最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解

第1讲一元二次方程的解法一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。

如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。

解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+1 10 (100x2-100)]克朗，得方程100+110(100x2-100)=100x. 同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,∴x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。

点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。

例１用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x22=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1,x2;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x12(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=45.(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=1 3 .(7)原方程可化为∴ x1=,x2(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。

一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。

除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。

以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。

我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。

进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法例如，考虑已知$\alpha。

\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。

我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。

S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。

我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。

九年级一元二次方程讲解一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

- 例如方程x^2+3x - 1 = 0，这里a = 1，b=3，c=-1。

二、一元二次方程的解法。

（一）直接开平方法。

1. 适用情况。

- 对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的一元二次方程，可以使用直接开平方法求解。

2. 解题步骤。

- 例如方程(x - 2)^2=9。

- 第一步，直接开平方得x - 2=±3。

- 第二步，分别求解两个一元一次方程：- 当x - 2 = 3时，解得x=5。

- 当x - 2=-3时，解得x=-1。

（二）配方法。

1. 适用情况。

- 所有的一元二次方程都可以用配方法求解。

2. 解题步骤。

- 以方程x^2+6x - 1 = 0为例。

- 第一步，移项，把常数项移到等号右边，得到x^2+6x = 1。

- 第二步，配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方。

一次项系数b = 6，一半为3，平方后为9，则x^2+6x+9 = 1 + 9，即(x + 3)^2=10。

- 第三步，用直接开平方法求解，x+3=±√(10)，解得x=-3±√(10)。

（三）公式法。

1. 一元二次方程的求根公式。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

2. 解题步骤。

- 例如方程2x^2-5x+1 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 1。

- 第一步，计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。

- 第二步，代入求根公式x=(5±√(17))/(4)。

含有两个未知数且含未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，将两个二元一次方程合在一起称为二元一次方程组.二元一次方程组的解是满足两个二元一次方程的公共解.解二元一次方程组的方法很多，灵活选用合适的方法解不同的二元一次方程组，可以有效地提高解题的效率.一、换元法换元法是将复杂方程转化为简单方程的一种方法.灵活运用换元法可大大降低运算量.运用换元法解题的步骤为：首先分析方程组中的复杂结构，将方程组中某些相同的部分设为新的未知数（称为“元”），然后将新元代入原方程组得到新的方程组，解新的方程组，再将求得的值代回换元的式子中求出原未知数的值，即可解题.1.整体换元法整体换元法指的是当一个方程中含有（或者可配凑出）相同的因式时，可以将这个相同的因式看成一个整体并将这个整体设为一个新未知数（称为“元”），然后将原方程组转化为关于新“元”的方程组.通过整体换元，可以调整方程及方程组的结构，使方程组变成易于处理的简单形式，进而快速求解.例1解方程组：■■■■■■■1x +1x +y=3,3x -1x +y =1.解：设1x =a ，1x +y=b ，则方程组转化为■■■a +b =3,①3a -b =1,②①+②解得a =1，将a =1代入到方程①中解得b =2.代回得■■■■■1x =1,1x +y=2,解得■■■■■x =1,y =-12,所以原方程的解为■■■■■x =1,y =-12.评注：设1x =a ，1x +y =b 后可将原方程组转化为简单的二元一次方程组.先求解换元后的二元一次方程组，然后将值代回到换元的式子中求出原方程组的解.本题也可以将两方程直接相加求出1x的值，进而代回后求得1x +y 的值，然后求得最终结果.这种操作的本质也是整体换元思想.2.比值换元法当一个方程（或方程组）中出现形如x a =y b的方程时，可将x a 与y b 设为一个相同的新“元”，进而用新“元”表示x 和y ，将原方程组转化为关于新“元”的方程组.解这个关于新“元”的方程组，再将新“元”的值代回到换元的式子中，即可解题.例2解方程组：■■■■■x 5+y6=0,①3(x -y )-4(3y +x )=85.②解：由①得x 5=-y 6，设x 5=-y6=k ，则x =5k ，y =-6k .将x =5k ，y =-6k 代入方程②中得3(5k +6k )-4[3×(-6k )+5k ]=85，化简整理得85k =85，解得k =1，中考复习：一元二次方程组的解法归纳代回得x =5，y =-6，所以原方程组的解为{x =5,y =-6.评注：根据方程①的结构，设x 5=-y6=k ，将x 和y 用新“元”k 表示，然后代入方程②中，求出k 的值，最后将k 代回换元的式子中求得x 和y 的值.本题若直接去分母消元求解，则运算量较大.二、消元法消元法指的是由一些未知数间的已知等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的方法.消元法是解方程组的基本方法，常见的有代入消元法和加减消元法，都是将方程组中未知数的个数由多化少，逐一求出未知数的解.1.代入消元法运用代入消元法解二元一次方程组，首先需从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，或者将两个方程相加（相减），得到两个未知数系数相同或者相反的新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入原方程组中的其中一个方程，求得其中一个未知数的值，再将这个值代入变形后的关系式，即可求得另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．例3解方程组：■■■2015x +2016y =2017,①2016x +2017y =2018.②解：由①-②得x +y =1③，由③得x =1-y ，将x =1-y 代入①中得2015(1-y )+2016y =2017，即2015+y =2017，解得y =2，将y =2代入③中解得x =-1.所以原方程组的解为{x =-1,y =2.评注：本题采用常规的加减或者代入消元法求解，运算量都较大.观察到两个方程的相同未知数的系数之差相等，因此，直接将两个方程作差得到一个新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，再运用代入消元法即可解题.2.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．由于二元一次方程组的形式各异，因此往往需要利用等式的性质将二元一次方程组中的方程变形，使得两个方程中的其中一个未知数的系数有相同或相反的特点，然后运用加减消元法即可解题.例4已知■■■4x -3y =3,①x +2y =1,②求x -2y 的值.解:由②×4得4x +8y =4,③将①与③作差得-11y =-1，解得y =111，再将y =111代入其中一个方程中得x =911，则x -2y =911-211=711，所以x -2y 的值为711.评注：首先将方程组中的方程x +2y =1的两边同时乘以4得到一个新的方程，然后将方程组中的另一个方程与此方程作差求得y 的值，然后运用代入消元法求得x 的值，进而求得结果.当然，在求解x 的值时也可以再次运用加减消元法，这只需要将第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后将得到的两个新方程作差即可求得x 的值.总之，解二元一次方程组问题时，应从整体与局部上观察方程的结构，把握其中的规律，灵活选择不同方法解题，准确地进行运算，这样才能缩短解题时间，做到事半功倍.。

初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。

首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。

第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。

3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。

(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。

2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。

对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。

实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。

下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。

解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。

Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。

用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。

这时x1=6，x2=4。

解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。

设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。

经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。

归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。

例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。

分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。

我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。

解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。

例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。

一元二次方程的详细解法一元二次方程，这名字听起来就有点高大上，乍一听可能让人觉得这是个数学界的“终极boss”，对吧？其实啊，这东西并没有那么可怕，咱们就像解开一个小谜团一样，轻松搞定它。

想象一下，你手里拿着一块拼图，拼图的每一块都代表一个数值，最终拼出完整的图案就是你要找的答案。

看，简单吧？一元二次方程的标准形式是这样的：ax² + bx + c = 0，哎呀，这个“a”、“b”、“c”就是一些数字，当然“a”不能是零哦，不然方程就变得不再是二次方程了，成了一元一次方程。

这里面的“x”就像是你的小伙伴，待在方程里，等着你去把它找出来。

这个“x”就是咱们的目标，找出它的值就万事大吉了。

怎么找这个“x”呢？有几个方法可以尝试。

咱们可以使用“因式分解”，这听起来就像是把一个大蛋糕切成几块，让每一块都变得简单。

咱们先看一下方程里的常数项c，试着找两个数，它们相乘等于c，相加等于b。

举个简单的例子，假设你的方程是x² 5x + 6 = 0，你会发现2和3这两个数字很不错，它们相乘等于6，相加等于5。

于是，你就可以把方程写成(x 2)(x 3) = 0，这样一来，x就等于2或者3，搞定！不过，万一你找不到合适的数字呢？没关系！咱们可以求助于“求根公式”，这可是一招制敌的绝技。

公式是这样的：x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)。

听起来是不是有点复杂？但实际上只要一步一步来，保准你也能把它弄明白。

先算出“b² 4ac”，这叫“判别式”，它决定了方程的根是几种情况。

判别式大于零，表示有两个不同的实数根；等于零时，恭喜你，有一个重根；小于零，那就表示没有实数解，得转向复数了。

使用求根公式最重要的是心态，别被这个公式吓到。

慢慢来，先把“a”、“b”、“c”都填进去，接着计算判别式，再根据情况分别计算两个根。

就像拆盲盒，有时候你会惊喜地发现，原来答案就在你的眼前！除了这些传统的解法，现代科技也给我们带来了不少方便。

初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。

首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；这个方法确实要简单些，不过却不容易想到将x替换为np，一般来说，谁能想到这个？老师提供的第二种方法也包含了部分这个方法中的一些设想，只不过路线不同罢了，所以同一道题方法有很多，有些只是我们还未发现而已，并不代表不存在。

初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。

解一元二次方程的方法讲义嘿，咱今儿个就来讲讲解一元二次方程的那些事儿！一元二次方程，就像是数学世界里的一个小怪兽，咱得找到合适的办法去打败它。

先来说说直接开平方法吧。

这就好比是打开一扇紧闭的门，找到那把合适的钥匙，“咔嚓”一下就打开啦。

如果方程能化成那种完全平方的形式，嘿，那用直接开平方法就轻松搞定。

然后呢，是配方法。

这有点像给小怪兽梳妆打扮一番，把它变成我们熟悉的模样。

通过巧妙地添加一些数字，让方程变得更容易对付。

再讲讲公式法，这可是个厉害的法宝啊！就像是有了一个万能公式，不管遇到啥样的一元二次方程，都能往里一套，答案就出来啦。

那个求根公式，可得记牢咯，就像记住自己的名字一样重要。

还有因式分解法呢！这就像是把一个大东西拆分成几个小块，让问题变得简单明了。

找到方程中的公因式，把它提取出来，或者通过一些巧妙的变形，让方程变成两个式子相乘等于零的形式，那解不就出来了嘛。

你想想看，解一元二次方程是不是挺有趣的呀？就像是一场和小怪兽的战斗，我们拿着各种武器，去攻克它。

有时候可能会遇到一些难题，哎呀，怎么这个方程这么难解呀！但别着急，慢慢来，多试试几种方法，说不定就找到突破口啦。

比如说，给你一个方程 x²+4x+3=0，那咱就可以用因式分解法呀，把它变成(x+1)(x+3)=0，这不就轻松找到解啦，x=-1 或者 x=-3。

是不是挺神奇的？再比如一个方程 4x²-12x+9=0，那咱可以用配方法呀，把它变成(2x-3)²=0，那解不就是 x=3/2 嘛。

在解一元二次方程的过程中，咱可得细心呀，一个小数字算错了，那可就前功尽弃啦。

就像走路一样，一步一个脚印，踏踏实实地走。

总之呢，解一元二次方程有这么多方法，咱得根据具体情况选择合适的那个。

别嫌麻烦，多试试，多练练，等你熟练了，就会发现，这也没那么难嘛。

加油哦，相信你一定能把这些小怪兽都打败的！。

初中数学解一元二次方程一元二次方程是初中数学中的重要概念，它可以用来描述许多实际问题，也是解决许多数学问题的基础。

在本文中，我们将详细介绍如何解一元二次方程，包括方程的基本形式、解的方法以及实际应用等内容。

一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

方程中的x表示未知数。

二、求解一元二次方程的方法解一元二次方程的一般方法有两种：因式分解法和配方法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方法来求解方程。

具体步骤如下：首先，将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，找出两个乘积为ac，且和为b的两个数。

假设这两个数为m和n，即m * n = ac，m + n = b。

然后，可以将方程写成两个括号相乘的形式，如：(px + m)(qx + n)= 0。

其中，p和q是已知实数。

最后，根据括号相乘的性质，可以得到两个方程：px + m = 0 和 qx + n = 0。

解这两个方程可以得到方程的解。

当一元二次方程无法因式分解时，可以使用配方法来求解方程。

具体步骤如下：首先，将方程ax^2 + bx + c = 0右侧移到左侧，得到ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

然后，计算方程的判别式D = b^2 - 4ac。

根据判别式的值可以判断方程的解的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实数解；- 当D = 0时，方程有两个相等的实数解；- 当D < 0时，方程无实数解，但可能有复数解。

最后，根据判别式的情况，使用求根公式x = (-b ± √D) / 2a来计算方程的解。

三、实际应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的例子：1. 抛物线的图像一元二次方程描述的曲线是一个抛物线，通过解一元二次方程，可以确定抛物线的顶点、焦点等关键点的坐标，进而描绘出抛物线的图像。

初中数学如何解一元二次方程解一元二次方程是数学中的重要内容，它涉及到方程的求解和应用。

在这篇文章中，我们将详细讨论解一元二次方程的各种方法，并提供实例进行说明。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。

解一元二次方程的目标是找到方程成立的x的值。

接下来，我们将介绍几种常用的解一元二次方程的方法：1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，我们可以使用因式分解法求解。

例如，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0。

我们可以将这个方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

然后，我们令每个因式等于零，解得x = 2和x = 3。

因此，方程的解为x = 2和x = 3。

2. 配方法：配方法是一种常用的解一元二次方程的方法。

它的基本思想是通过对方程进行变形，将方程转化为一个完全平方的形式。

例如，考虑方程x^2 + 6x + 9 = 0。

我们可以将方程写成(x + 3)^2 = 0。

然后，我们令(x + 3)^2 = 0，解得x = -3。

因此，方程的解为x = -3。

3. 完全平方公式：完全平方公式是解一元二次方程的常用方法。

它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。

例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。

我们可以将方程中的a、b、c代入完全平方公式，计算得到x = (4 ± √(16 - 12)) / 2。

进一步计算，得到x = (4 ± √4) / 2，即x = (4 ± 2) / 2。

最终，解方程，得到x = 3和x = 1。

因此，方程的解为x = 3和x = 1。

4. 公式法：公式法是解一元二次方程的一种直接方法。

它是通过对一元二次方程的一般形式应用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。

初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。

当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。

2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。

解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。

证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。

例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。

中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。

解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。

2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。

3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。

4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。

二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。

在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。

2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。

如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。

3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。

在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。

4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。

5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。

通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。

总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。

在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。

与一元二次方程有关的竞赛题求解方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。

一、换元例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4( “希望杯”竞赛题)二、降次例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。

(江苏省竞赛题) 三、整体代入例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x 12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991= 。

(希望杯竞赛试题)例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。

(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)五、反客为主例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。

(香港初中数学竞赛试题)六、构造新方程例6 已知两数a、b，ab≠1，且2a2+1234567890a+3=0(1)3b2+1234567890b+2=0(2)则= 。

( “希望杯”竞赛试题)例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0bx2+2cx+a=0cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。

(山东省数学竞赛试题)八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。

(江苏省竞赛试题)九、整体变形例9 设a、b、c、d＞0，证明在方程x2+x2+x2+x2+中，至少有两个方程有不相等的实数根。

( “希望杯”竞赛试题)十、分类讨论例10 已知三个关于x的方程：x2-x+m=0(1)(m-1)x2+2x+1=0(2)(m-2)x2+2x-1=0(3)其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是( )A、m≤2B、m≤或1≤m≤2C、m≥1D、≤m≤1(山东省竞赛试题)例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )A、-2B、0C、2D、4解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0 即|x-1|2-5|x-1|+6=0 令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0 ∴A1=2，A2=3 由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。

解题技巧初中代数中的一元二次方程求解方法一元二次方程在初中代数中是一个非常重要的内容，学习它的求解方法对于初中生来说至关重要。

本文将介绍一些解题技巧，帮助初中生更好地理解和应用一元二次方程的求解方法。

一、一元二次方程的定义和基本形式一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

下面以解方程3x^2 + 5x – 2 = 0为例，给出解题步骤。

二、解题步骤1. 首先，我们要保证方程是一个一元二次方程，即方程的最高次项是x的二次项，并且系数a不为0。

若不满足这个要求，可以进行合理的整理或变形。

例如，在方程3x^2 + 5x – 2 = 0中，最高次项是x的二次项，且系数a不为0，满足一元二次方程的要求。

2. 确定方程的解的形式。

根据一元二次方程的特点，我们知道它的解的形式可以通过解二次方程的一些公式来表示。

一元二次方程的解可以分为以下三种情况：（1）当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。

（3）当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数根，但有两个共轭复根。

3. 根据方程的特点，将方程代入解二次方程的公式中进行求解。

对于3x^2 + 5x – 2 = 0，我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

代入a = 3, b = 5, c = -2，我们可以得到：x = (-5 ± √(5^2 - 4 · 3 · (-2))) / (2 · 3)= (-5 ± √(25 + 24)) / 6= (-5 ± √49) / 6= (-5 ± 7) / 6我们可以得到两个根：x1 = (-5 + 7) / 6 = 1/3x2 = (-5 - 7) / 6 = -2所以，方程3x^2 + 5x – 2 = 0的解为x1 = 1/3和x2 = -2。