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数论与密码学基础数论和密码学似乎是两个不同的领域，但在实际应用中，它们却有着非常紧密的联系。
在数字化时代，保护个人隐私和数据安全成为越来越重要的任务。
而密码学则是实现这个目标的核心技术之一，而数论则是密码学的基础。
本文将介绍数论和密码学的基本概念和关系。
一、数论基础1.1 质数质数是指在大于1的自然数中，只能被1和这个数本身整除的数。
例如，2、3、5、7、11、13、17、19等就是质数。
质数在密码学中是十分重要的概念，因为它们可以用来进行加密和解密。
例如，在RSA公钥加密算法中，生成公钥和私钥时需要选取两个大质数p和q，这两个质数的乘积n=p*q就是RSA加密算法的模数。
由于n是一个非常大的数，因此用分解质因数的方法很难找到p和q，从而保证了RSA算法的安全性。
1.2 模运算模运算是指除法取余的操作，例如：a mod b表示a除以b的余数。
模运算在密码学中也是一项重要的基础知识，因为它可以用来实现循环变换和置换操作。
例如，在单向散列函数中，我们可以使用模运算实现循环左移操作，即将二进制字符串左移若干位，然后将多出来的位放到字符串的右边，并用0填充。
例如，如果我们要将一个32位的字符串左移2位，就可以使用如下的代码：```unsigned int rol(unsigned int x, int n){return (x << n) | (x >> (32 - n));}```其中，`x << n`表示将x左移n位，`x >> (32 - n)`表示将x右移32-n位，两者分别表示字符串左移和右移，然后使用或操作将左移和右移之后的结果合并起来。
1.3 欧拉函数欧拉函数是指小于等于n的正整数中，与n互质的数的个数。
例如，欧拉函数φ(6)的值为2，因为小于等于6且与6互质的数只有1和5。
欧拉函数在密码学中也是一项重要的概念，因为它可以用来计算RSA公钥加密算法中的加解密指数。
---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷 时间100分钟 题 号 一 二 三 四 合 计 得 分 评卷人 复查人 2010~2011 学年 二 学期 数论与密码学基础 课程期末考试试题 48 学时， 3 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 % 一、选择题（将唯一正确的选择代号填入括号内，每小题4分，共16分） 1.下面的论断中，错误的是 （ ） A.2|||,,a bc a b a c a b Z ==>∀∈或 B. |,|||||,,a b b a a b a b Z ==>=∀∈ C. 22||,|a b a b a b Z ==>∀∈ D. |,0||||,,a b b a b a b Z ≠==>≤∀∈ 2.(12345578901,3722762121267)为 （ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 33 3．下列数中，找出对模7的指数最大的 （ ） A. 2 B. 4 C. 5 D ． 6 4.设原文为dogtail ，密码为jile ，采用维吉尼亚密码系统加密后密文为 （ ） A.molffas B.kerskgg C.mwrxmwr D.liozser a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 二、填空题(本题5分，共20分) 1. 5表成连分数为 。
2.若 2011!0(mod10)k ≡，则k 的最大值是 。
3.Alice 要求Bob 将信息m 用RSA 方法加密传送回来，Alice 找到大素数p ，q ，令n=pq ，取a 满足(,())1,p=q=a n ϕϕ=≡再找d 使得da 1(mod (n)),假设29，23，则.d=4.Alice 要求Bob 将信息m 用EIG 方法加密传送回来，Alice 找到大素数p 、它的原根a 和正整数(mod )A X A A X h a p ≡并计算，然后Alice 将p ，a 和A h 作为加密密钥送给Bob 。
数学知识点归纳数论与密码学的基础数学知识点归纳：数论与密码学的基础数论是数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
而密码学是应用数论的一个领域，研究的是信息保密和安全通信的方法。
本文将就数论和密码学的基础知识进行归纳和总结。
一、数论的基础知识1. 整数和整除性质：整数是自然数、0和负整数的集合。
整除是指一个数能够整除另一个数，也可以说是被整除的那个数是另一个数的倍数。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的数；最小公倍数是能够同时被两个数整除的最小的非零自然数。
3. 模运算：模运算是指将一个数对另一个数取余得到的结果，表示为a mod b。
常用于解决循环问题、计算机编程和密码学等领域。
4. 素数和合数：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的非素数称为合数。
二、RSA公钥密码体制RSA密码体制是一种基于数论的非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman共同发明。
它利用了大数分解的困难性来提供安全性。
1. 密钥生成：RSA算法需要生成一对公私密钥。
首先选择两个不同的素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
选择一个与(p-1)*(q-1)互质的整数e作为公钥，计算私钥d使e*d ≡ 1(mod (p-1)*(q-1))。
2. 加密过程：将明文M转换为整数m，然后使用公钥(e,n)对明文进行加密，得到密文C ≡ m^e(mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(d,n)对密文进行解密，得到明文M ≡C^d(mod n)。
三、素性测试素性测试是判断一个大数是否为素数的方法，其中最著名的是费马素性测试和米勒-拉宾素性测试。
1. 费马素性测试：根据费马小定理，如果p是素数且a是p的一个互质整数，那么 a^p-1 ≡ 1(mod p)。
因此，对于一个给定的大数n，若不等式a^n-1 ≡ 1(mod n)成立，那么n一定是合数。
费马素性测试虽然简单，但在实际应用中效果较差。
《密码学数学基础》习题集北京电子科技学院《密码学数学基础》习题集信息安全系密码教研室2015年10月目录第一章带余除法 (3)一、整数的最大公因子及其表示 (3)二、多项式的最大公因子及其表示 (7)三、标准分解和最小公倍数 (9)四、其他类型题 (11)第二章同余方程 (12)一、同余性质（剩余系） (12)二、模幂运算 (14)三、模逆运算 (16)四、一次同余方程求解 (18)第三章原根计算 (26)一、阶、原根、指数 (26)二、阶的计算 (30)三、原根的计算 (32)四、综合 (36)第四章二次剩余 (38)第五讲群 (49)一、群的概念 (49)二、循环群的生成元求解(可求原根) (49)三、子群及其陪集 (50)四、置换群上的计算 (53)五、群同态 (54)第六章环的性质 (55)一、环的概念 (55)二、商环 (57)第七章域上计算 (58)第一章带余除法重点概念：最大公因子、辗转相除法、标准分解式重点内容：用辗转相除法求解最大公因子及其表示。
一、整数的最大公因子及其表示1.(288，392)＝8 ，2.设a = 1435, b = 3371，计算(a, b)。
答：3371 = 2 ?1435 + 5011435 = 2 ? 501+ 433501 = 433 + 68433 = 6 ? 68 + 2568 = 2 ? 25 + 1825 = 18 + 718 = 2 ? 7 + 47 = 4 + 34 = 3 +13 = 3?1所以(1435,3371) = 13.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
答：用辗转相除法，如下表计算：，，x=73，y=625, (1387, 162)=1. 4.计算：(27090, 21672, 11352)。
答：(27090, 21672, 11352) = (4386, 10320, 11352) = (4386, 1548, 2580) = (1290, 1548, 1032) = (258, 516, 1032) = (258, 0, 0) = 258。
莆 期末考试参考答案及评分标准 2011 —— 2012 学年第 一 学期 （A ）卷课程名称： 初等数论 适用年级/专业 数学091 试卷类别：开卷（ ）闭卷（√） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟 一、填空题（每空2分，共20分） 1、 ① 9072 2、 ① 4 3、 ① 无 4、 ① -2，-1，0，1，2 5、 ① -1 6、 ① 星期三 7、 ① 若p 是素数，则(mod )p a a p ≡。
8、 ① (28,45,53) (注：答案不惟一！) 9、 ① 6 ② 2,5,6,7,8,11 二、计算题（每小题10分，共50分） 1、(10分)解：因为(6,14,32)2=，而2|80，所以原不定方程有整数解。
将原方程化简得371640x y z ++=。
设37x y t +=，显然，2,x t y t =-=是方程37x y t +=的一个解。
因此，其通解为27()3x t uu y t u=-+⎧⎨=-⎩为任意整数。
‥‥‥‥(5分) 把37x y t +=代入原三元一次不定方程得：1640t z +=，这个二元一次不定方程的通解为816()2t vv z v =+⎧⎨=-⎩为任意整数， 把=8+16t v 分别代入,x y ，可得原不定方程的通解为163278163(,)2x v u y v u u v z v =--+⎧⎪=+-⎨⎪=-⎩为任意整数 (注：答案形式上不唯一！) ‥‥‥‥(5分)2、(10分)解：由(2,243)1=及①式可得：28580(mod143)x y +-≡ ③由②，③得：171420(mod143)y -≡，解此一次同余式得42(mod143)y ≡，‥‥‥‥(5分)再由①式442290(mod143)x +⨯-≡，即4(mod143)x ≡。
所以此联立同余式的解是4(mod143)42(mod143)x y ≡⎧⎨≡⎩。
‥‥‥‥(5分)3、(10分)解：注意到原式与下面的同余式组等价：()0(mod5)()0(mod 7)f x f x ≡⎧⎨≡⎩容易验证()0(mod5)f x ≡有两个解：1,4(mod5)x ≡；()0(mod7)f x ≡有三个解：35,6(mod7)x ≡，。
一、密码学概述部分：1、什么是密码体制的五元组。
五元组（M,C,K,E,D）构成密码体制模型，M代表明文空间；C代表密文空间；K代表密钥空间；E代表加密算法；D 代表解密算法2、简述口令和密码的区别。
密码：按特定法则编成，用以对通信双方的信息进行明、密变换的符号。
换而言之，密码是隐蔽了真实内容的符号序列。
就是把用公开的、标准的信息编码表示的信息通过一种变换手段，将其变为除通信双方以外其他人所不能读懂的信息编码，这种独特的信息编码就是密码。
口令：是与用户名对应的，用来验证是否拥有该用户名对应的权限。
密码是指为了保护某种文本或口令,采用特定的加密算法,产生新的文本或字符串。
区别：从它们的定义上容易看出；当前，无论是计算机用户，还是一个银行的户头，都是用口令保护的，通过口令来验证用户的身份。
在网络上，使用户口令来验证用户的身份成了一种基本的手段。
3、密码学的分类标准：⏹按操作方式可分为：替代、置换、复合操作⏹按使用密钥的数量可分为：对称密钥（单密钥）、公开密钥（双秘钥）⏹按对明文的处理方法可分为：流密码、分组密码4、简述柯克霍夫斯原则（及其特点和意义。
？）即使密码系统中的算法为密码分析者所知，也难以从截获的密文推导出明文或密钥。
也就是说，密码体制的安全性仅应依赖于对密钥的保密，而不应依赖于对算法的保密。
只有在假设攻击者对密码算法有充分的研究，并且拥有足够的计算资源的情况下仍然安全的密码才是安全的密码系统。
一句话：“一切秘密寓于密钥之中”Kerckhoffs原则的意义：⏹知道算法的人可能不再可靠⏹设计者有个人爱好⏹频繁更换密钥是可能的，但无法频繁更换密码算法（设计安全的密码算法困难）5、密码攻击者攻击密码体制的方法有三种分别是：⏹穷举：尝试所有密钥进行破译。
（增大密钥的数量）⏹统计分析：分析密文和明文的统计规律进行破译。
（使明文和密文的统计规律不一样）⏹解密变换：针对加密变换的数学基础，通过数学求解找到解密变换。
1.凯撒大帝在密码学上很有造诣，试运用密码对一段信息I like the course:stay of cryptography加密，密钥为3~6中的一个2.有人说密码无门槛，也有人说密码高不可攀，试说说你眼中的密码学解：无门槛：举例：(1)研究密码的人员。
在《四十号房间》这个故事中尤因爵士组织的一个破密班子全部由业余爱好者组成，包括神职人员、股票经纪人、银行家、海军学校教师到大学教授的各色人等。
（2）密码应用的方面。
密码的应用可以说是无处不在，尤其是日常生活中，例如银行卡，网银，网店，QQ，手机锁自动柜员机的芯片卡、电脑使用者存取密码、电子商务等等。
高不可攀：（1）从安全方面讲：不安全的密码比没有密码更不安全（2）密码要求高：密码学要求基础要深，技术要强，必须是专业人员经过专业培训，专业训练才能胜任这份工作。
例如数学家有扎实的数学基础，计算机学家有相关的专业知识，物理学家有量子物理学的基础，生物学家掌握DNA方面的知识，密码学家也有相当丰富的专业知识。
3.有这样一个观点：要成为密码学家首先要成为数学家、计算机学家、生物学家等等成为其他方面的专家，谈谈自己对此的体会，试举例说明解：密码学是在编码与破译的斗争实践中逐步发展起来的，并随着先进科学技术的应用，已成为一门综合性的尖端技术科学。
它与语言学、数学、电子学、声学、信息论、计算机科学等有着广泛而密切的联系。
成为密码学家必须要有相关的密码学知识和相应的研究手段，不同专业领域的人员组成一个团体，各尽所能，致力于密码学研究。
例如：（1）语言学家：对英语、法语、德语或者其他小语种有研究的人，遇到熟悉的语言可以发挥优势，在电影《风语者》中美军使用了一种极少数人懂的印第安某部落的语言，在战争发挥了极大作用，直到战争结束仍未被破解。
（2）数学家：数学家有代数、数论、概率等专业知识，对破解密码有相当大的优势。
《跳舞的小人》中福尔摩斯就是通过字母“E”在英语中出现的频率最高，以此为突破口来破解密码（3）物理学家：物理学家有量子理论和通讯理论的专业知识，例如在《信息论与编码》这门课程中我们学习了，1949年美国人香农发表了《秘密体制的通信理论》一文，应用信息论的原理分析了密码学中的一些基本问题。
一、选择题1、1949年，（A ）发表题为《保密系统的通信理论》的文章，为密码系统建立了理论基础，从此密码学成了一门科学。
A、Shannon B、Diffie C、Hellman D、Shamir2、一个密码系统至少由明文、密文、加密算法、解密算法和密钥5部分组成，而其安全性是由（D）决定的。
A、加密算法B、解密算法C、加解密算法D、密钥3、计算和估计出破译密码系统的计算量下限，利用已有的最好方法破译它的所需要的代价超出了破译者的破译能力（如时间、空间、资金等资源），那么该密码系统的安全性是（B ）。
A无条件安全B计算安全C可证明安全D实际安全4、根据密码分析者所掌握的分析资料的不同，密码分析一般可分为4类：唯密文攻击、已知明文攻击、选择明文攻击、选择密文攻击，其中破译难度最大的是（D ）。
A、唯密文攻击B、已知明文攻击C、选择明文攻击D、选择密文攻击5、字母频率分析法对（B ）算法最有效。
A、置换密码B、单表代换密码C、多表代换密码D、序列密码6、（D）算法抵抗频率分析攻击能力最强，而对已知明文攻击最弱。
A仿射密码B维吉利亚密码C轮转密码D希尔密码7、维吉利亚密码是古典密码体制比较有代表性的一种密码，其密码体制采用的是（C ）。
A置换密码B单表代换密码C多表代换密码D序列密码8、在（ C ）年，美国国家标准局把IBM的Tuchman-Meyer方案确定数据加密标准，即DES。
A、1949B、1972C、1977D、20019、密码学历史上第一个广泛应用于商用数据保密的密码算法是（B ）。
A、AES B、DES C、IDEA D、RC610、在DES算法中，如果给定初始密钥K，经子密钥产生的各个子密钥都相同，则称该密钥K为弱密钥，DES算法弱密钥的个数为（B ）。
A、2 B、4 C、8 D、1611、差分分析是针对下面（A）密码算法的分析方法。
A、DES B、AES C、RC4 D、MD512、AES结构由一下4个不通的模块组成其中（A ）是非线性模块。
---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷 时间100分钟 题 号 一 二 三 四 合 计 得 分 评卷人 复查人 2010~2011 学年 二 学期 数论与密码学基础 课程期末考试试题 48 学时， 3 学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 70 % 一、选择题（将唯一正确的选择代号填入括号内，每小题4分，共16分） 1.下面的论断中，错误的是 （ ） A.2|||,,a bc a b a c a b Z ==>∀∈或 B. |,|||||,,a b b a a b a b Z ==>=∀∈ C. 22||,|a b a b a b Z ==>∀∈ D. |,0||||,,a b b a b a b Z ≠==>≤∀∈ 2.(12345578901,3722762121267)为 （ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 33 3．下列数中，找出对模7的指数最大的 （ ） A. 2 B. 4 C. 5 D ． 6 4.设原文为dogtail ，密码为jile ，采用维吉尼亚密码系统加密后密文为 （ ） A.molffas B.kerskgg C.mwrxmwr D.liozser a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 二、填空题(本题5分，共20分) 1. 5表成连分数为 。
2.若 2011!0(mod10)k ≡，则k 的最大值是 。
3.Alice 要求Bob 将信息m 用RSA 方法加密传送回来，Alice 找到大素数p ，q ，令n=pq ，取a 满足(,())1,p=q=a n ϕϕ=≡再找d 使得da 1(mod (n)),假设29，23，则.d=4.Alice 要求Bob 将信息m 用EIG 方法加密传送回来，Alice 找到大素数p 、它的原根a 和正整数(mod )A X A A X h a p ≡并计算，然后Alice 将p ，a 和A h 作为加密密钥送给Bob 。
Bob 收到后随机取 ，计算(),*()k k A u a p v h m p =≡将密文（u,v ）传送给Alice 。
得 分 评卷人 得 分 评卷人三、计算题（每小题11分，共44分，要求写出主要的计算过程） 1.求不定方程924510x y z +-=的全部解。
得 分评卷人---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 2、化同余式组 1(mod 3)3(mod 5)1(mod 6)2(mod 7)x x x x ≡⎧⎪≡⎪⎨≡⎪⎪≡⎩ 为适合孙子定理求解的同解同余式组，然后求解 3、同余式2282(mod 499)x ≡是否有解？这里499是素数。
4、设a=306，b=360，（1）求（a，b）；（2）求x，y使得(,)=+。
a b ax by---○---○------○---○---学 院专业班级学 号姓 名………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 四、证明题（本题20分） 1、（10分）设a b （a,b ）=1,0<a<b,证明：能表示成纯循环小数 （b,10）=1 得 分 评卷人2.（10分）若(,)*,0,0,.E a m ααβαββ=>>则（a ,m ）=这里E(a,m)表示a 对模m 的指数.一、选择题1、A2、B3、C4、D二、填空题 1、2,4⋅⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、501 3、不定方程6161ax y -=里解x 的值 4、一个{}1,2,3,,1k p ∈-三、计算题1、解：由已知()9,24,5110= 故原不定式有解()9,243=将该不定方程化为： 92433510x y t t z +=⎧⎨-=⎩ 即 383510x y t t z +=⎧⎨-=⎩ 38x y t +=有特解03x t = .0y t =- 383x t u y t u =-⎧∴⎨=-+⎩而3510t z -= 相当于解531t z += 有特解01t =- 02z =3510t z ∴-=有特解020t = 010z = 205103t v z v =+⎧∴⎨=+⎩ ()()320582053103x v u y v u z v =+-⎧⎪∴=-++⎨⎪=+⎩ 即601582053103x v u y v u z v =+-⎧⎪=--+⎨⎪=+⎩ 0,1,20,1,2u v =±±=±± 2、解：原同余式组由于()16x ≡为合数模 ()16x ∴≡等价于求同余式()()12213x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 而()()12213x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 236m =⋅= '11'223,122,23m M M m M M ∴====== ()()131122676x ∴≡⋅⋅+⋅⋅≡ ()76x ≡ 原同余式组等价于 则3，5，2，7两两互素 ()()()()13351227x x x x ≡⎧⎪≡⎪⎨≡⎪⎪≡⎩ '11'22'33'44352721070,1342,35105,1230,47m m M M m M M m M M m M M ∴=⋅⋅⋅============= ()70114233105113042793210x ∴≡⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅≡即()163210x ≡ 3、解：计算282对模499的勒让德符号： 28223472347499499499499499⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()249918211.499-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ()()314991223499111.49933--⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()4714991291471222274992947471149947472929----⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222918182321129292929-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()28223471111499499499499⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==--⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2282499x ∴≡有解4、解：1）()306,36018=由a=306，b=360作辗转相除5191 22）(),ax by a b += 即 30636018x y += 等式两边去掉(),18a b =即求17201x y += 求不定方程17201x y +=，将20与17作辗转相除： 25q = 11q = 42q = 31q = ∴取11q = 25q = 31q =做表：()310316x Q -=-= ()30317y P =-⋅=- i Q 0 1 5 6 ∴得到不定方程17201x y +=一组特解007,6x y =-= ∴不定方程17201x y +=的一切解表为： 720617x t y t =--⎧⎨=+⎩ 即为 3063601x y +=的解四、证明题 1、证明：""⇒：由已知a b 能表成纯循环小数，即设...120,,t a a a a b = ......12121212100t t t t t a a a a a a a a a a a a a b =⋅=+ 10t a a q b b ∴=+ 即 ()10110t t a q b -=< ()101t a b q -= (),1101t a b b =∴- 即 p ∃ .st 101t b p -=⋅即 ()()110110101t t bp p b --=⇒+-= ()10,1b ∴= 必要性得证 ""⇐:(),101b =,由欧拉定理 ()()101b b ϕ≡ 即存在一个最小正整数t ，使得10t a am b a ≡⋅+即101t bm ≡+ 两边同乘a 10t a amb a ≡+ 令am q = 则 10t a qb a =+()10110t t a qb -=< ()101t a q b -= 令12t q a a a = 不足t 位补0 则()12101t t a a a a b -= 1210t t a a a a a b b =+ 1210.10t t a a a a a b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ...a 360 306 306 270 54 36 36 36 18 0 360 306 306 270 54 36 36 36 18 0 0 1 2 3 i q 1 5 1 i p 1 1 6 72、证明：由已知().a m αβE =⋅即().a m E 存在 所以(),1a m = 从而()(),1,a m a m αα=∴E 存在一方面 设(),a αβδE = 由定义 ()()1a m δα≡又().,a m αβE =⋅ 即()()1a a m βαβα≡≡由定义 δβ另一方面，()().1a m a m αβαβE =∴≡而(),a m αδE = ()()1a a m δααδ=≡αβαδ∴ 而 0,0αβ>> βα∴βδ∴=即(),a m αβE =。
