2020年最新高考数学--以数列或集合为背景的解答题(原卷版)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学（海南）一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1. 设集合A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ）A. {1，3，5，7}B. {2，3}C. {2，3，5}D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A ={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.2. (12)(2)i i ++=（ ）A. 45i +B. 5iC. -5iD. 23i + 【答案】B【解析】【分析】直接计算出答案即可.【详解】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.3. 在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A. 2CD CA +B. 2CD CA -C. 2CD CA -D. 2CD CA +【答案】C【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%【答案】C【解析】【分析】 记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.7. 已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. [2,)+∞C. (5,)+∞D. [5,)+∞【答案】D【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <-所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8. 若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.10. 已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得m y x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， n y =±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11. 下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +） B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +） D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】【分析】 首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12. 已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A. 2212a b +≥ B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥-D. ≤【答案】ABD【解析】【分析】 根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为()21212a b ab a b +=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________【答案】13【解析】【分析】利用11A NMD D AMN V V --=计算即可.【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯= 故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.14. 3C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == 所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-= 解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15. 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n -【解析】 【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+ 【解析】 【分析】利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，25OQ r =，27DQ =， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以32522125=， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由sin 3sin AB可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析： 据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =， 与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭, ()1??22sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,则32=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +-- 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.【详解】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， 整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >==，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22⨯列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150的概率为640.64100=；（2）由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80(]75,11510 10 20合计74 26 100（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22⨯列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 20. 如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB 2，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>，即可得到直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥ 因为CDPD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 因为QB 2222(1)(01)(10)21m m -+-+-=⇒=设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,1)n =-，则2222226cos ,2310(1)111n PB n PB n PB⋅<>====⨯++-⋅++ 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6|cos ,|n PB <>=所以直线PB 与平面QCD 6【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围． 【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a=1时由()’10f =得()()11min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a ''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围. 解法二：利用指数对数的运算可将()111lna x lnx f x elna x e lnx +-≥++-≥+转化为,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--; （2）解法一：1()ln ln xf x ae x a -=-+,11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<, ∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-， 因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥, 显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10{2101}1{1223U A B --==-}=}，，，，，，，，，，，则)(UA B = ( )A .{23-}，B .{223-}，，C .{2103--}，，，D .{21023--}，，，， 2.若α为第四象限角，则( )A .cos20α＞B .cos20α＜C .sin20α＞D .sin20α＜3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 ( ) A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3 699块B .3 474块C .3 402块D .3 339块5.若过点(2)1，圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( )ABCD6.数列{n a }中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A .2B .3C .4D .57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A .EB .FC .GD .H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=＞＞的两条渐近线分别交于D E ，两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A .4B .8C .16D .32 9.设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x( )A .是偶函数，且在1()2+∞，单调递增 B .是奇函数，且在11()22-，单调递减C .偶函数，且在1()-∞-，单调递增D .是奇函数，且在1()2-∞-，单调递减10.已知ABC △的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A B .32C .1D 11.若2233x y x y ----＜，则( )A .ln(1)0y x -+＞B .ln(1)0y x -+＜C .ln 0x y -＞D .ln 0x y -＜12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足，且存在正整数m ，使得(12)i m i a a i +==，，成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(12)i m i a a i +==，，的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为的01-序列12na a a ，11()(121)mi i k i C k a a k m m +===-∑，，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1234)5C k k =≤，，，的序列是 ( )A .11010B .11011C .10001D .11001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a b ，的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则=k ________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.15.设复数1z ，1z 满足12|=||=2z z ，12i z z +=，则12||=z z -________. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值.18.（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1220i i x y i =⋯，，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()1220i i x y i =⋯，，，，的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数))ii nx y x y r --∑（（.19.（12分）已知椭圆2221201()x y a bC a b +=＞＞：的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A B ，两点，交2C 于C D ，两点，且43CD AB =.（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1AA MN ∥，且平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.（12分）已知函数2sin n )si (2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间(0)π，的单调性； （2）证明：()f x （3）设*n N ∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ⋯≤.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 已知曲线12C C ，参数方程分别为2124cos 4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，:（θ为参数），21π1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12C C ，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设12C C ，的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求()4f x 不等式的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】由题意可得：{}1012AB =-，，，，则{2()3UA B =-}，．故选：A ．【考点】并集、补集的定义与应用 2．【答案】D 【解析】当π6α=-时，πcos2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，选项B 错误；当π3α=-时，2πcos 2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0cos 0αα，＞＜，则sin22sin cos 0ααα=＜，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值 3．【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名．故选：B ．【考点】函数模型的简单应用 4．【答案】C【解析】设第n 环天心石块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===．故选：C ．【考点】等差数列前n 项和有关的计算 5．【答案】B【解析】由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=距离均为d =230x y --=的距离为5．故选：B ． 【考点】圆心到直线距离的计算6．【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=． 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++--∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．【考点】利用等比数列求和求参数的值 7．【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A ． 【考点】根据三视图判断点的位置 8．【答案】B 【解析】22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线22221(00)x yC a b a b-=：＞，＞的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞∴其焦距为22228c ab ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8．故选：B ．【考点】双曲线焦距的最值问题 9．【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，()ln 12y x =-在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，()f x ∴在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，排除B ；当12x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，D 正确．故选：D ． 【考点】函数奇偶性和单调性的判断 10．【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =．设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 是面积为4的等边三角形，21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===．故选：C ．【考点】球的相关问题的求解 11．【答案】A【解析】由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD无法确定．故选：A ． 【考点】数式的大小的判断问题 12．【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511()12345i i k i C k a a k +===∑，，，， 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑≤52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【考点】数列的新定义问题 二、填空题 13．【解析】由题意可得：211cos452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即：2202k a a bk →→→⨯-=-=，解得：2k =．故答案为：2． 【考点】平面向量的数量积定义与运算法则 14．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =．根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种．故答案为：36． 【考点】计数原理的实际应用 15．【答案】 【解析】122z z ==，可设12cos 2sin i z θθ=+，22cos 2sin i z αα=+，()()122cos cos 2sin sin i 3i z z θαθα∴+=+++=+，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-()()122cos cos 2sin sin iz z θαθα∴-=-+-===．故答案为：． 【考点】复数模长的求解 16．【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④． 【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断 三、解答题 17．【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-，()0πA ∈，，2π3A ∴=． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-=++=，即()29AC AB AC AB +-=．22AC AB AC AB +⎛⎫⎪⎝⎭≤（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC ABAC AB AC AB +⎛⎫∴=+-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =+++≤ABC ∴△周长的最大值为3+【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题 18．【答案】（1）12000； （2）0.94； （3）详见解析【解析】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=（2）样本(),i i x y的相关系数为20()()0.94ii xx y y r --===≈∑ （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取 19．【答案】（1）12；（2）22113627x y C +=：，2212C y x =：．【解析】（1）()0F c ，，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =， 联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x c y c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e ＜＜，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2ac =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程 20．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴．在ABC△中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥．又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M =，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ．又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ．又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN．（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP =，∴//AO NP ．根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA平面ABC AM =，面1A NMA平面1111A B C A N =，∴//ON AP ．故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC △边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===．O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，∴16sin 603ON =⨯⨯︒，故：ON AP =．//EF BC ，∴AP EPAM BM=，∴3EP=．解得：EP m =．在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角．在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ =，sinQN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN ． 【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角21．【答案】（1）当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）证明见解析； （3）证明见解析．【解析】（1）由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()22423sin cos sin f x x x x'=-()2222sin 3cos sin x x x =-()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()0f x '=在()0πx ∈，上的根为：12π2π33x x ==，，当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）注意到()()()()22πsin πsin 2πsin sin2f x x x x x f x +=+⎡+⎤==⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合（1）的结论，计算可得：()()0π0f f ==，2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝⎭，223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()max f x ⎡⎤=⎣⎦，()min f x ⎡⎤=⎣⎦，即()f x ≤． （3）结合（2）的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x xx233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin 2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 28n x x ⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦≤ 238n⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤34n⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点】导数的应用22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=． 【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=． （2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 【考点】极坐标与参数方程的综合应用23．【答案】（1）32x x ⎧⎨⎩≤或112x ⎫⎬⎭；（2）(][)13-∞-+∞，，． 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=，无解；当4x 时，()43274f x x x x =-+-=-，解得：112x；综上所述：()4f x 的解集为32x x ⎧⎨⎩≤或112x⎫⎬⎭． （2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-，解得：1a -≤或3a ，a ∴的取值范围为(][)13-∞-+∞，，． 【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值。

专题 集合与常用逻辑用语一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合{0,2}=A ，{21012}=--，，，，B ，则A B =I A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{21012}--，，，， 2．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则=U A ðA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}3．(2018全国卷Ⅱ)已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =IA ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{}1,2,3,4,5,74．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =IA ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}5．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =IA ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6．(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}7．已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则A ．3{|}2A B x x =<I B ．A B =∅IC ．3{|}2A B x x =<UD ．A B =R U 8．设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =则A B U =A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}9．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6,8}B =，则A B I 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{1,2,3,4}C =，则()A B C =U IA ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}11．设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =IA ．()1,1-B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,212．已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A ð=A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞U13．已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q U =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)14．设集合{}2|30,{|14}A x x x B x x =-<=<<，则A B =I （ ） A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3) 15．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A B =I （ ） A ．[)21--， B ．(21)--，C ．(16]-，D ．(31)--， 16．设集合{}12A x x =-<≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1,2- B ．{}0,1,2 C ．{}0,1D ．{}12,3x x x -<≤=或 17．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,2,3 18．已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2-- 19．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I （ ）A ．[3,0]-B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-20.已知集合{}|124x M x =<≤，{}0,1,2N =，则M N =I （ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1D. ∅ 21．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件22．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 23．(2018天津)设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件24．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件25．设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件26．已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧27．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件28．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件31．已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件32．“x 0＞”是“20x x +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题33．(2018江苏)已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =I ．34．已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B =I ，则实数a 的值为____．35．已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B U 中元素的个数为 ．36．已知集合U ={}1,2,3,4,A ={}1,3,B ={}1,3,4,则A U (U B ð)= ．37．(2018北京)能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为____．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=52x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45a c B===︒．（1）求sin C的值；（2）在边BC上取一点D，使得4cos5ADC∠=-，求tan DAC∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

第六章 数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题(压轴题)，有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合.一.选择题1．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+( )A ．9B ．6C ．3D ．12.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，则( ) A ．当()*01n a n <<∈N 时，则1n n aa +> B ．当()*1n a n >∈N时，则1n n aa +<C ．当112a =时，则111n n a a +++>D ．当12a =时，则111n n a a +++>3.(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则( ) A ．0d <时，n S 一定存在最大值 B ．0d >时，n S 一定存在最大值 C ．n S 存在最大值时，0d <D ．n S 存在最大值时，0d >4.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知数列{}n a 满足：()*2121,22n n n n n a a a n n a a ----=∈>-¥，若1231,7a a ==，则2019a =( ) A ．38075 B ．36054C ．56058D ．540365.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于( ) A ．50B ．42C ．38D ．366.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈，则122013111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．47.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)设等差数列1a ，2a ，…，n a (3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是( ) A ．3d ≥B ．n 的值可能为奇数C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<D ．m 的可能取值为118.(2020届浙江省高三上学期百校联考)设无穷数列{}n a 满足1(0)a p p =>，2(0)a q q =>，()*21122n n n a a n a ++⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若{}n a 为周期数列，则pq 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．49.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)若集合，则集合中的元素个数是( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．201910.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知数列{}n a 满足112a =-，2131n n n a a a +=++，若12n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是( )A ．2019102a <<B ．2019112a << C ．2019312a <<D ．2019322a <<二.填空题12.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)设等比数列的前项和为，满足对任意的正整数，均有，则_______，公比_______.13.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知{}n a 是公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若21a +，51a +，71a +成等比数列，则1a =_____，当n =_______时，n S 取得最大值．14.(2020届浙江学军中学高三上期中中)等比数列{}n a 中，12a =323a =，则2201382019a a a a +=+__________，1234a a a a =__________．15.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知数列{}n a 满足：2111,2n n n a a a a +==+，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则122012111111a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦L 的值等于_____ 16．(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)设等差数列{}n a 的前项和为()*n S n ∈N，若153,11a a ==-，则3a =________，5S =________.17.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知数列{}n a ，满足()21n n na k a a +=-.若1112a k ==，则1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值是___________，若12a =，且存在常数0M >，使得任意n a M ≤，则k 的取值范围是______________.18.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知正项数列{}n a 满足()()22112120nn n n n a n a a na+++++⋅-=，14a =，则数列()()12n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⋅+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为___________．19.(2020届浙江省五校高三上学期联考)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.20.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．21.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n +1＝|p ﹣a n |+2a n +p (n ∈N *)，首项为a 1，前n 项和为S n ．若S n ≥S 3对任意n ∈N *成立，则1a p的取值范围为_____． 三.解答题22.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且55a =，36S a =，数列{}n b 满足24,b =1122(22)2n n n a b a b a b n b +++=-+L ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)令*,nn na c n Nb =∈，证明：122n c c c ++<L ． 23.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知各项为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，8121n n S a +=+，且11a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若23nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .24.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)已知函数.(Ⅰ)求方程的实数解；(Ⅱ)如果数列满足，()，是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论． (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设数列的前项的和为，证明：．25.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足231n n S a =-(n ∈N *)．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设32log n n n a b a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：154n T <． 26．(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知等比数列{}n a 的公比1q >2a ，3a 的等比中项，31a +为2a ，4a 的等差中项. (Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)设()()*11nn n b a n N +=+-∈，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：53nS <. 27.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a L =+++，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令()()()1412121n n n n n b a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+L .28.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a a n N n a +==∈+.(1)求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*)1n N <∈.29.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，*N n ∈.(Ⅰ)证明：数列{}n a n -是等比数列；(Ⅱ)记()n n b a n n =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .30.(2020届浙江省五校高三上学期联考)设数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若223a b ==，359a b ==.(1)若nn nn b c a ⋅=，数列{}n c 中的最大项是第k 项，求k 的值(2)设n n n d a b =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T31.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+2a 4＝a 9，S 6＝36． (1)求a n ，S n ；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，1n n b b +=121111nb b b +++≥L (n ∈N *)． 32.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足12b =-，()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 通项公式．33.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)记数列{}n a 的前n 项和为1231nn n i i S a a a a a ==++++=∑L ，已知数列{}n a 满足20202020*11,,A 0,1n i i i i a R n N a a ==∈∈==∑∑.(1)若数列{}n a 为等比数列，求20201ii ia=∑的值；(2)证明：|2020120192i i ia =≤∑. 34.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22111()n n n a a a n N *+++-=∈．记12n n S a a a =+++L ．112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++L L 求证：(Ⅰ)当n *∈N 时(Ⅰ)101n n a a +≤<<； (Ⅱ)2n S n >-； (Ⅲ)3n T <35.(2020届浙江省温州市11月适应测试)已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2na 的前n 项和为nS，且12S +，22S +，32S +成等比数列．(1)求通项公式n a ；(2)求证：11n <L *n N ∈)； 36.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是15,a a 的等差中项，数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)证明：12n b b b +++<L ，*n N ∈.。

压轴解答题-新题型第19题新定义练习01集合新定义 (1)02函数与导数新定义 (2)03立体几何新定义 (4)04三角函数新定义 (6)05平面向量与解三角形新定义.................................................................................................................706数列新定义 (8)07圆锥曲线新定义 (10)08概率与统计新定义 (12)09高等数学背景下新定义 (13)01集合新定义1．已知 N 元正整数集合{}()12,,,2N A a a a N =≥ 满足：12N a a a <<< ，且对任意{},1,2,,,i j N i j ∈⋯<，都有Zj j ia a a ∈-(1)若12a =，写出所有满足条件的集合A ；(2)若N a 恰有N 个正约数，求证：11N N a a -=+；(3)求证：对任意的{},1,2,,1,i j N i j ∈⋯-<，都有j ia j a i≤.有集合A 的所有元素之和与集合B 的元素之和不相等，则称集合S 具有性质P .(1)判断集合{}{}1,2,3,5,9,1,3,5,11是否具有性质P ，并说明理由；(2)若集合{}()*12,,,N n S a a a n =∈ 具有性质P ，求证：*12,21,N k k k n a a a k ∀≤+++≥-∈ ；(3)若集合{}122023,,,S a a a =L 具有性质P ，求122023111a a a +++ 的最大值.3．已知集合{1,2,3,,}(3)M n n =±±±±≥ .若对于集合M 的任意k 元子集A ，A 中必有4个元素的和为1-，则称这样的正整数k 为“好数”，所有“好数”的最小值记作()g M .(1)当3n =，即集合{3,2,1,1,2,3}M =---.（i ）写出M 的一个子集B ，且B 中存在4个元素的和为1-；（ii ）写出M 的一个5元子集C ，使得C 中任意4个元素的和大于1-；(2)证明：()2g M n >+；(3)证明：()3g M n =+.02函数与导数新定义4．对于函数()y f x =的导函数()y f x ''=，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()()001f x t t f x +=+'⋅成立，则称()y f x =是“跃点”函数，并称0x 是函数()y f x =的“t 跃点”.(1)若函数()sin R y x m x =-∈是“π2跃点”函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数21y x ax =-+是定义在()1,3-上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()e xy bx x =+∈R 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b 的取值范围.函数()f x ，以及函数()(),R g x kx b k b =+∈，切比雪夫将函数()()y f x g x =-，x I ∈的最大值称为函数()f x 与()g x 的“偏差”.(1)若()[]()20,1f x x x =∈，()1g x x =--，求函数()f x 与()g x 的“偏差”；(2)若()[]()21,1f x x x =∈-，()g x x b =+，求实数b ，使得函数()f x 与()g x 的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.6．设()y f x =是定义域为R 的函数，如果对任意的1x 、()()()2121212,x x x f x f x x x ∈≠-<-R 均成立，则称()y f x =是“平缓函数”.(1)若1221(),()sin 1f x f x x x ==+，试判断1()y f x =和2()y f x =是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:0x >时，sin x x <恒成立)(2)若函数()y f x =是“平缓函数”，且()y f x =是以1为周期的周期函数，证明:对任意的1x 、2x ∈R ，均有()()1212f x f x -<;(3)设()y g x =为定义在R 上函数，且存在正常数1A >使得函数()y A g x =⋅为“平缓函数”.现定义数列{}n x 满足:()110,(2,3,4,)n n x x g x n -===⋯，试证明:对任意的正整数()|(0)|,1n A g n g x A ≤-.7．若定义域为D 的函数()y f x =满足()y f x '=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”.(1)分别判断()1e x f x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增.8．如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥1O ABCDEF -和2O ABCDEF -构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为1600mm ，底面中心为O ，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点2O 与天花板的距离为1300mm ，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y ．（1）设∠O 1AO =θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y 最小．9．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ，CEJ ，EAK 分别向上翻转180︒，使H ，J ，K三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH x =（i ）用x 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积()S x ；（ii ）当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值.影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形ABCD 在平面α内的平行投影是四边形A B C D ''''.图1图2图3(1)若平行四边形ABCD 平行于投影面（如图1），求证：四边形A B C D ''''是平行四边形；(2)在图2中作出平面ABCD 与平面α的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；(3)如图3，已知四边形A B C D ''''和平行四边形ABCD 的面积分别为12,S S ，平面ABCD 与平面α的交线是直线l ，且这个平行投影是正投影.设二面角A l A '--的平面角为θ（θ为锐角），猜想并写出角θ的余弦值（用12,S S 表示），再给出证明.11．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点,,,E F G H 经过中心投影之后的投影点分别为,,,A B C D ．对于四个有序点,,,A B C D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作()ABCD ．(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知()32EFGH =，点B 为线段AD 的中点，sin 333,sin 2ACO AC OB AOB ∠===∠，求cos A ．12．如果对于三个数a 、b 、c 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a 、b 、c ，如果函数()y f x =使得三个数()f a 、()f b 、()f c 仍为“三角形数”，则称()y f x =为“保三角形函数”．(1)对于“三角形数”α、2α、4πα+，其中84ππα<<，若()tan f x x =，判断函数()y f x =是否是“保三角形函数”，并说明理由；(2)对于“三角形数”α、6πα+、3πα+，其中7612ππα<<，若()sin g x x =，判断函数()y g x =是否是“保三角形函数”，并说明理由．13．数学家发现：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，其中n !123.n =⨯⨯⨯⨯ 利用该公式可以得到：当(0,2x π∈时，335sin ;sin ;.3!35!x x x x x x x x x <>-<-+ (1)证明：当(0,)2x π∈时，sin 1;2x x >(2)设()sin f x m x =，当()f x 的定义域为[],a b 时，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“和谐区间”．当2m =-时，()f x 是否存在“和谐区间”?若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．14．已知函数()y f x =，若存在实数m 、(0)k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．(1)若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；(2)若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若1m 、2m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2()04f x cos x x π⎛⎫=< ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．15．古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180︒的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料．．．．．．，解决以下问题：如图，在凸四边形ABCD 中，(1)若2,1,,(2AB BC ACD AC CD π==∠==图1)，求线段BD 长度的最大值；(2)若2,6,4(AB BC AD CD ====图2)，求四边形ABCD 面积取得最大值时角A 的大小，并求出四边形ABCD 面积的最大值．16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意两个向量11(,)m x y = ，22(,)n x y = ，作：OM m = ，.ON n =当m ，n不共线时，记以OM ，ON 为邻边的平行四边形的面积为1221(,)||S m n x y x y =-；当m，n共线时，规定(,)0.S m n =(Ⅰ)分别根据下列已知条件求(,)S m n：①(2,1)m = ，(1,2)n =- ；②(1,2)m = ，(2,4)n =；(Ⅱ)若向量22(,,0)p m n R λμλμλμ=+∈+≠，求证：(,)(,)(||||)(,)S p m S p n S m n λμ+=+；(Ⅲ)若A ，B ，C 是以O 为圆心的单位圆上不同的点，记OA a = ，OB b = ，.OC c =(ⅰ)当a b ⊥时，求(,)(,)S c a S c b +的最大值；(ⅱ)写出(,)(,)(,)S a a S b c S c a ++的最大值．(只需写出结果)（1）若一个直三棱柱高为h ，底面三角形的内切圆半径为r ，相对表面积为0S ，求证：0112S h r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）如图，一块直三棱柱形状的蛋糕，底面三边长分别为3，4，5，若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧克力（厚度忽略不计），用刀垂直于底面将蛋糕切开，使之成为两块直棱柱状的小蛋糕，要求两块小蛋糕的相对表面积相等，且包裹的巧克力面积相等，有几种切法.06数列新定义18．对于数列{}n a ，记()()*213211,n n V n a a a a a a n n -=-+-+⋅⋅⋅+->∈N ．(1)若数列{}n a 通项公式为：()()*112nn a n +-=∈N ，求()5V ；(2)若数列{}n a 满足：1a a =，n a b =，且a b >，求证：()V n a b =-的充分必要条件是()11,2,,1i i a a i n +≤=⋅⋅⋅-；(3)已知()20222022V =，若()121t t y a a a t=++⋅⋅⋅+，1,2,,2022t =⋅⋅⋅．求213220222021y y y y y y -+-+⋅⋅⋅+-的最大值．19．若实数数列()12:,,,2n n A a a a n ≥ 满足()111,2,,1k k a a k n +-==- ，则称数列n A 为E 数列.(1)请写出一个5项的E 数列5A ，满足150a a ==，且各项和大于零；(2)如果一个E 数列n A 满足：存在正整数()1234512345,,,,i i i i i i i i i i n <<<<≤使得12345,,,,i i i i i a a a a a 组成首项为1，公比为2-的等比数列，求n 的最小值；(3)已知()122,,,2m a a a m ≥ 为E 数列，求证：3211,,,222m a a a - 为E 数列且224,,,222m a a a为E 数列”的充要条件是“122,,,m a a a 是单调数列”.(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M 数列{}n a 中各项互不相同．令()11,2,,1m m m b a a m n +=-=- ，求证：数列{}n a 是等差数列的充分必要条件是数列{}m b 是常数列；(3)M 数列{}n a 是*(m m N ∈且3)m ≥个连续正整数1,2,,m 的一个排列．若1112m k k k a a m -+=-=+∑，求m 的所有取值．21．记实数a ，b 中的较大者为max{}a b ,，例如max{12}2=,，{}max 1,11=，对于无穷数列{}n a ，记*212max{}(N )k k k a a k ϕ-=∈,，若对于任意的*N k ∈，均有1k k ϕϕ+<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”.(1)已知数列{}{}n n a b ,的通项公式分别为21n a n =-+，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断数列{}{}n n a b ,是否为“趋势递减数列”，并说明理由；(2)已知首项为1公比为q 的等比数列{}n c 是“趋势递减数列”，求q 的取值范围；(3)数列{}n d 满足1d ，2d 为正实数，21n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0.22．已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数*k ∈N ，使得212n n n a a ka -+=，对任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质k ψ．（1）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质()2ψ；（直接写出结论）①1n a =；②2n a n=（2）若数列{}n a 满足()11,2,3n n a a n +≥= ，求证：“数列{}n a 具有性质()2ψ”是“数列{}n a 为常数列的充分必要条件；（3）已知数列{}n a 中11a =，且()11,2,3n n a a n +>= ．若数列{}n a 具有性质()4ψ，求数列{}n a 的通项公式．23．已知点D 是圆22:(4)72Q x y ++=上一动点，点()4,0A ，线段AD 的垂直平分线交线段DQ 于点B .(1)求动点B 的轨迹方程C ；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T 与曲线C 相似，且焦点在同一条直线上，曲线T 经过点()()3,0,3,0E F -.过曲线C 上任一点P 作曲线T 的切线，切点分别为,M N ，这两条切线,PM PN 分别与曲线C 交于点,G H （异于点P ），证明：//MN GH .24．椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线{}2332(,),4270C x y y x ax b a b ==+++≠∣．P C ∈关于x 轴的对称点记为P%．C 在点(,)(0)P x y y ≠处的切线是指曲线3y x ax b =++在点P 处的切线．定义“⊕”运算满足：①若,P C Q C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点R ，则P Q R⊕= ；②若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，则P Q P⊕= ；③若P C ∈，规定*0P P ⊕= ，且**00P P P ⊕=⊕=．(1)当324270a b +=时，讨论函数3()h x x ax b =++零点的个数；(2)已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，证明：P P Q⊕= ；(3)已知()()1122,,,P x y C Q x y C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点，求P Q ⊕的坐标．参考公式：()3322()m n m n m mn n -=-++（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G ：22220Ax Cy Dx Ey F ++++=，则称点P (0x ，0y )和直线l ：()()00000Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x (另一变量y 也是如此)，即可得到点P (0x ，0y )对应的极线方程.特别地，对于椭圆22221x y a b+=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y y a b +=；对于双曲线22221x y b b-=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y ya b-=；对于抛物线22y px =，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为()00y y p x x =+.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P 在圆锥曲线G 上时，其极线l 是曲线G 在点P 处的切线；②当P 在G 外时，其极线l 是曲线G 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P 在G 内时，其极线l 是曲线G 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点P (4，0)，离心率是2，求椭圆C 的方程并写出与点P 对应的极线方程；(2)已知Q 是直线l ：142y x =-+上的一个动点，过点Q 向（1）中椭圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，是否存在定点T 恒在直线MN 上，若存在，当MT TN =时，求直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.26．已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 的斜率为k ，在y 轴上的截距为m .(1)设1k =，若Γ的焦距为2，l 过点1F ，求l 的方程；(2)设0m =，若12P ⎫⎪⎭是Γ上的一点，且124PF PF += ，l 与Γ交于不同的两点A 、B ，Q 为Γ的上顶点，求ABQ 面积的最大值；(3)设n 是l 的一个法向量，M 是l 上一点，对于坐标平面内的定点N ，定义||N n MNn δ⋅=.用a 、b 、k 、m 表示12F F δδ⋅，并利用12F F δδ⋅与2b 的大小关系，提出一个关于l 与Γ位置关系的真命题，给出该命题的证明.27．已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：ξ012L n Pp 1p 2p Lnp 其中i p （0,1,2,,i n = ）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++= ．定义由ξ生成的函数2012()n n f x p p x p x p x =++++ ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值；（II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=，ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ+-'=；（20()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．28．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标()123,,a a a 表示，其中{}()0,113,N i a i i ∈≤≤∈．而在n 维空间中()2,N n n ≥∈，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n 维坐标()123,,,,n a a a a ，其中{}()0,11,N i a i n i ∈≤≤∈．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 坐标差的绝对值之和，即为112233n n a b a b a b a b -+-+-++- ．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离①求出X 的分布列与期望；②证明：在n 足够大时，随机变量X 的方差小于20.25n ．（已知对于正态分布()2,X N μσ ，P 随X 变化关系可表示为()()222,2πx x e μσμσϕσ--=）29．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov ）不等式和切比雪夫（Chebyshev ）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：设X 为一个非负随机变量，其数学期望为()E X ，则对任意0ε>，均有()()E X P X εε≥≤，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设X 的分布列为(),1,2,,,i i P X x p i n === 其中1(0,),[0,)(1,2,,),1ni i ii p x i n p=∈+∞∈+∞==∑ ，则对任意0ε>，()P X ε≥=111()i i i nii i i i i i x x x i x E X p p x p x p εεεεεεε≥≥≥=≤=≤=∑∑∑∑，其中符号ii x A ε≥∑表示对所有满足ix ε≥的指标i 所对应的i A 求和．切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量X 的期望为()E X ，方差为()D X ，则对任意0ε>，均有()()()2D X P XE X εε-≥≤(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X 成立．(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．31．给定奇数3n ≥，设0A 是n n ⨯的数阵．ij a 表示数阵第i 行第j 列的数，11,0,i j i ja i j-≠⎧=⎨=⎩或且ij ji a a =(1,2,,;1,2,,)i n j n ==L L ．定义变换t ϕ为“将数阵中第t 行和第t 列的数都乘以1-”，其中{1,2,,}t n ∈L ．设*12(,,,),{1,2,,},1,2,,()s r T t t t t n r s s =∈=∈N L L L ．将0A 经过1t ϕ变换得到1A ，1A 经过2t ϕ变换得到2A ，L ，1s A -经过s t ϕ变换得到s A ．记数阵r A 中1的个数为0()A T r ．(1)当3n =时，设0011101110A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，(1,3)T =，写出12,A A ，并求00(1),(2)A A T T ；(2)当5,2≥n s =时，对给定的数阵0A ，证明：0(2)(1)A A T T -是4的倍数；(3)证明：对给定的数阵0A ，总存在T ，使得02(1)()2≤A n T s -．近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2D X P XE X λλ-，其中λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n.在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1nii X X i==∑.对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1ni i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑.32．若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的λ（R λ∈）倍，则称该数列具有性质()P λ.（1）已知数列1-，2x -，3x -具有性质(4)P ，求实数x 的取值范围；（2）删除数列13，23，⋅⋅⋅，3n ，⋅⋅⋅中的第3项，第6项，⋅⋅⋅，第3n 项，⋅⋅⋅，余下的项按原来顺序组成一个新数列{}n t ，且数列{}n t 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 具有性质()P λ，试求实数λ的最大值；（3）记12ni m m m n i mu u u u u ++==+++⋅⋅⋅+∑（N m ∈），如果0k a >（1,2,,2021k =⋅⋅⋅），证明：“202111k k a =>∑”的充要条件是“存在数列{}n x 具有性质(1)P ，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列{}n x 的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数0A >，使得数列{}n x 收敛于A ；（Ⅲ）20212020111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑（1,2,n =⋅⋅⋅，这里00x =）”.。

第 1 页 共30 页 2020年高考数学 数列 解答题专项练习40题1、数列、数列{a {a n }的前n 项和为S n ，,且成等差数列成等差数列. . .(1)(1)求求a 1的值，并证明为等比数列为等比数列; ; ;(2)(2)设设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围的取值范围. .2、已知数列、已知数列{a {a n }的前n 项和，{b n }是等差数列，且（1）求数列）求数列{b {b n }的通项公式；的通项公式； （2）令 求数列求数列{c {c n }的前n 项和.3、已知等差数列、已知等差数列{a {a n }的前n 项和为S n ，公差，且成等比数列．成等比数列．(1)(1)求数列求数列求数列{a {a n }的通项公式的通项公式; ; (2)(2)令令,求数列求数列{c {c n }的前n 项和.4、已知数列、已知数列{a {a n }满足，.（1）证明数列）证明数列{a {a n +1}+1}是等比数列，并求数列是等比数列，并求数列是等比数列，并求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）令，求数列，求数列{b {b n }的前n 项和5、已知数列、已知数列{a {a n }前n 项和为。

（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设数列；求数列的前n 项和。

6、设数列、设数列{a {a n }的前n 项和为S n ，若．(1)(1)求出数列求出数列求出数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； (2)(2)已知已知，数列，数列{b {b n }的前n 项和记为，证明：．7、已知等差数列、已知等差数列{a {a n }满足，，数列，数列{b {b n }满足.（1）求数列）求数列{a {a n }、{b n }的通项公式；的通项公式； （2）求数列的前n 项和项和. .8、正项数列、正项数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且．（1）试求数列）试求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设，求，求{b {b n }的前n 项和为. （3）在（）在（22）的条件下，若对一切恒成立，求实数m 的取值范围的取值范围. .9、已知等差数列、已知等差数列{a {a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若，且a 2，a 6，a 18成等比数列．成等比数列．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设数列）设数列{{}的前n 项和为，求证：．1010、等差数列、等差数列、等差数列{a {a n }中，已知，且为递增的等比数列为递增的等比数列. .（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式；（2）若数列）若数列{b {b n }的通项公式（），求数列），求数列{b {b n }的前n 项和S n .1111、已知等比数列、已知等比数列、已知等比数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且是S n 与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．的图象上． （1）求数列）求数列{a {a n },{b n }的通项和；（2） 设，求数列，求数列{c {c n }的前n 项和．1212、已知公差不为零的等差数列、已知公差不为零的等差数列、已知公差不为零的等差数列{a {a n }的前n 项和为S n ，，且成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； (2)(2)若若，数列，数列{b {b n }的前n 项和为，求.1313、记、记为各项为正数的等比数列为各项为正数的等比数列{a {a n }的前S n 项和，已知.（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式的通项公式; ;（2）令，求的前n 项和.1414、设数列、设数列、设数列{a {a n }的前n 项和为S n ，已知3S n =4－4，．（1)1)求数列求数列求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； (2(2）令）令，求数列，求数列{b {b n }的前n 项和Tn.1515、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }的各项均为正数，对任意，它的前n 项和S n 满足，并且，，成等比数列．成等比数列．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设，为数列为数列{b {b n }的前n 项和，求．1616、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且，．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）当时，求证：数列的前n 项和．1717、已知数列、已知数列为等差数列，且，．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）证明：．1818、、已知已知{a {a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且，，；求：（求：（11）{a n }和{b n }的通项公式；的通项公式； （2）设，，求数列，求数列{c {c n }的前n 项和．项和．1919、已知公差大于零的等差数列、已知公差大于零的等差数列、已知公差大于零的等差数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且满足：，．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；（2）若数列）若数列{b {b n }是等差数列，且，求非零常数．2020、等差数列、等差数列、等差数列{a {a n }中，，．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设，求的值．的值．2121、已知等差数列、已知等差数列、已知等差数列{a {a n }的前n 项的和为S n ，(1)(1)求数列求数列求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； (2)(2)设设(3)(3)设设，表示不超过的最大整数的最大整数 ，求，求{c {c n }的前1000项的和项的和2222、、S n 为数列为数列{a {a n }的前n 项和项和..已知，.（1）求）求{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设，求数列，求数列{b {b n }的前项和.2323、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }满足a 1=1=1，，a n+1=2S n +1+1，其中，其中S n 为{a n }的前n 项和，项和，n n ∈N *．（1）求a n ；（2）若数列）若数列{b {b n }满足b n =，{b n }的前n 项和为T n ，且对任意的正整数n 都有T n＜m ，求m 的最小值．的最小值．2424、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }，a =1=1，，=a-n ²-n-（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）证明++…+＜（n ∈N ）.2525、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }的首项a 1=a =a（（a>0a>0），其前），其前n 项和为S n ，设（）．）．（1）若a 2=a+1=a+1，，a 3=2a 2，且数列，且数列{b {b n }是公差为3的等差数列，求S2n S2n；；（2）设数列）设数列{b {b n}的前n 项和为T n，满足T n=n 2． ① 求数列求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式；② 若对且n ≥2，不等式恒成立，求a 的取值范围．的取值范围．2626、设数列、设数列、设数列{a {a n }的各项均为不等的正整数，其前n 项和为S n ，我们称满足条件“对任意的m,n m,n∈∈N *.均有”的数列”的数列{a {a n }为“好”数列．为“好”数列．（1）试分别判断数列）试分别判断数列{a {a n }，{b n }是否为“好”数列，其中，，n ∈N *，并给出证明；，并给出证明； （2）已知数列）已知数列{c {c n }为“好”数列．为“好”数列． ① 若c 2017=2018=2018，求数列，求数列，求数列{c {c n }的通项公式；的通项公式；② 若c 1=p =p，且对任意给定正整数，且对任意给定正整数p,s p,s（（s>1s>1），有），有c 1,c 2,c 3成等比数列，求证：成等比数列，求证：t t ≥s 2．2727、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }的各项均为正数，，前n 项和为S n ，且，为正常数．正常数． （1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）记，（）．）．求证：①求证：① ；②；②．2828、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }满足…．（1）求，，的值；的值；（2）猜想数列）猜想数列{a {a n }的通项公式，并证明．的通项公式，并证明．2929、等差数列、等差数列、等差数列{a {a n }的公差为正数，，其前n 项和为S n ；数列；数列{b {b n }为等比数列，，且．(1)(1)求数列求数列求数列{a {a n }和{b n }的通项公式；的通项公式； (2)(2)设设，求数列，求数列{c {c n }的前n 项和．3030、设数列、设数列、设数列{a {a n }的前n 项和为S n ，已知，（）．）．（1）求证：数列）求证：数列{a {a n }为等比数列；为等比数列； （2）若数列）若数列{b {b n }满足：，．①求数列①求数列{b {b n }的通项公式；的通项公式； ②是否存在正整数n ，使得成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．3131、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }的前n 项和S n，且，数列是首项为1，公比为的等比数列的等比数列. .（1）若数列）若数列{a {a n +b n }是等差数列，求该等差数列的通项公式；是等差数列，求该等差数列的通项公式； （2）求数列）求数列{a {a n +n+b n }的前项和.3232、已知等比数列、已知等比数列、已知等比数列{a {a n }中，中， .（1）求）求{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）设，求数列的前项和.3333、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }为等差数列，为等差数列，S S n 为{a n }的前n 项和，.数列为等比数列且.（1）求数列）求数列{a {a n }和{b n }的通项公式；的通项公式； （2）记，其前n 项和为，求证：.3434、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }的前n 项和为S n ，满足（1）求证：数列）求证：数列{a {a n +2}+2}为等比数列；为等比数列；为等比数列； （2）求数列）求数列{a {a n }的通项；的通项； （3）若数列）若数列{b {b n }满足为数列的前n 项和，求.3535、已知各项均为正数的数列、已知各项均为正数的数列、已知各项均为正数的数列{a {a n },},满足满足 且.(1)(1)求数列求数列求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； (2)(2)设设,若的前n 项和为S n ,求S n ；(3)(3)在（在（在（22）的条件下）的条件下,,求使成立的正整数n 的最小值．的最小值．3636、设数列、设数列、设数列{a {a n }的前n 项和，数列满足．（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）求数列）求数列{a {a n }的前n 项和．3737、已知数列、已知数列、已知数列{a {a n }满足， 且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列是等差数列，并求出数列{a {a n }的通项公式；的通项公式； （2）令，求数列，求数列{b {b n }的前n 项和S n3838、已知、已知、已知{a {a n }是等比数列，满足，且成等差数列成等差数列（1）求数列）求数列{a {a n }的通项公式的通项公式 （2）设，数列，数列{b {b n }的前项和为，求正整数k 的值，使得对任意n ≥2均有g （k ）≥）≥g g （n ）3939、、已知二次函数f(x)=3x 2－2x.2x.，，数列数列{a {a n }的前n 项和为，点均在函数的图像上。