《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题
11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。
解：存在满足条件的二次函数。
因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。
由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得
2552a b c -+= ①
当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++
由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2， 故 2a b c ++= ②
由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分 当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥
所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故
20(42)4(25)0a a a a ⎧⎨---≤⎩ 即20,(31)0,
a a ⎧⎨-≤⎩ 所以13a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥， 所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故
210,(4)4(1)(51)0,a a a a -⎧⎨----≤⎩即21,(31)0,
a a ⎧⎨-≤⎩所以13a = 综上，141,4,25333
a b a c a ====-=
所以，存在二次函数23141333
y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132y y y ≤≤成立。 ……………15分
11（2009）．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．
解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分
设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k x x k +=--=，当 且仅当满足如下条件
1212
0,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分
时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．
由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩
≥
解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩
≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．
………………20分 12（2010）．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x
=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3
（O 为坐标原点）.
（1）求实数a ，b ，k 的值；
（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一
点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.
解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x
=
上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x
y 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩
，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，故 ()141132AOB t S t t
∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝2
1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2
y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.
a b =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO
＝42. 又BO =22，所以
2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，
则点D 的坐标为（3-，0）.
因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.
（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.
延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点. （ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．
所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分） （第12题） （第12题）
