数列与列表

第一节 数列的概念与简单表示法1. 数列的概念：按一定次序排列成的一列数.数列中的每一个数都叫这个数列的，每一项对应的序号叫做项数.数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集},,3,2,1{n ）为定义域的函数()na f n =当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .2. 数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：① 有穷数列：项数有限的数列. ② 无穷数列：项数无限的数列. （2）根据数列项的大小分：① 递增数列：)(1n n a a >+； ② 递减数列：)(1n n a a <+； ③ 常数数列：)(1n n a a =+；④ 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.例、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围 3. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，记为)(n f a n =.注：并不是所有数列都有通项公式，且一个数列的通项公式有时并非唯一.例、已知数列1，－1，1，－1，…，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是（ ）A ．1)1(--=n n aB ．2)12(sinπ-=n a n C ．⎩⎨⎧-=)(1)(1为偶数为奇数n n a n D ．n n a )1(-=4. 数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.例1、在矩形纸片内取n (n ∈N *)个点，连同矩形的4个顶点共(n +4)个点，这(n +4)个点中无三点同在一直线上，以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些三角形纸片的个数记为a n（1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的递推公式；（3）根据递推公式写出数列{a n }的前6项。

数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。

高中数学基础之数列的概念及表示法数列在高考中一般以选择题、填空题形式进行考查，难度不高，以考查a n与S n的关系为主．1．数列的有关概念n n若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类考点一 数列的有关概念及通项公式例1 数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) 答案 C解析 数列0，23，45，67，…的各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式可以为a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)，故选C.例2 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝10，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 C解析 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝10，令n ＝1，m ＝9，代入可得S 1＋S 9＝S 10，即S 1＝S 10－S 9，故a 1＝a 10＝10，故选C.总结：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．(3)由数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．考点二 a n 与S n 的关系及其应用例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a n 等于( ) A ．3×4nB ．3×4n ＋1C ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 D ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2＋1，n ≥2 答案 C解析 由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2).两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n (n ≥2)，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又由a 1＝1，得a 2＝3a 1＝3，a 2≠4a 1，所以当n ≥2时，a n ＝a 2×4n －2＝3×4n －2.所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.故选C. 例4 已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝4n －1D ．a n ＝4n ＋1 答案 B解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，整理，得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1，因为a n >0，所以a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －34－⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2n －1＋12a n －1－34＝14a 2n －14a 2n －1＋12a n －12a n －1，整理，得a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以a 1＝3为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，故选B.总结：对含有a n 与S n 的递推式的两种处理思路(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“n ”都换成“n －1”，再利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题．(2)转化为和和关系：借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 或a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差数列或等比数列的性质求解．考点三 由递推关系研究数列的周期性例5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－11＋a n ，则a 2021＝( )A ．1B ．－12 C ．－2 D ．－1 答案 B解析 当n ＝1时，a 2＝－11＋a 1＝－12，当n ＝2时，a 3＝－11＋a 2＝－2，当n ＝3时，a 4＝－11＋a 3＝1，当n ＝4时，a 5＝－11＋a 4＝－12，所以数列{a n }的周期为3，因为2021＝3×673＋2，所以a 2021＝a 2＝－12.故选B.例6 若P (n )表示正整数n 的个位数字，a n ＝P (n 2)－P (2n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2021＝( )A ．－1B ．0C ．1009D ．1011 答案 C解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝0，a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝5，a 6＝4，a 7＝5，a 8＝－2，a 9＝－7，a 10＝0，a 11＝－1，a 12＝0，…，所以数列{a n }为周期数列，且周期为10，因为S 10＝5，所以S 2021＝5×202＋(－1)＝1009，故选C.总结：(1)求数列中的某一项的值，当该项的序号较大时，应考虑数列是否具有周期性，利用周期性即可求出该数列中的某一项，具体求解过程为：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)由递推关系可以找到相邻项之间的关系，从而确定数列是否具有周期性． 考点四 数列的单调性及数列的最大(小)项例7 若a n ＝2n 2＋tn ＋3(t 为常数)，n ∈N *，且数列{a n }为递增数列，则实数t 的取值范围为( )A ．t <－2B ．t >－2C ．t <－6D ．t >－6 答案 D解析 因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＋1>a n ，在n ∈N *时恒成立．所以a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)2＋t (n ＋1)＋3]－(2n 2＋tn ＋3)＝4n ＋2＋t >0，即t >－4n －2在n ∈N *时恒成立，而n ＝1时，(－4n －2)max ＝－6，所以t >－6.故选D.总结：(1)求参数的范围问题，常常与已知数列的单调性有关，因此解决这类问题，需要先判断该数列的单调性．(2)求数列最大项的方法：设数列{a n }中的第n 项最大，建立不等式组求解即可得出结果． 提升篇例8 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n (n ≥2)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为( )A ．294 B ．223 C ．213 D ．436答案 A解析 因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，所以1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，因为数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n＝2n －1(n ≥2)，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n （2n －1＋1）2＝n 2，当n ＝1时也成立，所以b n ＋13n ＝n 2＋13n ＝n ＋13n .设f (x )＝x ＋13x ，x ∈[1，＋∞)，则f ′(x )＝1－13x 2＝x 2－13x 2.所以函数f (x )在(1，13)上单调递减；在(13，＋∞)上单调递增．而f (3)＝3＋133＝7＋13，f (4)＝4＋134＝7＋14，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为294.故选A.例9 设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，3]B ．(1，3)C ．(2，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 答案 C解析 因为a n ＝f (n )，f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，所以a n ＝⎩⎨⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n >7.因为数列{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 2>18－7a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－9，即2<a <3.故选C. 综上，数列需要学生达到的标准为：1．能通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式．3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．。

1．填在图17-1的三个正方形内的数具有相同的规律．请你依据这个规律，确定出A，B，C．[分析与解]各方框中右上、左下、右下的数分别为1，2，3；2，3，4；3，4，5；所以B＝4，C＝5，A＝(3+B)×C＝35．2．图17-2是一个由整数组成的三角形．试研究它的组成规律，从而确定出x的数值．[分析与解]第二行起，每行都包含一个数字0，而且一行在左边，一行在右边．确切地说，偶数行的第一个数字为0，奇数行(第一行除外)地最后一个数字为0．偶数行，每一个数等于它左边地数加上它左上方地数．奇数行，每一个数等于它右边的数加上它右上方的数．这样第8行应当是0，61，122，178，…所以x为178．3．如图17-3所示的数阵中的数字是按一定规律排列的．那么这个数阵中第100行左起笫5个数字是多少?[分析与解]100行左起第5个数，是第99×7+5＝698号，在1～9占有9个位置，10～99占有90×2＝180个位置，100～999占有900×3＝2700个位置；698－180－9＝509，509÷3＝169……2，即为第170个三位数的第2个数字，即269的十位，即6．4．如图17-4所示，把自然数中的偶数2，4，6，8，…，依次排成5列，如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数1986出现在第几列?[分析与解]相差为16的两个数在同一列．1996＝16×124+2，所以1986出现在第2行．5．在图17-5所示的数表中，第100行左边第一个数是多少?[分析与解]每行3个数，所以第100行左边的第一个数就是从2起的第300个自然数，即301．6．在图17-6所示的数表中第n行有一个数A，它的下面一行，即第n+1行有一个数B，并且A和B在同一竖列．如果A+B＝391，那么n等于多少？[分析与解]相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开始，相邻两行第一列的两个数的和依次是31，61，91，121，…每项比前一项多30，因此391是上一列数中的第(391－31)÷30+1＝13个数，即n为13．7．如图17-7，自然数按某种方式排列起来，其中数3排在第二行第一列，13排在第三行第三列．问：1993排在第几行第几列?[分析与解]奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增．第n斜行中＝[n(n+1)]÷2．最大的数是：Sn第62斜行中最大的数是[62×63]÷2＝1953．第63斜行中最大的数是1953+63＝2016．所以1993位于第63斜行．第63斜行中数是由下向上递增，左边第一位数字是1954．因此，1993位于第63斜行由上向下数第1993－1954+1＝40位．即1993排在原阵列的第63－40+1＝24行，第40列．8．图17-8是按照一定规律组成的三角形数阵，其中第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…，最后一排有10个数．如果把这55个数相加，问：所得到的和的十位数字是几?[分析与解]我们将每个数除以1991有：有第1行和为1，第2行和为2，第三行和为4，第4行和为8，…则10行数的和为(1+2+4+8+…+512)＝1023，所以原三角阵的数字和为1023×1991＝2036793，其十位数字为9．9．如图17-9，将自然数1，2，3，4，…，按箭头所指方向顺序排列，拐弯位置处的数依次是2，3，5，7，10，…．(1)如果认为2位于第一次拐弯处，那么第45次拐弯处的数是多少?(2)从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是多少?[分析与解](1) 我们看拐弯处的数字2，3，5，7，10，13，17，21，26，…相邻两项的差为1，2，2，3，3，4，4，5，…于是第45次拐弯，相当于第45项，与第2项存在累计的差有44个，44÷2＝22，即与2相差2×(1+2+3+4+…+22)－1+23＝2×23×11+22＝528，于是第45次拐弯处的数为2+528＝530．(2) 对于一般项有：第2n个拐弯数为：2×(1+2+…+n)+2－1＝n×(n+1)+1；第2n+1拐弯数为2×(1+2+…+n)+(n+1)+2－1＝(n+1)2+1(上面两个式子中n 均为可取0的自然数)．而在1978到2010之间，只有1981＝44×45+1，所以1981是拐弯数，是第2×44＝88个拐弯数．10．有一张写着自然数l至100的数表，可以在表中相邻两行内各取连续的3个数，然后用长方框围起来．例如，图17-10中所示长方框内的6个数之和是108．如果某个按上述方式形成的长方框所围出的6个数之和是480，那么其中最大的数应该是多少?[分析与解]设方框内第一行左起第一个数为A，则方框内和为A+(A+1)+(A+2)+(A+8)+(A+9)+(A+10)＝6A+30．现在有6A+30＝480，A＝75，则最大的数为75+10＝85．11．有一列数，第一个是105，第二个是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数．那么，第19个数的整数部分是多少?[分析与解]依次写出前几项，为105，85，95，90，92.5，91.25，91.875，91.5625，…第九数在第七、第八个数之间，第七、八个数的整数部分均是81，所以第九个数的整数部分也为91．也就是说以后的两个数足够接近，它们的整数部分将都是91，所以第19个数的整数部分为91．12．自然数的平方按从小到大的顺序。

数列的知识点一、数列的概念1.数列的定义.2.数列的表示法：列表法、图象法、解析法（通项公式或递推公式）.3.数列的分类：①按数列中项的多少分为有穷数列和无穷数列；②按数列中项的变化情况分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列； ③按任一项的绝对值是否都大于某一正数分为有界数列和无界数列. 4.数列的递推公式. 5.数列的前n 项和.对于任一数列{}n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n n n二、等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；3、等差中项的概念：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 5、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （5）在等差数列{}n a 中，若m+n=2p,则p n m a a a 2=+； （6）连续n 项的和仍成等差数列.特殊说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S奇-S 偶nd =； ②1n n S aS a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S nS n =-奇偶 6、数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩.三、等比数列1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠. 2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）.4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）. 说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.5．等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅.③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列．k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++四、数列的通项与求和1．数列求通项①用数学归纳法求通项公式；②用累加法求通项公式：形如()n f a a n n =-+1形成的数列均可利用累加法求通项； ③用累乘法求通项公式：形如()n f a a nn =+1形成的数列可利用累乘法求通项； ④已知递推公式求通项：形如()为常数，q p q pa a n n +=+1的递推式求通项可构造等比数列求解； ⑤已知数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项：n a =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n ；2、数列前n 项和①重要公式：()21321+=++++n n n ；()()61213213222++=++++n n n n ；()2333321321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n ；()212531n n =-++++ ； ()12642+=++++n n n .②等差数列中： ； ③等比数列中： ；④倒序相加法求和：如果一个数列，与首末两端“等距”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法；⑤错位相减法求和：错位相减适用于{}n n b a ⋅型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列； ⑥裂项相消法求和； ⑦分组求和.。