数学-重庆市第一中学2018届高三下学期第二次月考(5月)试题(文)(扫描版)

重庆市第一中学2018届高三下学期第二次月考（5月）试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. ）象限A. 一B. 二C. 第三D. 四【答案】D【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：则复数对应的点为，该点位于第四象限，对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. ）【答案】B.详解：由向量垂直的充分必要条件可得：，则：本题选择B选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，平面向量数量积的夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 为等差数列）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】D【解析】分析：由题意结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由等差数列前n，结合等差数列的性质可得：本题选择D选项.点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列性质的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 若将函数（）【答案】A的图象，则其对称中心为当时，得出对称中心坐标为，选A. 【点睛】的图象沿轴向左（或向右）（个单位得到函数（或6. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）..............................【答案】C【解析】将三视图还原为几何体是：将边长为2的正方体切去一个边长为1的正方体；故体故选C.7. ）B. C. D.【答案】C故选C.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8. 中，点积的6倍的概率为（）【答案】C【解析】分析：首先确定点E所在的位置，然后利用长度型几何概型计算公式整理计算即可求得最终结果.的面积不大于的面积的6倍，则：结合点为边的中点可得：，由长度型几何概型计算公式可得满足题意的概率值为本题选择C选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．9. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】假设甲获奖，则甲、乙、丙都回答错误，丁回答正确，符合题意，所以甲获奖，故选：A．10. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式函即可用如图所示的程序框图来求某多项式的值.若输入16）C. 1D. 2【答案】B【解析】分析：由题意首先确定流程图的功能，然后结合选项排除错误选项即可求得最终结果.AD错误；C错误；本题选择B选项.点睛：本题主要考查流程图的阅读，秦九韶算法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 为抛物线7）D.【答案】A【解析】分析：由题意结合面积公式得到关于k的方程，解方程即可求得最终结果.，直线AB，则，则△BOF的面积，结合题意可得：求解关于k的方程可得：，故.本题选择A选项.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12. 已知关于的方程为（其中，则此方程实根的个数为（）A. 2B. 2或3C. 3D. 3或4【答案】C【解析】分析：将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可求得最终结果.，与函数，则，列表考查函数的单调性与函数绘制函数图像如图所示，与函数3个交点，即题中方程实根的个数为3.本题选择C选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. _______.【解析】分析：由题意确定a,b的关系，然后利用离心率的计算公式整理计算即可求得最终结果.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 已知实数满足条件_______.【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标还是的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，点睛：本题主要考查线性规划求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 高三即将毕业之际，5名学生邀请两位老师站成一排合影留念，则两位老师不相邻且都不站在两端的方法种数为_______.【答案】1440【解析】分析：由题意结合排列组合知识整理计算即可求得最终结果.详解：首先将学生排队，然后将两个老师插空可得满足题意的方法种数为：点睛：本题主要考查排列组合知识及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 为正项数列，记数列______.【解析】分析：由题意首先求得，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.，结合以下用数学归纳法进行证明：，解得：综上可得数列的通项公式是正确的.利用等差数列前n结合对勾函数的性质可知，当点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. ，向量，（1（2的面积为【答案】(2)无解.【解析】分析：（1（2）结合(1)，.详解：（1，，再由由余弦定理：，，所以事实上上述数据无法构成三角形，故无解.点睛：本题主要考查向量平行的充分必要条件，三角形面积公式和余弦定理在解三角形中的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 如图，边长为3所在的平面互相垂直，（1）求证：（2.【答案】(1)证明见解析；【解析】分析：（1（2）以为原点，，平面详解：（1）过为平行四边形，故（2设平面的一个法向量为又设平面的一个法向量为从而求二面角的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19. 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付.为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查了50个人，并把调查结果制成下表：（1（2）若分别从年龄在2人进行调查，记选中的4人0.100 0.050 0.025【答案】(1)答案见解析；【解析】分析：（1）结合题意完成列联表，计算观测值可得以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）的取值为0，1，2，3，4.计算可得，，，，据此得到分布列，计算相应的期望值为.详解：（1），没有以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联.（20，1，2，3，4.，，从而的分布列为：点睛：本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. ：的右焦点：相切于点，上的点的最小距离为（1）求椭圆（2）不在以的面积的取值范围.【答案】【解析】分析：（1）由题意计算可得的方程为（2的斜率不存在时，的斜率存在时，联立直线方程详解：（1），又，（2的斜率不存在时，则可知*），为直径的圆的内部等价于：将（*）代入上式，化简整理得又点到的距离，综上，.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数（1为增函数，求实数的取值范围；（2时，函数.【答案】【解析】分析：（1）原问题等价于（2，据此可得的最小值，讨论可得其值域为.详解：（1）在在为增函数，.（2在上是增函数，上递增；有最小值，，，故的最小值.易得点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. （为参数，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1的普通方程和曲线（2）已知点.【答案】【解析】试题分析：（1（2的，所以，分类讨论就可以得到相应的值．解析：（1）由曲线的极坐标方程得．（2）设曲线上任意一点，当时，，即点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．23. 已知函数（1（2中的最小元素为【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）（2，则题中的不等式等价于*），，三式累加即可证得题中的结论.详解：（1（2*），三式累加得（*）式.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ， 则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）x a x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a ，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+= 对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立， 令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xa x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立， 所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a a a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=e a a e e m 解得112-+>e e a . 综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ，∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x 解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立 ⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。

南宁二中2024年11月高三月考数学（时间120分钟，共150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数是的共轭复数，则（ ）A.2B.3C.D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A.D.34.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.5.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）A.B. C. D.6.已知，则（ ）A. B. C.1 D.37.已知函数的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）U =R {}{03},1A xx B x x =≤<=>∣∣()U A B ⋃=ð{3}x x <∣{01}x x ≤<∣{}01xx ≤≤∣{}0xx ≥∣1i,z z =-z i z z -=()22210y x b b-=>y =b =13,,a b c a b c >>0a b c ++=22ab cb >222a cc a+≥a b >0ab bc +>19294923π2tan 43θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos2sin cos θθθθ=-1310-1013-()(02)f x kx x =<≤31,2⎛⎫⎪⎝⎭kA. B. C. D.8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）年龄454036322928人数121321A.中位数是34B.众数是32C.第25百分位数是29D.平均数为34.310.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（）A.若，平面平面B.若，直线与平面C.若直线和异面，点不可能为底面的中心D.若平面平面，且点为底面的中心，则11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A.函数的图象关于点对称B.⎛ ⎝(⎫⎪⎪⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y =ω[)2,5[)1,5[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦E ABCD -ABCD CDE V M DE N ABCD BC DE ⊥CDE ⊥ABCDBC DE ⊥EA ABCD BM EN N ABCD CDE ⊥ABCD N ABCD BM EN≠R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()42f x g x --=()()2g x f x '=-'()2f x +()f x ()2,0()()354g g +=-C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正三角形的边长为为中点，为边上任意一点，则__________.13.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________.14.拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心分别为正，正，正的中心.现已知，则的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等差数列中，.（1）令，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.16.（本小题满分15分）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名上场104020241()2024k g k ==-∑20241()0k f k ==∑ABC 2,O BC P BC AP AO ⋅=,3,,P ABC AC PB AB BC AB BC -==⊥=P AB C --60 P ABC -ABC V 123,,O O O ACD V ABE V BCF V 1232,30,AB ACB O O O ∠==V ABC V {}n a 5108,23a a ==732n a nb +={}n b {}n nb n n S 4100⨯4100⨯0.1α=未上场6合计24（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.（i ）求的值；（ii ）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.附：.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形､平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）（1）若，求证：点四点共面；（2）若，是否存在点，使得与平面，若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）已知椭圆，四点22⨯4100⨯0.5,,x y 0.7,0.8,0.3,x y ()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αP ABCD -PBC V ABCD PBC ⊥,,ABCD O E ,BC PA F PB 23PF PB =,,,O D E F 22BC AB ==F EF PCD PFBF()2222:10x y E a b a b+=>>，其中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.19.悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形，（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；（3）已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.()()31241,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎝E E A B ､E l E C D ､AC BD ､12k k ､127k k =l ()e e 2x x D x -+=()e e 2x xR x --=()()()()2222R x y D x R x Dx ⎡⎤=--⎣⎦y t =()y D x =()y R x =123,,x x x (123ln 1x x x ++>()()()2f x D x aR x b =--,a b ∈R ()4f x ≤))ln1,ln1x ⎡⎤∈⎣⎦a b +南宁二中2024年11月高三月考数学参考答案1.【答案】A 【详解】因为，所以，所以.故选：A.2.【答案】D 【详解】故选：D.3.【答案】C 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，因为有一条渐近线方程为，所以.故选：C.4.【答案】C 【详解】由题，，取，则，故A 错误；，故错误；，故D 错误；因为，所以，即，故C 正确.故选：C.5.【答案】C 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为故选：C.6.【答案】B 【详解】由，解得，故.故选：B.{},1U B xx ==>R ∣{}U 1B x x =≤∣ð(){}U {03}1{3}A B x x x x x x ⋃=≤<⋃≤=<∣∣∣ð()i 1i i 1i 22i z z -=--+=-==()22210y x b b-=>y bx =±y =b =0,0a c ><1,0,1a b c ===-22ab cb =2522a c c a +=-B 0ab bc +=()()()220a b a b a b c a b -=+-=-->22a b >a b >4381=212432C C A 36=364819P ==πtan 12tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭tan 5θ=-()()()()22sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos2sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+-===-+---()2222sin cos sin tan tan 10cos sin tan 113θθθθθθθθ-+--===-++7.【答案】C 【详解】由，令，，要使的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，，此时；当时，，此时故.8.【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，，故选：D9.【答案】BCD 【详解】对于A ､B ，把10个人的年龄由小到大排列为，这组数据的中位数为32，众数为32，故A 错误，B 正确；对于C ，由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，故正确；对于，这组数据的平均数，故D 正确.故选：BCD.10.【答案】AC 【详解】因为，所以平面，平面，所以平面平面，A 项正确；设的中点为，连接，则.平面平面，平面平面平面.()0f x kx kx ==⇒=()[]0,2g x y x ==∈()[],0,2h x kx x =∈(),(02)f x kx x =-<≤31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x ()h x ()g x ()h x 1x =()11g =1k =32x =32g ⎛⎫== ⎪⎝⎭k ==k ⎫∈⎪⎪⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π4π323T T ≤⇒≥2π0T ωω⎧=⎪⎨⎪>⎩302ω<≤()2sin 2f x x ω==()π2π2k x k ωω=+∈Z ()f x ()0,∞+2y =π2ωπ2π2ωω+πππ2π222ωωω≤<+15ω≤<312ω≤≤28,29,29,32,32,32,36,40,40,4525%10 2.5⨯=C D 28229332362404534.310x +⨯+⨯++⨯+==,,BC CD BC DE CD DE D ⊥⊥⋂=BC ⊥CDE BC ⊂ ABCD ABCD ⊥CDE CD F EF AF ､EF CD ⊥ ABCD ⊥CDE ABCD ⋂,CDE CD EF =⊂CDE平面，设平面所成的角为，则，，故B 项错误；连接，易知平面，由确定的面即为平面，当直线和异面时，若点为底面的中心，则，又平面，则与共面，矛盾，C 项正确；连接平面平面，分别为的中点，则，又，则，D 项错误.故选：AC.11.【答案】ABD 【详解】对于A ，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A 正确；由，得，则，又，于是，令，得，即，则，因此函数是周期函数，周期为4，对于B ，由，得，B 正确；对于C ，显然函数是周期为4的周期函数，，，则C 错误；对于D ，，则，D 正确.故选：EF ∴⊥ABCD EA ABCD θEAF θ∠=AF EF AE ======sin EF EA θ==BD BM ⊂BDE B M E ､､BDE BM EN N ABCD N BD ∈E ∈BDE EN BM ,FN FN ⊂ ,ABCD EF ⊥,ABCD EF FN ∴⊥F N ､CD BD ､112FN BC ==EF =2,EN BM ====BM EN ≠()2f x +()()22f x f x -+=-+()()220f x f x -++=()f x ()2,0()()2g x f x '=-'()()2g x f x a =-+()()42g x f x a -=-+()()42f x g x --=()()22f x f x a =-++1x =2a =-()()2f x f x =-()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=()f x ()()22g x f x =--()()()()3512324g g f f +=-+-=-()g x ()()()()13354g g g g +=+=-()()()()2402224g g f f +=-+-=-2024411()506()506(8)4048,k k g k g k ====⨯-=-∑∑()()()()130,240f f f f +=+=2024411()506()0k k f k f k ====∑∑ABD12.【答案】3 【详解】因为三角形是正三角形，为中点，所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，所以.13.【答案】【详解】要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故，此时，又都在面上，故面，且设外接圆半径为，则由余弦定理，所以，即，故其表面积为故答案为：14.【详解】连接，因为分别为正，正的中心，所以，又，所以，又因为，所以，由勾股定理得，即，由余弦定理，即，解得，ABCO BC AO BC ⊥AO OP ⊥ABC AO ==()223AP AO AO OP AO AO OP AO ⋅=+⋅=+⋅==40π3P ABC d max sin60d PB =⋅ PB AB ⊥,,,AB BC PB BC B PB BC ⊥⋂=PBC AB ⊥PBC 60PBC ∠=PBC V r 2222212cos603223272PC PB BC PB BC =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅= PC=2sin60PC r ==r =22211023R r AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2404ππ3R =40π313,CO CO 12,O O ACD V ABE V 1331,,30,30CO AC CO BC O CB O CA ∠∠==== 30ACB ∠= 1390O CO ∠= 123213O O O S O ==V 132O O =2221313CO CO O O +=22224,12AC BC AC BC ⎫⎫+=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅ 412BC =-⋅AC BC ⋅=所以..15.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，因为，所以，联立解得：，所以.所以，所以.所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.（2）所以数列的前项和.两式相减得.16.【答案】解：（1）根据题意，可得的列联表：队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名合计1sin302ABC S AC BC =⋅=V {}n a d 5108,23a a ==1148,923a d a d +=+=14,3a d =-=()43137n a n n =-+-=-73220n a n nb +==≠11222n n n n b b ++=={}n b 2nn nb n =⋅{}n nb n 23222322nn S n =+⨯+⨯+⋯⋯+⋅()2322222122n n n S n n +=+⨯+⋯⋯+-⋅+⋅212222nn n S n +-=++⋯⋯+-⋅()12212.21n n n +-=-⋅-()1122n n S n +=-⋅+22⨯上场301040未上场61420合计362460零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；故张三是这支队伍的明星队员.（2）由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，事件C ：张三作为四棒参赛，事件D ：张三上场且队伍获得第一名；则；（i ）由全概率公式：，即；与联立解得：.（ii ）由条件概率公式：.17【详解】（1）证明：【法1】延长，于延长线交于点，因底面是矩形，且是的中点，故，则是中点，.连，连交于点，0H ()()()()2220.1()60(3014106)4511.25 2.706362440204n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-⨯====>=++++⨯⨯⨯0.1α=0.5,,x y 0.7,0.8,0.3A B ()()()()()()0.5,,,0.7,0.8,0.3P A P B x P C y P DA P DB P DC ======∣∣∣()()()()()()()0.50.70.80.30.7PD P A P D A P B P D B P C P D C x y =++=⨯++=∣∣∣83 3.5x y +=0.510.5x y x y ++=⇒+=0.4,0.1x y ==()()()P DC P C D P D =∣()()()0.10.330.770P C P D C P D ⨯===∣DO AB T ABCD O BC 12OB AD ∥B AT EB ET PB F '因是中点，故，由得，，又因，故点即点，所以四点共面.【法2】因底面是矩形，故，过作直线与平行，则与也平行，故直线与共面，直线也与共面，延长与交于点，连接与直线交于点.则，因是中点，由得，于是，因是的中点，则且，由得，又因，故点即点，所以四点共面.【法3】，系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面E PA 12EB PT ∥EBF TPF ''V V ∽2PF F B '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ABCD AD ∥BC P l AD l BC l AD l BC DE l G OG PB F ',PGE ADE PGF BOF ''V V V V ≌∽E PA PGE ADE V V ≌PG AD ∥PG BC ∥O BC PG ∥OB 2PG OB =PGF BOF ''V V ∽2PF BF '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ()()222121221333333333PF PB PO OB PO DA PO PA PD PO PE PD ==+=+=+-=+- ,,,O D E F（2）因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即，令，则，所以..设，则设与平面所成角为，则，解得此时或，此时18.（1）由椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，,PB PC O =BC PO BC ⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =PO ⊂PBC PO ⊥ABCD AD Q OQ ,,OQ OC OP ,,OQ OC OP ,,x y z ()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,A B C D P --()()(0,2,0,1,0,0,0,AD CD CP ===- PCD (),,a x y z = 0,0,a CD a CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1z =y =()a = (01)PF k k PB=<<((11110,1,1,1,,2222EF PF PE k PB PA k k ⎛⎫=-=-=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭ EF PCD θsin cos ,EF a EF a EF a θ⋅====⋅ 13k =12PF BF =23k =2PF BF=34,P P 4P 1P 234,,P P P代入椭圆方程得，解得椭圆的方程为：（2）说明：其他等价形式对应给分.依题意，点（i ）若直线的斜率为0，则必有，不合题意（ii ）设直线方程为与椭圆联立，整理得：，因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为，所以，所以，即，因为，所以，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩224,1a b ==⋯E 221;4x y +=()()2,0,2,0,A B -l 12k k =-l ()2,x ty n n =+≠±E 2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y nty n +++-=()()122222221222,4Δ44440,4.4tn y y t t n t n n y y t ⎧+=-⎪⎪+=-+->⎨-⎪=⎪+⎩()11,C x y 221114x y +=BC 3k 2121111322111111422444x y y y k k x x x x -⋅=⋅===+---123174k k k =-=23281k k ⋅=-()()()()()()1212122322121212122828282822222(2)y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅===--+-+-+-++-()()()()()()()2222222222228428244222422(2)44n n t t n t n t n n t t n n n t t -++==-+-+-+--+-++()()2827141422n n n n ++===---32n =-故直线恒过定点；19.【详解】（1），令，则所以为偶函数，故曲线是轴对称图形，且关于轴对称（2）令，得，当时，在单调递减，在单调递增，所以，且当时，，当时，又恒成立，所以在上单调递增，且当时，，当时，且对任意，所以的大致图象如图所示，不妨设，由为偶函数可得，与图象有三个交点，显然，令整理得，解得或所以，即，又因为，所以.l3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()22222e e 1e e x x x xR x y D x R x D x --⎛⎫-⎡⎤=--=- ⎪⎣⎦+⎝⎭()2e e 1e e x x x x g x --⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭()()22e e e e 1l ,e e e e x x x x x x x x g x g x ----⎛⎫⎛⎫---=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()g x ()()()()2222R x y D x R x D x ⎡⎤=--⎣⎦y ()e e 02x xD x --=='0x =0x >()()()0;0,0,D x x D x D x <'><'(),0∞-()0,∞+()()01D x D ≥=x ∞→-()D x ∞→+x ∞→+()D x ∞→+()e e 02x xR x -+=>'()R x R x ∞→-()R x ∞→-x ∞→+(),R x ∞→+⋅()(),x D x R x ∈>R 123x x x <<()D x 120x x +=y t =1t >()e e 1,2x x R x t --==>2e 2e 10x x -->e 1x >e 1x <(ln 1x >(3ln 1x >120x x +=(123ln 1x x x ++>+（3）设，则，所以因为单调递增，所以时，，即由即，该不等式组成立的一个必要条件为：和时同时满足，即，所以，当时等号成立；下面分析充分性：若时，显然对恒成立，从而，满足题意综上所述：的最大值为()e e 2x x R x m --==()222e e 2212x xD x m -+==+()()()2221,f x D x aR x b m am b =--=+--()e e 2x xR x --=))ln 1,ln 1x ⎡⎤∈-+⎣⎦()[]1,1R x ∈-[]1,1,m ∈-()244214f x m am b ≤⇔-≤+--≤22250230m am b m am b ⎧--+≥⎨---≤⎩1m =-1m =7117a b b a -≤--≤⎧⎨-≤-≤⎩7a b +≤4,3a b ==4,3a b ==2222222502435021023024330230m am b m m m m m am b m m m m ⎧⎧⎧--+≥--+≥-+≥⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨---≤---≤--≤⎪⎩⎪⎩⎩[]1,1m ∀∈-()4f x ≤a b +7.。

重庆市巴蜀中学教育集团高2027届高一（上）月考考试数学试卷（命题人：先莹莹､唐莲骄，审题人：何方印）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{16}A xx =−<<∣，集合{}351B x x =−>∣，则A B = （ ） A. {16}x x −<<∣B. {26}x x <<∣C. {12}x x −<<∣D. ∅【答案】B【解析】 【分析】解不等式化简集合B .【详解】依题意，{|2}B x x ，而{16}A xx =−<<∣， 所以{|26}A Bx x =<< . 故选：B2. 命题2:,3450p x M x x ∀∈++≥的否定是（ ）A. 2,3450x M x x ∀∉++≥B. 2,3450x M x x ∀∈++<C. 2,3450x M x x ∃∈++≥D. 2,3450x M x x ∃∈++<【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,3450x M x x ∀∈++≥的否定是2,3450x M x x ∃∈++<.故选：D3. 函数()f x = ）A. {2x x ≥∣或1}x ≤B. {2x x >∣或1}x <C. {}12xx ≤≤∣ D. {12}x x <<∣ 【答案】B【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得.【详解】函数()f x =有意义，则2320x x −+>，解得1x <或2x >，所以函数()f x ={2xx >∣或1}x <. 故选：B 4. 已知命题:1p a >且1b >，命题()():110q a b −−>，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若1a >且1b >，则10,10a b −>−>，即(1)(1)0a b −−>，因此p q ⇒，若(1)(1)0a b −−>，则1a >且1b >，或1a <且1b <，即q 不能推出p ，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.故选：A5. 若{}{}2,1,0,2,1A a a B a =+=，满足A B A = ，则a =（ ） A. 0B. 1±C. 1D. 1−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用并集的结果，结合元素的互异性求解即得.【详解】由集合{}2,1,0A a a =+，得20a ≠，且10a +≠，则0a ≠且1a ≠−，由A B A = ，得B A ⊆，又11a +≠且20a ≠，因此2121a a a += =， 所以1a =.故选：C6. 已知220,0,1,424x y M x y N x y >>=++=−−，则（ ）A. M N >B. M N <C. M ND. M N ､的大小与x y ､的取值有关【答案】A【解析】【分析】用作差法比较代数式大小即可. 详解】()221424M N x y x y −=++−−− ()()22210x y =−++≥当且仅当2,1x y ==−时取等号，但0,0x y >>，则无法取到等号，故0M N −>，即M N >.故选：A.7. 已知正数,x y 满足1211x y +=+，则2x y +的最小值是（ ） A. 8B. 7C. 6D. 5 【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由正数,x y 满足1211x y +=+，得222(1)2[2(1)12)1](x y x y x yy x +=++++−=+−+4(1)2261x y y x +=++≥+=+，当且仅当4(1)1x y y x +=+，即2(1)4y x =+=时取等号， 【所以当1,4x y ==时，2x y +取得最小值6. 故选：C8. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人A. 24B. 26C. 28D. 30【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得.【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合A ，去了南山一棵树的同学组成集合B ，去了磁器口的同学组成集合C ， 依题意，()55,()31,()21,()30,()10,()7n A B C n A n B n C n A B n B C ====== ， 而()0n A B C = ，由容斥原理得55312130107()n A C =++−−− ，解得()10n A C = ，所以只去了一个地方的有551071028−−−=(人).故选：C二､多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知a b c >>，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b < B. ac bc > C. 2a b c +> D. 11a b a c>−− 【答案】CD【解析】【分析】根据a b c >>，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项．【详解】对于A ，取1,1a b ==−，满足a b >，同时11a b>，故错误； 对于B ：取2,1,0a b c ===，满足a b c >>，此时ac bc =，故错误； 对于C ：由a b c >>，可得2a b c c c +>+=，正确；对于D ：由a b c >>，的得0a c a b −>−>，由不等式的性质可得：11a b a c>−−，正确；故选：CD10. 命题“2,(1)(22)30x a x a x ∀∈−+−−<R ”为真命题的充分不必要条件是（ ）A. 20a −<<B. 21a −<<C. 22a −<<D. 23a −<<【答案】AB【解析】【分析】利用一元二次不等式恒成立求出a 的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.【详解】由2,(1)(22)30x a x a x ∀∈−+−−<R ，得当1a =时，30−<成立，则1a =， 当1a ≠时，2104(1)12(1)0a a a −< −+−<，解得21a −<<，因此21a −<≤， 显然(2,0)− (2,1]−，(2,1)− (2,1]−，而22a −<<和23a −<<都不能推出21a −<≤，AB 是，CD 不是.故选：AB11. 已知0,0a b >>，满足3ab a b =++，则下列式子正确的是（ ）A. ab 最小值是9B. a b +的最小值是6C. 1111a b +−+的最小值是12 D. 4a b +的最小值是13【答案】ABD【解析】【分析】对AB ，利用基本不等式构造出关于a b +的一元二次不等式，解出即可；对CD ，利用减少变量的方法，再结合基本不等式即可.详解】对A ，0,0a b >>，33ab a b ∴=++≥+，230∴−−≥，3,9ab ≥∴≥，当且仅当3a b ==时等号成立.故A 选项正确；对B ，0,0a b >> ，232a b ab a b + ∴=++≤，2()4()120a b a b ∴+−+−≥ 6a b ∴+≥，当且仅当3a b ==时等号成立故B 选项正确； 的【.对C ，11(1)(1)4,14b a b a −−−=∴=− ，111111111114141222b b a b b b −+∴+=+=+−≥−=−+++， 当且仅当1141b b +=+，即1b =时等号成立， 但是1b =时，a 无解，1b ∴≠，故C 选项错误； 对D ，34111a b a a +==+−− ，因为0b >， 则301a b a +>−，解得1a >或3a <−，因为0a >，则1a >，则10a −>，444414(1)551311a b a a a a ∴+=++=−++≥+=−−， 当且仅当44(1)1a a −=−，即2,5a b ==时等号成立.故D 选项正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知{}*25A x x =∈−≤≤N ∣，它的非空真子集的个数为______. 【答案】30【解析】【分析】利用列举法表示集合A ，进而求出其非空真子集的个数.【详解】依题意，{1,2,3,4,5}A =，所以集合A 的非空真子集的个数为52230−=.故答案为：3013. 已知关于x 的方程220x mx +−=有两个实根12,x x ，满足22128x x +=，则实数m =______. 【答案】2±【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得.【详解】方程220x mx +−=中，280m ∆=+>，而12,x x 是该方程的两个实根， 于是1212,2x x m x x +=−=−，由22128x x +=，得21212()28x x x x +−=， 即248m +=，解得2m =±，所以实数2m =±.故答案为：2±14. 存在正数,x y()4x y λ≥++成立，则λ的最大值是______.【解析】2133=.【详解】0,0,x y λ>>∴≤2133≤ 当且仅当21,433x y y =，即8,12x y ==时等号成立. λλ∴≤.. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知集合2{||21|5},{|280}A x x B x x x =−<=+−≤.（1）求集合,A B .（2）求,()A B A B ∪∩R .【答案】（1）{|23}Ax x =−<<，{|42}B x x =−≤≤； （2）{|43}A B x x =−≤< ，(){|42}A B x x =−≤≤−R . 【解析】【分析】（1）解不等式化简求出集合,A B .（2）由（1）的结论，利用并集、补集、交集的定义求解即得.【小问1详解】解不等式|21|5x −<，得5215−<−<x ，即23x −<<，因此{|23}Ax x =−<<；解不等式2280x x +−≤，得42x −≤≤，所以{|42}B x x =−≤≤. 【小问2详解】由（1）知，{|23}A x x =−<<，{|42}B x x =−≤≤，则R {|2Ax x =≤− 或3}x ≥， 所以{|43}A B x x =−≤< ，(){|42}A B x x ∩=−≤≤−R . 16. 为了促进黄花园校区与张家花园校区之间的便利往来，学校计划在明德楼旁修建电梯.根据公司的报价，购买并安装电梯的费用为25万元，每年在电力､安保等常规管理支出为3万元，使用x 年时，电梯保养的总维护费用为2189x x +万元. （1）设电梯的年平均使用费用为y 万元，求y 关于x 的表达式（注：年平均使用费用=总费用使用时间，单位：万元/年）；（2）考虑到电梯使用年限和经济效益，这部电梯使用多少年后，年平均使用费用最少？【答案】（1）()*255N 9x yx x ++∈ （2）15年.【解析】【分析】（1y 关于x 的表达式；（2）由2559x y x ++，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】由题意，电梯安装费用是25万元，使用x 年时，管理支出为3xx 万元，电梯的保养修费用为2189x x +万元，所以y 关于x 的表达式为()2*182532595N 9x x x x y x x x +++++∈. 【小问2详解】25255593x y x =++≥+= 当且仅当259x x =，即15x =时等号成立. 则这部电梯使用15年后，年平均使用费用最少..17. 已知集合22{|(45)(4)(10)0},{|12}A x x x x x B x a x a a =−−−−≤=+<<−−.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a <−；（2）23a −≤≤−或4a =.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A ，再利用充分不必要条件的定义列式求解.（2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.【小问1详解】由不等式2(45)(4)(10)0x x x x −−−−≤，得2450(4)(10)0x x x x −−≤ −−≥ 或2450(4)(10)0x x x x −−≥ −−≤， 解(1)(5)0(4)(10)0x x x x +−≤ −−≥ ，得14x −≤≤，解(1)(5)0(4)(10)0x x x x +−≥ −−≤，得510x ≤≤， 因此{|14Ax x =−≤≤或510}x ≤≤，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 得A B ，则�aa +1<−1aa 2−aa −2>10，即�aa <−2(aa +3)(aa −4)>0，解得3a <−， 所以实数a 的取值范围是3a <−.【小问2详解】由（1）知{|14Ax x =−≤≤或510}x ≤≤，由A B A = ，得B A ⊆， 当B =∅时，212a a a +≥−−，即2230a a −−≤，解得13a −≤≤，满足B A ⊆，则13a −≤≤，当B ≠∅时，21124a a a −≤+<−−≤或251210a a a ≤+<−−≤，解21124a a a −≤+<−−≤，即�aa ≥−2(aa +1)(aa −3)>0(aa +2)(aa −3)≤0，解得21a −≤<−，解251210a a a ≤+<−−≤，即�aa ≥4(aa +1)(aa −3)>0(aa +3)(aa −4)≤0，解得4a =， 则21a −≤<−或4a =， 所以实数a 的取值范围是23a −≤≤−或4a =.18. 已知关于x 的不等式(21)(,)2a xb a b x −>∈−R .（1）若1,0a b =−=，解上述不等式. （2）若不等式的解集为{1xx <∣或2}x >，求b a 的值. （3）当1b =时，解上述不等式.【答案】（1）1{|2}2x x <<； （2）1−；（3）答案见解析.【解析】 【分析】（1）把1,0a b =−=代入，转化为一元二次不等式求解. （2）化不等式为一元二次不等式，再利用给定的解集，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系求解. （3）把1b =代入，化不等式为一元二次不等式，再分类讨论解含参的不等式即可.【小问1详解】当1,0a b =−=时，不等式(21)02x x −−>−化为(21)(2)0x x −−<，解得122x <<， 所以不等式的解集为1{|2}2x x <<. 【小问2详解】不等式(21)2a xb x −>−0>，即[(2)(2)](2)0a b x a b x −−−−>， 依题意，20a b −>，且1,2是方程[(2)(2)](2)0a b x a b x −−−−=的二根，即0a b +=， 所以1a b=−. 【小问3详解】当1b =时，不等式(21)12a x x −>−化为(21)(2)02a x a x −−−>−，即[(21)(2)](2)0a x a x −−−−>， 当210a −=，即12a =时，3(2)02x −>，解得2x >； 当210a −>，即12a >时，2()(2)021a x x a −−−>−， 而23202121a a a a −−=>−−，解得221a x a −<−或2x >； 当210a −<，即12a <时，2()(2)021a x x a −−−<−，而2322121a a a a −−=−−， 若0a =，则不等式2(2)0x −<无解，若102a <<，则2221a a −<−，解得2221a x a −<<−， 若0a <，则2221a a −<−，解得2221a x a −<<−， 所以当12a >时，原不等式的解集为2{|2}21a x x x a −<>−或； 当12a =时，原不等式的解集为{|2}x x >； 当102a <<时，原不等式的解集为2{|2}21a x x a −<<−； 当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为2{|2}21a x x a −<<−. 19. 已知非空实数集,X Y 满足：若a X ∈，则11a X a +∈−；若b Y ∈，则11Y b −∈+. （1）若2X ∈，直接写出X 中一定包含的元素.（2）若Y 由三个元素组成，且所有元素之和为32−，求Y . （3）若X Y 由2027个元素组成，求X Y ∩的元素个数的最大值.【答案】（1）113,,,223−−； （2）1{2,1,}2Y =−−； （3）674.【解析】【分析】（1）由数集X 的属性求出X 中一定包含的元素.（2）令t Y ∈，求出Y 中的3个元素，进出求出t 值，得数集Y .（3）求出数集,X Y 中元素组成形式，结合元素循环的最小正周期，再分类讨论求出X Y ∩的元素个数的最大值.【小问1详解】若a X ∈，则11a X a+∈−，于是2X ∈，12312X +=−∈−，1(3)11(3)2X +−=−∈−−， 11()12131()2X +−=∈−−，1132113X +=∈−， 所以数集X 中一定包含的元素为113,,,223−−.【小问2详解】若b Y ∈，则11Y b −∈+，于是令t Y ∈，11Y t −∈+，11111t Y t t+−=−∈−+， 111t Y t t−=∈+−，显然1111,,11t t t t t t t t ++=−=−−=−++都无实数解， 因此11,,1t t t t+−−+是数集Y 中的三个元素，由11312t t t t +−−=−+， 整理得32331022t t t +−−=，即25(1)(1)02t t t −++=，解得2t =−或12t =−或1t =， 所以1{2,,1}2Y =−−. 【小问3详解】当s X ∈时，11s X s +∈−，1111111s s X s s s ++−=−∈+−−，111111s s X s s −−=∈++，111111s s s X s s −++=∈−−+， 而11s s s +=−无实数解，11111,,11111111,,s s s s s s s s s s s s s s s −+−+−+−+==−−−==−+=均无实数解， 因此数集X 是以}1{,1111,,s s s s s s +−−+−形式，4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且1,0,1X −∉， 数集Y 是以11{,,}1t t t t+−−+形式，3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，且1,0Y −∉， 于是数集,X Y 的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当s t =时，1111s s t+≠−−+， 而4和3互素，因此数集,X Y 中各组最多只能有1个公共元素，设集合X 中共有m 个元素，满足m 是4的整数倍，其中有n 个元素在X Y ∩中，满足m n ≤， 由同一周期内元素不相等，得这n 个元素在集合Y 中归属于不同组内，则集合Y 中有3n 个元素，同时在Y 内还有k 个元素，并满足k 是3的整数倍，0k ≥，于是32027m n p n ++−=，显然2027233m n k n k n =++≥+≥，解得675n ≤， 当675n =时，不存在符合条件的整数,m k ，当674n =时，676,3m k ==，符合题意，n 的最大值为674；设集合Y 中共有p 个元素，满足p 是3的整数倍，其中有q 个元素在X Y ∩中，满足q p ≤， 同理，集合X 中有4q 个元素，同时在X 中还有l 个元素，满足l 是4的整数倍，0l ≥，于是42027p q q l +−+=，显然2027344p q l q l q =++≥+≥，解得506q ≤，当506,505q =时，不存在符合条件的整数,p l ，当504q =时，507,8p l ==，符合题意，q 的最大值为504，所以X Y ∩的元素个数的最大值为674.【点睛】关键点点睛：解析第3问的关键是确定集合中元素的构成以及元素的个数表达式.。

六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ）A. B.C. D.3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）A.8B.12C.16D.64.已知数列的首项，则（ ）A.48B.80C.63D.655.已知等差数列满足，前项和为，若，则与最接近的整数是（ ）A.5B.4C.2D.16.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）,αβ,m n m ∥,n m α⊥n α⊥,m m αβ⊥⊥α∥β,m m αβ⊥⊂αβ⊥m ∥,n ααβ⋂=m ∥nP ABCD -ABCD E PD ,,PA a PB b PC c === BE =111222a b c -+ 111222a b c -- 131222a b c -+ 113222a b c -+ {}n a 110,1n n a a a +==++8a ={}n a 131,3a a ==n n S 12111n nT S S S =+⋯+9T {}n a *712,8,2,8n n a n n a n a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N *n ∈N 1n n a a +>aA. B. C. D.7.在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为B.存在点使得异面直线与所成角为C.存在点使得二面角的平面角为D.当时，平面截正方体所得的截面面积为8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（）A.1B.2C.D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法∙商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）A. B.C. D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭113,220⎛⎫ ⎪⎝⎭13,120⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -M 11A C M BM AC 90 M BM AC 30 M M BD C --451114A M AC =BDM 92a a ⋯n n a n n S 34S a =132n n n a a ++-=11n n a a n +-=+1055a =10.在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ）A.B.C.D.11.对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）A.底面半径为高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为高为的圆锥D.的圆锥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据的平均数是1，则这组数据的中位数为__________.13.已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且为的中点，则到直线的距离为__________.14.若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设三角形的内角的对边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求三角形的周长.16.（本小题满分15分）已知无穷等比数列的前项和为（1）求的值；ABCD π3A ∠=ABD V BD PBD V P BD C --P BCD -58π45π48π55πm 1m,1m 0.5m,0.8m 31,2,0,1,,1x -,A EBCD AE -⊥BCDE EBCD E ∠EB ∥DC 224,CD EB AE DE ====F AD F BC 1111ABCD A B C D -13,2,4AB BC AA ===11ABB C 11AC BD ABC A B C ､､a b c ､､()2sin 2AB C +=A 3,b BC =ABC {}n a n 3nn S b=+1,b a（2）设，求数列的前项和.17.（本小题满分15分）如图所示，在三棱柱中，平面，点是的中点（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2.（1）求证：平面；（2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）若存在非零常数，使得数列满足，则称数列为“数列”.（1）判断数列：是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为1的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，证明：221,1,2,3,n n c a n n =+-= {}n c n n T 111ABC A B C -112,AC BC AB AB ===⊥ABC 1,AC AC D ⊥AC 11AC B C ⊥1A D 11BB C C ABCD AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠===,E F AD »»»AE EFFD ==AD EF ∥ABCD ABE DCF -ABE CDF t {}n a ()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N {}n a ()H t 1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t {}n b {}n a {}n b 212321log ni n n i aa a a ab ==+∑ t {}n b {}n a ()H t n S {}n a n 11,0a t >>1e n S nn n t S S -+>--六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷参考答案1.D2.C3.A4.C5.C6.C7.D8.D9.ACD 10.AD 11.BD 12.【答案】114.15.（1）因为为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即解得：，即.（另解：由；得.）（2）由三角形面积公式得代入得：，所以，故为正三角形，，周长等于16.（1）当时，，因为是等比数列，所以，又因为，所以（2）由（1）知，43,,A B C ABC V ()sin sin B C A +=21cos sin22A A -=()2sin 2A B C +=)sin 1cos A A =-sin A A =πππ4πsin ,3333A A ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π33A +=π3A =2sin 2sincos 222A A A A =⋅=πtan 226A A ==11sin ,322b c A b ⋅==1π13sin 232c ⨯⋅=a c =ABC V 3a b c ===9.2n ≥1123n n n n a S S --=-=⨯{}n a 12a =113a S b ==+1b =-123n n a -=⨯因为，且，所以是以6为首项，9为公比的等比数列，.17.解析：（1）由题意，平面平面，所以，又，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）法一（坐标法）：由（1）知，又，所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为，则，所以，从而故直线与平面法二（几何法）：取中点，则，26a =2229n na a +={}2n a ()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()291236919124n n n n n -⋅=⨯+=-+-1AB ⊥,ABC AC ⊂ABC 1AC AB ⊥1AC AC ⊥11AB AC ⊂､1111,AB C AB AC A ⋂=AC ⊥11AB C 11B C ⊂11AB C 11AC B C ⊥11AC B C ⊥BC ∥11B C AC BC ⊥C ()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ()0,1,0D ()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-=()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=-11BC C C (),,n x y z =1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ()0,1,1n =- 111cos ,DA n DA n DA n⋅===⋅1A D 11BB C C 11C A M CM ∥1A D记与面所成角为，则由知解得，又，所以18.（1）连由等边三角形可知分布在同一个圆周上，且，则六边形为正六边形，面面（2）在图1中连交于，则，连交于，则，故在图2中面面记面与面所成角为，则故，即面面法一（几何法）：延长交于延长交于则为面与面交线且取中点，连接，则即为面与面所成角在中，，故，故面与面所成角的余弦值为法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，CM 11BB C C θ1111112sin A CC B BM CC B Bd d CMCMθ--==111111A B C C C A B C V V --=11111111133B C C A A B C S d S AB ⋅=⋅1A d =CM ===sin θ=OB OC ､A B C D F E ､､､､､AE EF FD DC CB BA =====ABCDFE EF ∴∥AD ∥,BC EF ⊄ABCD,BC ⊂ABCD EF ∴∥ABCDEB AD 1O AD EB ⊥FC AD 2O AD FC ⊥AD ⊥1,EO B AD ⊥2FO CABE CDF θ1212,6sin EO B FO C EO B FO C S S ∠∠θθ====V 1221ABE DCF EO B FO C D FO CA EOB V V V V ----=++锥112121132sin 3233EO B EO B FO C S AO S EF S DO θ=⨯+⨯+⨯==V πsin 1,2θθ==AEFD ⊥ABCDAB DC ､,Q F AE D ､,P PQ ABE CDF 8,8AP AQ PD QD ====PQ M AM DM ､AMD ∠ABE CDF AMD V 8AM DM AD ===1cos 5AMD ∠==ABE CDF 151O 111,,O B O D O E ,,x y z ()()(()()(0,2,0,,0,0,,4,0,0,6,0,0,4,A B E C D F -，有令得同理可得面法向量，设面与面所成角为，故19.【详解】（1）根据”数列“的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，所以不是”数列“.（2）由是首项为2的”数列“，则，由是等比数列，设公比为，由，则.两式作差可得，即，由是”数列“，则，对于恒成立，所以，即对于恒成立，则，即，因为解得，，又由，则，即，故所求的，数列的通项公式.（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是”数列"，即，对于恒成立，()(2,0,0,2,AB AE ==2020AB n y AE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,x=()1,n =CDF ()m =ABE CDF α1cos 5m n m n α⋅==⋅ ()H t 2t =11232n n a a a a a +-= 212a a -=3212a a a -=43211113542a a a a -=-⨯⨯=-≠1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t 231,21a t a t =+=+{}n b q 212321log nn n i iaa a a ab ==+∑ 121231211log n i n n n i a a a a a a b +++==+∑ ()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ {}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N ()()211121log n n n a a t a q +++=--+()12121log log n n n t a t b b +++=+-1,n n ≥∈N ()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩()()222(1)log 121log t t qt t t q ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩0t ≠1,2t q =-=2111211,log a a a b ==+11b =12n n b -=1t =-{}n b 12n n b -=()ln 1f x x x =-+()11f x x'=-()0f x '=1x =1x >()0f x '<()ln 1f x x x =-+()1,∞+()1ln1110f =-+={}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N因为，则，再结合，反复利用，可得对于任意的，则，即，则，即，相加可得，则，又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.11,0a t >>211a a t =+>121,0,1a t a >>>1123n n a a a a a t +=+ 1,,1n n n a ≥∈>N ()()10n f a f <=ln 10n n a a -+<ln 1n n a a <-1122ln 1,ln 1,,ln 1n n a a a a a a <-<-⋯<-1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ()12ln n n a a a S n <- ln y x =()0,x ∞∈+12en S nn a a a -< 1123n n a a a a a t +-= 1e n S nn a t -+-<1en S nn n S S t -+--<1en S nn n t S S -+>--。

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆市第一中学2018届高中毕业班第一次月考数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上。

1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A =（ ）A ．{2}B ．{2，3，5}C ．{1，4，6}D ．{5} 2．下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是（ ）A ．BC AC AB =-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．),()()(R a a ∈=μλλμμλD ．00=⋅AB3．若数列}{n a 为等比数列，则“a 3a 5=16”是“a 4=4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定5．已知θθθθθcos sin cos sin 2tan -+=，则的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－26．设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为 （ ）A ．－4B ．313 C ．3 D ．67．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为（ ）A ．12536 B ．12554 C ．12581 D ．12527 8．已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ，则⎩⎨⎧>-≤==（ ）A ．3B ．23 C ．1 D ．29．若不等式R x a x x ∈≥-++对|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3(+∞B ．),3[+∞C ．（－∞，3）D ．]3,(-∞10．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α内任意一条直线m//平面β，则平面α//平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线⊥n 直线m ，则直线⊥n 平面α；④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。

2018年重庆一中高2018级高三下期五月月考数学试题卷（理科）数学试题卷共5页，考试时间为120分钟，满分150分一、单选题（共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x|-4≤x≤4}，B={x|x2+2x-3＞0},则A∩B=（）A.（-3,1）B.（-1,3）C. [-4,3) ∪ (1,4]D. [-4,-1) ∪ (3,4]2.已知i为虚数单位，则复数21ii-+对应的平面上的点在第（）象限A.一B.二C.三D.四3.已知平面向量||||2a b==，且(2)a b+⊥b，则向量,a b的夹角为（）A.56πB.23πC.3πD.6π4.已知S n为等差数列{a n}的前n项之和，若S5=30，则a2+a4=（）A.3B.6C.9 D125.若函数1()cos22f x x=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A.,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B.,06π⎛⎫⎪⎝⎭ C.,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭6.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.5B.132 C.7 D.1527.已知a=1.90.4，，b=log0.41.9，c=0.41.9，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞a＞b8.在∆ABC中，点D为边BC的中点，点E为边AC上任意一点，则∆ABC的面积不大于∆CDE的面积的6倍的概率为（）A .16 B .13 C.23 D.569.有甲、乙、丙、丁四位参赛歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”，在以上问题中只有一人回答正确，获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁10.我国南宋时期的数学家秦九韶（先四川省安岳县）人，秦九韶在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，其算法如下：多项式可用如图所示的程序框图来求某多项式的值，若输入a 0=1，a 1=4，a 2=6，a 3=4，a 4=1及x 0，，运行程序可以输出16，则x 0的值为（）A.-3B.1或-3C.1D.2或-211.如图，F 为抛物线想x 2=2y 的焦点，直线y=kx+3（k ＞0）与抛物线相交于A 、B 两点，若四边形AOFB 的面积为7，则k=（） A.12B. C.2930D.12.已知关于x 的方程为2222(3)12(3)x xx e m x e --=--（其中m ∈R ），则次方程实根的个数为（）A.2B.2或3C.3D.3或4 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

2018年重庆一中高2018级高三下期五月月考数学试题卷（文科）数学试题卷共5页，考试时间为120分钟，满分150分一、单选题（共12个小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合A=1|33xx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，B={}|0x x ，则A ∩B=（）A.（-1,0）B.（2，+∞）C.（-∞，-1）D.（-∞，0]2.已知向量a =（3，-1），b =（x ，-2），且a ⊥b，则x 等于（）A.23 B.23- C.-6 D.63.已知复数z 满足（1+2i ）z=-3+4i ，则|z|=（）2 4.已知直线I 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则细线I 的方程为（）A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0 5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（）A.512-96πB.296C.512D.512-24π6.设x ，y 满足约束条件3303440x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的最大值是（）A.9B.8C.3D.4 7.执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.1920 B.2021 C.2122 D.22238.已知m 、n 为两条不同的直线，a 、b 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若a ⊥b ，m ⊥b ，则m//aB.若m//n ，n ⊥a ，则m ⊥aC.若平面a 内有不共线的三点到平面b 的距离相等，则a//bD.若m ⊥a ，m ⊥n ，则n//a9.在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，yA.4π B.2π C.3π D.5π10.设下面四个命题：（1）若p ：,x R ∀∈，2x＞0，则﹁p ：0,20x x R ∃∈（2）“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件（3）命题“∆ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆命题为真命题 其中正确命题的个数是（）A.3B.1C.1D.011.已知等差数列{a n }前n 项和为{S n }（N ∈N*）,且a n =2n+λ，若数列{S n }（n ≥5 n ∈N*）为递减函数，则实数λ的取值范围为（）A.（-3，+∞）B.（-10，+∞）C.（-11，+∞）D.（-12，+∞）12.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1 ，F 2，直线I 经过点，F 2且与该双曲线的右支交于A 、B 两点，若∆AB F 1的周长为7a ，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.⎛ ⎦⎝B.⎝C.⎣D.2⎢⎭⎣二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么用抽取女运动员人数是14.函数()f x =的定义域是15.朱载堉（1536-1611），是中国明代以为杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”。

2024-2025学年深圳市第二高级中学高三年级第二次月考试题数学时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（ ）A. B. C. D.2.设集合，集合，，则（ ）A. B. C. D.3.下列函数中最小值为4的是（ ）A. B. C. D.4.函数的部分图像大致为（ ）A. B.C.D.5.已知，则（ ）A. B. C.D.6.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）252i1i iz +=++z =12i -12i+2i -2i+U R ={1}M xx =<∣{12}N x x =-<<∣{2}x x ≥=∣()U C M N U N C M()U C M N UM C 224y x x =++4|sin ||sin |y x x =+4ln ln y x x=+222x xy -=+sin 21cos xy x=-π2sin sin 33αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭59-19-1959ππ()sin()0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭A.的最小正周期为B.当时，的值域为C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称7.若函数有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D.8.已知定义在R 上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则（ ）A. B.6C. D.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）A. B.C.向量，在上的投影向量相等D.10.设函数，已知在有且仅有5个零点，则（ ）A.在有且仅有3个极大值点B.在有且仅有2个极小值点()f x πππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ⎡⎢⎣()f x π12()sin 2g x x =()f x 5π,06⎛⎫⎪⎝⎭21()ln 2f x x x a x =-+10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()f x ()()4f x f x -=-[]0,2()()0f x m m =>[]8,8-1234x x x x +++=6-8-a b a b +a b 0a b ⋅= ()()a b a b +⊥- a b a b +||||a b a b +=- π()sin (0)5f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x [0,2π]()f x (0,2π)()f x (0,2π)C.在单调递增D.的取值范围是11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A.是函数的极小值点B.C.当时，D.函数有5个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考数学试题卷（理科）一、选择题.（共12小题，每小题5分，共60分）1. 集合，以下正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，集合，表示实数集，集合表示二次函数图象上的点作为元素构成的点集，所以，故选C.2. 二项式的展开式的各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，对于二项式中，令，则，即二项式的展开式的各项系数的和为，故选A.3. 复数的模是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数的四则运算，可知，所以的模为，故选B.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】执行如图所示的程序框图，可知：第一次循环：，满足，；第二次循环：，满足，；第三次循环：，满足，；第四次循环：，满足，；第五次循环：，步满足，输出，故选D.5. 已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面，条件“该棱柱是正四棱柱”，条件“该棱柱底面是菱形”，那么是的（）条件A. 既不充分也不必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 充要【答案】B【解析】由一个四棱柱的侧棱垂直于底面，若条件“该棱柱是正四棱柱”成立，则四棱柱的底面为一个正方形，所以命题“该棱柱底面是菱形”是成立的；由一个四棱柱的侧棱垂直于底面，若命题“该棱柱底面是菱形”是成立，则该四棱柱不一定是正四棱柱，所以条件“该棱柱是正四棱柱”不一定成立，所以命题是命题的充分不必要条件，故选B.6. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨)的几组对应数据：根据上表的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，因为关于的回归直线方程是，所以，解得，故选A.7. 平面上三个单位向量两两夹角都是，则与夹角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，向量为单位向量，且两两夹角为，则，且，所以与的夹角为，且，所以与的夹角为，故选D.8. 年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队共有（）种兵布阵的方式.A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法；若甲运动员承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法，所以中国队共有种不同的安排方法，故选A.9. 已知直线，圆，那么圆上到的距离为的点一共有（）个.A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆，可得圆心，半径，又圆心到直线的距离，如图所示，由图象可知，点到直线的距离都为，所以圆上到的距离为的点一共个，故选C.10. 已知则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，令，则，当时，，所以，所以函数在区间上点掉递减，所以，即，即，又由三角函数的性质可知，所以，即，综上可得，故选B.11. 双曲线，曲线经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由曲线，可得令，得，即，则，所以双曲线的离心率为，故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12. 不等式对于任意正实数恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，设，则，因为，所以在单调递增，且最小值为，要使得对恒成立，当且仅当，即时成立，所示实数的最大值为，故选B.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，解答中涉及到基本不等式的应用，利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的关键，实数有一定的难度，属于中档试题.二、填空题.（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知随机变量，且随机变量，则的方差 _________【答案】12【解析】由随机变量，则随机变量的方差为，又因为，所以随机变量的方差为.14. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积为_________【答案】【解析】根据给定的三视图可知，原几何体表示一个如图所示的三棱锥，其中底面是一个底边为，高为的等腰直角三角形，则，且底面，且，所以三棱锥的各个面的面积为：，,，所以该三棱锥的表面积为.15. 在的可行域内任取一点，则满足的概率是__________【答案】【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由，解得，即，且，所以，作出直线，则所以表示区域为，即不等式所表示的区域为，其面积为,所以不等式对应的概率为.点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算概率，本题的解答中正确画出二元一次不等式所对应平面区域是解答的关键.16. 点是锐角三角形的外心，，则的值为________【答案】20【解析】如图所示，过点分别作于于，则分别是的中点，可得在中，，所以，同理可得，所以.点睛：本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将放在它的外接圆中，过点分别作，，得到分别是的中点，利用数量积的运算，分别求得的值是解答的关键，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质，有一定的综合性，属于中档试题.三、解答题.（共70分）17. 已知等比数列的首项为，公比，且是的等差中项，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1） ;（2） .【解析】试题分析：（1）设，根据条件列出方程，求得，即可求得数列的通项公式；（2）由（1），求得，即可利用分组求和求得数列的前项和.试题解析：（1）设，根据条件有，又（2）由（1），，所以........................由分组求和，18. 如图，在直棱柱中，∥，.(1)证明：直线平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦.【答案】(1)见解析； (2)【解析】试题分析：(1)证明：根据条件得，又利用线面垂直的判定定理，即可证得结论；(2)由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，求得平面与平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.试题解析：(1)证明：根据条件可得，又而，所以，直线平面(2) 两两垂直．如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，又所以，根据条件平面，所以可视为平面的一个法向量，现设是平面的一个法向量，则，令，所以，设平面与平面所成的锐二面角为19. 北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市名高中女生的身高（单位：）服从正态分布．现从某高中女生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和之间，现将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)求这名女生身高不低于的人数；(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人，将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为，求的数学期望．参考数据：，，【答案】(1)人； (2) 见解析.【解析】试题分析：(1)由直方图知，求得后组频率，进而可求得这名女生身高不低于的人数；(2)由题意，求得这人中以上的有人，得出随机变量可取，求得随机变量取每个值得概率，列出分布列，利用公式求解数学期望.试题解析：(1)由直方图知，后组频率为，人数为，即这名女生身高不低于的人数为人；(2)∵，∴∴.，则全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人．随机变量可取，于是，，∴20. 已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上，且经过点，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合．椭圆的上顶点为，过点的直线交椭圆于两点，连接、，记直线的斜率分别为.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的值.【答案】(1) ；(2) 见解析;（3） .【解析】试题分析：(1)由抛物线的焦点为，得到椭圆的两个焦点坐标为，再根据椭圆的定义得到，即可求得椭圆的标准方程；(2)由题意，设直线的方程为，并代入椭圆方程，求得，化简运算，即可求得的值.试题解析：(1)设椭圆的标准方程为，抛物线的焦点为，所以该椭圆的两个焦点坐标为，根据椭圆的定义有，所以椭圆的标准方程为；(2)由条件知，直线的斜率存在．设直线的方程为，并代入椭圆方程，得，且，设点，由根与系数的韦达定理得，则，即为定值点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21. 已知函数（1）求函数的极值；（2）求证：；（3），若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意，得，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）由（1）知的极小值即为最小值，推得，进而可证得结论；（3）由题意的解析式，求得，令，求得，利用得存在，使，且在上递减，在上递增，求得函数的的最小值，再转化为函数，利用导数的单调性，即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）由可得，函数在单减，在单增，所以函数的极值在取得，为极小值；（2）根据（1）知的极小值即为最小值，即可推得当且仅当取等，所以，所以有（3）∴令，则，∴在上递增∵，当时，∴存在，使，且在上递减，在上递增∵∴，即∵对于任意的，恒有成立∴∴∴∴∴，又，∵∴，令，，显然在单增，而，，∴∴.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1))利用导数求函数的单调区间，判断单调性或求参数值（取值范围）；(2利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(3)考查数形结合思想的应用.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，点到直线的距离为.(1)求值以及直线在平面直角坐标系下的方程；(2)椭圆上的一个动点为，求到直线距离的最大值.【答案】(1) .(2)【解析】试题分析：(1)利用极坐标与直角坐标的互化得到直线的直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式，即可求解实数的值；(2)设点，利用点到直线距离，确定时，即可求得距离的最大值.试题解析：(1)则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为又，所以直线的直角坐标方程为.(2)由(1)得方程为，设点，所以点到直线距离为，当时，距离有最大值，最大值为23. 选修4-5：不等式选讲函数，其最小值为.（1）求的值；（2）正实数满足，求证：.【答案】（1） ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得的最小值，即可求解的值；（2）根据柯西不等式，即可作出证明.试题解析：（1），当且仅当取等，所以的最小值（2）根据柯西不等式，.。