成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数与平行四边形

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数定值问题专练1.如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,82,8==，现OA cm OC cm有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．(1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；2.如图，抛物线y=ax2+c（a≠0)经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2)且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N．（1)求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM;（3)探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k 取何值，的值都等于同一个常数．3。

如图,在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ （m 为常数）的图象与x 轴交于点A （3-，0），与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0）经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线的函数表达式;（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C,E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点,试探究2112P P M M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．4.如图,在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝181x2－94x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t （单位：秒)(1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；(2）当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程；(3)当0＜t ＜29时，△PQF 的面积是否总为定值?若是，求出此定值；若不是,请说明理由；(4）当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．5.如图，直线y=kx+b(b ＞0)与抛物线相交于点A(x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴正半轴相交于点D ，与y 轴相交于点C,设△OCD 的面积为S ，且kS+32=0．（1）求b 的值；（2）求证：点（y 1，y 2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x 1•OB+y 2•OA=0．O A Bx y D Q C F P E。

x成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数与多边形面积专练1.将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图（16），已知抛物线的顶点为M（2，―4），且过点A（―1，5），连结AM交x轴于点B．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P 为顶角、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设△PQR的面积为S。

求S与x之间的函数关系式；(4)在上述动点P（x，y）中，是否存在使S△PQR = 2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3.如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K△EFK的面积最大？并求出最大面积．图24.已知直线3y kx =-与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ，动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，PQA △是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得ACD △的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．。

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数动态问题专练1.已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？2.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.（1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a =-）3.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．（1）求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．4.如图①，Rt ABC △中，90B ∠= ，30CAB ∠= ．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠= 的点P 有几个？请说明理由．。

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数与平行四边形专练例：如图，抛物线与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标.（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m①求直线BC的解析式②用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF是平行四边形？提升1：在（3）条件下，四边形PEDF可能是菱形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由。

提升2：在刚刚（3）的背景下，PF ∥DE 的背景下，P 的横坐标为m ，如图构造矩形PRFS ，设矩形PRFS 的周长为P ，矩形在线段CB 上运动过程中,求P 与m 的函数关系式及P 的最大值。

练习1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于两点A 、B ，其顶点为C ．(1)对于任意实数m ，点M （m ，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC 是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4.如图，在直角坐标系x O y 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B 坐标为（6，6），抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 两点，且13-=-b a ．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A→B 、B→C 运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，EBF ∆的面积为S ． ①试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．。

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之平行四边形存在性问题》专练1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c 经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME 长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．4．抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y 轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？。

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之压轴题基本题型》专练三
*变式：抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA+∠OCB =45°，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
（17）在抛物线的对称轴上是否存在点Q到直线BC的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点Q，若不存在请说明理由；
特殊四边形存在性问题：（18）点M为抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N,当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（19）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（20）点Q是抛物线上一动点，点M为抛物线对称轴上一动点，当以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？，求出点Q的坐标；
（21）Q为抛物线的对称轴上一动点，点P在坐标平面内，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，求Q点的坐标；以A、C、P、Q为顶点的四边形能为正方形吗？若能，请直接写出此时Q点的坐标；（矩形存在性问题转化成直角三角形存在性问题）
（22）Q为抛物线上一动点，点P在坐标平面内，若四边形APCQ为菱形，求Q点的坐标；
（23）Q为抛物线的对称轴上一动点，点P在坐标平面内，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为菱形，求Q点的坐标；（菱形存在性问题转化成等腰三角形存在性问题）。

成都市东湖中学九上数学二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质导学一 复习：上一节课我们学习了 y=a(x-h)2+k (a ≠0)的函数图象和性质,请同学们说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（1）y=3(x+3)2+4 （2）y= -2(x-1)2-2 （3）y=21 (x+3)2-2 （4）y= - 32 (x-1)2+0.6 二 自学与发现 例:画出函数y= - 21x 2+x- 25的图象、并说明这个函数具有哪些性质 步骤:1、配方 填空：y= -21x 2+x- 25 =-21（x 2-2x+ ）=-21（x 2-2x+ + ）=-21（x 2-2x+ ）- =-21(x- )2- 这个函数的开口方向是 、对称轴是 顶点坐标是 。

2、列表：根据对称轴是x=1, 以1为中心，对称的选取自变量的值，看看相应的函数值有什么关系，列出表格。

3、画出函数图象4、由函数y= -21x 2+x- 25图象观察总结性质。

当X 时，函数值y 随X 的增大而 ； 当X 时，函数值y 随 X 的增大而 ； 当X 时，函数值取得 为 。

做一做：1、 试按照上面的方法画出函数 y=21x 2-4x+10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？2、通过配方变形，说出函数y=-2x 2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

这个函数有最大值还是最小值？，这个值是多少？思考：你会把y=ax 2+bx+c(a ≠0)配方变成 y=a(x-h)2+k(a ≠0)的形式吗？根据配方结果确定y=ax 2+bx+c(a ≠0) 的对称轴是 顶点坐标是 三 总结反思结合二次函数的图象，从以下几个方面总结二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的性质。

1、开口方向： 时开口向上， 时开口向下； 开口大小： 开口越小。

2、对称轴x= ，顶点坐标 。

3、增减性，最值：a>0时，在对称轴的左侧y 随着x 的增大而 ，在对称轴的右侧y 随着x 的增大而 ， 当x= 时y 最小= 。

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数与几何综合专练1.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．（1）当t= s时，点P与点Q重合；（2）当t= s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．2.如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；（2）如图，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为(第每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．3.如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：AH AD ＝EF BC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．4.如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）。

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之图形变换问题》专练1、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=mx 2-2mx-3（m ≠0）与x 轴交于A （3,0），B 两点.（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标.（2）当-2＜x ＜3时的函数图像记为G ，求此时函数y 的取值范围.（3）在（2）的条件下，将图像G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图像G 的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b （k ≠0）与图像M 在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b 的取值范围.2、已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.3、已知：抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a-5的顶点为P,与x 轴相交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是１（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C 2的顶点为M ，当点P ，M 关于点B 成中心对称时，求平移后的抛物线C 2的解析式；（3）直线y=-53x+m 与抛物线C1,C2的对称轴分别交于点E,F ，设由点E ，P ，F ，M 构成的四边形的面积为S ，试用含m 的代数式表示S 。

4、将抛物线沿c1：y=-x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．（1）请直接写出拋物线c2的表达式．（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．5、将抛物线沿C1：y=-x2+沿x轴翻折，得拋物线C2．（1）请直接写出拋物线c2的表达式．（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．。