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(完整word版)数字信号处理期末试卷(含答案)(word版可编辑修改) (完整word版)数字信号处理期末试
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试卷(含答案)(word版可编辑修改)的全部内
容。
高通滤波器
（3）理想低通滤波器加窗后的影响有3点:
1）幅频特性的陡直的边沿被加宽，形成一个过渡
带，过渡带的带宽取决于窗函数频响的主瓣宽度。
2）渡带的两侧附近产生起伏的肩峰和纹波，它是
由窗函数频响的旁瓣引起的,旁瓣相对值越大起伏
就越强.
3）截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度，但却
不能减小旁瓣相对值。
只能减小过渡带带宽，而不
能改善滤波器通带内的平稳性和阻带中的衰减。
为了改善滤波器的性能，尽可能要求窗函数满足：
1）主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带
2）值尽可能小,以改善通带的平稳度和增大阻带中的衰减.。
A一、选择题（每题3分，共5题）1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。
A.非周期序列B.周期6π=N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。
A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥ 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ，n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
A.70≤≤nB.197≤≤nC.1912≤≤nD.190≤≤n4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N满足 。
A.16>NB.16=NC.16<ND.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为 。
A.有限长序列B.右边序列C.左边序列D.双边序列二、填空题（每题3分，共5题）1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 ，这就是奈奎斯特抽样定理。
3、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为 。
4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类，分别是： ； 。
5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型， ，______ 和______ 四种。
三、10)(-≤≥⎩⎨⎧-=n n ba n x n n求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点。
（10分）四、求()()112111)(----=z z Z X ，21<<z 的反变换。
数字信号处理期末试卷(含答案)一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在括号内。
1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过( )即可完全不失真恢复原信号。
A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器 2．下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( )A.y(n)=x 3(n)B.y(n)=x(n)x(n+2)C.y(n)=x(n)+2D.y(n)=x(n 2)3.．设两有限长序列的长度分别是M 与N ，欲用圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度至少应取( )。
A ．M+NB.M+N-1C.M+N+1D.2(M+N)4.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( )。
A.N ≥MB.N ≤MC.N ≤2MD.N ≥2M 5.直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( )成正比。
A.N B.N 2 C.N 3 D.Nlog 2N6.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR 滤波器的基本结构( )。
A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型7.第二种类型线性FIR 滤波器的幅度响应H(w)特点( )： A 关于0=w 、π、π2偶对称 B 关于0=w 、π、π2奇对称C 关于0=w 、π2偶对称 关于=w π奇对称D 关于0=w 、π2奇对称 关于=w π偶对称 8.适合带阻滤波器设计的是： （ ） A )n N (h )n (h ---=1 N 为偶数 B )n N (h )n (h ---=1 N 为奇数 C )n N (h )n (h --=1 N 为偶数D )n N (h )n (h --=1 N 为奇数9.以下对双线性变换的描述中不正确的是( )。
A.双线性变换是一种非线性变换B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把s 平面的左半平面单值映射到z 平面的单位圆内D.以上说法都不对10.关于窗函数设计法中错误的是：A 窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小；B 窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关；C 为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加；D 窗函数法不能用于设计高通滤波器； 二、填空题(每空2分，共20分)1. 用DFT 近似分析连续信号频谱时, _________效应是指DFT 只能计算一些离散点上的频谱。
数字信号处理期末试卷(A)一、填空题（每空1分, 共10分)1．序列的周期为。
2．线性时不变系统的性质有律、律、律.3．对的Z变换为，其收敛域为。
4．抽样序列的Z变换与离散傅里叶变换DFT的关系为。
5．序列x（n）=（1，-2，0,3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为。
6．设LTI系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h（n）,则系统零状态输出y（n）= 。
7．因果序列x（n)，在Z→∞时，X(Z)= .二、单项选择题（每题2分, 共20分)1．δ(n)的Z变换是( ) A。
1 B.δ(ω) C.2πδ(ω） D.2π2．序列x1（n）的长度为4,序列x2（n)的长度为3，则它们线性卷积的长度是( ）A. 3 B. 4 C. 6 D。
73．LTI系统，输入x（n）时，输出y（n）；输入为3x（n—2），输出为（) A。
y（n-2）B。
3y（n—2) C。
3y（n）D。
y（n) 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是（）A。
时域为离散序列，频域为连续信号B.时域为离散周期序列,频域也为离散周期序列C。
时域为离散无限长序列,频域为连续周期信号D。
时域为离散有限长序列,频域也为离散有限长序列5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过即可完全不失真恢复原信号（）A。
理想低通滤波器 B.理想高通滤波器C。
理想带通滤波器D。
理想带阻滤波器6．下列哪一个系统是因果系统（）A。
y（n）=x （n+2） B. y（n）= cos（n+1）x （n） C. y(n)=x （2n) D.y （n)=x (- n)7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括( ）A. 实轴B。
原点 C.单位圆 D.虚轴8．已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>2，则该序列为（）A.有限长序列B。
无限长序列C。
反因果序列D。
因果序列9．若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X（k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象,则频域抽样点数N需满足的条件是（）A。
《数字信号处理》期末考试卷答案考试形式：闭卷考试考试时间：分钟班号学号姓名得分一、单项选择题(本大题共小题，每小题分，共分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
.δ()的变换是。
. .δ() . πδ() . π.下列系统(其中()是输出序列，()是输入序列)中属于线性系统。
( )()() ()()()() ()().在应用截止频率为Ω的归一化模拟滤波器的表格时，当实际Ω≠时，代替表中的复变量的应为（）．Ω．Ω．Ω．cΩ.用窗函数法设计数字滤波器时，在阶数相同的情况下，加矩形窗时所设计出的滤波器，其过渡带比加三角窗时，阻带衰减比加三角窗时。
（）. 窄，小. 宽，小 . 宽，大. 窄，大.用双线性变法进行数字滤波器的设计，从平面向平面转换的关系为( ) 。
.1111zzz--+=-.1111zzz---=+.1111zz cz---=+.1111zz cz--+=-.若序列的长度为，要能够由频域抽样信号()恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数需满足的条件是( )。
≥ ≤≤2M ≥2M.序列()()，其点记为()，,…则()为( )。
.下面描述中最适合的是（ ） ．时域为离散序列，频域也为离散序列．时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 ．时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 ．时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列．利用矩形窗函数法设计滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( )。
.窗函数幅度函数的主瓣宽度 .窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半 .窗函数幅度函数的第一个旁瓣宽度 .窗函数幅度函数的第一个旁瓣宽度的一半 .下列系统哪个属于全通系统（ ）。
. 1113()3z H z z ---=- . 11113()3z H z z ---=- . 都是 . 都不是二、填空题(本大题共小题，每题分，共分).已知一离散系统的输入输出关系为2()(1)y n n x n =-，（其中()为输出，()为输入），试判断该系统的特性（线性、时不变和因果） 线性 ， 时变 ， 因果 。
数字信号处理期末试卷(含答案)填空题（每题2分，共10题）1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。
2、 2、)()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列为 。
３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。
４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。
５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。
６、FFT 利用 来减少运算量。
７、数字信号处理的三种基本运算是： 。
８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2)4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ，其幅度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。
９、数字滤波网络系统函数为∑=--=NK kk z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。
１０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。
一、选择题（每题3分，共6题）1、 1、 )63()(π-=n j en x ，该序列是 。
A.非周期序列 B.周期6π=NC.周期π6=ND. 周期π2=N2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n，则)(Z X 的收敛域为 。
A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ，n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。
数字信号处理期末复习题一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分）1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。
(Ⅰ)原信号为带限(Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。
①Ωs ②.Ωc③.Ωc/2 ④.Ωs/23.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。
①.R3(n) ②.R2(n)③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1)4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。
①.有限长序列②.右边序列③.左边序列④.双边序列5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。
①当｜a｜<1时，系统呈低通特性②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性③.当0<a<1时，系统呈低通特性④.当-1<a<0时，系统呈低通特性6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。
①.2 ②.3③.4 ④.57.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。
①.FFT是一种新的变换②.FFT是DFT的快速算法③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。
①.横截型②.级联型③.并联型④.频率抽样型9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ① )。
数字信号处理期末考试试题以及参考答案1. 说明数字信号处理的基本概念和应用领域。
数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是利用计算机和数字技术对信号进行处理的一种方法。
与传统的模拟信号处理相比，数字信号处理具有精度高、灵活度大以及易于集成等优势。
它广泛应用于通信、音频处理、图像处理、雷达信号处理等领域。
2. 解释采样定理的原理，并举例说明其应用。
采样定理是数字信号处理的基础理论，它规定了采样频率必须满足一定条件，以保证从连续信号中恢复出完整的原始信息。
根据采样定理，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，即Nyquist采样频率。
例如，对于音频信号处理，人耳可以接受的最高频率为20kHz，因此需要以至少40kHz的采样频率进行采样，才能保证恢复出高质量的音频信号。
3. 描述离散时间信号和离散序列的特点，并给出示例。
离散时间信号是在离散时间点上获取的信号，相邻时间点之间存在离散性。
离散时间信号可以用离散序列来表示，离散序列是按照离散时间点取样的数字信号。
例如，某地区每天的气温是一个离散时间信号，每天不同的时间点测量一次气温，将其离散化后可以得到一个离散序列，表示该地区每天的气温变化。
4. 详述时域和频域分析在数字信号处理中的作用。
时域分析是对信号在时间上进行分析，通过观察信号的波形和幅度变化，可以了解信号的时序特性、周期性以及脉冲等特征。
频域分析是将信号变换到频率域进行分析，通过观察信号的频谱和频率特征，可以了解信号的频率分布、频率成分以及谐波情况等。
在数字信号处理中，时域分析和频域分析是互补的工具。
通过时域分析可以了解信号的时间特性，而频域分析则更适合对信号的频率特性进行研究，两者结合可以全面分析信号的性质和特点。
5. 介绍常见的数字滤波器类型，并分别阐述其特点和应用场景。
常见的数字滤波器类型有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
- 低通滤波器：可以通过滤除高频噪声、保留低频信号来平滑信号。
07年数字信号处理A 卷标准答案及评分标准一、答：(1)0n <，()0h n ≠故非因果；（1分）()n h n ∞=-∞→∞∑故不稳定；（1分）(2) 0n <，()0h n =故因果；（1分）()h n 长度有限，()n h n ∞=-∞<∞∑，故稳定；（1分）(3)()H z 的收敛域为3z ≤≤∞，()h n 为右边序列，故因果；（1分）收敛域不包含单位圆，故不稳定；（1分）(4)系统在n 时刻的输出只取决于n 时刻的输入，故因果；（1分）若()x x n M ≤，则()()()x y n x n u n M ≤≤，有界输入产生了有界输出，故稳定。
（1分） 二、答： (1) 018ω=，0216ππω=为无理数，故非周期；（2分）(2) 067πω=，0273πω=，为有理数，为周期序列，（1分），周期7N =，（1分） (3) 对47jn eπ来说，147πω=，1272πω=，为周期序列，周期7N =，对25j n e π来说，225πω=，225πω=，序列为周期的，周期5N =，故序列()x n 是周期的，（1分）周期35N =。
（1分）三、答： (1) 52350()()1nn X z x n zz z z ----===+++∑（2分）进行采样：523555542355150()()12()k k k kz W kk nkn X k X z W W W WWx n W -====+++=++=∑（2分）进行逆变换：{}1()2,0,1,1,0,0,1,2,3,4x n n ==（2分）(2) 系统函数：22122122123123123()12(1)(2)32132z z z z z z z H z z z z z z z z z ----+-+-+-=-===++++++++ 差分方程：()3(1)2(2)2()3(1)(2)y n y n y n x n x n x n =-+-=+---（3分）单位脉冲响应：11()2(1)()(2)(1)()2(1)()(2)()22n nn n h n u n u n n u n u n δ=----=-+-+-（3分）(3) 计算采样信号为()()cos cos 52a s x n x nT A n B n ππ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第一项的周期为110N =，第二项的周期为24N =，两项之和的周期是20N =，（1分） 可以写成22()cos 2cos 52020x n A n B n ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用复指数表示()x n ，有2222225520202020()2222j n j n j n j n A A B Bx n e e e e ππππ--=+++（1分）利用复指数的周期性，有222182020jn jn eeππ-= 225152020jn jn eeππ-=（1分）结果，()x n 可以写为222221851520202020()2222j n j n j n j n A A B Bx n e e e e ππππ-=+++（1分）上式是DFS 分解的形式219201()()20j nk k x n X k e π==∑ 所以我们看到(2)(18)10X X A == (5)(15)10X X B == 0k =到19k =的其他DFS 系数等于0。
课程号：1002111《数字信号处理》期末考试试卷A（附答案）考试形式：闭卷考试考试时间：120分钟班号学号姓名得分一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分，共15分)1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过( A )即可完全不失真恢复原信号。
A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器2.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-3)时输出为( D )。
A.R3(n) B.R2(n)C.R1(n) D.R3(n)+R3(n-1) +R3(n-2)3.下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D )A.h(n)=δ(n)+δ(n-10)B.h(n)=u(n)C.h(n)=u(n)-u(n-1)D. h(n)=u(n)-u(n+1)4.若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是( A )。
A.N≥MB.N≤MC.N≤2MD.N≥2M5.以下对双线性变换的描述中不正确的是( D )。
A.双线性变换是一种非线性变换B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把s平面的左半平面单值映射到z平面的单位圆内D.以上说法都不对二、判断题（每题3分共15分） 1.如果系统函数用下式表示：11()(10.5)(10.5)H Z z z -=--可以通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定。
（ × ）2.用窗函数设计FIR 滤波器时，加大窗函数的长度不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。
( √ )3.令||()n x n a =，01,a n <<-∞≤≤∞，()[()]X Z Z x n =，则()X Z 的收敛域为 1||a z a -<< 。
（ √ ）4.如果()c x t 的奈奎斯特率是s Ω，那么(2)c x t 的奈奎斯特率是/2s Ω。
（ × ）5.双线性变换法是非线性变换，所以用它设计IIR 滤波器不能克服频率响应混叠效应。
( × )三、计算证明题（40分） 1.（10分）已知 111()11(1)(1)42X Z z z --=--，Roc ：12z >，求出它的Z 的反变换()x n 。
解：设11111G()()1111(1)(1)()()4242n n n z z z X z zz z z z -+---===----，C 为X(z)的收敛域z 1（>）2内的闭合曲线，当≥n -1时，由于函数G(z)在闭合曲线C 内有两个一阶极点11,42==12z z ，所以利用C 内部的极点求留数比较方便，得11211111421()Re []|11112()()()()424211()()111142()()()()4242kn n z z k C n n z z z z x n dz s j z z z z z z z z z z z z π+++==++====----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦∑⎰ 即11()()2(),142n n x n n =-+≥-； （6分）当2n ≤-时，函数G(z)在C 的外部没有极点，且满足分母的多项式z 的阶次比分子的多项式z 的阶次高两阶以上，因此2n ≤-x(n)=0,；由11()()2(),142n n x n n =-+≥-可知x(-1)=0，因此11()2(),0420,0nn n n ⎧-+≥⎪⎨⎪<⎩x(n)=。
（4分）2. （10分）假如快速傅氏变换（FFT ）处理器的频率分辨能力为0.2F ≤Hz ，所能允许通过信号的最高频率为500h f ≤Hz ，并要求采样点数为2的整数幂。
而且未采用其他任何数据处理措施，求：（1）最小记录长度p T ；（2）采样点的最大时间间隔T ；（3）、在一个记录中的最少点数N 。
解：（1）由频率分辨力F 可以确定记录长度p T ，即1150.2p T s F ≥== （3分） 所以记录长度p T 至少为5s 。
（2）由所能允许通过信号的最高频率可以确定最大的采样时间间隔T,按采样定理知：2s h f f ≥，即311 1.01022500h T s f -≤==⨯⨯ （3分） （3）最小记录点数N 应满足2250050000.2h f N F ⨯≥==，因此该处理器的所需最少点数为1328192N ==。
（4分） 3. （10分）假设线性非时变系统的单位脉冲响应()h n 和输入信号()x n 分别用下式表示：88()(),()()nh n R n x n a R n ==，其中0a <<∞， 计算系统的输出信号()y n 解：88()()*()()()()()m mm y n x n h n x m h n m aR m R n m ∞=-∞∞=-∞==-=-∑∑（1）当0n <时，8()m a R m 与8()R n m -没有相重合的点，因此y(n)=0; （2分）(2)当07n ≤≤时，18800(1)()()*()()()1n nnmmm m a y n x n h n a R m R n m a a +==-==-==-∑∑；（3分）（3）当814n ≤≤时，7157887(1)()()*()()()1n n mm n a a y n x n h n a R m R n m a --=--==-=-∑； （3分） （4）当15n ≥时,8()m a R m 与8()R n m -没有相重合的点，因此y(n)=0;（2分）4.（10分）证明：如果单位冲激响应h (n )为实数，且为有限长，并有h (n )=h (N -1-n )(即为偶对称,N 为有限长度)，则∑-=--=--⋅=121je )21cos()(e|)(j N n N z n N n h z H ωωωH (z )为系统函数。
证：1111(1)(1)(1)10()()(1)(1)()()()N N nn n n N N N m N m N m m H z h n zh N n z m N n h m z z h m z z H z ----==----------====--=--===∑∑∑∑令， （3分）可以表示成1(1)1(1)0(1)(1)(1)12221(1)()()(1)122211()[()()]()22()2()2N N n N n n N N N nnN n N N n n N N n H z H z z H z h n z z z z zz z zh n zz zh n -------=-------=--------=⎧⎫⎡⎤=+=+⎨⎬⎣⎦⎩⎭+=+=∑∑∑ （3分）因此11()()(1)1222(1)12(1)12()()|()21()cos()21()cos()2j N N j n j n N N j j z e n N N jn N N jn ez H e H z eh n N eh n n N eh n n ωωωωωωωωω--------==---=---=+==-=--=-∑∑∑ （4分）证明完毕。
四、设计题（30分，第一题10分，第二题20分） 1．根据以下幅度平方函数()f Ω确定系统函数()a H s22229(81)()(25)(36)f -ΩΩ=+Ω+Ω解：()f Ω为Ω的非负有理函数，它在j Ω轴上的零点是偶次的，满足幅度平方函数的条件，先求：2222229(81)()()()(25)(36)a a s s H s H s f s s Ω=-+-=Ω=--（4分），其极点为5,6s s =±=±；零点为9s j =±（二阶），选出左半平面极点s=-5，s=-6及一对虚轴零点9s j =±为()a H s 的极点与零点，并设增益常数为0K ,则得20(81)()(5)(6)a K s H s s s +=++（4分），由2(0)(0)a f H =的条件可得增益常数0K =3，最后得到223(81)3243()(5)(6)(5)(6)a s s H s s s s s ++==++++ （2分）。
2．设计一个线性相位FIR 低通滤波器，给定通带截止频率为0.3p ωπ=，阻带截止频率为0.45s ωπ=，阻带衰减不小于50dB -.各窗函数的参数如下表所示：各窗函数的表达式如下：矩形窗： 三角形窗：1,01()0,n N w n ≤≤-⎧=⎨⎩其他； 21,01221()2,1120,nN n N n N w n n N N -⎧≤≤⎪-⎪-⎪=-<≤-⎨-⎪⎪⎪⎩其他； 汉宁窗： 海明窗：12(1cos ),01()210,n n N w n N n π⎧-≤≤-⎪=-⎨⎪⎩其它值； 20.540.46cos ,01()10,n n N w n N n π⎧-≤≤-⎪=-⎨⎪⎩其它值（1）选择合适的窗函数，说明原因 （2）选择滤波器的长度N （3）求出()h n解：解：（1）根据阻带最小衰减选择海明窗； （6分） （2）过渡带宽为0.15s p ωωπ-=，所以 6.6440.15N ππ==，选择45N =； （6分）（3）理想低通滤波器的数字截止频率近似为1/2()0.375c p s ωωωπ=+=，所以sin(())()()c d n h n n ωαπα-=- 其中α为线性相位所必须要求的移位1222N α-==，所以 sin(())2().[0.540.46cos()]()()1c N n nh n R n n N ωαππα-=---。
（8分）。
