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【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。
【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
2.1 数列1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ [提示] 不是，顺序不一样．思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？[提示] 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．思考3：数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2nC [经验证可知，它的一个通项公式为a n ＝n ＋2.] 2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 24 [a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24.]3．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 3 [令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23， 解得n ＝3.]4．数列1,2, 7，10，13，…中的第26项为________． 219 [因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219.]【例1(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….思路探究：观察―→归纳a n 与n 的关系―→验证结论―→ 得出答案[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. [解] (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.【例2】 n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？ 思路探究：(1)令n ＝1,2,3求解即可； (2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．[解] (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15. (2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0， 解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项． 令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下： (1)将所给的数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项． 提醒：数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n 的取值特点．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？[解] (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究问题]1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？[提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.2．如何定义数列{a n }的单调性？[提示] 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．【例3】 设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．思路探究：利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围． [解] ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k2，∴当－k2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)． ∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．(变结论)求本例中k ＝－13时数列{a n }的最小项．[解] 由题意知n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1322－1694，由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1322－1694在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，132上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，＋∞上是增函数，故当n＝6或7时，f (n )＝n 2－13n 取得最小值－42.所以数列{a n }的最小项为a 6＝a 7＝－42.2．(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k 是否存在？如果存在，求实数k 的范围，若不存在说明理由．[解] 要使{a n }是单调递减数列， 必须a n >a n ＋1恒成立，即n 2＋kn >(n ＋1)2＋k (n ＋1)对任意n ∈N *恒成立． 整理得k <－2n －1对任意n ∈N *恒成立， 因为f (n )＝－2n －1(n ∈N *)没有最小值， 故不存在实数k 使a n ＝n 2＋kn 单调递减．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n ，则a n 为最小项．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1．判断正误(1)数列1,1,1，…是无穷数列．( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x ＝5＋8＝13.] 3．已知数列2，10，4，…，2(3n －1)，…，则8是该数列的第________项． 11 [令2(3n －1)＝8，得n ＝11.]4．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． [解] 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．。
