐标系xOy中，A(x A，y A)，B(x B，﹣y A)为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示.①标出点B的位置；②画出函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(0≤x≤4)的图象.③写出直线y＝12x﹣1与②中你画出图象的交点的横坐标之和为______.【答案】(1)全体实数；(2)①-60；②11；(3)①见解析；②见解析；③0.【解析】【分析】(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数；(2)①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2，0)对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；(3)①找出点A关于点(2，0)对称的点B1，再找出与点B1纵坐标相等的B2点；②根据表格描点、连线即可得出函数图象；③根据图象的性质以及直线的性质即可求得.【详解】解：（1）x取任何数都可以，因此函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数（2）①当x＝﹣2时，y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)＝﹣60.故答案为：﹣60.②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2，0)中心对称，∴﹣7+n＝2×2，解得：n＝11.故答案为：11.(3)①作点A关于点(2，0)的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点.②根据表格描点、连线，画出图形如图所示.③函数图象关于点(2，0)中心对称，且直线y＝12x﹣1经过此点，∴直线y＝12x﹣1与图象的交点的纵坐标化为相反数，∴交点的纵坐标之和为0，故答案为0.【点睛】本题考查了函数的三种表示，列表法、图像法、解析式，熟练掌握这三者间的联系是解题的关键.24.已知直线l：y=12x+1与抛物线y＝ax2﹣2x+c(a＞0)的一个公共点A恰好在x轴上，点B(4，m)在抛物线上.(Ⅰ)用含a的代数式表示c.(Ⅱ)抛物线在A，B之间的部分(不包含点A，B)记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围.【答案】(Ⅰ)c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)0＜a≤5 4.【解析】【分析】(1)先利用一次函数解析式求出A点坐标为(﹣2，0)，然后把A点坐标代入抛物线解析式即可得到a与c的关系式；(2)先分别计算出x＝4时所对应的一次函数值和二次函数值，然后利用图形G在直线l下方得到12﹣12a≤3，然后解不等式即可.【详解】解：(Ⅰ)当y＝0时，12x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为(﹣2，0)，把A(﹣2，0)代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，所以c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B(4，12a﹣12)，当x＝4时，y＝12x+1＝3，因为图形G在直线l下方，所以12﹣12a≤3，解得a≤5 4，所以a的取值范围为0＜a≤5 4.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，灵活的将函数图像与其解析式相结合是解题的关键. 25.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.【答案】（1）①602α︒+；，理由见解析【解析】【分析】（1）当0°＜α＜30°时，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三线合一的性质可得∠ACQ=30°，得到△QCF为等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE，AC，CQ 之间的数量关系.【详解】①画出的图形如图9所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴QE =QA．∴QB=QE．可得1802BQE QBE ∠=︒-∠()180260602αα=︒-︒-=︒+．②CE AC +=．证法一：如图10，延长CA 到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC 于点H．∵∠BQE=60°+2α，点E 在BC 上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+(60°-α)=120°+α．∵点F 在CA 的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF =CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC 于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴3cos cos302CH CQ HCQ CQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ ==．即3CE AC CQ +=．思路二：如图11，延长CB 到点G，使得BG=CE，连接QG，可得△QBG≌△QEC，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ =．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，3AC CE CQ -=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质及特殊的三角函数值等知识点，本题综合性较强，有一定的难度.26.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P′为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足r≤PP′≤2r ，则称P′为点P 关于⊙C 的限距点，如图为点P 及其关于⊙C 的限距点P′的示意图.(1)当⊙O 的半径为1时.①分别判断点M(3，4)，N(52，0)，T(12)关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为(2，0)，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；(2)保持(1)中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E→F→D→E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为(1，0)，半径为r ，请从下面两个问题中任选一个作答.问题1：若点P 关于⊙C 的限距点P′存在，且P′随点P 的运动所形成的路径长为πr ，则r 的最小值为__________.问题2：若点P 关于⊙C 的限距点P′不存在，则r 的取值范围为_________.【答案】(1)①点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙0的限距点存在，坐标为(1，0)；②﹣1≤x≤﹣12或x ＝1；(2)问题1：9；问题2：0＜r ＜16.【解析】【分析】(1)①根据限距点的定义即可判断.②分三种情形：①当点P 在线段EF 上时，②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，③当点P 与点D 重合时，分别说明即可解决问题.(2)问题1：如图2中，△PP′C 是等边三角形，点P 在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决.问题2：如图2中，当点H 不存在限距点时，点P 就不存在限距点，列出不等式即可解决.【详解】解：(1)①如图M(3，4)，N(52，0)，T(1，)55,,2MO NO TO ∴=====当⊙O 的半径为1时即1,22r r =='15142MM MO =-=-=>，点M 的限距点不存在；'111TT TO =-=<，点T 的限距点不存在；'511 1.52NN NO =-=-=，1 1.52<<，点N 的限距点存在即为'(1,0)N 所以点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为(1，0).②∵点D 坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE 、DF 分别切⊙O 于E 、F ，2,1,90OD OE OED ︒∴==∠=1cos 2OEEOD OD ∴∠==60EOD ︒∴∠=13cos 60,sin 6022OG OE EG OE ︒︒∴==== 1(,22E ∴由对称可得F(12，﹣2)∴切点坐标为(12，2)，(12，﹣2)，如图所示，不妨设点E(12，2)，点F(12，﹣2)，EO 、FO 的延长线分别交⊙O 于点E′、F′，则E′(﹣12，﹣32)，F′(﹣12，32).设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ，①当点P 在线段EF 上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足﹣1≤x≤﹣12.②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P 关于⊙O 的限距点不存在.③当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点P′(1，0)，满足PP′＝1，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x ＝1.综上所述点P 关于⊙O 的限距点的横坐标x 的范围为﹣1≤x≤﹣12或x ＝1.(2)问题1：如图中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，∵PC∥ED，∴PCED＝CHHD＝13，∴PC＝3 3，由题意：r≤33﹣r≤2r，∴33 96r ，∴r的最小值为3 9 .问题2：如图中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，∵HC＝1 2，∴12﹣r＞2r，∴r＜1 6，∴0＜r＜16时点P的限距点不存在.故答案分别为39，0＜r＜16.【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，且是知识迁移创新题，正确理解限距点的定义是解题的关键.。
2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2﹣x＝0的解是（）A．x＝0B．x＝1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝13．有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为，则下列各图中涂色方案正确的是（）A．B．C．D．4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．它的图象的对称轴是直线x＝2D．当x＝0时，y有最大值为05．如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'的面积的比为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：26．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B （2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）7．如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在（）A．点A与点B之间靠近A点B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点D．点B与点C之间靠近C点8．如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，DE ＝1，则BC 的长是 ．10．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为 ．11．已知反比例函数y ＝，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m的取值范围是 ．12．若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 ．13．小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm 和170cm 之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则 （填“1班”，“2班”或“3班”）的可供挑选的空间最大．身高/厘米 频数 班级150≤x ＜155155≤x ＜160160≤x ＜165165≤x ＜170170≤x ＜175合计1班 1 8 12 14 5 40 2班 10 15 10 3 2 40 3班51010874014．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝（x ＞0）的图象经过点A ，B ，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，连接OA ，OB ，则△OAC 与△OBD 的面积之和为 ．15．为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为米．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题0分，第23-26题，每小题0分，第27、28题，每小题0分）17．解方程：x2﹣2x＝2（x+1）．18．如图，已知∠B＝∠C＝90°，点E在BC上，且满足AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，求证：AE⊥DE．19．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．21．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t天运输完成．（1）请直接写出v关于t的函数关系式；（2）为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？22．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c ＝0两个相等的实数根的概率．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，2）．（1）求k，m的值；（2）将直线l沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，Q，与函数y＝（x ＞0）的图象交于点C．①当t＝2时，求线段QC的长．②若2＜＜3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．24．如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24 5.486（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F＝∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB＝8，CF＝2，求AC的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4的顶点为A，点B，C为直线y＝3上的两个动点（点B 在点C的左侧），且BC＝3．（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（3）过点A作x轴的垂线，交直线y＝3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC＝3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE∥AC交直线AD于点E．（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；（3）延长BD交直线AC于点F，过点F作FH∥AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．28．新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A 的关联直线．（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是（请直接写出正确的序号）．（2）如图1，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．（3）如图2，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I 的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝1．故选：D．3．【解答】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6＝，故选项错误；B、指针指向灰色的概率为3÷6＝，故选项错误；C、指针指向灰色的概率为4÷6＝，故选项正确；D、指针指向灰色的概率为5÷6＝，故选项错误．故选：C．4．【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝﹣1时，y＝2，故它的图象不经过点（﹣1，﹣2），故A选项不合题意；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B正确；它的图象的对称轴是直线y轴，故C选项不合题意；当x＝0时，y有最小值为0，故D选项不合题意；故选：B．5．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD＝2，A'D'＝3，∴＝＝，∴△ABC与△A'B'C'的面积的比＝（）2＝，故选：A．6．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴＝，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．7．【解答】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．8．【解答】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC＝45°，∴OD∥BC，故②正确，∴＝＜1，∴OE＜EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，∴△DCE∽△OCD，∴＝，∴CD2＝OD•CE，∵∠AOD＝∠DOC，∴＝，∴AD＝CD，∴AD2＝OD•CE，故④正确，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，∵AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD+BD＝5，∴1：BC＝2：5，∴BC＝2.5，故答案为：2.5．10．【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝135°，即旋转角为135°．故答案为：135°．11．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为：m＞2．12．【解答】解：扇形的面积＝＝3π，故答案为3π．13．【解答】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，因此可挑选空间最大的是一班，故答案为：1班．14．【解答】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．故答案为2．15．【解答】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴＝，∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案为：10.6．16．【解答】解：①∵在x轴正半轴上的任意点（x，y），∴y＝0，∴AC＝BC，∴AB＝BC；②设P（{x 1，），Q（，），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，x1+；，+，若两个三角形相似，则有＝，∴＝，∵x＞0，∴x 1＝，∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③设P（x 1，（x1﹣2020）2﹣1），Q（，（﹣2020）2﹣1），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1+（x1﹣2020）2﹣1，x1；，+（﹣2020）2﹣1，若两个三角形相似，则有＝，∴（x 1﹣）（x1+1﹣20202）＝0，∵x＞0，∴x 1+1＝20202，∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④设P（x 1，﹣2x1+2020），Q（，﹣2+2020），则对应的直角三角形的直角边分别为x 1，﹣x1+2020；，﹣+2020，若两个三角形全等，则有x 1＝﹣+2020，＝﹣x1+2020，∴+x 1＝2020，∵x＞0，∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题0分，第23-26题，每小题0分，第27、28题，每小题0分）17．【解答】解：整理得x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣．18．【解答】证明：∵AB＝4，BE＝2，CE＝6，CD＝3，∴，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECD，∴∠A＝∠CED，∵∠B＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，∴AE⊥DE．19．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；（2）这个二次函数的图象如图：（3）当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．20．【解答】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2＝8，AC2＝8，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH＝AC＝，即点O到AC的距离为；（2）由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°．21．【解答】解：（1）由题意得：v＝＝；（2）当t＝40时，v＝＝2500，2500﹣2000＝500（m3），答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．22．【解答】（1）证明：∵△＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，∴将c＝2b﹣1代入得：△＝b2﹣（2b﹣1）＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2≥0，∴方程一定有两个实数根．（2）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△＝b2﹣4•c＝b2﹣c＝0，∴b2＝c，满足条件的结果有（1，1）和（2，4），共2种，∴P（b、c的值使方程x2+bx+c＝0两个相等的实数根的概率）＝．23．【解答】解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y＝kx﹣1（k≠0）与y＝（x＞0）中，得2＝3k﹣1，2＝，∴k＝1，m＝6；（2）①∵直线y＝kx﹣1与y轴交于点（0，﹣1），∴当t＝2时，Q（0，1）．此时直线解析式为y＝x+1，代入函数y＝中，整理得，x（x+1）＝6，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝2，∴C（2，3），∴QC＝＝2．②如图，作CD⊥x轴于D，若＝2时，则＝2，＝3，∵直线解析式系数k＝1，∴OP＝OQ，设OP＝OQ＝a，∴OD＝2a，CD＝3a，∴CD＝＝，∴3a＝，解得a＝1，∴此时t＝1+1＝2，若＝3时，则＝3，＝4，∵直线解析式系数k＝1，∴OP＝OQ，设OP＝OQ＝a，∴OD＝3a，CD＝4a，∴CD＝＝，∴4a＝，解得a＝，∴此时t＝1+，∴若2＜＜3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+＜t＜2．24．【解答】解：（1）利用测量法可知：当x＝4时，y2＝4.90．故答案为4.90．（2）函数图象如图所示：（3）函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为1.50，函数y1与直线y＝x的交点的横坐标为4.50，故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．故答案为1.50或4.50．25．【解答】（1）证明：∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∴∠F+∠DBC＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝90°，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠F（2）解：连接CD，∵DF∥AC，∠ODF＝90°，∴∠BEC＝∠ODF＝90°，∴直径BD⊥AC于E，∴AE＝CE＝AC，∴AB＝BC，∵AB＝8，∴BC＝8，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∵∠DBC+∠F＝90°，∴∠BDC＝∠F，∵∠BCD＝∠FCD＝90°，∴△BCD∽△DCF，∴，∵BC＝8，CF＝2，∴DC＝4，∴＝4．∵在△BCD中，，∴，∴AC＝2CE＝．26．【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4＝（x﹣a）2+4﹣a，故点A（a，4﹣a）；（2）点A所在的直线为：y＝4﹣x，联立y＝4﹣x与y＝﹣x并解得：x＝1，故两个直线的交点为（1，3）；①当点C的坐标为：（1，3）时，则点B（﹣2，3），点A（﹣2，6），a＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6；②当点B的坐标为：（1，3）时，则点A（4，0），则a＝4，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）2；综上，抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+6或y＝（x﹣4）2；（3）点A（a，4﹣a），则点D（a，3），BC＝3BD，则点B、C的坐标分别为：（a﹣1，3）、（a+2，3），将抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣a+4与直线y＝3联立并解得：x＝a±，故点E、F的坐标分别为：（a﹣，3）、（a+，3），①当a＝1时，点E、B、C、F的坐标分别为：（1，3）、（0，3）、（2，3）、（1，3），而点A（1，3），此时，抛物线于BC只有一个公共点；②当a＞1时，当点C、F重合时，则a+＝a+2，解得：a＝5；当点B、E重合时，a﹣＝a﹣1，解得：a＝2，故2＜a≤5；综上，a＝1或2＜a≤5．27．【解答】解：（1）如图1所示：（2）与△CDB相似的三角形是△ABE，理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CH＝DH，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD＝AC，BC＝BD，且AB⊥CD，∴∠ACD＝∠ADC，∠CAB＝∠DAB，∠BCD＝∠BDC，∠DBA＝∠CBA，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，且∠ABC+∠BCH＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，∴∠DAB＝∠BCD＝∠BAC＝∠BDC，∵AC∥BE，∴∠CAB＝∠ABE，∴∠CDB＝∠ABE，且∠DAB＝∠BCD，∴△BCD∽△EAB；（3）BH•FC＝BC2+CF2，理由如下：如图2，∵∠ACB＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，∵△BCD∽△EAB，∴∠AEB＝∠CBD，∵AE∥FH，∴∠H＝∠AEB＝∠CBD，∵AC∥BE，∴∠CFB＝∠FBH，∴△FCB∽△BFH，∴，∴BF2＝BH•FC，∴BH•FC＝BC2+CF2．28．【解答】解：（1）由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．（2）如图1中，∵直线l1y＝﹣x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM（M为切点），∴TM＝1，TM⊥MB，且∠MNO＝45°，∴△TMN是等腰直角三角形，∴TN＝，OT＝1，∴N（1+，0），把N（1+，0）代入y＝﹣x+b中，得到b＝1+，同法可得当直线l2是临界状态时，b＝﹣+1，∴点N的横坐标的取值范围为﹣+1≤≤+1．（3）如图3﹣1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H（2，0），得到h的最大值为2，如图3﹣2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H（﹣6，0）得到h 的最小值为﹣6，综上所述，﹣6≤h＜0，0＜h≤2．。
北京人大附中2019届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（，2）2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( ) A．B．C．D．4．如图，⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，则弦DE的长为( )A．3B．2C．4D．65．如图，正△ABC的边长为3，以A为圆心，AB为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．﹣ D．36．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD为( )A．47° B．46°C．45°D．44°7．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：①到CD的距离始终不变；②位置始终不变；③始终平分；④位置随点C的移动而移动，正确的是( )A．①②B．②③C．②D．④8．如图，正△ABC的边长为3，点N在AC边上且AN：NC=1：2，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，y=MN2，则y关于x的函数图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanA的值是__________．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量的CD=12mm，则零件的内孔直径AB是__________mm．12．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB于B4，…则线段B1B2的长度为__________，线段B2n﹣1B2n的长度为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．用配方法解方程：．14．计算：3sin30°﹣cos245°+2tan60°cos30°．15．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线段CE相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．16．已知m是方程x2﹣x﹣3=0的根，求代数式（1+）•（m﹣3）的值．17．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元，双人间每天每间140元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=的图象于点C，CB：BA=2：1．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．20．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．21．据报道，历经一年半的调查研究，PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0035千克污染物．以下是相关的统计图、表：（2）请你根据“年全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计年一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？22．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC 上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E 位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c．（1）求证：方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）若m为整数，y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y1＜y2，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y2的解析式．24．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l 的垂线段BF，CG，DH．（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=__________．（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式__________，请证明你的猜想；（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式__________，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=的取值范围__________．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x M，y M），N（x N，y N），对于给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），例如：d2，3（（1，0），（4，7））=2|1﹣4|+3|0﹣7|=27．特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d （（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．根据以上定义，回答以下问题：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=__________，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=__________．（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是__________，d3，2（P，Q）的最小值是__________．-学年人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（，2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论．【解答】解：A、∵（﹣3）×1=﹣3≠3，∴函数图象不过此点，故本选项正确；B、∵（﹣3）×（﹣1）=3，∴函数图象过此点，故本选项错误；C、∵3×1=3，∴函数图象过此点，故本选项错误；D、∵×2=3，∴函数图象不过此点，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( ) A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．故选B．【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．4．如图，⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，则弦DE的长为( )A．3B．2C．4D．6【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OD，先求出OD及OC的长，再由勾股定理求出DE的长即可．【解答】解：连接OD，∵⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，∴OD=4，OC=2，DE=2CD．∵CD===2，∴DE=2CD=4．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．5．如图，正△ABC的边长为3，以A为圆心，AB为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．﹣ D．3【考点】扇形面积的计算．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ABC的面积，根据扇形的面积公式S=求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为3，∴正△ABC的面积为×3×=，扇形ABC的面积为=，则图中阴影部分的面积是﹣．故选：C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD为( )A．47° B．46°C．45°D．44°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形ABCD中，AB=AC=AD可知，B、C、D三点在以A为圆心，AD 为半径的圆上，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB=AC=AD，∴B、C、D三点在以A为圆心，AD为半径的圆上．∵∠CBD=23°，∴∠CAD=2∠CBD=46°．故选B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：①到CD的距离始终不变；②位置始终不变；③始终平分；④位置随点C的移动而移动，正确的是( )A．①②B．②③C．②D．④【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠E，所以有OE∥CD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．【解答】解：连OE，如图，∵CE平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OE，有∠1=∠E，∴∠2=∠E，∴OE∥CD，∵点O到CD的距离在变，∴点E到CD的距离发生变；故①错误；又∵弦CD⊥AB，∴OE⊥AB，∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，∴点E位置始终不变；故②正确．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．8．如图，正△ABC的边长为3，点N在AC边上且AN：NC=1：2，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，y=MN2，则y关于x的函数图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．①当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是4．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性质求AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=∴AE=4．故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanA的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，由勾股定理，得BC===12，tanA==，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量的CD=12mm，则零件的内孔直径AB是24mm．【考点】相似三角形的应用．【专题】计算题．【分析】由于OC：OA=OD：OB=1：2，加上∠COD=∠AOB，则可判断△COD∽△AOB，然后利用相似比开始计算出AB．【解答】解：∵OC：OA=OD：OB=1：2，而∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴==，∴AB=2CD=2×12mm=24mm．故答案为24．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度或宽度．12．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB于B4，…则线段B1B2的长度为，线段B2n﹣1B2n的长度为（）n﹣2．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】因为过B1作B1B2∥BC交AB于B2，于是得到△AB2B1∽△ABC，得到对应边对应成比例，因为AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，所以△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC的长，根据相似三角形对应线段成比例，可求出B2B1的长，同理，可求得线段B2n﹣1B2n的长度．【解答】解：∵AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，∴△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，∵过B1作B1B2∥BC交AB于B2，∴=，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos36°，∴BC=，设B2B1是x，则B2B是x．∴=，∴x=即：B1B2=．同理可求出B2n﹣1B2n=（）n﹣2．故答案为：，（）n﹣2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出BC的长，找出规律求出值．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．用配方法解方程：．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把常数项﹣3移项后；然后等上的两边同时乘以2把二次项的系数化为1；最后左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣2x=3，等上的两边同时乘以2，得x2﹣4x=6，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣4x+4=10，配方得（x﹣2）2=10．∴，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14．计算：3sin30°﹣cos245°+2tan60°cos30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=3×﹣×（）2+2××=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线段CE相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】连接BD，则BD=CE，证明△AEC≌△ADB即可．【解答】解：连接BD，则BD=CE；理由：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．已知m是方程x2﹣x﹣3=0的根，求代数式（1+）•（m﹣3）的值．【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据m是方程x2﹣x﹣3=0的根得出m2=m+3，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=•（m﹣3）=，∵m是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴m2﹣m﹣3=0，即m2=m+3，∴原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O作OE⊥CD于点E，根据相似三角形的判定定理可得出△ODE∽△BOE，再由相似三角形的对应边成比例可求出OD的长，由勾股定理得出DE的长，进而得出CD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，∵BC=8，∴CE=BE=4，OE=3．∵OD⊥AB，∴∠BEO=∠OED=90°，∵∠ODE+∠OBE=90°，∠ODE+∠DOE=90°，∴∠DOE=∠OBE，∴△ODE∽△BDO，∴=，即=，解得DE=，∴CD=CE﹣DE=4﹣=，∴S△OCD=CD•OE=××3=．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元，双人间每天每间140元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】本题中的等量关系有两个：三人间所住人数+二人间所住人数=50人；三人间费用×0.5+二人间费用×0.5=1510，据此可列方程组求解．【解答】解：设三人间和双人间客房各x间、y间，根据题意，得，解得．答：该旅行团住了三人间和双人间客房各8间、13间．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=的图象于点C，CB：BA=2：1．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由直线的解析式求得A、B的坐标，进而根据CB：BA=2：1求得C的纵坐标，将C坐标代入直线y=﹣2x+1中求出横坐标，代入反比例函数y=，确定出反比例解析式；（2）分两种情况分别讨论即可求得．【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，∴A（，0），B（0，1），∵CB：BA=2：1，∴=，作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴=，∴=，∴CD=3，把y=3代入y=﹣2x+1，解得x=﹣1，∴C（﹣1，3），代入y=得，3=，∴k=﹣3，∴反比例函数y=的解析式为y=﹣；（2）当△CPB∽△AOB时，则=，即=，∴BP=2，∴OP=OB+BP=1+2=3，∴P（0，3）；当△PCB∽△AOB时，则=，∵OA=，OB=1，∴AB==，∵CB：BA=2：1，∴CB=，∴=，∴PB=，∴OP=PB+0B=+1=，∴P（0，）；故P的坐标为（0，3）或（0，）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形相似的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】几何综合题．【分析】（1）连接OD，证OD⊥DE即可．易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB．根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似可求CD，得解．【解答】（1）证明：连接OD．∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．在Rt△ADB中，E为AB中点，∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB．又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．∴ED是⊙O的切线．（2）解：∵PF⊥BC，∴∠FPC=90°﹣∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．∵∠PDC=90°﹣∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．又∵∠PCF是公共角，∴△PCF∽△DCP．∴=，则PC2=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．∵CF=1，CP=2，∴CD=4．可知sin∠DBC=sinA=，∴=，即=，∴直径BC=5．【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度偏上．21．据报道，历经一年半的调查研究，PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0035千克污染物．以下是相关的统计图、表：（2）请你根据“年全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计年一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表；列表法与树状图法．【分析】（1）用单位1减去其他原因所占的百分比即可确定答案；（2）用重度污染和严重污染的天数除以所有的天数即可确定出现的频率；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）31.1；（2）≈0.16．该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）=7 280 0，估计年一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放72800千克污染物．【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息．22．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC 上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E 位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．【考点】位似变换．【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K 位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC 上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式=，由此求出x的值，进而求解即可．【解答】解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N．∵三角形ABC的面积=BC•AM=×12AM=36，∴AM=6．设AN=x，则MN=6﹣x，DG=MN=6﹣x，DE=GF=2（6﹣x）=12﹣2x．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，∴=，解得x=3，∴DG=6﹣x=3，DE=2DG=6，∴长方形DEFG的面积=6×3=18；在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=，∴DG=6﹣x=，DE=DG=，∴长方形DEFG的面积=×=．故长方形DEFG的面积为18或．【点评】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形DEFG是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c．（1）求证：方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）若m为整数，y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y1＜y2，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y2的解析式．【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用根的判别式即可得出结论；（2）根据y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7可知当x=5时，y1＜0，当x=7时，y1＞0求出m的取值范围，再由m为整数即可求出m的值；（3）先求出当x=3，x=4时y1的值，再由y2也经过此点即可得出结论．【解答】解：（1）∵△=[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）=（m+1）2≥0，∴方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）∵y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，且抛物线开口向上，∴f（5）＜0，f（7）＞0，∴，解得3＜m＜5．∵m为整数，∴m=4；（3）∵由（2）知，m=4，∴关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2可化为y1=x2﹣7x+6，∴当x=3时，y1=﹣6；当x=4时，y1=﹣6．∵二次函数y2=﹣x2+bx+c经过（3，﹣6），（4，﹣6），∴，解得，∴y2的解析式为y2=﹣x2+25x﹣72．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．24．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l 的垂线段BF，CG，DH．（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=1：1：2．（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式DH=BF+CG，请证明你的猜想；（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式BF=DH+CG，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=的取值范围1＜y≤2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图1所示：设AB=2a，根据题意得：BE=a，由勾股定理可求得AE=a，由面积法可求得BF和HD的长度，然后再证明△BFE≌△CGE，得到BF=CG，从而可求得答案；（2）如图2所示：先根据同角的余角相等，证明∠ADH=∠FBE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得：，由AD=BC，于是可得到DH=BF+CG；（3）如图3所示：先证明∠ABF=∠HDE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得，由AB=DC于是得到BF=DH+CG；如图4、5所示可求得BF+CG+DH的最大值为2BD，最小值为BD，从而可求得y的范围．【解答】解：（1）如图1所示：连接ED．设AB=2a，根据题意得：BE=a．在Rt△ABE中，AE=，∵，即：，∴BF=．在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．∵，即，∴HD=．∴BF：CG：DH=1：1：2．（2）DH=BF+CG．理由：如图2所示：∵∠ADH+∠DAH=90°，∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ADH=∠BAH．同理∠FBE=∠BAH．∴∠ADH=∠FBE．∵BF⊥AE，GC⊥AE，∴BF∥GC．∴∠FBE=∠GCE．∴∠ADH=∠FBE=∠GCE．∴．由可知：，∴，即．∴．∴．∵AD=BC，∴DH=BF+CG．（3）BF=DH+CG．理由：如图3所示：根据题意可知：∠ABF=∠HDE=∠GCE．∴．∴．∴，即．∴．∴．∵AB=DC，∴BF=DH+CG．如图4所示：当直线经过点C时，BF+DH+CG有最小值，最小值=BD，∴y=1．如图5所示：BF+DH+CG有最大值，最小值=2AC=2BD，∴y=2．∵直线l不经过点B、C、D，∴y的取值范围是：1＜y≤2．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、锐角三角函数的定义、比例的性质、全等三角形的性质和判定，利用比例的性质对比例式进行适当的变形是解题的关键．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x M，y M），N（x N，y N），对于给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），例如：d2，3（（1，0），（4，7））=2|1﹣4|+3|0﹣7|=27．特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d （（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．根据以上定义，回答以下问题：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=5，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=7．（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是﹣，d3，2（P，Q）的最小值是﹣．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），可得答案；（2）根据垂线段最短，可得OP与AB的关系，根据解方程组，可得P点坐标，根据权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），可得答案；（3）根据解方程组，可得OP与等圆的交点Q，根据权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），可得答案，根据a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），可得答案．【解答】解：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=|0+3|+|0+2|=5，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=3|0﹣（﹣1）|+2|0﹣2|=7，故答案为：5，7；。
北京人大附中2019届九年级上学期12月月考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．53．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．104．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣126．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．188．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝度．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为单位长度，△A′B′C′的面积为平方单位．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x 轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．（7分）如图，∠MON＝α（0＜α＜90°），A为OM上一点（不与O重合），点A关于直线ON的对称点为B，AB与ON交于点C，P为直线ON上一点（不与O，C重合）将射线PB绕点P顺时针旋转β角，其中2α+β＝180°，所得到的射线与直线OM交于点Q这个问题中，点的位置和角的大小都不确定，在这里我们仅研究两种特殊情况，一般的情况留给同学们深入探索（1）如图1，当α＝45°时，此时β＝90°，若点P在线段OC的延长线上①依题意补全图形；②求∠PQA﹣∠PBA的值；（2）如图2，当α＝60°，点P在线段CO的延长线上时，用等式表示线段OC，OP，AQ之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的⊙C和点P，给出如下定义若在⊙C上存在一点Q，使得△PCQ是以CQ为底边的等腰三角形且底角∠PCQ≤60°，则称点P为⊙C的“邻零点”，（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（﹣2，0），P2（1，﹣1），P3（0，3）中，⊙O的“邻零点”是；②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的“邻零点”，求点P的横坐标x P的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为4，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上的点都是⊙C的“邻零点”，直接写出圆心C的横坐标t的取值范围．2018-2019学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，∴sin A＝＝，故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．2．（2分）二次函数y＝（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7B．7C．﹣5D．5【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y＝（x﹣5）2+7∴当x＝5时，y有最小值7．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝﹣，函数最小值y＝；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝﹣，函数最大值y＝．3．（2分）如图，DE∥BC，AD：DB＝2：3，EC＝6，则AE的长是（）A．3B．4C．6D．10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例的性质可计算出AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝4．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了平行线分线段成比例定理．4．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝45°，∴∠OAC＝45°，∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠B＝∠AOC＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．5．（2分）如图，点A在双曲线y＝上，B在y轴上，且AO＝AB，若△ABO的面积为6，则k的值为（）A．6B．﹣6C．12D．﹣12【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为3，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AB＝AO，△ABO的面积为6，＝|k|＝3，∴S△ADO又反比例函数的图象位于第一、三象限，k＞0，则k＝6．故选：A．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了等腰三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．6．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徵主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9B．12C．14D．18【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【解答】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴，即，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．8．（2分）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/LC．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲芳D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用跑活动方式来放松【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）sin A＝，则锐角A＝45度．【分析】根据sin45°＝解答即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴锐角A＝45°．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．10．（2分）如图，AB∥CD，AB＝CD，线段AD与BC交于点M，△AMB的周长为2，则△CMD的周长为6．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∵AB＝CD，△AMB的周长为2∴，∴△CMD的周长为6，故答案为：6【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的周长之比等于相似比解答．11．（2分）已知点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系为y1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】直接把点P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）代入反比例函数y＝，求出y1，y2的值，并比较大小即可．【解答】解：∵P（﹣4，y1）和Q（﹣1，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣，y2＝＝﹣2．∵﹣＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．（2分）将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位后，得到的物线的解析式是y＝（x+1）2．【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题即可．【解答】解：∵将抛物线y＝x2，沿x轴向左平移1个单位，∴y＝（x+1）2．故得到的抛物线的函数关系式为：y＝（x+1）2．故答案为：y＝（x+1）2．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BAC＝25°．【分析】连接OB，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC的度数．【解答】解：连接OB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝130°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝25°．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．14．（2分）如图，边长为3的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴y轴的正半轴上，若反比例数y＝的图象与正方形OABC的边有公共点，则k的取值范围是0＜k≤9．【分析】由图象可知，当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，又图象位于第一象限才可能与正方形OABC的边有公共点，进而求出k的取值范围．【解答】解：由题意，可得B（3，3），当反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值，此时k＝3×3＝9，又k＞0，所以k的取值范围是0＜k≤9．故答案为0＜k≤9．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与性质，正方形的性质．理解反比例数y＝的图象经过B点时，k取最大值是解题的关键．15．（2分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．黄金分割经常被应用在建筑雪等艺术领域．如图2，在“附中学子故宫行”活动中，同学们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的美轮美奂，太和门位于太和殿于内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为x2＝100（100﹣x）．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2＝100（100﹣x），故答案为：x2＝100（100﹣x）．【点评】本题考查了黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．16．（2分）如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论，其中正确的是①③④（填序号）①BD⊥CE②∠DCB﹣∠ABD＝45°③CE﹣BE＝AD④BE2+CD2＝2（AD2+AB2）【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，∵∠DCB﹣∠DCA＝∠ACB＝45°，显然∠ABD≠∠ACD，故②错误，∵CE﹣BE＝BD＝BE＝DE＝AD，故③正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故①正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．∴BE2+CD2＝2（AD2+AB2），故④正确，故答案为①③④【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三、解答题（本题共6分，第17-22题，每小题5分，第236题，每小题5分，第27-题，每小题5分）17．（5分）计算：tan60°﹣4sin30°cos45°【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×﹣4××＝3﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的三倍，得到请△A'B'C'，请画出△A'B'C'；（2）B'C'的长度为3单位长度，△A′B′C′的面积为9平方单位．【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：（2）如图所示：B'C'的长度＝＝3；∵A′C′＝3，∴△A′B′C′的面积为＝×3×6＝9平方单位，故答案为：3，9．【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．19．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴ACD∽△ABC；（2）解：∵ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝12，解得，AAC＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m是满足条件的最大整数，求方程的根．【分析】（1）根据判别式的意义得到（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，然后解不等式得到m的范围；（2）取满足条件的最大整数代入方程，再解方程即可．【解答】解：（1）根据题意知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＜；（2）当m＝1时，方程为x2+x＝0，解得x1＝﹣1，x2＝0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的解析式．【分析】（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2即可得到结论；（2）把抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）代入抛物线的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2，即抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（5分）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝9x+15；②下降阶段：当x＞5时，y＝．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式；（2）利用y＝30代入结合函数增减性得出答案．【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，过点B做⊙O的切线BC，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连结DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，若BE＝4，DE＝8，求线段AC的长．【分析】（1）证明△COB≌△COD，得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据切割线定理求出DF，根据勾股定理求出CB，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）由切割线定理得，BE2＝EF•ED，即42＝8EF，解得，EF＝2，∴FD＝DE﹣EF＝6，∴AB＝DF＝6，在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，即82+BC2＝（4+BC）2，解得，BC＝6，∴AC＝＝6．【点评】本题考查的是切线的判定定理，切割线定理，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例数的表达式；（2）过点A的直线与反比例数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交点交于点P．①若点P为原点，直接写出点B的坐标；②若PA＝2PB，求点P的坐标．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；（2）①根据中心对称的性质即可求得；②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，通过证得△APC∽△BPD，得出＝＝2，求得B的横坐标坐标，代入解析式求得坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，令x＝0，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）把（6，1）代入反比例函数解析式，得1＝，∴m＝6；（2）①由于直线过原点，该函数为正比例函数，∵正比例函数和反比例函数图象都是关于原点中心对称的，∴两图象的交点关于原点成中心对称．∴点B、点A关于原点成中心对称．∵A点的坐标为（6，1），∴B点的坐标为（﹣6，﹣1）．②作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，∵AC∥BD，∴△APC∽△BPD，∴＝，∵AP＝2PB，∴AC＝2BD，∵AC＝6，∴BD＝3，∴B的横坐标为﹣3，把x＝﹣3代入y＝得y＝﹣2，∴B（﹣3，﹣2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（6，1），B（﹣3，﹣2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴P的坐标为（0，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点及待定系数法求函数解析式，待定系数法求函数解析式是本题的关键．25．（6分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E，已知∠A＝30°，AB＝4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD＝xcm，AE＝ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在如图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE＝AD时，AD的长度约为 2.4或3.3cm．【分析】（1）（2）根据题意测量、作图即可；（3）满足AE＝AD条件，实际上可以转化为正比例函数y＝【解答】解：（1）根据题意，测量得1.2∴故答案为：1.2（2）根据已知数据，作图得：（3）当AE＝AD时，y＝，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD＝2.4或3.3故答案为：2.4或3.3【点评】本题以几何动点问题为背景，考查了函数思想和数形结合思想．在（3）中将线段的数量转化为函数问题，设计到了转化的数学思想．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x 轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．【分析】（1）直接根据对称轴公式x＝﹣求解可得；（2）将解析式配方成顶点式得其顶点A坐标（1，3﹣a）及对称轴与x轴交点B坐标（1，0），由△AOB 为等腰直角三角形即OB＝AB可得1＝3﹣a，求得a＝2，据此可得答案；（3）先根据抛物线对称性知x1+x2＝2且y1＝y2＞1，由直线L与双曲线交于点R知y3＞1，即＞1，据此得x3＜6；依据知点R一定位于对称轴x＝1上或右侧，即x3≥1，从而得出答案．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，故答案为：x＝1；（2）∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴顶点A坐标为（1，3﹣a），。
2022-2023学年第一学期 12月月考 初三数学 试题班级：____________ 姓名：____________ 学号：__________一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．在平面直角坐标系中，点P （－3，－2）关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．（3，2）B ．（－3，－2）C ．（2，－3）D ．（－3，2）2．下列二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2−4x +4=0B ． −x 2+6x −10=0C ．x 2+3x +9=0D ． −3x 2−x +4=03．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是 （ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 4．在不透明的布袋中有若干个球，这些球除颜色外完全相同，如果摸出红球的概率为，袋中红球有3个，则袋中共有球( )．A ．5个B ．8个C ．10个D ．15个5．如图，⊙O 与直线l 1相离，圆心O 到直线l 1的距离OB ＝2√3，OA ＝4，将直线l 1绕点A 逆时针旋转30°后得到的直线l 2刚好与⊙O 相切于点C ，则OC ＝（ ）A. 1B. 2C. 3D.46．如图，点P 是反比例函数y =6x 的图象上的任意一点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB ，点D 是矩形OAPB 内任意一点，连接DA 、DB 、DP 、DO ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47．如图，在△ABC 中，∠BCA =60°，∠A =45°，AC =4，经过点C 且与边AB相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值是（ ）A. 3B. 2√3C.2√2 D. √6518. 二次函数y ＝x 2+bx +c .①当－1≤x ≤1时，y 的取值范围是－1≤y ≤1， 该二次函数的对称轴 为x =m ，则m 的最小值为1－√2②存在实数b 和c ，使得当－1≤x ≤1时，y 的取值范围是－1≤y ≤1，且y 随x 增大而增大. ③当－1≤x ≤1时，存在函数值y ，使得－1≤y ≤1. 对于任意给定的实数b 和c ，该函数均有最小值y min ，则y min 的最大值为1.④若只存在两个自变量值x 1，x 2，其中－1≤x 1＜x 2≤1，使得对于相应的函数值y 1，y 2， 有－1≤y 1≤y 2≤1，则该函数最小值为－2上述结论中，所有正确结论的序号是_____________________ A. ①② B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．将抛物线y =x 2向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．10. 若圆锥的底面积为16π，母线长为12，，则它的侧面展开图的圆心角为11. 若圆的一条弦的长度是半径的√2倍，则该弦所对的圆周角为_______________°. 12. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC =9，BP = 13BC =2，D 在AC 上， 且∠APD =∠B ，则CD =_______13. Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，则该三角形的内切圆半径为_________.14. 反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则k 的取值范围为__________________15. 如图，△ABC 中，已知∠C =90°，∠B =60°，点D 在边BC 上（点D 不与B 、C 重合）．把△ABC 绕着点D 顺时针旋转，如果点C 恰好落在初始Rt △ABC 的AB 边上，那么BDCD 的取值范围是_________________16. 点A 、B 在反比例函数y =4x （x ＞0）的图象上，下列说法正确的是________________①点C 在直线y =x 上，存在等腰Rt △ABC ，且∠C =90°.②存在第三象限内的点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形，且∠C =90°. ③点B （4，1），点C 在直线y =－x －3上，存在两个等腰Rt △ABC ， 且∠C =45°.④点C 在直线y =－x 上，若点A 、B 的横坐标均小于2，则不存在等腰Rt △ABC ， 且∠ABC =45°三、解答题（本题共52分，第17、18题，每题5分；第19---21题，每题6分；第22---24题，每题8分）17. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC( )(填推理的依据)．∴∠ABP=12∠BAC．18. 如图，平面直角坐标系中，点A（1，4），B（2，1），C（5，4），D（8，5），线段AB绕着某点旋转后与线段CD重合.（1）AB=______________（2）请直接写出该旋转中心的坐标为_________________________（3）点O也绕（1）中的旋转中心，作与线段AB一样的旋转变换，则旋转后的对应点坐标为______________________________19. 一个不透明的布袋中有完全相同的四个小球，把它们分别标号为1，2，3，4．甲和乙做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后，扔到旁边；再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，甲赢；若标号之和为偶数，则乙赢．（1）用画树状图的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请用概率的知识判断这个游戏是否公平，并说明理由．20. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P（2，2）.x（1）求k的值；（x＞0）的图象交于点N,过（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S∆MNQ≤4点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线,两平行线相交于点Q，当12时，结合图象，直接写出a的取值范围.21. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE.（1）求证：AE是⊙O的切线（2）若AE=2√5，CD=8，求⊙O的半径和AD的长.22. 函数y=ax2+bx（a＞0）的图象上存在两点A（1，m），B（4，n）（1）若m＜n，下列说法正确的是：_______________①b＜0 ②a+b＜0 ③5a+b＞0（2）若mn＜0，对于所有满足条件的实数a和b，当k－3＜x＜k+1时，函数不存在最值，求出k的取值范围.23．在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接．（1）如图1，当点旋转到边上时，若O 为AB 中点，连接EO ，DO . 请直接写出线段与的位置关系和数量关系：__________________________；（2）如图2，当点旋转到边上时， 点O 在线段AB 上，且OE =OD ，求证：O 为AB 中点.24．对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P （点P 不在线段AB 上），给出如下定义：当P A =PB 时，过点A （或点B ）向直线PB （或P A ）作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”. 如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D 为点PAB的“测度点”.（1）如图，点M （0，4）、N （2，0），① 点P 的坐标为（5，4），直接写出点P 关于线段MN 的“测度线段”的长度________；② 点H 为平面直角坐标系中的一点，且HM =HN ，则下列四个点：Q 1（0,0），Q 2（3,3），Q 3（1,0），Q 4（0,4）中，是点H 关于线段MN 的“测度点”的是____________；（2）直线364y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，① 点G 为平面直角坐标系中一点，且GA =GB ，若一次函数143y kx k =-+上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，直接写出k 的取值范围为_______________________________；② ⊙O 的半径为r ，点C 与点D 均在⊙O 上，且线段65CD r =. 点K 与点O 位于线段CD 的异侧，且KC =KD ，若在线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，直接写出r 的取值范围为_______________________________.ADC ∆BEC ∆90ADC BEC ∠=∠=︒BC CD <BEC ∆C AB B CD DO EO B AC2022-2023学年第一学期12月月考初三数学答题纸班级：____________ 姓名：____________ 学号：__________二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. _______________ 10. _______________ 11. ________________ 12. ________________13. _______________ 14. _______________ 15. ________________ 16. ________________三、解答题（本题共52分，第17、18题，每题5分；第19---21题，每题6分；第22---24题，每题8分）17. ①∠ABP＝．②___________________________________________________．18.（1）AB=_____________________（2）旋转中心的坐标为_________________________（3）点O旋转后的对应点坐标为______________________________19. （1）（2）答：20. （1）解：（2）a的取值范围为____________.21.（1）证明：（2）解：22.（1）说法正确的是：_______________ （2）解：23．（1）线段与的位置关系和数量关系：__________________________；（2）证明：24．（1）①点P 关于线段MN 的“测度线段” 的长度________；②点H 关于线段MN 的“测度点”的是____________； （2）① k 的取值范围为_______________________________； ② r 的取值范围为_______________________________.DOEO。
2018-2019学年北京市人民大学附属中学九年级第一学期月考数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆【答案】C【解析】【分析】切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线，即可求.【详解】由切线的性质定理可知：答案为C.【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，解题关键是熟记切线的定义及性质.2.二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为(b, c) 判断即可.【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2,故选:A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质.3.下列k的值中,使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据判别式的意义得到Δ= >0, 然后解不等式即可.【详解】解：关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,Δ=>0,解得k<4.k的值可以是3,故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.4.利用圆内接正多边形,可以设计出非常有趣的图案.下列图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】解：A.此图形不是中心对称图形, 是轴对称图形, 故此选项错误;B.此图形是中心对称图形, 不是轴对称图形, 故此选项正确;C.,此图形不是中心对称图形, 但是轴对称图形, 故此选项错误;D.图形是中心对称图形, 也是轴对称图形, 故此选项错误.故选:B.【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，中心对称图形的定义是旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义把此图形沿着某一条直线折叠，两边能完全重合的图形.5.用配方法解方程x2-4x-2=0,配方正确的是A. (x-2)2=2B. (x+2)2=2C. (x-2)2=6D. (x+2)2=6【答案】B【解析】x2-2x-2=0，x2-2x+1-1-2=0，x2-2x+1=3，(x-1)2=3;故选B。
2019年北京市人大附中初三第二次月考解析卷一．选择题1.音乐会上小提琴演奏乐曲时，下列说法正确的是（）A. 演奏前，调节小提琴的琴弦松紧可改变声音的响度B. 演奏时，用力拉紧小提琴的同一琴弦可提高声音的音调C. 小提琴演奏的乐曲通过空气传入听众的耳朵D. 小提琴的音色和二胡的音色相同【答案】C【解析】【详解】A. 演奏前，调节小提琴的琴弦松紧可改变声音的音调，故A错误；B. 演奏时，用力拉紧小提琴的同一琴弦是降低音调，故B错误；C. 空气可以传播声音，所以小提琴演奏的乐曲通过空气传入听众的耳朵，故C正确；D. 音色是发声体特有的特征，可以用来区分声源，小提琴的音色和二胡的音色是不同的，所以我们能分辨是用哪一种乐器演奏的，故D错误；故选C。
【点睛】注意能正确区分声音的三个特征，即音调、响度、音色，其中音色是发声体特有的特征，由声源振动的材料、方式等决定，可以用来区分声源。
2.在“探究凸透镜成像的规律“时，将点燃的蜡烛放在距凸透镜30cm处，在透镜另侧距离透镜16cm处的光屏上得到烛焰清晰的像，则下列相关说法正确的是（）①光屏上成倒立、放大的实像②照相机是利用这一成像原理工作的③该透镜的焦距f一定满足8cm＜f＜15cm④将远视镜片放在蜡烛和凸透镜之间，要使光屏上出现清晰的像，光屏应靠近透镜A. 只有①和③B. 只有②和④C. 只有②和③④D. 只有①和④【答案】C【解析】【详解】蜡烛距离凸透镜30cm时，在透镜的另一侧16cm处光屏上得到一个清晰的像，物距大于像距，成倒立缩小实像，是照相机的原理；此时物体在二倍焦距以外，像在一倍焦距和二倍焦距之间，即30cm＞2f；2f＞16cm＞f，解得：8cm＜f＜15cm。
故①错误，②正确；③正确；远视镜片是凸透镜，对光线具有会聚作用，所以远视镜片放在蜡烛和凸透镜之间，像将提前会聚，为使光屏上看到清晰的像，采取的方法为：使光屏靠近透镜，使像成在光屏上，故④正确。
北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级下学期数学练习试题2一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.截止到3月26日0时，全球感染新型冠状病毒肺炎的人数已经突破380000人，“山川异域，风月同天”，携手抗“疫”，刻不容缓．将380000用科学记数法表示为（ ） A. 60.3810⨯ B. 53.810⨯ C. 43810⨯ D. 63.810⨯【答案】B 【解析】 【分析】根据科学计数法的定义，一个绝对值大于10的数可表示成()11010na n a ≤<⨯，为整数，先根据数字确定a ，然后根据数字整数位数确定n 即可． 【详解】科学计数法把一个绝对值大于10的数表示成()11010na n a ≤<⨯，为整数，其中n 为数字整数位数-1∴380000中=3.8a ，=6-1=5n ∴3800005=3.810⨯ 故选：B ．【点睛】本题考查科学计数法，熟练掌握a 的取值范围为110a ≤<和n 为数字整数位数-1是解题关键． 2.在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab=c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的乘法，可得答案．【详解】由数轴，得﹣1＜a＜0，0＜b＜1，∴﹣1＜ab＜0，﹣1＜c＜0．故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用有理数的乘法是解题关键．4.若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的边数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】根据多边形外角和为360︒可得多边形的边数为36040即得．【详解】∵多边形外角和为360︒∴这个多边形的边数为360=9 40故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的性质及多边形的外角和定理，解题关键是熟知任意多边形的外角和都为360︒．5. 如图是某几何体得三视图，则这个几何体是（ ）A. 球B. 圆锥C. 圆柱D. 三棱体 【答案】B 【解析】分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥． 故选B ．6.如果1a b -=，那么代数式2222(1)b a a a b-⋅+的值是A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式的混合运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】1a b -=原式22222a b a a a b⋅=-+ ()()222a b a b a a a b+-⋅+=()2,a b=-2.=故选A.【点睛】考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键.7.某校合唱团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )A. 平均数、中位数B. 平均数、方差C. 众数、中位数D. 众数、方差【答案】C【解析】【分析】根据众数是出现次数最多的数据,及中位数是第45、46个数据的平均数，方差、平均数的计算公式，即可解答．【详解】解：由表可知，该组数据的众数为14岁，中位数为：1414142+=岁，平均数、方差与每一个值有关，所以会随着x的不同而不同，∴对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；故选：C．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．8.小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：①最后剩下的小球可能是A型小球；②最后剩下小球一定是B型小球；③最后剩下的小球一定不是C型小球．其中正确的说法是：（）A. ①B. ②③C. ③D. ①③【答案】D【解析】【分析】假设剩下的是A、B、C型小球，分别讨论，列举结果，进行排除即得．【详解】（1）最后剩下的小球可能是A型小球．理由如下：12个A型小球两两碰撞，形成6个C型小球；9个B型小球中8个两两碰撞，形成4个C型小球；所有的20个C型小球两两碰撞剩下一个C型小球；这个C型小球和剩下的B型小球碰撞形成A型小球，故①正确；（2）最后剩下的小球可能是B型小球．理由如下：12个A型小球中的9个与9个B型小球两两碰撞，形成9个C型小球；剩下的3个A型小球中的2个碰撞形成1个C型小球，所有的20个C型小球两两碰撞，最后剩下一个C型小球；这个C型小球与剩下的1个A型小球碰撞形成B型小球，故②错误；（3）最后剩下的小球一定不是C型小球．理由如下：A、B、C三种小球每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一个C型小球，减少两个A型小球（C多一个，A、B共减少两个）；B与B碰撞，会产生一个C型小球，减少两个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；C与C碰撞，会产生一个C型小球，减少一个C型小球（C减少一个，A、B总数不变）；A与B碰撞，会产生一个C型小球，减少一个A型小球和一个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；A与C碰撞，会产生一个B型小球，减少一个A型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；B与C碰撞，会产生一个A型小球，减少一个B型小球和一个C型小球（C少一个，A、B总数不变）；如上可得出规律：1.从C型小球的角度看：每碰撞一次，C型小球的数量增多一个或少一个，题目中共有31个小球，经过30次碰撞剩下一个小球，整个过程变化了偶数次，C的变化即为偶数次，因为最初C型小球有10个，则剩余的C型小球必定是偶数个，不可能为1个，所以最后剩下的不可能是C型．2.从A、B型小球的角度看：每次碰撞后，A、B型小球总数或者不变、或者减少两个、题目中A、B型小球之和为21个，无论碰撞多少次，A、B型小球都没了是不可能的．故③正确．故选：D．【点睛】本题考查逻辑推理及分类讨论思想，解题关键假设出现的情况，逆向推导出各个情况，注意思路严谨，分类讨论要不重不漏．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式12xx的值为0，则x的值是________．【答案】1 【解析】 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式12x x-的值为0，∴x−1＝0，2x ≠0 解得：x ＝1． 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键．10.如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB _____∠COD ．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】= 【解析】 【分析】根据tan ∠AOB 与tan ∠COD 的大小比较即可求解．【详解】解：根据题意可知tan ∠AOB ＝2，tan ∠COD ＝2， ∴∠AOB ＝∠COD ， 故答案为＝.【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．11.分解因式：3x 9x -= . 【答案】()()x x 3x 3+- 【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22x 9x x x 9x x 3x 3-=-=+-．12.如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 经过点,,A C D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若70D ︒∠=，则BAE ∠=_______ °．【答案】40 【解析】 【分析】先根据平行四边形对角相等，确定∠B 的值，再根据圆的内接四边形对角互补及同角的补角相等确定∠AEB 的值，最后根据三角形内角和即得． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴70B D ︒∠=∠=∵180BEA AEC ∠+∠=︒，在O 的内接四边形AECD 中，180AEC D ∠+∠=︒ ∴70BEA D ==︒∠∠∴18040BAE B AEB ∠=︒--=︒∠∠ 故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟知圆的内接四边形的对角互补．13.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是____（填写一个你认为正确的序号）． ①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球． 【答案】③【解析】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13左右，①中向上一面的点数是2的概率为16，不符合题意； ②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为12，不符合题意； ③中从中任取一球是红球的概率为13，符合题意． 故答案为③．14.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为____________．【答案】454353x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】 【分析】根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可.【详解】由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435，篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3，联立得454353x y x y +=⎧⎨-=⎩.【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键.15.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将矩形ABCD 沿AE 所在直线折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处．若85AB DE ==，，则折痕AE 的长为________．【答案】55． 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出FC 的长，再利用勾股定理列方程求解AF 的长，最后利用勾股定理求AE 的长即得． 【详解】∵85AB DE ==，∴85D FE C AB DE ====， ∴3EC DC FE AB DE =-=-= ∴在Rt FEC中，4FC =设AD BC AF x ===，则4BF x =-∴在Rt ABF 中，()2228+4x x -=∴10AF x == ∴在Rt FEA中，AE =故答案为：【点睛】本题是折叠问题，考查了矩形的性质，成轴对称图形的性质及勾股定理，解题关键是利用折叠后得到的直角三角形建立等量关系，并列出方程求解未知边长．16.在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是边AD 上的一个动点(与点A ，D 不重合)，连接EO 并延长，交BC 于点F ，连接BE ，DF ．下列说法: ① 对于任意的点E ，四边形BEDF 都是平行四边形;② 当∠ABC >90°时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是矩形; ③ 当AB <AD 时，至少存在一个点E ，使得是四边形BEDF 是菱形; ④ 当∠ADB =45°时，至少存在一个点E ，使得是四边形BEDF 是正方形． 所有正确说法的序号是：_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】依据平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及性质得到OE OF =，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得①正确；依据有一个角为直角的平行四边形为矩形，可得②正确；依据大边对大角，可得∠ABD >∠ADB ，则至少存在一个点E ，使得∠EBD =∠ADB ，依据等角对等边得EB =ED ，依据临边相等的平行四边形是菱形，可得③正确；当∠ADB =45°时，若∠ABC <45°，则∠ABC <90°，∠EBC <90°，四边形BEDF 不可能是正方形，故④错误．【详解】解：①在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，//AD BC ∴，AO CO =，BO DO =,AEF CFE ∴∠=∠，EAC FCA ∠=∠， AOE ∴≌COF (AAS)， OE OF ∴=．∵BO DO =，EO OF =， ∴四边形AFCE 是平行四边形； ② 当∠ABC >90°时，∴至少存在一个点E ，使得∠EBC=90°， ∴BEDF 是矩形；③ 当AB <AD 时，∠ABD >∠ADB ， ∴至少存在一个点E ，使得∠EBD =∠ADB ， ∴EB =ED ， ∴BEDF 是菱形；④ 当∠ADB =45°时，若∠ABC <45°, 则∠ABC <90°，∠EBC <90°，∴四边形BEDF 不可能是正方形． 故答案为：①②③.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握各性质定理是解题的关键.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17.计算：012cos302020︒+．【答案】﹣2．【解析】【分析】按照各部分的运算法则分别计算，再求解即可．【详解】解：原式121+11==﹣2．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值，特殊角的三角函数，算术平方根，零次幂的运算是解题关键．18.解不等式组：2(1)513x x x x -<⎧⎪-⎨<+⎪⎩ 【答案】42x -<<【解析】【分析】先分别求解两个不等式的解集，再求两个解集的公共部分即得． 【详解】解：2(1)513x x x x -<⎧⎪-⎨<+⎪⎩①② 由①得：2x <由②得：4x >-∴这个不等式的解集为42x -<<【点睛】本题考查了一元一次不等式组求解，解题关键是根据不等式的性质将不等式去分母、移项和系数化为1．19.如图，ABC 中，AB BC =，D 在BC 的延长线上，连接AD ，E 为AD 中点．（1）尺规作图：作ABC ∠的平分线，与线段AC 交于点F ，连接EF ；（2）根据（1）中所作的图形，证明：//EF BC ．【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】【分析】（1）根据平分线的尺规作图法即得；（2）先根据等腰三角形三线合一得出F 是AC 的中点，再根据中位线的性质即得．【详解】（1）如下图：（2）∵AB BC =，BF 为∠ABC 的平分线∴F 为AC 的中点∵E 为AD 中点∴EF 为ACD 的中位线∴//EF BC【点睛】本题考查了角平分线的作法，等腰三角形的性质及中位线的性质，解题关键是熟知等腰三角形“三线合一”．20.已知关于x 的方程2420x x m -++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为满足条件的最大整数，求方程的根．【答案】（1）2m <；（2）1213x x ==，【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即得；（2）根据（1）得出方程，再利用因式分解法解一元二次方程即得．【详解】（1）∵关于x 的方程2420x x m -++=有两个不相等的实数根，且原方程中142a b c m ==-=+，，∴()()2=442840m m ∆--+=->∴2m <（2）由（1）得：1m =∴2430x x -+=∴()()130x x --= ∴1213x x ==， 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及因式分解法求解，解题关键是熟知一元二次方程有两个不等实根等价于判别式>0∆．21.如图，菱形ABCD 中，E F ，分别为AD AB ，上的点，且AE AF =，连接并延长EF ，与CB 的延长线交于点G ，连接BD ．（1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；（2）连接AG ，若30FGB ∠=︒，2GB AE ==，求AG 的长．【答案】（1）见详解；（2）27【解析】【分析】（1）先根据等角对等边推出GB=FB ，再根据AE=AF ，AB=AD 推出FB=ED ，进而得出GB=ED ，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即得；（2）连接AG ，过A 作AM ⊥BC ，先根据2GB AE ==得出4AB =，再在ABM 中根据直特殊角的三角函数值求出BM 和AM 的长，最后利用勾股定理即可求出AG 的长．【详解】（1）∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，AE AF =∴FB=ED ，∠G=∠AEF ，∠AEF=∠AFE∵∠AFE=∠GFB∴∠G=∠AEF=∠GFB∴GB=FB∴ED=GB∵AD ∥BC 即ED ∥GB∴四边形EGBD 是平行四边形（2）连接AG ，过A 作AM ⊥BC∵四边形EGBD 是平行四边形，AE AF =，2GB AE ==∴2GB ED AE AF ====，4AD AB ==∴2FB GB ==∴30FGB GFB ∠=∠=︒∴60ABC ∠=︒∴在Rt ABM 中，30BAM ∠=︒ ∴122BM AB ==，323AM BM ==∴4GM BM GB =+=∴在Rt AGM 中，2227AG GM AM +=【点睛】本题考查了特殊角三角函数、勾股定理、平行四边形的判定及性质等，解题关键是熟知一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，13sin30cos302︒=︒=，． 22.某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：60x <，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤<）：b ．初二年级学生知识竞赛成绩在8090x ≤<这一组的数据如下：80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89c ．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差初二年级 80.8 m96.9初三年级80.6 86 153.3根据以上信息，回答下列问题：（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图；（2）写出表中m 的值；（3）A 同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B 同学看到A 同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”．请判断A 同学是________（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是________．（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为____．【答案】（1）见详解；（2）80.5；（3）初二；初二年级前40%的最低成绩为84，未超过初三年级的学生成绩的中位数86；（4）225．【解析】【分析】（1）根据初二年级抽取的总人数减去已知的各段人数即得；（2）根据中位数的定义，将所有数据从小到大的顺序排列取中间两数的平均值即得；（3）利用中位数所表示的意义即得；（4）将初二优秀人数所占百分比与总人数相乘即得．【详解】（1）如下图：（2）∵初二共抽取40名学生成绩∴中位数为从小到大排列的数据的第20位和第21位的平均值∴根据分布直方图可知数据的第20位和第21位是知识竞赛成绩在8090x ≤<这一组的数据从小到大排列的第2位和第3位：80、81 ∴80+81=80.52m = 故答案为：80.5．（3）∵初二年级的学生成绩的前40%为所有40个数据从小到大排列的最后16个数据，这16个数据中的最小数据为：84，且初三年级的学生成绩的中位数是：86．∴84分在初三年级学生成绩中未进前50%∴A 同学是初二年级故答案为：初二；初二年级前40%的最低成绩为84，未超过初三年级的学生成绩的中位数86． （4）∵初二年级学生成绩85分及以上的人数的百分比为：15100%37.5%40⨯= ∴估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为60037.5%225⨯=（名）故答案为：225．【点睛】本题考查了分布直方图、中位数及样本估计总体，解题关键是熟知中位数整组数据从小到大或者从大到小排列之和中间的数或者中间两个数的平均数．23.在平面直角坐标系xOy 中,函数2y x =(x >0)的图象与直线l 1:1(0)3y x k k 交于点A ，与直线l 2：x =k交于点B ．直线l 1与l 2交于点C ．(1) 当点A 的横坐标为1时，则此时k 的值为 _______；(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点． 记函数2y x =(x >0) 的图像在点A 、B 之间的部分与线段AC ，BC 围成的区域(不含边界)为W ．①当k =3时，结合函数图像，则区域W 内的整点个数是_________；②若区域W 内恰有1个整点，结合函数图象，直接写出k 的取值范围：___________．【答案】(1)53；(2)①3；②203k <<或723k <≤. 【解析】【分析】（1）将A 代入函数2y x =(x >0)与l 1:1(0)3y x k k ，即可求出k ；（2）①画出当k =3时，相应的图象，由图得到整点的个数；②分为点C 在曲线2y x=(x >0)下方、上方两种情况画出符合题意的图象，据图写出k 需要满足的条件. 【详解】解：()1设点()1,A m ，∵A 在2y x =上， 2m ∴=．()1,2A ∴．点()1,2A 在函数1(0)3y x k k 的图象上， 53k ∴=； 故答案为：53. （2）①当k =3时，作图如下，观察图象，区域W 内的整点个数是3；②当点C 在曲线2y x =(x >0)下方，如下图，区域W 内唯一的1个整点为（1,1），只需满足：当1x =时，11133yx k k ， ∴203k <<； 当点C 在曲线2y x=(x >0)上方，如下图，区域W 内唯一的1个整点为（2,2），只需满足：23k <≤且当2x =时，12233y x k k ，233k ，∴723k <≤； 综上所述：203k <<或723k <≤. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：由交点依据待定系数法求解析式，本题解题的关键是理解整点的定义，并利用数形结合的思想，根据W 区域内格点的情况画出图形据图写出k 需要满足的条件．24.某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30℃时，再次自动加热水箱中的水至60℃，加热停止；当水箱中的水温下降到30℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保温温度30℃的过程中，y 随x 的变化情况，如下表所示：接通电源后的时间x （min ）0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 …水箱中水的温度y （℃）20 30 40 60 51 45 40 36 33 30①请写出一个符合加热阶段y 与x 关系的函数解析式______________；②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x 为________min ． （2）根据上述的表格，小宇画出了当020x ≤≤时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当2040x ≤≤时的函数图象．（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35C 50C ︒︒-，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20℃，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________．【答案】（1）①()()2520081238209684x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩；②26；（2）见详解；（3）否；加热至9点30分的温度为33︒，不在人体适合的温度范围内．【解析】【分析】（1）①根据表格数据特点，应用待定系数法求解即可；②根据表格数据先确定从30加热至60︒需要的时间，再将所得时间加上第一次加热至保温的时间即得；（2）根据加热温度变化规律可知从30加热至60︒需要6min ，即可确定点()2660，， （3）根据表格数据特点，第一次加热需要20分钟，之后每18分钟一次循环，即可确定早上9点30分对应第一次加热的时间段．【详解】（1）①当08x ≤≤时，设解析式为：()0y kx b k =+≠将()()0202,30，，代入()0y kx b k =+≠并联立得：20230b k b =⎧⎨+=⎩，解得：205b k =⎧⎨=⎩ ∴当08x ≤≤时，520y x =+当820x <≤时，设解析式为：()20y ax bx c a =++≠将()()()10,5112,4514,40，， 代入()20y ax bx c a =++≠并联立得：100105114412451961440a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：1823496a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴当820x <≤时，21239684y x x =-+ ∴第一次加热阶段y 与x 关系的函数解析式为：()()2520081238209684x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩故答案为：()() 252008 1238209684xxyxx x+⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩②根据表格数据可知从30加热至60︒需要6min∴当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x为20+6=26min故答案为：26．（2）如下图：（3）从早上8点至早上9点30分，总共用时90分钟，且第一次加热需要20分钟至保温温度30，第一次以后每18分钟循环一次．∵90=20+183+16⨯，即最后一次重新加热至9点30分对应第一次的第18分钟的温度：33︒．∴在上午9点30分时，热水器的水温不适合他沐浴．故答案为：否，加热至9点30分的温度为33︒，不在人体适合的温度范围内．【点睛】本题考查待定系数法求解析式及函数图像的实际应用，解题关键是结合表格数据及图像确定函数类型，注意：线性变化为一次函数，自变量与因变量的乘积不变则为反比例函数，否则为初中多数情况为二次函数．25.如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与O交于点D，E为O上一点，且满足EAC∠=ACB∠，连接BD BE，．（1）求证：2ABE CBD∠=∠；（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若6AE=，32BF=，求O的半径长．【答案】（1）见详解；（2）154．【解析】【分析】（1）先证明DBA EAC ∠=∠，再证明90EAC CBD +=︒∠∠，最后根据内接四边形对角互补得出2180EAC ABE +=︒∠∠即得；（2）连接OD ，先推出DOF ABE ∽，再根据相似三角形对应边成比例得出DF=3，最后在Rt DOF △中设半径为R ，应用勾股定理列出方程求解即得．【详解】（1）∵AB 为直径∴90ADB ∠=︒∴90DAB DBA ∠+∠=︒∵BM 为O 的切线∴90ABM ∠=︒∴90DAB ACB +=︒∠∠，90ABD DBM +=︒∠∠∴DBA ACB ∠=∠∵EAC ∠=ACB ∠∴DBA EAC ∠=∠∴90EAC CBD +=︒∠∠∵在O 的内接四边形ADBE 中，+ABE=180EAC DBA +︒∠∠∠∴2180EAC ABE +=︒∠∠，即1902EAC ABE +=︒∠∠∴12CBD ABE =∠∠，即2ABE CBD ∠=∠ （2）如下图：连接OD∵DF ⊥AB ，AB 为直径，∴∠DFO=∠AEB = 90°∵90BAD DBA ∠+∠=︒，90DBA CBD ∠+∠=︒∴∠CBD=∠BAD∵∠DOF=2∠BAD ，2ABE CBD ∠=∠∴∠DOF=∠ABE∴DOF ABE ∽ ∴=OD DF AB AE ' ∵22=6AB OB OD AE ==，∴DF=3设O 的半径为R ，则3=2OF R - 在Rt DOF △中，222OD OF DF =+即222332R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：154R = 所以O 的半径长为154 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质，解题关键是熟知圆内接四边形对角互补，过切点的半径垂直于切线，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：y=-x 2+2bx+c 与直线l ：y =9x +14交于点A ，其中点A 的横坐标为-2．（1）请用含有b 的代数式表示c : ；（2）若点B 在直线l 上，且B 的横坐标为-1，点C 的坐标为（b ，5）．①若抛物线M 还过点B ，直接写出该抛物线的解析式；②若抛物线M 与线段BC 恰有一个交点，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）4c b =；（2）①2612y x x =-++；②13b ≤≤或5b ≤-.【解析】【分析】（1）将A 点横坐标，代入直线l ：y =9x +14得到A 点的坐标，再代入到抛物线中，即可求解；（2）①将B 点横坐标，代入直线l ：y =9x +14得到B 点的坐标，再代入到抛物线中，可求出抛物线的解析式；②抛物线的顶点为N （24b b b +，），开口向下，C （b ，5），B （-1，5），要使得抛物线M 与线段BC 有交点，N 不在C 的下方，即245b b +-(1)(+5)b b =-≥0，则分5b ≤-，或1b ≥两种情况讨论，结合图象求解.【详解】解：（1）∵抛物线M ：y=-x 2+2bx+c 与直线l ：y =9x +14交于点A ，其中点A 的横坐标为-2， ∴A （-2，-4），代入y=-x 2+2bx+c 得444b c -=--+，∴4c b =．故答案为：4c b =．（2）∵点B 在直线l ：y =9x +14上，且B 的横坐标为-1，∴B （-1，5），①若抛物线M ：y=-x 2+2bx+4b 还过点B （-1，5），∴5124b b =--+,∴b=3,∴该抛物线的解析式：2612y x x =-++；②∵22()4y x b b b =--++的顶点为N （24b b b +，），开口向下，其中C （b ，5），B （-1，5），要使得抛物线M 与线段BC 有交点，N 不在C 的下方，即245(1)(+5)b b b b +-=-≥0，∴5b ≤-，或1b ≥，当1b ≥时，结合函数图象，若抛物线M 与线段BC 恰有一个交点，当1x =-时，22(1)45y b b b =---++≤，∴13b ≤≤；当5b ≤-时，结合函数图象，若抛物线M 与线段BC 恰有一个交点，当1x =-时，22(1)45y b b b =---++≤，∴5b ≤-；综上所述：抛物线M 与线段BC 恰有一个交点时，13b ≤≤或5b ≤-.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与线段交点个数的问题，解题的关键是数形结合.s27.如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．。
2023-2024学年北京市人大附中丰台校区九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是()A. B.C.D.3.如图，圆心角，则的度数是()A. B. C. D.4.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转角度，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是()A. B.C. D.5.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是()A.B.C.D.6.如图，AB是的一条弦，点C是上一动点，且，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与交于G，H两点，若的半径是4，则的最大值是()A.5B.6C.7D.87.抛物线上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x……0123……y……11……则下列结论正确的有()①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，A.1个B.2个C.3个D.4个8.下面三个问题中都有两个变量y与x：①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间与平均速度；②用绳子围成周长为10m的矩形，矩形的一边长x m与它的面积；③正方形边框的边长x cm与面积；其中，变量y与x之间的函数关系不考虑自变量取值范围可用如图所示的函数图象表示的有()A.①B.②C.③D.②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.方程的解是______.10.一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为______，此扇形的面积为______.11.如图，AB是半径为4的的弦，于点C，交于点D，若，则弦AB为______.12.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______.13.写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为______.15.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾短直角边长为5步，股长直角边长为12步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为______步.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点、，的半径为为坐标原点，点P在直线AB上，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______.三、计算题：本大题共1小题，共5分。
