2018年高考数学试题分类汇编_选修 精品

N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲21. N1 [2018·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲]如图1-7所示,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若PC=2√3,求BC的长.图1-721.A.解:连接OC.因为PC与圆O相切,所以OC⊥PC.又因为PC=2√3,OC=2,所以OP=√PC2+OC2=4.又因为OB=2,从而B为Rt△OCP斜边的中点,所以BC=2.N2 选修4-2 矩阵21. N2 [2018·江苏卷]B.[选修4-2:矩阵与变换](1)求A的逆矩阵A-1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.N3 选修4-4 参数与参数方程22.N3[2018·全国卷Ⅰ]选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.22.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√k 2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以√k 2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点; 当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.22.N3[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =1+tcos α,y =2+tsin α(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 22.解:(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α; 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-4(2cos α+sin α)1+3cos 2α,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k=tan α=-2.22.N3[2018·全国卷Ⅲ] 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α的直线l 与☉O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.22.解:(1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π2时,l 与☉O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2√1+k 2|<1,解得k<-1或k>1,即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4). 综上,α的取值范围是(π4,3π4).(2)l 的参数方程为{x =tcos α,y =-√2+tsin α(t 为参数,π4<α<3π4).设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2,且t A ,t B 满足t 2-2√2t sin α+1=0,于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x ,y )满足{x =t P cos α,y =-√2+t P sin α,所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin 2α,y =-√22-√22cos 2α(α为参数,π4<α<3π4).10.N3[2018·北京卷] 在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a (a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a= .10.1+√2 [解析] 方法一:将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程,分别为x+y=a 与(x-1)2+y 2=1.∵直线与圆相切,∴√2=1,解得a=1±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.方法二:将圆的极坐标方程代入直线的极坐标方程,得2cos 2θ+2cos θsin θ=a ,即√2sin 2θ+π4=a-1,∵直线与圆相切,∴a-1=±√2,又∵a>0,∴a=1+√2.12.N3 [2018·天津卷] 已知圆x 2+y 2-2x=0的圆心为C ,直线{x =-1+√22t ,y =3-√22t(t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则△ABC 的面积为 .12.12 [解析] 圆x 2+y 2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y 2=1,直线的普通方程为x+y-2=0,所以圆心(1,0)到该直线的距离d=√22,所以|AB|=2√1-12=√2,所以△ABC 的面积为12×√2×√22=12. 21. N3 [2018·江苏卷]C .[选修4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,直线l 的方程为ρsinπ6-θ=2,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.C .解:因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ, 所以曲线C 是圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为ρsin π6-θ=2,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=π6.连接OB.因为OA为直径,从而∠OBA=π2,所以AB=4cos π6=2√3.因此,直线l被曲线C截得的弦长为2√3.N4 选修4-5 不等式选讲23.N4[2018·全国卷Ⅰ]选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)={-2,x≤-1,2x,-1<x<1, 2,x≥1.故不等式f(x)>1的解集为x x>12.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为x0<x<2a ,所以2a≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].23.N4[2018·全国卷Ⅱ] [选修4-5:不等式选讲] 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.23.解:(1)当a=1时,f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).23.N4[2018·全国卷Ⅲ]选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.图1-523.解:(1)f (x )={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y=f (x )的图像如图所示.(2)由(1)知,y=f (x )的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 21. N4 [2018·江苏卷] D .[选修4-5:不等式选讲]若x ,y ,z 为实数,且x+2y+2z=6,求x 2+y 2+z 2的最小值. D .解:由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≥(x+2y+2z )2. 因为x+2y+2z=6,所以x 2+y 2+z 2≥4,当且仅当x 1=y 2=z2时,不等式取等号,此时x=23,y=43,z=43, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为4.N5 选修4-5 优选法与试验设计1.[2018·四川南充一诊] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =√3cos α,y =sin α(其中α为参数),曲线C 2:(x-1)2+y 2=1,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)若射线θ=π6(ρ>0)与曲线C 1,C 2分别交于A ,B 两点,求|AB|.1.解:(1)由{x =√3cosα,y =sinα得x 23+y 2=1.所以曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-1)2+y 2=1,得到(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1,化简得到曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(2)依题意可设A (ρ1,π6),B (ρ2,π6),曲线C 1的极坐标方程为ρ2+2ρ2sin 2θ=3.将θ=π6(ρ>0)代入C 1的极坐标方程得12ρ2+ρ2=3,得ρ1=√2.将θ=π6(ρ>0)代入C 2的极坐标方程,得ρ2=√3.所以|AB|=|ρ1-ρ2|=√3-√2. 3.[2018·郑州一检] 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是ρ=8cosθ1-cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若α=π4,设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.3.解:(1)由题意可得直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). ∵ρ=8cosθ1-cos 2θ=8cosθsin 2θ, ∴ρsin 2θ=8cos θ,∴ρ2sin 2θ=8ρcos θ, 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得y 2=8x , ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=8x.(2)当α=π4时,直线l 的参数方程为{x =1+√22t ,y =√22t(t 为参数),代入y 2=8x 可得t 2-8√2t-16=0,设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8√2,t 1·t 2=-16,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1·t 2=8√3.又点O 到直线AB 的距离d=1×sin π4=√22,∴S △AOB =12|AB|×d=12×8√3×√22=2√6. 1.[2018·成都二诊] 已知函数f (x )=|2x+1|+|x-1|. (1)解不等式f (x )≥3;(2)记函数f (x )的最小值为m ,若a ,b ,c 均为正实数,且12a+b+2c=m ,求a 2+b 2+c 2的最小值. 1.解:(1)f (x )=|2x+1|+|x-1|={ -3x ,x ≤-12,x +2,-12<x <1,3x ,x ≥1,∴f (x )≥3等价于{x ≤-12,-3x ≥3或{-12<x <1,x +2≥3或{x ≥1,3x ≥3,解得x ≤-1或x ≥1.∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由(1)可知当x=-12时,f (x )取得最小值32,即m=32,∴12a+b+2c=32.由柯西不等式,有(a 2+b 2+c 2)(12)2+12+22≥(12a +b +2c )2,∴a 2+b 2+c 2≥37,当且仅当2a=b=c2,即a=17,b=27,c=47时,等号成立.∴a 2+b 2+c 2的最小值为37. 6.[2018·石家庄一检] 已知函数f (x )=|ax-1|-(a-2)x.(1)当a=3时,求不等式f (x )>0的解集;(2)若函数f (x )的图像与x 轴没有交点,求实数a 的取值范围.6.解:(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x ,∴3x-1<-x 或3x-1>x ,即x<14或x>12.∴不等式f (x )>0的解集是{x |x <14或x >12}. (2)当a>0时,f (x )={2x -1,x ≥1a,2(1-a )x +1,x <1a,要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2a-1>0,2(1-a )≤0,即1≤a<2.当a=0时,f (x )=2x+1,函数f (x )的图像与x 轴有交点. 当a<0时,f (x )={2x -1,x ≤1a,2(1-a )x +1,x >1a,要使函数f (x )的图像与x 轴无交点, 只需{2a -1<0,2(1-a )≤0,此时无解.综上可知,当1≤a<2时,函数f (x )的图像与x 轴无交点.7.[2018·合肥一检] 已知函数f (x )=|2x-1|. (1)解关于x 的不等式f (x )-f (x+1)≤1;(2)若关于x 的不等式f (x )<m-f (x+1)的解集不是空集,求实数m 的取值范围. 7.解:(1)f (x )-f (x+1)≤1⇔|2x-1|-|2x+1|≤1⇔{x ≥12,2x -1-2x -1≤1或{-12<x <12,1-2x -2x -1≤1或 {x ≤-12,1-2x +2x +1≤1⇔x ≥12或-14≤x<12⇔x ≥-14, 所以原不等式的解集为[-14,+∞). (2)由条件知,不等式|2x-1|+|2x+1|<m 有解,只需m>(|2x-1|+|2x+1|)min . 由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+(2x+1)|=2,当且仅当(1-2x )(2x+1)≥0,即当x ∈[-12,12]时等号成立,故m>2. 所以实数m 的取值范围是(2,+∞).。

2018年全国各地高考数学分类汇编word 版含答案（选修2-2）一、选择题（共11小题；共55分） 1. i 2+3i = A. 3−2iB. 3+2iC. −3−2iD. −3+2i2. 1+i 2−i = A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i3. 如图是函数 y =f x 的导函数 y =fʹ x 的图象，则下面判断正确的是 A. 在区间 −2,1 上 f x 是增函数B. 在区间 1,3 上 f x 是减函数C. 在区间 4,5 上 f x 是增函数D. 当 x =2 时，f x 取到极小值 4. 复数21−i（i 为虚数单位）的共轭复数是 A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i5. 设 z =1−i1+i +2i ，则 z = A. 0B. 12C. 1D. 26. 在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 1+2i1−2i = A. −45−35iB. −45+35iC. −35−45iD. −35+45i8. 已知 a = 1n n i =1 i n 2，n ∈N ∗，b =∫01x 2d x ，则 a ，b 的大小关系是 A. a >bB. a =bC. a <bD. 不确定9. 设 f x 是一个三次函数，fʹ x 为其导函数，如图所示的是 y =x ⋅fʹ x 的图象的一部分，则 f x 的极大值与极小值分别是 ．A. f1与f−1B. f−1与f1C. f−2与f2D. f2与f−210. 设函数f x=x3+a−1x2+ax．若f x为奇函数，则曲线y=f x在点0,0处的切线方程为 A. y=−2xB. y=−xC. y=2xD. y=x11. 已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln a1+a2+a3．若a1>1，则A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4二、填空题（共10小题；共51分）12. 判断下列结论是否正确．（请在括号中打“”或“×”）（1）若函数f x在a,b内单调递增，那么一定有fʹx>0． （2）如果函数f x在某个区间内恒有fʹx=0，则f x在此区间内没有单调性． （3）函数的极大值不一定比极小值大． （4）对可导函数f x，fʹx0=0是x0点为极值点的充要条件． （5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． （6）三次函数在R上必有极大值和极小值． 13. 曲线y=2ln x+1在点0,0处的切线方程为．14. 曲线y=2ln x在点1,0处的切线方程为．15. 已知函数f x=e x ln x，fʹx为f x的导函数，则fʹ1的值为．16. 曲线y=ax+1e x在点0,1处的切线的斜率为−2，则a=．17. i是虚数单位，复数6+7i1+2i=．18. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．19. 若函数f x=2x3−ax2+1a∈R在0,+∞内有且只有一个零点，则f x在−1,1上的最大值与最小值的和为．20. 已知函数f x=−x2+2ax,x<1 a ln xx,x≥1，①当x<1时，若函数f x有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是；②若函数f x的最大值为1，则a=．21. 已知函数f x=2sin x+sin2x，则f x的最小值是．三、解答题（共8小题；共104分）22. 求下列函数的导数：（1）y=2x+1n n∈N∗；（2）y=ln x+1+x2；（3）y=e x+1e x−1；（4）y=2x sin2x+5．23. 设函数f x=ax2−4a+1x+4a+3e x．（1）若曲线y=f x在点1,f1处的切线与x轴平行，求a；（2）若f x在x=2处取得极小值，求a的取值范围．24. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．25. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p0<p<1，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f p，求f p的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验? 26. 已知函数f x=x e−x x∈R．（1）求函数f x的单调区间和极值；（2）已知函数y=g x的图象与函数y=f x的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f x>g x；（3）如果x1≠x2，且f x1=f x2，证明x1+x2>2．27. 已知函数f x=e x−ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f x≥1；（2）若f x在0,+∞只有一个零点，求a．28. 已知函数f x=13x3−a x2+x+1．（1）若a=3，求f x的单调区间；（2）证明：f x只有一个零点．29. 设 a n 是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列， b n 是首项为 b 1，公比为 q 的等比数列．（1）设 a 1=0，b 1=1，q =2，若 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 a 1=b 1>0，m ∈N ∗，q ∈ 1, 2m，证明：存在 d ∈R ，使得 a n −b n ≤b 1 对n =2,3,⋯,m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b 1，m ，q 表示）．答案第一部分1. D2. D3. C 【解析】在−2,1上，导函数的符号有正有负，所以函数f x在这个区间上不是单调函数；同理，函数在1,3上也不是单调函数；在x=2的左侧，函数在 −32,2上是增函数，在x=2的右侧，函数在2,4上是减函数，所以当x=2时，f x取到极大值；在4,5上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数．4. B5. C6. D7. D8. A9. C 【解析】由图知fʹx在−∞,−2上是正的，在−2,2上是负的，在2,+∞上是正的，所以f x在x=−2处取得极大值，在x=2处取得极小值．10. D11. B第二部分12. ×，，，×，，×13. y=2x14. y=2x−215. e16. −317. 4−i18. 219. −320. a<1，−121. −332第三部分22. （1）yʹ=n2x+1n−1⋅2x+1ʹ=2n2x+1n−1．（2）yʹ=x+1+x2⋅1+21+x2=1+x2．（3）因为y=e x+1e x−1=1+2e x−1，所以yʹ=−2e xe x−12．（4）yʹ=2sin2x+5+4x cos2x+5．23. （1）由题意可知x∈R，则fʹx=ax2−2a+1x+2e x．因为曲线f x在点1,f1处的切线与x轴平行，所以fʹ1=0，所以a=1．（2） 令 fʹ x =0，即 ax 2− 2a +1 x +2=0， ax −1 x −2 =0， （1）当 a =0 时，不符合题意；（2）当 a >0 时，x =1a或2，要使 f 2 是极小值，则 1a<2，即 12<a ；（3）当 a <0 时，1a<2 不满足题意．综上所述：a 的取值范围是 12,+∞ ．24. （1） 连接 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH ⊥MN ， 所以 OH =10．过 O 作 OE ⊥BC 于 E ，则 OE ∥MN ， 所以 ∠COE =θ，故 OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形 ABCD 的面积为 2×40cos θ 40sin θ+10 =800 4sin θcos θ+cos θ ， △CDP 的面积为 12×2×40cos θ 40−40sin θ =1600 cos θ−sin θcos θ ． 过 N 作 GN ⊥MN ，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K ，则 GK =KN =10． 令 ∠GOK =θ0，则 sin θ0=14，θ0∈ 0,π6．当 θ∈ θ0,π2 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD ，所以 sin θ 的取值范围是 14,1 ．答：矩形 ABCD 的面积为 800 4sin θcos θ+cos θ 平方米，△CDP 的面积为 1600 cos θ−sin θcos θ 平方米，sin θ 的取值范围是 14,1 ．（2） 因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:3， 设甲的单位面积的年产值为 4k ，乙的单位面积的年产值为 3k k >0 ， 则年总产值为4k ×800 4sin θcos θ+cos θ +3k ×1600 cos θ−sin θcos θ=8000k sin θcos θ+cos θ ,θ∈ θ0,π2.设 f θ =sin θcos θ+cos θ，θ∈ θ0,π2 ，则fʹ θ =cos 2θ−sin 2θ−sin θ=− 2sin 2θ+sin θ−1 =− 2sin θ−1 sin θ+1 ,令 fʹ θ =0，得 θ=π6，当 θ∈ θ0,π6 时，fʹ θ >0，所以 f θ 为增函数； 当 θ∈ π6,π2 时，fʹ θ <0，所以 f θ 为减函数；因此，当θ=π时，fθ取到最大值．6答：当θ=π时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．625. （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f p=C202p21−p18．因此fʹp=C2022p1−p18−18p21−p17=2C202p1−p171−10p.令fʹp=0，得p=0.1．当p∈0,0.1时，fʹp>0；当p∈0.1,1时，fʹp<0．所以f p的最大值点为p0=0.1．（2）由（1）知，p=0.1．（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y∼B180,0.1，X=20×2+25Y，即X=40+25Y．所以EX=E40+25Y=40+25EY=490．（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．26. （1）fʹx=1−x e−x，令fʹx=0，解得x=1．当x变化时，fʹx，f x的变化情况如表：x−∞,111,+∞fʹx+0−f x↗极大值↘所以f x在−∞,1内是增函数，在1,+∞内是减函数．函数f x在x=1处取得极大值f1，且f1=1．e（2）由题意可知g x=f2−x，得g x=2−x e x−2．令F x=f x−g x，即F x=x e−x+x−2e x−2．于是Fʹx=x−1e2x−2−1e−x．当x>1时，2x−2>0，从而e2x−2−1>0，又e−x>0，所以Fʹx>0，从而函数F x在1,+∞上是增函数．又F1=e−1−e−1=0，所以x>1时，有f x>F1=0，即f x>g x．（3）（1）若x1−1x2−1=0，由（Ⅰ）及f x1=f x2，得x1=x2=1，与x1≠x2矛盾．（2）若x1−1x2−1>0，由（Ⅰ）及f x1=f x2，得x1=x2，与x1≠x2矛盾．根据（1）（2）得x1−1x2−1<0，不妨设x1<1，x2>1．由（Ⅱ）可知，f x2>g x2，g x2=f2−x2，所以f x2>f2−x2，从而f x1>f2−x2．因为x2>1，所以2−x2<1，又由（Ⅰ）可知函数f x在区间−∞,1内是增函数，所以x1>2−x2，即x1+x2>2．27. （1）当a=1时，f x≥1等价于x2+1e−x−1≤0．设函数g x=x2+1e−x−1，则gʹx=−x2−2x+1e−x=−x−12e−x．当x≠1时，gʹx<0，所以g x在0,+∞单调递减．而g0=0，故当x≥0时，g x≤0，即f x≥1．（2）设函数 x=1−ax2e−x．f x在0,+∞只有一个零点当且仅当 x在0,+∞只有一个零点．（i）当a≤0时， x>0， x没有零点；（ii）当a>0时， ʹx=ax x−2e−x．当x∈0,2时， ʹx<0；当x∈2,+∞时， ʹx>0．所以 x在0,2单调递减，在2,+∞单调递增．故 2=1−4ae2是 x在0,+∞的最小值．①若 2>0，即a<e 24， x在0,+∞没有零点；②若 2=0，即a=e 24， x在0,+∞只有一个零点；③若 2<0，即a>e 24，由于 0=1，所以 x在0,2有一个零点，由（1）知，当x>0时，e x>x2，所以 4a=1−16a 3e4a =1−16a3e2a2>1−16a32a4=1−1a>0．故 x在2,4a有一个零点，因此 x在0,+∞有两个零点．综上，f x在0,+∞只有一个零点时，a=e 24．28. （1）当a=3时，f x=13x3−3x2−3x−3，fʹx=x2−6x−3．令fʹx=0解得x=3−23或x=3+23．当x∈ −∞,3−2∪3+2+∞ 时，fʹx>0；当x∈3−23,3+23时，fʹx<0．故f x在 −∞,3−23，3+23,+∞ 单调递增，在3−23,3+23单调递减．（2）由于x2+x+1>0，所以f x=0等价于x3x+x+1−3a=0．设g x=x 3x+x+1−3a，则gʹx=x2x2+2x+3x+x+1≥0，仅当x=0时gʹx=0，所以g x在−∞,+∞单调递增．故g x至多有一个零点，从而f x至多有一个零点．又f3a−1=−6a2+2a−13=−6 a−162−16<0，f3a+1=13>0，故f x有一个零点．综上，f x只有一个零点．29. （1）由条件知：a n=n−1d，b n=2n−1．因为a n−b n ≤b1对n=1,2,3,4均成立，即n−1d−2n−1 ≤1对n=1,2,3,4均成立，即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得73≤d≤52．因此，d的取值范围为73,52．（2）由条件知：a n=b1+n−1d，b n=b1q n−1．若存在d，使得a n−b n ≤b1n=2,3,⋯,m+1成立，即b1+n−1d−b1q n−1 ≤b1n=2,3,⋯,m+1，即当n=2,3,⋯,m+1时，d满足q n−1−2n−1b1≤d≤q n−1n−1b1．因为q∈1,2m，则1<q n−1≤q m≤2，从而q n−1−2n−1b1≤0，q n−1n−1b1>0，对n=2,3,⋯,m+1均成立．因此，取d=0时，a n−b n ≤b1对n=2,3,⋯,m+1均成立．下面讨论数列q n−1−2n−1的最大值和数列q n−1n−1的最小值（n=2,3,⋯,m+1）．①当2≤n≤m时，q n−2n−q n−1−2n−1=nq n−q n−nq n−1+2n n−1=n q n−q n−1−q n+2n n−1，当1<q≤21时，有q n≤q m≤2，从而n q n−q n−1−q n+2>0 .因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1−2n−1单调递增，故数列q n−1−2n−1的最大值为q m−2m．②设f x=2x1−x，当x>0时，fʹx=ln2−1−x ln22x<0，所以f x单调递减，从而f x<f0=1．当2≤n≤m时，q nnq n−1=q n−1n≤21n1−1n=f1n<1，因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1n−1单调递减，故数列q n−1n−1的最小值为q mm．因此，d的取值范围为b1q m−2m ,b1q mm．。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（18选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1．（2018江苏）[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．1．【答案】2【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，所以OC PC ⊥． 又因为23PC =，2OC =，所以224OP PC OC =+=．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，所以2BC =．二、坐标系与参数方程：选修4-4：坐标系与参数方程1．（2018北京理）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________． 1．【答案】12+【解析】因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，由()cos sin 0a a ρθρθ+=>，得()0x y a a +=>， 由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，即22=2x y x +，即()2211x y -+=， 112a -=，12a ∴=±0a >，12a ∴=2．（2018江苏）[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．2．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为3 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=， 所以曲线C 的圆心为()2,0，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为sin 2π6ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则直线l 过()4,0A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则π6OAB ∠=． 连结OB ，因为OA 为直径，从而π2OBA ∠=，所以4cos6πAB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为3．（2018天津理）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .3．【答案】12【解析】由题意可得圆的标准方程为()2211x y -+=， 直线的直角坐标方程为()31y x -=-+，即20x y +-=，则圆心到直线的距离为d ==，由弦长公式可得2AB =则1122ABC S ==△．4．（2018全国新课标Ⅰ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．4.答案：（1）22(1)4x y ++=；（2）423y x =-+ 解答：（1）由22cos 30ρρθ+-=可得：22230x y x ++-=，化为22(1)4x y ++=. （2）1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线2(0)y kx k =+<与圆2C 相切，圆2C 圆心为(1,0)-，半径为2，则2=，解得43k =-，故1C 的方程为423y x =-+.5．（2018全国新课标Ⅱ文、理）[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5．【答案】（1）221416x y +=，当cos 0α≠，tan 2tan y x αα=⋅+-；当cos 0α=，1x =；（2）2-． 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 42cos sin 80tt ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得()12242cos sin 13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．6．（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．22.答案：见解析 解答：（1）O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴O 的普通方程为221x y +=，当90α=︒时，直线：:0l x =与O 有两个交点，当90α≠︒时，设直线l的方程为tan y x α=-由直线l 与O 有1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴4590α︒<<︒或90α︒<<，综上(45,135)α∈︒︒.（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=︒时，点P 坐标为(0,0)，当90α≠︒时，设直线l 的方程为y kx =-1122(,),(,)A x y B x y，∴221x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩①②有22(1x kx +-=，整理得22(1)10k x +-+=，∴1221x x k +=+，12y y +=，∴2211x ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩③④得x k y=-代入④得220x y ++=.当点(0,0)P时满足方程220x y ++=，∴AB 中点的P的轨迹方程是220x y ++=，即221(2x y +=，由图可知，A，(22B --，则02y -<<，故点P的参数方程为cos 2sin 22x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（β为参数，0βπ<<）.三、不等式选讲选：选修4-5：不等式选讲1．（2018江苏）[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求222x y z++的最小值．D．【答案】4【解析】由柯西不等式，得()()()222222212222x y z x y z++++≥++．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时23x=，43y=，43z=，所以222x y z++的最小值为4．2．（2018全国新课标Ⅰ文、理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知()11f x x ax=+--．（1）当1a=时，求不等式()1f x>的解集；（2）若()01x∈，时不等式()f x x>成立，求a的取值范围．2.答案：（1）1{|}2x x>；（2）(0,2].解答：（1）当1a=时，21()|1||1|21121xf x x x x xx≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，∴()1f x>的解集为1{|}2x x>.（2）当0a=时，()|1|1f x x=+-，当(0,1)x∈时，()f x x>不成立.当0a<时，(0,1)x∈，∴()1(1)(1)f x x ax a x x=+--=+<，不符合题意. 当01a<≤时，(0,1)x∈，()1(1)(1)f x x ax a x x=+--=+>成立.当1a>时，1(1),1()1(1)2,a x xaf xa x xa⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，∴(1)121a-⋅+≥，即2a≤.综上所述，a的取值范围为(0,2].3．（2018全国新课标Ⅱ文、理）[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 3．【答案】（1）{}|23x x -≤≤；（2）(][),62,-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，()24,12,1226,2x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，可得()0f x ≥的解集为{}|23x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥，而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥， 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．(,6][2,)-∞-+∞4．（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[0,)x ∈+∞，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．4.答案：见解答 解答：（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩，如下图：（2）由（1）中可得：3a ≥，2b ≥， 当3a =，2b =时，a b +取最小值， ∴a b +的最小值为5.四、矩阵与变换 选修4-2：矩阵与变换1. （2018上海）行列式4125的值为 。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（ 14 算法初步、框图 ）一、选择题1．（2018北京文、理）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．12B ．56C ．76D ．7121．【答案】B【解析】初始化数值1k =，1s = 循环结果执行如下：第一次：()1111122s =+-⋅=，2k =，23k =≥不成立；第二次：()21151236s =+-⋅=，3k =，33k =≥成立，循环结束，输出56s =，故选B ．2 （2018天津文、理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4．【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N =，2i =，0T =， 20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=， 此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=， 此时满足5i ≥；跳出循环，输出2T =．故选B ．3．（2018全国新课标Ⅱ文、理）为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图， 则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+ 3．【答案】B【解析】由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减． 因此在空白框中应填入2i i =+，选B ．二、填空1．（2018江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．1．【答案】8【解析】由伪代码可得3I =，2S =；5I =，4S =；7I =，8S =；因为76>，所以结束循环，输出8S =．三、解答题。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ）A B C ． D ．1．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f===，故选D ．2．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ）A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>2．.答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <.3．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．123. 答案：B 解答：11111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-.二、填空1．（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．1．【答案】63n a n =- 【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-．2．（2018江苏）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．2．【答案】27【解析】设=2k n a ，则()()()12211+221+221+222k k n S -⎡⎤⎡⎤=⨯-⨯-+⋅-+++⎣⎦⎣⎦()()1122121221212222212k k k k k ---++⨯--=+=+--，由112n n S a +>得()()()22211122212212202140k k kk k -+--+->+-->，，1522k -≥，6k ≥，所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时()()()25251211+221+21+22222n S m m +⎡⎤=⨯-⨯-+-+++=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >．由()251221221m m ++->+，224500m m -+>，22m ∴≥，527n m =+≥， 得满足条件的n 最小值为27．3 （2018上海）记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

2018全国各地高考数学试题汇编（附解析）2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{0,1,2,8}B=-，那么A B=▲．A=，{1,1,6,8}[答案]{1，8}2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．[答案]23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．[答案]904．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．[答案]85．函数()f x=的定义域为▲．[答案][)∞+，26．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． [答案]1037．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． [答案]6-π8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线，则其离心率的值是 ▲ ． [答案]29．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤ 则((15))f f 的值为 ▲ ．[答案]2210．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．[答案]3411．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． [答案]-312．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． [答案]313．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． [答案]914．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． [答案]2715．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．[答案]16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． [答案]17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B 均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[答案]18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．[答案]19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． [答案]20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． [答案]2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案（选修4部分）一、填空题（共2小题；共10分）1. 已知圆的圆心为，直线（为参数）与该圆相交于，两点，则的面积为．2. 在极坐标系中，直线与圆相切，则．二、解答题（共6小题；共78分）3. 如图，圆的半径为，为圆的直径，为延长线上一点，过作圆的切线，切点为．若，求的长．4. 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．5. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．6. 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．7. 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．8. 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．答案第一部分1.2.第二部分3. 连接．因为与圆相切，所以．又因为，，所以．又因为，从而为斜边的中点，所以．4. （1）因为，，所以可逆，从而．（2）设，则，所以，因此，点的坐标为．5. （1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，，则．又由得，故，于是直线的斜率．6. （1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为（为参数，）．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）．7. （1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，，故或，经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点，当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点，综上，所求的方程为．8. 因为曲线的极坐标方程为，所以曲线是圆心为，直径为的圆．因为直线的极坐标方程为，则直线过，倾斜角为，所以为直线与圆的一个交点．设另一个交点为，则．连接．因为为直径，从而，所以．因此，直线被曲线截得的弦长为．。

2018年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线（2018湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A. 4B. 6C. 8D. 12（2018浙江理数）（8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（2018全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2018陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p（2018辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==（2018辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2018辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12(D)12【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

专题8选修系列（2018全国1卷）22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）综上，所求的方程为．【解析】分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.详解：（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.（2018全国1卷）23. [选修4–5：不等式选讲]已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.（2018全国2卷）22. [选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）. （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．详解：（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0) 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.（2018全国2卷）23. [选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．（2018全国3卷）22. 选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题1．（2018浙江）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（ ）A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)1．.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).2. （2018上海）设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）（A ）2（B ）2（C ）2（D ）43．（2018天津文、理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）（A ）22139x y -= （B ）22193x y -=（C ）221412x y -= （D ）221124x y -= 3．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，()0c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b-=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得22122bc b bc b d c a b --=+，22222bc b bc b d c a b ++==+， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率：2229112c b e a a a==++，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．22D ．2234、答案：C解答：知2c =，∴2228a b c =+=，22a =，∴离心率22e =.5．（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．23D ．45. 答案：B解答：渐近线方程为：2203x y -=，即33y x =±，∵OMN ∆为直角三角形，假设2ONM π∠=，如图，∴3NM k =，直线MN 方程为3(2)y x =-.联立333(2)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴33(,)22N -，即3ON =，∴3MON π∠=，∴3MN =，故选B.6．（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86. 答案：D解答：由题意知直线MN 的方程为2(2)3y x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，与抛物线方程联立有22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得1112x y =⎧⎨=⎩或2244x y =⎧⎨=⎩，∴(0,2),(3,4)FM FN ==，∴03248FM FN ⋅=⨯+⨯=.7．（2018全国新课标Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A．1-B．2 CD1 7．【答案】D【解析】在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，设2PF m =，则1222c F F m ==，1PF =，又由椭圆定义可知)1221a PF PF m =+=则离心率212c c e a a===，故选D ．8.(2018全国新课标Ⅱ文、理）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则其渐近线方程为（ ）A．y = B．y = C．y =D．y = 8．【答案】A【解析】c e a ==，2222221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴，因为渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.23 B ．12 C ．13D ．14 9．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==， 由AP得，2tan PAF ∠，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ．10．（2018全国新课标Ⅲ文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（ ）AB ．2C ．2D ．10．答案：D解答：由题意c e a ==1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==.故选D.11．（2018全国新课标Ⅲ理）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．211．答案：C解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =； 又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =； 在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，∴222222222224(6)464463322b c a bb c a b c a c a b c c+-=⇒+-=⇒-=-⋅ 223c a ⇒=3e ⇒=.二、填空1．（2018北京文）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．1．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．2．（2018北京文）若双曲线()222104x y a a -=>5，则a =_________． 2．【答案】4【解析】在双曲线中，2224c a b a =++，且5c e a ==245a +，22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．3．【答案】31-；2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为23113c a ==-+．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，222πtan 33n m ∴==，222222234m n m me m m ++∴===，2e ∴=．4. （2018上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。