立发中学高二年级数学试卷(含参考答案)

高中二年级下册数学考试题目附答案本试题满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也非必要条件B因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c 成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）A.120B.240C.320D.480C∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.∴a5+a6= =320.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）A.0B.1C.-1D.2C∵an=要使{an}成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f是概念在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有ff=f,若a1= ,an=f,则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）A.［，2)B.［，2］C.［，1)D.［，1］C因f=ff,则an+1=a1an= an，∴数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.∴an=n.Sn= =1-n.∵n∈N*,∴≤Sn＜1.5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是A. B.C. D. 或B∵a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,q= ，或q= .∴ .6.在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为A.32B.64C.±64D.256B因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.假如P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那样P等于A.（SS′B.C.nD.B设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）则P=a1a2…an=a1n ,S=a1+a2+…+an= ,S′= +…+ ,∴ =在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn,则an= （）n-2∵an+1= Sn,∴an= Sn-1.①-②得,an+1-an= an,∴ .∵a2= S1= ×1= ,∴当n≥2时，an= （）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc也成等比数列③若{an}的通项an=cbn-1,则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列②④②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；④中a1=ap,a2=ap,a3=ap2, ,故②④不正确，①③⑤均可用概念法判断正确.三、解答卷（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,求证数列{bn}也是等比数列；（2）已知q＞1,a1= ,问n为什么值时，数列{an}的前n项和Sn 大于数列{bn}的前n项和Sn′.证明：∵ =q,∴为常数，则{bn}是等比数列.Sn=a1+a2+…+an= ,Sn′=b1+b2+…+bn= ,当Sn＞Sn′时，.又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,∴ ,即qn＞q7,∴n＞7,即n＞7时，Sn＞Sn′.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,架构一个新数列：a1,,,…,,…此数列是首项为1，公比为的等比数列.求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.由已知得an-an-1=n-1,a=1,an=a1+++…+= ［1-n］.Sn=a1+a2+a3+…+an= - ［ +2+…+n］= - ［1-n］= ×n.13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.求数列{cn}的前n项和Sn.是不是存在n∈N*,使得成立？请说明理由.由已知得∴an=a1qn-1=2n.∴cn=11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.假设存在n∈N*,使得即 .∴22n+3×2n-3＜0,解得 .∵ =1,而2n≥2,故没有n∈N*满足 .14. 已知函数f= ,x∈,数列{xn}满足xn+1=f,,且x1=1.设an=|xn- |,证明：an+1＜an;设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ .证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f- |= .∵xn＞0,∴an+1＜|xn- |＜|xn- |=an,故an+1＜an.由（1）的证明过程可知an+1＜|xn- |＜2|xn-1- |＜…＜n|x1- |=n+1∴Sn=a1+a2+…+an＜|x1- |+2+…+n=+2+…+n= ［1-n］＜ .轻松阅读“教育花费占首位”值得警惕近期，中国社会科学院发布的《20XX年社会蓝皮书》显示，子女教育成本在居民总花费中排第一位，超越养老和住房.中国社科院社会学研究所研究员李培林在报告中觉得“这并非非常正常的”.国内现有些人均GDP只有1 000美元，仍处于进步中国家的经济水平.在此状况下，教育成本占民民总花费第一位的情况，势必会挤占居民养老、住房、医疗等方面的成本开支.也就是说，教育成本居高不下，将直接影响到社会居民的医疗、养老等生命水平与平时生活水平的起码问题.因为国内现有老年人口已达总人口的10%（有些城市已超越此比率），且还有上升趋势，假如目前仍对教育成本居高不下的情况无动于衷，那样可以预见，在不久的以后，社会必将对养老、医疗等社会问题付出巨大代价.还有，从国内人口文化素质与社会的进步需要看，现有些教育水平不是高了，而是还需要在大进步.假如按现有些教育水准收，势必意味着国内需要为教育付出更多成本.所以笔者感觉，教育成本占居民总花费第一位的社会现象，不只对每一个家庭，对教育自己的健康进步，同时对社会将来的健康进步，同时对社会将来的正常进步，都是一个亟待看重与解决的社会公共命题.。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^24x+3，则f(x)的最小值为（）A.-1B.0C.1D.22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则a3等于（）A.4B.5C.6D.73.在ΔABC中，若sinA=3/5，cosB=4/5，则tanC的值为（）A.3/4B.4/3C.3/7D.7/34.若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应点的轨迹是（）A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.一个双曲线5.若函数g(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处有极小值，则a的取值范围是（）A.a>0B.a<0C.a≠0D.a=0二、判断题（每题1分，共5分）6.若函数h(x)=x^33x在x=0处的导数为2，则h(x)在x=0处必无极值。

（）7.若等比数列{bn}的前n项和为Tn=2^n1，则b1=1。

（）8.对于任意实数x，都有sin^2x+cos^2x=1。

（）9.若直线y=kx+b与圆(x1)^2+y^2=1相切，则k^2+b^2=1。

（）10.若函数f(x)=x^44x^2+4在区间[-2,2]上单调递增，则f'(x)≥0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11.若函数f(x)=2x^33x^212x+5，则f(-1)=_______。

12.等差数列{an}的前5项和为35，公差为3，则a1=_______。

13.在ΔABC中，若a=5,b=7,sinB=5/7，则sinA=_______。

14.若复数z满足z^2=(1+i)^2，则|z|=_______。

15.若函数g(x)=ax^2+bx+c在x=2处有极大值，则g'(2)=_______。

四、简答题（每题2分，共10分）16.简述导数的定义及其物理意义。

17.解释等差数列和等比数列的概念，并给出它们的前n项和公式。

18.什么是三角函数的周期性？请给出正弦函数和余弦函数的周期。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^33x+1在x=1处有极值，则f'(1)等于多少？A.-1B.0C.1D.32.在等差数列{an}中，若a1=3，公差d=2，则第10项a10等于多少？A.19B.20C.21D.233.若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上对应的点位于：A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.原点4.设函数g(x)=ln(x^2+1)，则g'(x)等于：A.2x/(x^2+1)B.x/(x^2+1)C.2x^2/(x^2+1)D.1/x5.若矩阵A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，则矩阵A 的行列式值等于：A.2B.-2C.10D.-10二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在(a,b)内恒大于0。

（）2.任何实系数多项式都有实数根。

（）3.若向量a与向量b垂直，则它们的点积为0。

（）4.在等比数列中，若公比q>1，则数列的各项随着项数的增加而减小。

（）5.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^24x+3，则f(x)的零点为______。

2.等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+3n，则a1=______。

3.复数z=3+4i的模长为______。

4.若函数g(x)=e^xsin(x)，则g''(x)=______。

5.若矩阵B=\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&4\end{bmatrix}\)，则B 的逆矩阵为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.解释罗尔定理及其应用。

2.什么是等比数列？给出等比数列的前n项和公式。

3.简述复数的几何意义。

4.什么是隐函数？如何求隐函数的导数？5.解释矩阵的秩及其性质。

2022-2023学年江苏省南通市海安市立发中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）130kx y k -+-=k A ．B ．C ．D ．()3,1()0,1()0,0()2,1【答案】A【分析】将直线的一般式化成点斜式即可求解.【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，130kx y k -+-=()13y k x -=-()3,1k 所以所有直线都通过定点为.()3,1故选：A.2．双曲线－＝1的渐近线方程是（ ）29y 24x A ．y ＝±xB ．y ＝±x9449C ．y ＝±x D ．y ＝±x3223【答案】C【解析】先判定双曲线的中心位置，焦点位置，然后由方程求得半实轴a ，半虚轴b ，进而利用公式得出渐近线方程.也可以将标准方程等号右边的1改成0，化简即得渐近线方程.【详解】解法一：双曲线－＝1是中心在原点，焦点在轴上的双曲线，29y 24x y 其中半实轴a ＝3，半虚轴b ＝2，双曲线的渐近线方程为.32y x ±＝解法二：双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，即为.29y 24x 29y 24x 32y x±＝故选：C.【点睛】本题考查由双曲线的方程求渐近线的方程，属基础题，一般的，求双曲线的渐近线方程，也可以将标准方程等号右边的1改成0，化简即得渐近线的方程.3．已知过点和点的直线为，直线为，直线为，若()2,A m -(),4B m 1l210x y +-=2l 10x ny ++=3l，，则实数的值为（ ）12//l l 23l l ⊥m n +A ．B ．C ．D ．10-2-08【答案】A【分析】设直线，，的斜率分别为，，，由题意可得，，列出关于1l 2l 3l 1k 2k 3k 12k k =231k k ⋅=-的方程，解方程可得的值即可求解.,m n ,m n 【详解】由题意可得直线，，的斜率存在，可分别设为，，，1l 2l 3l 1k 2k 3k 因为，所以，即，解得：，12//l l 12k k =422mm -=-+8m =-因为，所以，即，解得：，23l l ⊥231k k ⋅=-121n ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭2n =-所以，()8210m n +=-+-=-故选：A.4．抛物线的焦点坐标为（ ）243y x=A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为234x y =30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C5．设Sn 是等差数列{an }的前n 项和，若＝，则等于（ ）53a a 5995S S A ．1B ．－1C ．2D ．12【答案】A【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】＝＝＝1.95S S 19159()25()2a a a a ++5395a a 故选：A.6．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ）1y x =-2:2(0)C y px p =>F C AB 、||AB =A ．6B ．8C ．2D ．4【答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可【详解】因为抛物线的焦点坐标为，2:2(0)C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又直线过抛物线的焦点F ，所以，抛物线的方程为，由1y x =-2:2(0)C y px p =>2p =C 24y x =，得，所以，所以．214y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=6A B x x +=628A B AB x x p =++=+=故选：B 7．若等比数列中的是方程的两个根，则{}n a 52018,a a 2430x x -+=（ ）31323332022log log log log a a a a ++++=A ．B ．1010C ．D ．10112022320212【答案】D【分析】先由韦达定理得，再利用对数的运算性质及等比数列下角标的性质计算即可.520183a a =【详解】因为是方程的两个根，52018,a a 2430x x -+=则，520183a a =又在等比数列中，，{}n a 1202222021520183a a a a a a ==== ，()1011313233320223123202120223log log log log log log 31011a a a a a a a a a ∴++++=== 故选：D.8．直线与曲线的取值范围是（ ）y x b =+x =bA ．B ．b ≤2b =C ．D ．b ≤<2b =b <≤2b =【答案】C【分析】由直线、曲线方程画出图象示意图，应用数形结合法知：判断与曲线为何种位置y x b =+关系时有且仅有一个公共点，即可求的取值范围.b 【详解】根据直线和曲线方程可得如下图象，要使它们有且仅有一个公共点，则在第二象限与曲线相切或直线截距在y x b =+b≤<当在第二象限与曲线相切时，，可得.y x b =+0b =>⎩2b=综上，的取值范围.b b ≤2b =故选：C二、多选题9．椭圆的焦距为的值为（ ）22116x y m +=m A ．9B ．23C ．D ．1616【答案】AB【分析】分焦点在轴上和在轴上两种情况讨论求解即可得答案.x y【详解】解：椭圆的焦距为22116x y m +=2c =c =依题意当焦点在轴上时，则，解得；x 167m -=9m =当焦点在轴上时，则，解得，y 167m -= 23m =∴的值为9或23.m 故选：AB.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，是基础题.10．已知等比数列的前n 项和，则（ ）{}n a 14n n S t -=+A ．首项不确定B ．公比C ．D ．1a 4q =23a =14t =-【答案】BCD【解析】根据等比数列基本量运算，依次判断每个选项，即可得到答案；【详解】由，当时，.11a t =+2n ()()12214434n n n n n n a S S t t ----=-=+-+=⨯由数列为等比数列，可得必定符合，{}n a 1a 234(2)n n a n -=⨯ 有，可得，314t +=14t =-数列的通项公式为，，{}n a 234n n a -=⨯23a =数列的公比.由上知A 选项错误，{}n a 4q =故选：BCD.【点睛】本题考查等比数列的前项和递推公式，求数列的公比等性质.n 11．记为等差数列的前n 项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）n S {}n a 1573a a S +=A ．B ．的最大值为C ．D ．40a =n S 3S 61S S =35a a <【答案】AC【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即n d 1a 可.【详解】设等差数列的公差为，d 因为，可得，解得，1573a a S +=()11134721a a d a d ++=+13a d =-又由，所以，所以A 正确；()()114n a a n d n d=+-=-40a =因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B 不正确；d 3S 由，所以，所以C 正确；6123456450S S a a a a a a -=++++==61S S =因为，所以，即，所以D 错误.35420a a a +==35a a =-35a a =故选:AC.12．已知抛物线：的焦点为的直线与抛物线交于，C ()220y px p =>F F l C A 两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）B A D 4AF =A ．B ．为中点C ．D ．2p =F AD 2BD BF =2BF =【答案】ABC【分析】结合已知条件求出的纵坐标为，进而将的坐标代入抛物线方程A 22p+A即可求出的，进而联立即可求出相关点的坐标，然后逐项分析判断即可得出结果.p【详解】因为直线，所以的纵坐标为，所以l4AF=A22p+，因为，解得，故A正确；(2222pp⎛⎫=+⎪⎝⎭0p>2p=因为，所以直线：，所以，又因为()1,0Fl y=1x-y=-(1,D--，则的中点为即为，故B正确；(3,AAD()1,0()1,0F即，则24y xy⎧=⎪⎨=⎪⎩3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩13xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(1,,3A B⎛⎝，，因此，故C正确；D错误，83BD==14133BF=+=2BD BF=故选：ABC.三、填空题13．等差数列中，，，则_____________.{}na1212a a+=3418a a+=56a a+=【答案】24【分析】直接利用等差数列的性质即可.【详解】因为为等差数列，所以，{}na()()()4153262a aa a aa+=+++所以.562181224a a+=⨯-=故答案为：24【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．14．已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为C(2)A-(B-C_______.【答案】221155x y+=【分析】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程，即可221mx ny+=0m>0n>m n≠A B得到答案；【详解】设所求椭圆方程为：(，，)将和的坐标代入方程得：221mx ny +=0m >0n >m n ≠A B ，解得，341121m n m n +=⎧⎨+=⎩11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所求椭圆的标准方程为：.221155x y +=故答案为：.221155x y +=15．过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若2222:1x y C a b +=0a b >>1F x P 2F ，则椭圆的离心率为_______________.1230F F P ∠=C【分析】先通过条件求出，再利用直角三角形中1PF 12F F P 1230F F P ∠=字母计算即可.【详解】令，得，解得，x c =-22221c y a b +=2b y a =±则，21b PF a =在直角三角形中，，12F F P 1230F F P∠=，2c =代入，222b ac =-2c=解得c e a ==四、双空题16．已知分别为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点．12,F F 2221(010)100x y b b +=<<（1）的值为________；12PF PF +（2）若，且，求b 的值为________．1260F PF ∠=︒12F PF △【答案】 20 8【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由知，2221(010)100x y b b +=<<2100,10a a ==，12220PF PF a +==（2）设，12,PF m PF n==，21222122cos F F m n F F mn P =+-⋅∠可得，2224()343c m n mn a mn =+-=-所以，243b mn =所以121221sin 2F PF F PF S mn =⋅∠=== 所以，8b =故答案为：（1）20；（2）8.五、解答题17．为等差数列的前项和，已知，.n S {}n a n 71a =432S =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求，并求的最小值.n S n S 【答案】（1）；（2），时，的最小值为.213n a n =-212n n S n =-6n =n S 36-【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出，，代入通项公式即可求解. n 1a d （2）利用等差数列的前项和公式可得，配方即可求解.n n S 【详解】（1）设的公差为 ，{}n a d 由，，71a =432S =-即，解得，1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩1112a d =-⎧⎨=⎩所以.()11213n a a n d n =+-=-（2），()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-，()2212636n S n n n =-=--所以当时，的最小值为.6n =n S 36-18．已知圆.22:(3)(4)4C x y -+-=（1）若直线过点且被圆截得的弦长为的方程；l (2,3)A C l （2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方l (1,0)B C P Q CPQ ∆l 程.【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.2x =3y =l 10x y --=770x y --=【解析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到C ld CPQ S =及k ，求得答案.d 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，C (3,4)C 2R =直线被圆截得的弦长为由勾股定理得到圆心到直线的距离 l E ∴C l 1d =①当直线的斜率不存在时，，显然满足；l :2l x =1d =②当直线的斜率存在时，设，即，l :3(2)l y k x -=-320kx y k -+-=由圆心到直线的距离，解得，故；C l 1d =1=0k =:3l y =综上所述，直线的方程为或l 2x =3y =（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：， l ∴l (1)y k x =-即，则圆心到直线的距离为，kx y k 0--=C ld又的面积CPQ12S d =⨯⨯==当取最大值2，由，得或，∴d =S d ==1k =7k =直线的方程为或.∴l 10x y --=770x y --=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.19．已知双曲线，抛物线（）的焦点为2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>2:2D y px =0p >，准线为，交双曲线的两条渐近线于、两点，的面积为8.F l l C M N MNF ∆(1)求双曲线的渐近线方程；C (2)求抛物线的方程.D 【答案】(1)；4y x =±(2)．24y x =【分析】小问1：根据双曲线的离心率，求得，进而求得渐近线方程；14b a =小问2：求得抛物线的准线方程，联立解得点的坐标，结合面积公式求得的值，即可求解．,M N p 【详解】（1）由题意，双曲线，2222:1y xC a b -=可得，解得，可得， c e a ===14b a =4a b =所以双曲线的渐近线方程为；C 4y x =±（2）由抛物线，可得其准线方程为，2:2D y px =:2pl x =-代入双曲线渐近线方程得，，4y x =±,22p M p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22p N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，4MN p =则，解得，1482MFN S p p =⨯⨯=△2p =所以抛物线的方程为．D 24y x =20．在数列中，，，.{}n a 12a =1541n n a a n +=-+N*n ∈（1）证明：数列是等比数列；{}n a n -（2）求的前项和.{}n a n n S 【答案】（1）证明见解析；（2）.()1(1)5142n n n +-+【解析】（1），，变形为，，进而证明结论；1541n n a a n +=-+N*n ∈1(1)5()n n a n a n +-+=-111a -=（2）由（1）可得：，再利用分组求和即可得出.15n n a n -=+n S 【详解】（1）证明：，，1541n n a a n +=-+ N*n ∈.1(1)5()n n a n a n +∴-+=-又因为，111a -=数列是首项为1，公比为5的等比数列，∴{}n a n -（2）由（1）可得：，15n n a n --=，15n n a n -∴=+的前项和{}n a ∴n 211555(12)n n S n -=+++⋯⋯++++⋯⋯+()115(1)51(1)1(1)(51)15251242nnn n n n n n n ⨯-+-++=+=+=-+--【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常{}n a n 数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法n （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；n （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如n 类型，可采用两项合并求解.()()1nn a f n =-21．已知数列的前项和为，且{}n a n n S 21(*)n n S a n N =-∈（1）求和的值；1a 2a （2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；{}n a {}n a （3）设，，求数列的前项和.13log n n b a =n n n c a b ={}n c n n T【答案】（1）；；（2）证明见解析，；（3）.113a =219a =13n n a =n T =332443n n +-⨯【解析】（1）根据已知条件，先求得，然后求得的值.1a 2a （2）利用化简已知条件，得到，由此证得数列是等比数列11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩11(2)3n n a n a -=≥{}n a 并求得其通项公式.（3）先求得数列的通项公式，然后利用错位相减求和法求得.{}n c n T 【详解】（1），得， 1121S a =-113a =当时，2n =2221S a =-∴，1222()1a a a +=-解得.219a =（2）由，， 21n n S a =-1121(2)n n S a n --=-≥两式相减得：，11(2)3n n a a n -=≥即，11(2)3n n a n a -=≥所以数列是以首项为，公比为的等比数列，得.{}n a 131313n n a =（3），，13log n n b a n ==3n n n n nc a b ==则=，12nn T c c c =+++ 21111112(1)3333n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯ 得3×，nT =21231333n-n ++++ 上两式相减得 2×1+=，n T =211113333n n n -+++- 311233n n n --（得：.n T =13133244323443n n n n n -+--=-⨯⨯⨯【点睛】已知条件是和的关系的，可用来求通项公式.如果一个数列的结构n S n a 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法.22．已知椭圆的一个顶点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A（1）求椭圆的方程C （2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过A 12,k k ,M N 122k k +=MN 定点并求定点坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，恒过定点．2214x y +=(1,1)--【分析】（1）利用椭圆过点，，即可2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A a b 得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求MN x t =(,)M t s (,)N t s -解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，1t =-MN y kx m =+2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得，设，，，，利用韦达定理以及，得到222(41)8440k x kmx m +++-=1(M x 1)y 2(N x 2)y 122k k +=与的关系，然后求解直线，恒过定点．k m :(1)(1)MN y m x m m x x =++=++(1,1)--【详解】解：（1）椭圆过点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A 可得，且离心率为，解得，1b =c a=221a c -=2a =所求椭圆方程为：2214x y +=（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，MN x t =(,)M t s (,)N t s -，则，1211,s s k k t t -+==--121122s s k k t t t -++=+==---1t ∴=-当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，MN y kx m =+2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得，222(41)8440k x kmx m +++-=设，，，，有1(M x 1)y 2(N x 2)y 1222122841(*)44·41km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则1212121212121212121211()2(1)()y y y x x y x x kx x m x x k k x x x x x x --+-++-++=+==将式代入化简可得：，即，*288244km k m -=-(1)(1)0k m m ---=1k m ∴=+直线，恒过定点.:(1)(1)MN y m x m m x x =++=++(1,1)--【点睛】方法点睛：解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。

高中二年级期末考试数学（理科B 卷）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13. n 2－2n ＋21 14. 33 15. 120 16.1三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分10分）解:因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213------------4分sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665，--------------------------------------6分由正弦定理b sin B ＝csin C ，--------------------------------------------------------8分得: c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.--------------------------------------------------------10分18、（本小题满分12分）解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.--------------------3分 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25. ----------------------------5分 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3， ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4.-------------------------------------------9分 ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.---------------------------------12分19、（本小题满分12分）解：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．-----------------4分1BC ＝(－1,0,2)， ＝(－1,2,1)，----------------------------------6分cos 〈1BC ，AEBC AE BC ⋅11＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.------------------------------12分 20、（本小题满分12分）解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．----------------------------------2分∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S .----------------------------------4分∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.∴这样的m 不存在．------------------------------------------------------6分 (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .--------------------------------9分∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．------------------------12分 21.（本小题满分12分）解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，--------------------------------------------------------4分 S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .-------------------------------------------------------6分(2)由(1)知，a n ＝2n ＋1，从而b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，-------------------------------------------------------------------9分 从而T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).------------------------------12分22、（本小题满分12分）解: (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.-----------------------------------------------------2分所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.--------------------------------------------4分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.------------------6分所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2. -------------------------------------8分又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，---------------------9分 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.-------------------------------------------------------------10分由|k|4＋6k21＋2k2＝103，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.-------------------------------------------12分。

高2数学会考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 已知向量a=(3,-2)，b=(2,1)，则向量a+b的坐标为：A. (5,-1)B. (1,-3)C. (-1,3)D. (3,1)答案：A3. 函数y=|x|的图象是：A. 一条直线B. 两条直线C. 一个V形D. 一个倒V形答案：C4. 若复数z满足z^2=i，则z的值为：A. iB. -iC. i或-iD. 1或-1答案：C5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a>0，b>0，则该双曲线的焦点位于：A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第四象限答案：A6. 函数y=sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π答案：B7. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A8. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B9. 函数y=ln(x)的定义域为：A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,+∞)D. [0,+∞)答案：B10. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，则该圆的圆心坐标为：A. (2,3)B. (-2,3)C. (2,-3)D. (-2,-3)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 若直线l的斜率为2，则直线l的倾斜角为______。

答案：arctan(2)2. 已知等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，则b3的值为______。

答案：43. 函数y=cos(x)的图象关于______对称。

答案：y轴4. 已知抛物线方程为y^2=4x，该抛物线的焦点坐标为______。

一、单选题1．已知集合(){}{12},ln 1M xx N x y x =-≤==+∣∣，则M N ⋃=（）A ．()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．[]1,2-D ．(]1,2-【答案】B【分析】根据对数函数的定义域，结合集合的运算，可得答案.【详解】由不等式12x -≤，解得13x -≤≤，故{}13A x x =-≤≤；由函数ln y x =的定义域为()0,∞+，即10x +>，解得1x >-，故{}1B x x =>-；所以[)1,M N -⋃=+∞，故选：B.2．已知复数z 满足i 2i z =+，则231z z +=-（）A ．2i B ．-2C ．2i-D ．2【答案】D【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】因为i 2i z =+，则2i 12i i z +==-，所以223(12i)34i2112i 12iz z +-+-===----.故选：D.3．“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用等比数列等比中项的性质判断即可.【详解】若,,a b c 成等比数列，则2b ac =；若2b ac =，令0a b ==，满足2b ac =，但此时,,a b c 不构成等比数列.故选：C4．随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了5家商家对某个品牌的自行车的售价x （百元）和月销售量y （百辆）之间的一组数据，如下表所示：价格x 9.69.91010.210.3销售y10.29.3m8.48.0根据计算可得y 与x 的经验回归方程是：ˆ 3.140yx =-+，则m 的值为（）A ．8.8B ．8.9C ．9D ．9.1【答案】D【分析】根据线性回归直线过(),x y 求解即可；【详解】价格平均()19.69.91010.210.3105x =++++=，则40 3.1109y =-⨯=，销售量()110.29.38.48.09.05y m =++++=，解得9.1m =.故选：D.5．端午节三天假期中每天需安排一人值班，现由甲､乙､丙三人值班，且每人至多值班两天，则不同的安排方法有（）A ．18种B ．24种C ．36种D ．42种【答案】B【分析】根据分类加法计数原理可求出结果.【详解】若甲乙丙三人每人值班一天，则不同安排方法有33A 6=种.若三人中选两个人值班，则有212323C C C 18=种，因此一共有61824+=种.故选：B.6．若存在实数m ，使得1log 42a a m -<<，则实数a 的取值范围是（）A ．()10,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．()()0,12,⋃+∞C ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,12,2⎛⎫⎪⎭⋃ ⎝+∞【答案】B【分析】对a 进行分类讨论，根据函数的单调性求得a 的取值范围.【详解】依题意可知，12log 4a a ->.当01a <<时，1log 402a a -<<，显然成立；当1a >时，由11ln42log 42ln a a a a---=-，注意到()1ln42ln x f x x -=-为递增函数，且()20f =，因此()()02f a f >=，即2a >.综上可知，()()0,12,a ∞∈⋃+.故选：B7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1202f x f x ++=，且[)()0,2,2xx f x ∈=，则()2023f =（）A ．50514-B ．101112-C ．50512-D ．1【答案】A【分析】依题意，()()1202f x f x ++=，得()()()114224f x f x f x +=-+=，则()()505120204f x f x +=，再令3x =可得答案.【详解】依题意，()()1202f x f x ++=，可得()()()114224f x f x f x +=-+=，()()()2118444f x f x f x +=+=,()()()31112844f x f x f x +=+=,⋅⋅⋅()()505120204f x f x +=,令3x =，可得()()5051202334f f =而()()13112f f =-=-，故()505120234f =-.故选:A.8．如图，已知12,F F 是双曲线22:221x y C a b-=的左､右焦点，,P Q 为双曲线C 上两点，满足12F P F Q ∥，且2213F Q F P F P ==，则双曲线C 的离心率为（）A ．105B ．52C ．153D ．102【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t a =，进而可得11290F P Q F PF ∠∠=='，结合勾股定理运算求解.【详解】延长2QF 与双曲线交于点P '，因为12F P F P '∥，根据对称性可知12F P F P ='，设21F P F P t ='=，则223F P F Q t ==，可得2122F P F P t a -==，即t a =，所以44P Q t a ='=，则1225QF QF a a =+=，123F P F P a =='，即22211P Q F P QF ''+=，可知11290F P Q F PF ∠∠==' ，在12P F F ' 中，由勾股定理得2222121F P F P F F ''+=，即()22234a a c =+，解得102c e a ==.故选：D.【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ce a=的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．二、多选题9．已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =-++，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 的值域为(),1-∞D ．()f x 在()0,1上单调递减【答案】BD【分析】利用函数奇偶性以及单调性的定义，结合对数的运算法则以及对数函数的定义域，可得答案.【详解】由函数()()()()2lg 1lg 1lg 1f x x x x =-++=-，则可得1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<，即该函数的定义域为()1,1-，由()()()()22lg 1lg 1f x x x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦，则函数()f x 为偶函数，A 错，B 对；因为2011x <-≤，所以()0f x ≤，()f x 的值域为(],0-∞，C 错；取任意()12,0,1x x ∈，令12x x >，则()()()()22211212221lg 1lg 1lg 1x f x f x x x x --=---=-，12x x > ，2212x x ∴>，且22120111x x <-<-<，则2122111x x -<-，即21221lg 01x x -<-，可得()()12f x f x <，故函数()f x 在()0,1上单调递减，D 对；故选：BD.10．已知平面向量()()()1,1,2,1,2,a b c m ==-=，则下列说法错误的是（）A ．若10a b c ++=，则1m =B ．若()//a b c + ，则1m =-C ．若()a c b +⊥，则6m =-D ．R m ∀∈且1m ≠，则,45b c a +=或135【答案】ABC【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】 平面向量()()()()1,1,2,1,2,,1,2a b c m a b c m ==-=∴++=+，则21(2)10a b c m ++=++= ，解得1m =或5m =-，故A 错误；若()()//,1,2a b c a b ++=- ，则4m -=，得4m =-，故B 错误；若()(),3,1a c b a c m +⊥+=+，则610m -++=，得5m =，故C 错误；由()0,1b c m +=+ （对应点在y 轴），()1,1a = ，可得,45b c a +=或135 ，故D 正确.故选：ABC11．已知圆22:4O x y +=和圆22:(3)(3)4C x y -+-=，,P Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．PQ 的取值范围是324,324⎡⎤-+⎣⎦C ．2x y -=是圆O 与圆C 的一条公切线D ．过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为,M N ，则存在点Q ，使得90MQN ∠=【答案】ABD【分析】对于A ，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案；对于B ，根据圆外离的基本性质，可得答案；对于C ，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案；对于D ，根据直线与圆相切的性质，可得答案.【详解】对于选项A ，由题意可得，圆O 的圆心为()0,0O ，半径12r =，圆C 的圆心()3,3C ，半径22r =，因为两圆圆心距123222OC r r =>+=+，所以两圆外离，有四条公切线，A 正确；对于B 选项，PQ 的最大值等于12324OC r r ++=+，最小值为12324OC r r --=-，B 正确；对于C 选项，显然直线2x y -=与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线:OC y x =，设直线为y x t =+，则两平行线间的距离为2，即22t =，故22y x =±，故C 不正确；对于D 选项，易知当90MQN ∠= 时，四边形OMQN 为正方形，故当22QO =时，90MQN ∠= ，故D 正确，故选：ABD.12．已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，设函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是（）A ．当1ω=时，若()g x 为奇函数，则π4ϕ=B ．当π4ϕ=时，若()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当π4ϕ=时，若()g x 在0x x =处取得最大值为5，则()055f x =D ．若将()f x 的图象向左平移π4个单位长度所得的图象与()g x 的图象的所有对称轴均相同，则1ω=【答案】BC【分析】先求出()f x '，从而可求出()()()g x f x f x '=+的解析式，利用辅助角公式变形后，然后逐个分析判断即可.【详解】由()sin()f x x ωϕ=+，得()cos()f x x ωωϕ'=+，所以()()()()2sin cos 1sin g x x x x ωϕωωϕωωϕθ=+++=+++，其中tan θω=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对于()πA,2sin 4g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()g x 为奇函数，所以ππ,Z 4k k ϕ+=∈，所以ππ,Z 4k k ϕ=-+∈，因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=-，故A 错误；对于B ，由题意可知,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减区间的子集，所以πππ2πππ2π242π3ππ2π42k k ωωω⎧-≤⎪⎪⎪+≥+⎨⎪⎪+≤+⎪⎩（Z k ∈），解得1524ω≤≤，故B 正确；对于C ，依题意215ω+=，故2ω=，此时()π5sin 24g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且0ππ22π42x k θ++=+，Z k ∈，即0π22π4x k θ=+-，Z k ∈，因此()00ππsin 2sin 2cos 42f x x k θπθ⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈，因为tan 2θω==，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos θθ=，因为22sin cos 1θθ+=，所以21cos 5θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5cos 5θ=，所以()055f x =，故C 正确；对于D ，将()f x 向左平移π4个单位长度，此时方程为πsin 4y x ωϕω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为它与()()21sin g x x ωωϕθ=+++的对称轴完全一致，所以ππ4k θω-=，Z k ∈，所以ππ4k θω=+，所以ππtan tan πtan 44k θωωω⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，Z k ∈，此时ω不一定等于1，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质的应用，考查导数的运算，考查三角函数图象变换，解题的关键是正确利用下正弦函数的性质分析判断，考查分析和计算能力，属于较难题.三、填空题13．已知事件A 发生的概率为0.4，事件B 发生的概率为0.5，若在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率为0.6，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为.【答案】0.75/34【分析】利用条件概率公式计算出()P AB 的值，再利用条件概率公式可求得()P B A 的值.【详解】由已知可得()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P A B =，由()()()P AB P A B P B =可得()()()0.50.60.3P AB P B P A B ==⨯=，故()()()0.30.750.4P AB P B A P A ===.故答案为：0.75.14．已知抛物线21:4C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，若23PO =，则PF =.【答案】3【分析】根据题意可设(),,0P m n n ≥，列式计算求得n 的值，根据抛物线的焦半径公式即可求得答案.【详解】由题意可知抛物线21:4C y x =的准线为1y =-，设(),,0P m n n ≥，则24m n =，由题意2223m n +=，故24120n n +-=，则2n =，故13PF n =+=，故答案为：315．已知,αβ均为锐角，()tan tan 2sin αβαβ+=+，且()1cos 3αβ+=，则()cos2αβ-=.【答案】19-【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ-=，根据二倍角公式即可得结果.【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+≠，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，从而111sin sin 236αβ=-=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ-=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ-=--=-.故答案为：19-.16．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体，如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为1，若一个正方体能够在勒洛四面体中随意转动，则正方体的棱长的最大值为.【答案】23232-【分析】利用正方体的外接球的性质，将问题等价转化为，求解外接球半径的最大值问题，根据正四面体的几何性质确定球心的位置，结合球的性质，可得答案.【详解】若正方体能在勒洛四面体中任意转动，则正方体的外接球能够放人勒洛四面体，因此，求正方体的棱长最大值，即求其外接球半径最大值，也即勒洛四面体能够容纳的最大球的半径，此时该球与勒洛四面体的四个曲面均相切，该球的球心即为正四面体ABCD 的中心，设M 是底面BCD 的中心，O 是四面体的中心，外接球半径为R ，AM 是高，如图.222336,3233BM AM AB BM =⨯==-=，由222BO BM OM =+，得2226333R R ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得64R =，设E 为正方体的外接球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球的球心，易知该球的球心O 为正四面体ABCD 的中心，半径为OE ，连接BE ，易知,,B O E 三点共线，且61,4BE OB ==，因此614OE =-，此即正方体外接球半径的最大值，此时正方体的棱长的最大值为2623214323⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：23232-.【点睛】本题解题的关键在于常见几何体的外接球，外接球的球心确定方法：1、长方体的外接球球心位于体对角线的交点；2、根据球的性质：球心与圆心连线必垂直圆面，可确定球心位置.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为()11,1,23n n n n S a S a a n -==+≥.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记154n n n d S S +=-，求数列{}n d 的前n 项和n T .【答案】(1)21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)()3214n n T =⋅-【分析】（1）由12n n n S a a -=+，可得()1123n n S a n --=≥，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得()123n n a a n -=≥，进而求出数列{}n a 的通项公式；（2）求得111553222444n n n n n n d S S --+=-=-⋅=⋅，根据等比数列的求和公式求得结果.【详解】（1）依题意，当3n =时，由222S a =，可知211a a ==，由112n n S a --=，可得2n n S a =两式相减可知，122n n n a a a -=-，即()123n n a a n -=≥，因此2n ≥时，22222n n n a a --=⨯=，即21,1,2,2;n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）由（1）可知，121,2S S ==，当3n ≥时，231122222n n n n n n S a a ----=+=+⨯=，因此12,1,2n n S n n -===也适合，，故111553222444n n n n n n d S S --+=-=-⋅=⋅，故n d 的前n 项和()()011331232222144124n n n n T --=+++=⋅=⋅-- 18．某中学举行春季研学活动，为了增加趣味性，在研学活动中设计了一个摸奖获赠书的游戏，在一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球2个，黄球2个，蓝色球1个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当三种颜色的球都至少有一个被取出时，停止取球，游戏结束，取球次数最少将获得奖励.(1)求盒子里恰好剩下一个红球的概率；(2)停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】(1)15(2)分布列见解析，65【分析】（1）由题可得前3次只能取红黄或蓝黄两种颜色，第4次取红色或者蓝色，据此可得答案；（2）由题可得X 的所有可能取值为0，1，2，由题可得相应概率，即可得相应分布列和期望.【详解】（1）依题意，设事件A ：盒子恰好剩下一个红球，前三次只能取两种颜色的球，第四次取第三种颜色的球，因此第四次取球只能是红色球或者蓝色球，从而()11222345C C A 1A 5P A ==.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，()425252A A 10A 5P X ===，()()2125P X P A ===，()11322335C C A 22A 5P X ===，X ∴的分布列为X012P 152525()12260125555E X =⨯+⨯+⨯=.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥平面11ABB A .(1)证明：AB BC ⊥；(2)若12,AA AC BC E ==为1BB 上一点，且13BE EB =，求二面角1E A C B --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)27035【分析】（1）利用面面垂直性质定理，可作垂直于交线的辅助线，结合线面垂直判定定理，可得答案；（2）建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用夹角的余弦公式，可得答案.【详解】（1）过A 作1AD A B ⊥于D ，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，且平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，AD ∴⊥平面1A BC ，且BC ⊂平面1A BC ，故AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面1A BC ，故1BC AA ⊥，由1AD AA A ⋂=可知，且1,AD AA ⊂平面11AA B B ，则BC ⊥平面11AA B B ，显然AB ⊂平面11ABB A ，故BC AB ⊥；（2）以B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，不妨设2BC = ，则()()()()()112,0,0,0,23,0,0,0,4,0,23,4,0,0,3C A B A E，则()()()112,23,4,0,23,4,2,0,3CA BA CE =-==- ，设平面1A EC 的法向量为()111,,m x y z = ，则100m CA m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111122340230x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令123z =，则1133,1x y ==-，即()33,1,23,m =- 设平面1A BC 的法向量为()222,,n x y z =r ，则1100n CA n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222320320x y z y z ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，令23z =，则220,2x y ==-，即()0,2,3n =- ，()()330212338m n ⋅=⨯+-⨯-+⨯= ，2711240m =++= ，0437n =++= ，则84270cos ,3574070m n m n m n ⋅====⋅⋅ ，二面角1E A C B --的余弦值为27035.20．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin B C A b c-=-，且b c ≠.(1)证明：2a b c =+；(2)若ABC 为锐角三角形，且2B C =，求a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)31,212⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两角差的正弦公式以及正弦定理角化边化简()sin sin B C A b c-=-可得()cos cos b c a b C c B -=-，继而利用余弦定理化简即可证明结论；（2）由b c a a+=利用正弦定理边化角结合二倍角公式化简可得12cos 1a C =-，利用ABC 为锐角三角形，求出角C 范围，即可求得答案.【详解】（1）证明：依题意知()sin sin B C A b c -=-，故()sin sin cos sin cos b c A B C C B -=-，即()cos cos b c a b C c B -=-，由余弦定理得222222cos ,cos 22a c b a b c B C ac ab+-+-==，代入()cos cos b c a b C c B -=-可得()2222222222a b c a c b b c a b c a a a+-+---=-=，因为b c ≠，所以b c a a+=，即2a b c =+；（2）由题意ABC 为锐角三角形，且2B C =，由（1）知，则b c a a+=，由正弦定理得，()()2sin sin sin sin 2sin cos sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos 2cos 1sin B C B C C C C a B C B C B C C C C C C +++===+++-()()2sin 2cos 112cos 14cos 1sin C C C C C +==--，其中C 为锐角，所以2cos 10,sin 0C C +≠≠，因为2,πB C A B C =++=，则π022π032C C π⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ64C <<，则23cos 22C <<，则212cos 131C -<-<-，即131,212cos 12C ⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪-⎝⎭，因此31,212a ⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭.21．已知函数()1e ln x f x a x -=+.(1)若()f x 在定义域上单调递增，求a 的取值范围；(2)若()3f x x ≤恒成立，求实数a 的值.【答案】(1)1a ≥(2)4【分析】（1）根据导数与单调性的关系，建立不等式，利用参数分离的解题方法，将不等式恒成立问题转化为，函数求最值问题，可得答案；（2）根据不等式构造函数，并明确函数的最值，利用最值与极值的关系，求得参数的值，得到具体函数，并利用导数验证最值的真假，可得答案.【详解】（1）依题意可知，()1e 0x a f x x-+'=-≥，即1e x a x -≥在()0,∞+上恒成立.设()()()11e ,1e x x h x x h x x --==-'，显然当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()11h x h ≤=，因此1a ≥；（2）设()()313e ln x g x f x x a x x -=-=+-，注意()10g =，即()()10g x g ≤=，因此()1g 为最大值.由()()12e 3,1404x a g x x g a a x-='-+'-=-=⇒=.下证明当4a =时，恒有()13e4ln 0x g x x x -=+-≤，注意到()124e3x g x x x -'=-+-，令()()u x g x '=，()124e 6x u x x x -'=--，由（1）可知111e1e x x x x --≤⇒≤，因此()3122241464e 66x x x u x x x x x x x --+=--≤--=-'.当04x <≤时，336460x x x -+≥>，当4x >时，3649649540x x x x x -+>-+=+>，因此30,640x x x ∀>-+>，故()0u x '<，故()g x '单调递减，而()10g '=，因此()0,1x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减.即()()10g x g ≤=，证毕.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.22．已知P 为椭圆22:143x y C +=上一点，且点P 在第一象限，过点P 且与椭圆C 相切的直线为l.(1)若l 的斜率为k ，直线OP 的斜率为OP k ，证明：OP k k ⋅为定值，并求出该定值；(2)如图，,PQ RS 分别是椭圆C 的过原点的弦，过,,,P Q R S 四点分别作椭圆C 的切线，四条切线围成四边形ABCD ，若916OP OS k k ⋅=-，求四边形ABCD 周长的最大值.【答案】(1)证明见解析；34-；(2)414.【分析】（1）设点P 的坐标及直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，利用Δ0=推理求解作答.（2）利用（1）的结论，结合已知可得四边形ABCD 是矩形，借助对称性求出该矩形一组邻边长，再利用均值不等式求解作答.【详解】（1）设()00,P x y ，设:l y kx m =+，其中00y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得，()2224384120k x kmx m +++-=，依题意，()()222Δ(8)4434120km k m =-+-=得2243m k =+，即()220043y kx k -=+，即22220000243k x kx y y k -+=+，()22200004230x k kx y y --+-=，而4200143x y +=，即2220000432034y k kx y x ---=，即()200430ky x +=，即0034ky x =-，所以34OP k k ⋅=-.（2）由（1）知，33,44AB OP AD OS k k k k ⋅=-⋅=-，则916AB OP AD OS k k k k ⋅⋅⋅=，而916OP OS k k ⋅=-，即有1AB AD k k ⋅=-，则AB AD ⊥，又,PQ RS 分别是椭圆C 的过原点的弦，同理,AB BC AD CD ⊥⊥，因此四边形ABCD 为矩形，由（1）知，直线AB 的方程为y kx m =+，则2243m k =+，显然AB 与CD 关于原点对称，因此直线CD 的方程为y kx m =-，直线,AB CD 的距离为22122224322111mm k d k k k +===+++，由AB 与AD 垂直，得直线AD 的斜率1AD k k =-，同理得直线,AD BC 的距离为22222434322111k k d k k ++==++，22221222234432(3443)2()111k k k k L AB BC d d k k k +++++=+=+=+=+++，2224222242424[772(3443]1225122882881212121)()k k k k k k L k k k k k ++++++==+=+++++++2211288122881256142k k=++≤++=++，因此214L ≤，当且仅当1k =±时等号成立，因此矩形ABCD 的周长L 的最大值为2414L =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

高中二年级文科数学试卷一、选择题(每题5分，共60分)1．若a =(2，3，5)，b =(1，-4，x )，a ⊥b ，则x 的值为( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．O2．某校高一、高二、高三各有学生为550人、500人、450人，若采用分层抽样的方法，抽取120个同学作为样本，需从高二抽取( )人． A ．44 B ．40 C ．36 D ．35 3．有100辆汽车在某时段经过某一雷达测速 区,汽车运行时速的频率分布直方图如右图 所示,则时速超过60 km/h 的汽车数量约为 ( )辆.A ．28B ．38C ．40D ．464．若向量a =(1，-1，2)，b =(0，3，4)，则cos<a ，b >=( )．A ．12 D ．-125．右边的程序框图(如图所示)，能判断任意输入的 整数x 的奇偶性．其中判断框内的条件是( )． A ．m =0 B ．x =0 C ．x =1 D ．m =1 6．如图是七位评委为某民族舞蹈打出分数的茎叶 统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )． A ．84，4.84 B ．84，1.6 C ．85，1.6 D ．85，47．空间四点O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (0，0，-1)，C (2，4，3)，若OC =λOA +μOB，则λ，μ的值为( )．A ．2，1B ．2，-1C ．1，2D ．1，-28．若输入x =-5，则右图中程序框图输出的值是( )． A ．3 B ．-2 C ．7 D ．-7 9．某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少 有一次中靶”的对立事件是( )． A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶 10．正方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为1，若E 为DD 1的中点，则B 1到平面ABE 的距离为( )．A ．3 B ．5 C ．3 D ．511．x ，y ∈A ，其中A ={1，2，3，4，5}，在平面直角坐标系中，点M (x ，y )在直线y =x 上的概率为( )． A ．125B ．120C ．115D ．1512．某班共有40人，其中15人会唱歌,20人会跳舞，两项均不会的有10人．现从中随机抽取一人，该同学既会唱歌又会跳舞的概率是( )． A ．78 B ．12 C ．38 D ．18二、填空题(每题5分，共20分)13．一个袋子中装有10个球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．现从中任意摸出一球，不是白 球的概率是 ． 14．已知向量a =(O ，-1，1)，b =(4，1，0)，|λa +b ，则λ= ．15．在区间[0，1]中随机地取出两个数，则两数之和小于56的概率是 . 16．如右图，该程序框图输出的结果为 ．答题纸教学班级姓名 A卷总分总分一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分）13. 14.15. 16.三．解答题（每题10分，共20分）17．盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各1张，每张卡片被抽出的可能性都相等，现从盒中有放回地取两次，每次取一张．求：(1)抽出的2张卡片上的数字恰好相同的概率a；(2)抽出的2张卡片上的数字互不相同的概率b；(3)抽出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率c；(4)指出右图中算法框图的功能，并写出输出结果的数值．18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求证：PB⊥平面NADM；(3)求N点到平面PCD的距离．B 卷 本卷满分：50分四、选择题(每题5分，共15分)19．“双曲线的方程为29x -216y =1”是“双曲线的渐近线方程为y =±43x ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20．设椭圆2x m +2y n=1上一点P 到其左焦点的距离为5，到右焦点的距离为1，则m 的值为( )．A ．36B ．9C ．6D ．321．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足1MF ²2MF=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．(0，12] C ．(0，2) D ．[2，1) 五、填空题(每题5分，共15分)22．椭圆24x +29y =1的焦点坐标是 ．23．设椭圆22x m +22y n=1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ． 24．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两定点，k 为非零常数，|PA |-|PB|=k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若OP =12(OA +OB)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线225x-29y=1与椭圆235x+y2=1有相同的焦点．其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)．六、解答题(每题10分，共20分)25．设集合A={-3，-2，-1，1，2，3)，m，n∈A(m，n可以相等).(1)求方程mx2+ny2=1表示的曲线是圆的概率；(2)求方程mx2+ ny2=1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆的概率；(3)求方程mx2+ ny2=1表示的曲线是双曲线的概率.26．如图，椭圆C：22xa+22yb=1(a＞b＞0)的一个焦点为F(1，0)，且过点(2，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l∶x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．i．求证：点M恒在椭圆C上；ii．求△AMN面积的最大值．参考答案一、选择题(每题5分，共60分)二、填空题(每题5分，共20分)13．71014． 3或-215．257216．511三、解答题(每题5分，共20分) 17．(1)0.25 (2)0.75 (3)0.5 (4)0.2518．(1)证明略 (2)证明略 (3) 1 3四、选择题(每题5分，共15分) 19．A 20．B 21．C 五、填空题(每空5分，共15分)22．(0．216x+212y=1 24．③④六、解答题(每题10分，共20分)25．(1)112；(2)112；(3)12.26．(1)椭圆C的方程为24x+23y=1．(2)(i)由题意得F(1，0)，N(4，0)，设A(m，n)，则B(m，-n)(n≠0)，24m+23n=1．①AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)+(m -4)y =0．设M (x 0，y 0)，则有0000(1)(1)0,(4)(4)0,n x m y n x m y ---=⎧⎨-+-=⎩由②，③得x 0=5825m m --，y 0=325nm -由于204x +203y =22(58)4(25)m m --+223(25)n m - =22(58)4(25)m m --+223(25)n m -=222(58)124(25)m n m -+-=222(58)3694(25)m m m -+--=1 所以点M 恒在椭圆C 上． (ⅱ)△AMN 的面积S △AMN =12|FN |²|y 1- y 2|=23| y 1- y 2|有最大值92. ②③。

高中二年级数学(上)第七章第一单元测试题时间：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的． 1． 下列命题：（1）直线的倾斜角为α；则直线的斜率为tan α； （2）若直线的斜率为tan α；则此直线的倾斜角为α； （3）任何一条直线都有倾斜角；但不是每一条直线都存在斜率； （4）直线的倾斜为α；则sin 0α≥；（5）直线的斜率为0；则直线的倾斜角为0或π． 其中正确有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2． 直线0l ax by y ++=：平行于直线3210x y -+=；且在x 轴上的截距为1；则a b ，的值分别为（ ）A ．3和2-B ．6和4-C ．3-和2D ．6-和43．x 轴上一点(0)m ，到一、三象限平分线的距离为（ ）A ．2mB C D ．m4． 已知直线370x y +-=；20kx y --=和x 轴；y 轴围成的四边形有外接圆；则实数k 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45． 若0ac>且0bc <；直线0ax by c ++=不通过（ ）A ．第三象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第二象限6． 已知点(01)M -，；点N 在直线10x y -+=上；若直线MN 垂直于直线230x y +-=；则N点的坐标是（ ）A ．(23)--， B ．(21)， C ．(23)， D ．(21)--， 7． 若π02α-<<；则经过两点1(0cos )P α，；2(sin 0)P α，的直线的倾斜角为（ ） A ．αB ．α-C ．π5α+ D ．π+α8． 已知直线1l 和2l 的夹角平分线为y x =；如果1l 的方程为0ax by c ++=(0)ab >；那么2l 的方程为（ ）A ．0bx ay c ++=B ．0bx ay c +-=C ．0ax by c-+=D ．0bx ay c-+=9． 已知直线130kx y k -+-=；当k 变化时；所有直线都经过的定点为（ ）A ．(00)，　B ．(01)，　C ．(31)，　D ．(21)，　10． 由5条直线：20x y +-=；220x y +-=；320x y +-=；420x y +-=；520x y +-=可以组成三角形的个数为（ ） A ．0B ．2C ．10D ．以上都不对11． 在直角坐标系xOy 中；已知AOB △的三边所在直线的方程分别是0x =；0y =；2330x y +=；则AOB △的内部和边上的整点（即横、纵坐标都为整数的点）的总数是（ ） A ．95 B ．91 C ．88 D ．7512． 已知等腰直角三角形斜边所在直线的方程320x y -+=；直角顶点坐标为(32)-，；则两条直角边所在直线的方程分别为（ ） A ．240270x y x y +-=--=， B ．350270x y x y -+=+-=， C ．240270x y x y -+=+-=， D ．3220220x y x y --=-+=，二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分；把答案填写在题中横线上．13．a R ∈；直线sin 10x a +=的倾斜角的变化范围是．14． 将直线10x y -=绕点沿逆时针方向转动15︒；则旋转后直线的方程是． 15． 已知直线1l 的方向向量(13)=，a ；若直线2l 经过点(05)，且12l l ⊥；则直线2l 的方程为 ．16． 若实数x ；y 满足3250(13)x y x --=≤≤；则yx的最大值、最小值分别为 ．三、解答题：本大题共8小题；共74分；解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17．(本小题8分) 当且仅当m 为何值时；经过两点(231)A m -，；(52)B m ，的直线的斜率为3？18．(本小题8分) 直线l 经过点(34)P ，0y -=倾斜角的2倍；求直线l 的方程．19．(本小题8分) 已知(33)A --，；(22)B -，；(21)P -，；如图所示；若直线l 过P 点且与线段AB 有公共点；试求直线l 的斜率k 的取值范围．20．(本小题8分) 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程．21．(本小题8分) 求过点(11)--，的直线使它与直线230x y ++=的夹角为arctan 2．22．(本小题10分) 两平行线1l ；2l 分别过点1(10)P ，与2(05)P ，； ⑴若1l 与2l 距离为5；求两直线方程； ⑵设1l 与2l 之间距离是d ；求d 的取值范围．23．(本小题12分) 已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等；并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24；求直线l 的方程．24．(本小题12分) 光线从(34)A -，点射出；到x 轴上的B 点后被x 轴反射到y 轴上的C 点；又被y 轴反射；这时反射线恰好过点(16)D -，；求BC 所在直线的方程．高中二年级数学(上)第七章第一单元测试题答案一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．1． B 2． D 3． B ．4． C ．5． C ．6． C ．7． C 8． A 9． C 10． A ．9． B 11． A 12 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分；把答案填写在题中横线上． 13． 50ππ⎡⎤⎡⎫π⎪⎢⎥⎢66⎣⎦⎣⎭，，．14． y ．15． 3150x y +-=．16． 23；1-． 三、解答题：本大题共8小题；共74分；解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17．(本小题8分) 解：312325AB m k m--==-；即33225m m -=-；解得12m =．18．(本小题8分)0y -=的倾斜角为α；则所求直线倾斜角为2α． 2tan [0)23ααααππ=∈π∴=∴=3，，，；∴所求直线的斜率2tan 2tan k απ===3∴所求直线方程为43)y x -=-40y +--．19．(本小题8分) 解：1(3)42(3)PA k --==---；1(2)3224PB k --==---；∴要使直线l 与线段AB 有公共点；k 的取值范围应该是k 3≤-4；或k ≥4．20．(本小题8分) 解：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，．得交点为59()22--，． 设所求直线斜率为k ；由一条直线到另一条直线的角的公式得31313113k k--=+⨯+；7k =-．所以所求直线方程为7220x y ++=．21．(本小题8分) 解：已知直线的斜率为12-；设所求直线的斜率为k ．由夹角公式得1122112k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭；解得34k =．∴所求的直线为31(1)4y x +=+．又∵过点(11)--，与y 轴平行的直线10x +=也符合要求．∴直线方程为3410x y --=或10x +=．22．(本小题10分) 解：⑴设1l 的方程为(1)y k x =-； 5=；解之得0k =或512． 1l ∴的方程为0y =或51250x y --=．利用两平行直线间的距离公式可得2l 的方程为5y =或512600x y -+=．⑵显然这两条直线之间的最大距离即1P ；2P (d ∈∴． 23．(本小题12分) 解：直线3470x y +-=的斜率是34-； l ∵与直线3470x y +-=的倾斜角相等；l ∴的斜率为34-． 设直线l 的方程为34y x b =-+；l 的横截距为43b x =． l ∵与两坐标轴围成的三角形面积为24；142423bb =∴；即6b =±． ∴直线l 的方程是364y x =-±；即34240x y +±=． 24．(本小题12分) 解：A 点关于x 轴的对称点(34)A '--，及D 点关于y 轴的对称点(16)D '，均在BC 上；故BC 的方程为616413y x --=++；即5270x y -+=．。

2023级高二年级数学试题一、单选题1．平面内点P 到、的距离之和是10，则动点P 的轨迹方程是（ ）()13,0F -()23,0F A ．B ．221259x y +=2212516x y +=C ．D ．221259y x +=2212516y x +=【答案】B2．已知点，，若过点的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值()2,3A -()3,2B --()1,1范围是（ ）A ．B ．[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ (]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C ．D ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B3．如图，三棱柱中，G 为棱AD 的中点，若，，，则ABC DEF -BA a = BC b=BD c = （ ）CG =A ．B ．1122a b c -+ 1122a b c ++ C ．D ．311222a b c -+ 311222a b c ++ 【答案】A4．若直线平分圆的周长，则等于（ ）250x y a -+=()()22219x y -++=a A ．9B ．C ．1D ．9-1-【答案】B5．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为()()22:111M x y +++=()()22:431N x y -++=l l （ ）A ．B ．104230x y --=104230x y +-=C ．D ．2570x y --=2570x y ++=【答案】A6．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长12,F F 221259x y +=P 12PF F 等于（ ）A ．B．⎡⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎤⎢⎥⎣⎦[故选：B.8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之M A B 比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，(0,1)λλλ>≠M M 9,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一()5,0B 35229x y +=个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小22:4O x y +=M ()1,0A -()1,1B 2MA MB +值为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M 到定点B ，N 距(4,0)-N ||2||MN MA =离和的最小值作答.【详解】如图，点M 在圆上，取点，连接，有22:4O x y +=(4,0)-N ,MO MN ，||2||4ON OM ==当点不共线时，,,O M N ||||2||||OM ON OA OM ==∽，AOM MON △则有，当点共线时，有||||2||||MN OM MA OA ==,,O M N 因此2||||||(MA MB MN MB BN +=+≥=-圆O 的交点时取等号，所以的最小值为.2MA MB +26故选：C二、多选题9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=A ．始终过定点B ．若，则或2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l 10．在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线1111111段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（ ）1A B 110MC NC =≠A ．平面//MN 11ABB A B ．异面直线与所成的最大角为MN AP 60︒C ．三棱锥的体积为定值P CDM -P ABCD -12π故选：ACD.11．已知点在圆上，点、，则（ ）P ()(25516x y -+-=4,0A 0,2B A ．点到直线的距离小于P AB 10B ．点到直线的距离大于P AB 2C ．当最小时，PBA ∠PB =D ．当最大时，PBA ∠PB =【答案】ACD【详解】圆()()2255x y -+-=如下图所示：当最大或最小时，PBA ∠PB ()()220525BM =-+-=CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线上一点到直线的距离的取值范围是C P l 三、填空题221215x y m m +=--13．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x 轴()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F 2F 两点，且110,12AF AB ==14．已知圆C ：，若直线上总存在点P ，使得过点P 的圆C114x y ++-=5y kx =+四、解答题15．已知圆和圆．221:230C x y y ++-=222:4210C x y x y +--+=(1)求证：圆和圆相交；1C 2C 1C 2C16．已知动点与两个定点，的距离的比是2.P 4,0B (1)求动点的轨迹的方程；P Cl ()2,1C l17．已知，是椭圆C ：的两个焦点，，为1F 2F ()222210+=>>x y a b a b 122F F =M ⎛ ⎝C 上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；112PF F F ⊥12F PF 所以218．在四棱锥中，P ABCD -．,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：；BD PA ⊥PAB19．已知椭圆：的右焦点为F （1，0），短轴长为2.直线过点F 且C ()222210+=>>x y a b a b l不平行于坐标轴，与有两个交点A ，B ，线段l C 的中点为M .AB (1)求椭圆的方程；C (2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；OM l (3)延长线段与椭圆交于点P ，若四边形OM COAPB l。