江苏专用2018版高考数学复习三角函数解三角形第28练正弦定理余弦定理练习理

1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

第四章三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书理苏教版1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C2；(4)cosA ＋B2＝sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形.( × )(5)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )1.(教材改编)在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC ＝ . 答案3＋1解析 ∵b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.2.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c ＝ . 答案1063解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c22，∴c ＝1063.3.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝ . 答案 1解析 方法一 在△ABC 中，根据余弦定理，即BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos 60°，得(3)2＝AB 2＋22－2AB ×2×cos 60°，整理得AB 2－2AB ＋1＝0，解得AB ＝1. 方法二 在△ABC 中，根据正弦定理， 得ACsin B ＝BC sin A ，即2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1， 因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°， 所以AB ＝22－ 3 2＝1.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B ＝ .答案π6解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.5.(教材改编)在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 答案 7解析 由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝92＋82－722×9×8＝23， 设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2×AC2×AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7，故所求中线长为7.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝ .答案 7解析 因为cos B ＝35，所以B ∈(0，π2)，从而sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，又由正弦定理得asin A ＝c sin C ，即522＝c7210，解得c ＝7. (2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a＋cos B b＝sin Cc. ①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明 根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . ②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由①知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba＝ .(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cosA sin C ，则b ＝ .答案 (1) 2 (2)2 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A cos C ＝3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得2(a 2－c 2)＝b 2， ①又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12.因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2) 方法一 因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2. 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin2π3＝ 3. 方法二 由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ， 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin2π3＝ 3. 思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是 . 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 的形状为 三角形.(2)设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则△ABC 的形状为 三角形. 答案 (1)钝角 (2)钝角解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B<cos A ，所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由3sin A ＝5sin B 及正弦定理得3a ＝5b ， 故a ＝53b ，c ＝73b .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即C ＝23π.从而△ABC 为钝角三角形.引申探究1.例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0， 又A ，B 为△ABC 的内角. ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.2.例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状.解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形. 命题点2 求解几何计算问题例4 (2016·连云港调研)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan∠ADC ＝－2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.解 (1)因为tan∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)， 所以sin∠ADC ＝255，cos∠ADC ＝－55.所以sin∠ACD ＝sin(π－∠ADC －π4)＝sin(∠ADC ＋π4)＝sin∠ADC ·cos π4＋cos∠ADC ·sin π4＝1010， 在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin∠DAC sin∠ACD＝ 5.(2)因为AD ∥BC ，所以cos∠BCD ＝－cos∠ADC ＝55，sin∠BCD ＝sin∠ADC ＝255. 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7,所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×7×5×255＝7.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC＝2，则AB ＝ .(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .答案 (1)263(2)(6－2，6＋2)解析 (1)由题意得cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝4＋2－102×2×2＝－22， ∴sin∠ADC ＝22，∴sin∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝22. 由正弦定理可得，AD sin 60°＝ABsin∠ADB ，∴AB ＝232·22＝263. (2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值.(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题 ――――――→已有a －c ＝66b利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→求sin A ，cos A ――――→第 1 问已求出cos A根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C 及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分]又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ， [4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[9分]于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[10分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[11分]所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分]1.(教材改编)若△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则S △ABC ＝ .答案154解析 由cos C ＝14，得sin C ＝154，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝154.2.(2016·全国乙卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝ .答案 3解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.3.(2016·盐城模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为 三角形. 答案 等腰直角解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°， 由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知，△ABC 为等腰直角三角形.4.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是有 解.(填0,1,2) 答案 0解析 由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状是 三角形. 答案 直角解析 在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝bc， ∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形.6.(2016·连云港模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C＝π4，则△ABC 的面积为 . 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝ .答案1010解析 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt△EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5. 在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin∠CED sin∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin∠CED ＝55·sin∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为 .答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.*10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为 . 答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11.(2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 .答案 (2，＋∞)解析 由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m ＝sin 120°－α sin α＝32·1tan α＋12>32×3＋12＝2.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 的面积的最大值为 . 答案55解析 由∠B ＝∠C ，得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43， 得7a 2＋2b 2＝43，即2b 2＝43－7a 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2b，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a22b＝83－15a 22b ，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 83－15a 2＝14a 2 83－15a 2＝14×115 15a 2 83－15a 2 ≤14×115×15a 2＋83－15a 22 ＝14×115×43＝55， 当且仅当15a 2＝83－15a 2时取等号，此时a 2＝4315.所以△ABC 的面积的最大值为55. 13.四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 是三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2si n 60° ＝2 3.14.(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6.sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 15.(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

4-61．(2018·石家庄二检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A >sinB ”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B ，即a >b ；若a >b ，则a 2R >b2R ，即sin A >sin B ，所以在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“a >b ”的充要条件，故选C.【答案】 C2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.【答案】 D3．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°， 由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ， 综上可知△ABC 为等腰直角三角形． 【答案】 D4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3 B.π3 C.3π4D.5π6【解析】 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.【答案】 A5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4【解析】 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.【答案】 C6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1【解析】 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝712π，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 B7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.【答案】 21138．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．【解析】 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 【答案】 π3或2π39．(2018·昆明检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于________． 【解析】 依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62， 所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.【答案】 16 210．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A. 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12. 【答案】 1211. (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.12．(2018·云南二检)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 对的边，b ＝ 3. (1)若C ＝5π6，△ABC 的面积为32，求c ；(2)若B ＝π3，求2a －c 的取值范围．【解析】 (1)∵C ＝5π6，△ABC 的面积为32，b ＝3，∴12ab sin C ＝12×a ×3×12＝32. ∴a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋3－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝13. ∴c ＝13.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴a ＝b sin A sin B ＝2sin A ，c ＝b sin Csin B＝2sin C . ∴2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C －2sin C＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos C －cos 2π3sin C －2sin C＝23cos C . ∵B ＝π3，∴0<C <2π3，∴－12<cos C <1，∴－3<23cos C <23，∴2a －c 的取值范围为(－3，23).。

2018届江苏高考二轮数学专题测试 正、余弦定理及其应用1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝2tan B ，a 2－b 2＝13c ，则c 的值为________．解析：由tan A ＝2tan B 可得sin A cos A ＝2sin B cos B ，由正、余弦定理可得2abc b 2＋c 2－a 2＝2·2abc a 2＋c 2－b 2，则a 2－b 2＝13c 2，又因为a 2－b 2＝13c ，可得 13c ＝13c 2，即c ＝1.2.(2017·浙江卷)在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________.3.(2017·长沙市零模)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝35，D 是线段BC 上的点，cos∠ADC ＝210. (1)若b ＝5，a ＝7，求c 的大小； (2)若b ＝7，B D ＝10，求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos c ＝72＋52－2×7×5×35＝32，即c ＝4 2.(2)因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝45，同理sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝7210，所以cos ∠CAD ＝－cos(∠ADC ＋C )＝－cos ∠ADC cos C ＋sin ∠ADC sin C ＝22，即∠CAD ＝π4，在△ACD 中，由正弦定理，得CDsin ∠CAD＝AC sin ∠ADC ，得CD ＝AC sin ∠CAD sin ∠ADC ＝7×227210＝5，所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×7×15×45＝42. 4. (2017·北京卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠A ＝π3，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理可得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，可得c ＝3，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得49＝b 2＋9－2b ×3×12，解得b ＝8，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.5.(2017·天津卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值．解析：(1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，又因为由a sin A ＝4b sin B ，可得a ＝2b ，又因为ac ＝5(a 2－b2－c 2)，即b 2＋c 2－a 2＝－55ac ，所以由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)因为0<A <π，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，可得sin B ＝a sin A 4b ＝55，由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255，于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，所以sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255.6. (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a 的值．7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． (1)若b ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积；(2)若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，试判断△ABC 的形状．解析：(1)因为A ，B ，C 成等差数列，即2B ＝A ＋C ，因为A ＋B ＋C ＝π，可得B ＝π3，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即12＝a 2＋4－2·a ·2·12，解得a ＝4或a ＝－2(舍去)，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2sinπ3＝2 3.(2)由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，可得a ，b ，c 成等比数列，即b 2＝ac ，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，可得a ＝c ，可得a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形． 8.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解析：(1)证明：因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 可得cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin Csin C ＝1，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，又因为sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，即sin A sin B ＝sin C .(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，则sin A ＝1－(35)2＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，可得cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4.9. (2017·新余市高三调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b tan A ，c tan B ，b tan B 成等差数列． (1)求角A ；(2)若a ＝2，试判断当bc 取最大值时△ABC 的形状，并说明理由．10. (2017·河南百校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0. (1)求角B 的大小； (2)若△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin C 的值． 解析：(1)因为cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0，可得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，即sin(A ＋B )＝c cos B ，可得sin C c ＝cos B ，又由正弦定理可得sin C c ＝sin B b ，所以可得sin B3＝cos B ，即tan B＝3，由△ABC 可得B ＝π3.(2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝32，可得ac ＝2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，即(a＋c )2－3ac ＝3，所以a ＋c ＝3，由正弦定理可得sin A ＋sin C ＝sin B b ·(a ＋c )＝32.11.(2017·课标Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．(2)由sin B sin C ＝23，cos B cos C ＝16，可得cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ＝12，由△ABC可得A ＝π3，所以可得B ＝2π3－C ，代入2a 2＝3bc sin 2A 可得bc ＝8，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－24＝9，所以b ＋c ＝33，所以△ABC 的周长为3＋33. 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4b sin A ＝7a . (1)求sin B 的值；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos A －cos C 的值．解析：(1)因为4b sin A ＝7a ，由正弦定理可得4sin B sin A ＝7sin A ，由△ABC 可得sin A ≠0，所以sinB ＝74. (2)因为a ，b ，c 成等差数列，由正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝72，设cos A －cos C ＝x ，二式平方相加可得2－2cos(A ＋C )＝74＋x 2，又有公差大于0可得a <b <c ，即A <B <C ，所以0<B <π2，可得cos B ＝34，所以cos(A ＋C )＝－cos B ＝－34，可得x 2＝74，又因为y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减，可得cos A >cosC ，即cos A －cos C >0，所以cos A －cos C ＝72.。

【步步高】（某某专用）2017版高考数学 专题4 三角函数、解三角形 28 三角恒等变换 文1．(2015·某某某某中学上学期第六次月考)已知α为第二象限角，sin α＝5，则sin 2α＝________.2．已知sin(α－π4)＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝________. 3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝________.4．(2015·某某一模)已知sin(π3＋α)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)＝________. 5．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)＝________. 7．函数f (x )＝sin x sin(x －π3)的最大值为________． 8．(2015·某某一诊)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β＝________.9.cos 10°－3sin 10°sin 20°＝________. 10．已知2sin 2x ＋sin 2x 1＋tan x ＝12(π4<x <π2)，则sin x －cos x ＝________. 11．(2015·某某一模)设a ＝c os 50°cos 127°＋cos 40°×cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，d ＝12(cos 80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________． 12．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．13．若关于x 的方程3sin(x ＋10°)＋4cos(x ＋40°)－a ＝0有实数解，则实数a 的取值X围是________．14．设向量a ＝(1，cos 2θ)，b ＝(2,1)，c ＝(4sin θ，1)，d ＝(12sin θ，1)，其中θ∈(0，π4)．若f (x )＝x －1，f (a b )＋f (c d )＝62＋22，则cos θ－sin θ的值为________．答案解析1．－2425 2.35 3.124．－45解析 sin(π3＋α)＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435 ⇒32sin α＋12cos α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－(32sin α＋12cos α)＝－45. 5.836.23277.348.7π49.210.2211．a >c >b >d 12.113．[－13，13 ]解析 a ＝3sin(x ＋10°)＋4cos(x ＋40°)＝3sin(x ＋10°)＋4cos[(x ＋10°)＋30°]＝3sin(x ＋10°)＋4cos(x ＋10°)cos 30°－4sin(x ＋10°)sin 30°＝23cos(x ＋10°)＋sin(x ＋10°)＝13sin(x ＋10°＋φ)(其中tan φ＝23)， 故－13≤a ≤13.14.32－12解析 f (a ·b )＝a ·b －1＝1＋cos 2θ＝2|cos θ|＝2cos θ， f (c ·d )＝c ·d －1＝2|sin θ| ＝2sin θ，f (a ·b )＋f (c ·d )＝2(cos θ＋sin θ) ＝62＋22.∴cos θ＋sin θ＝32＋12，∴(cos θ＋sin θ)2＝1＋32，∴sin 2θ＝32，又θ∈(0，π4)，∴2θ∈(0，π2)，∴2θ＝π3，即θ＝π6，∴cos θ－sin θ＝32－12.。

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(T (α＋β))2.二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)【知识拓展】1.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × )(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.( √ ) (4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2.( √ )(5)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (6)在非直角三角形中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .( √ )1.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 2.(2016·四川)cos 2π8－sin 2π8＝ .答案22解析 由题意可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22(二倍角公式).3.(2016·全国丙卷改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝ .答案 45解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 4.(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.5.(2016·全国甲卷改编)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为 .答案 5解析 由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用例1 (2016·盐城模拟)已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin(2α＋π3)的值.解 (1)因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin(α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255，所以tan(α＋π4)＝sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2.(2)因为sin(2α＋π2)＝sin 2(α＋π4)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝45，cos(2α＋π2)＝cos 2(α＋π4)＝2cos 2(α＋π4)－1＝－35，所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)(2016·全国丙卷改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝ .(2)计算：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 .答案 (1)6425 (2)12解析 (1)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换例2 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)(2016·镇江期末)由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为 . 答案 (1)2525 (2)－5＋14解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)由sin 36°＝cos 54°，得sin 36°＝2sin 18°cos 18°＝cos(36°＋18°)＝cos 36°cos 18°－sin 36°sin 18°＝(1－2sin 218°)·cos 18°－2sin 218°cos 18°＝cos 18°－4sin 218°·cos 18°，即4sin 218°＋2sin 18°－1＝0，解得sin 18°＝－2＋22＋162×4＝5－14，cos 2 016°＝cos(6×360°－144°)＝cos 144°＝－cos 36°＝2sin 218°－1＝－5＋14. 命题点2 三角函数式的变形例3 (1)(2016·无锡调研)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝ .答案 －17解析 方法一 因为tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. 又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12－tan β1＋12tan β＝－13，故tan β＝1.所以tan(β－2α)＝tan β－tan 2α1＋tan βtan 2α＝1－431＋43＝－17.方法二 tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β) ＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131－12×(－13)＝－17.(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°).解 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)(sin θ2－cos θ2)2－2cos θ(0<θ<π).解 ∵0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)∴原式＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)(sin θ2－cos θ2)2sinθ2＝－cos θ.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等.(1)(2016·泰州模拟)若sin(π4＋α)＝13，则cos(π2－2α)＝ .(2)(2016·南京模拟)化简(tan α＋1tan α)·12sin 2α－2cos 2α＝ .(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ . 答案 (1)－79(2)－cos 2α (3)1解析 (1)∵sin(π4＋α)＝13，∴cos(π4－α)＝13，∴cos(π2－2α)＝cos 2(π4－α)＝2×19－1＝－79.(2)原式＝1sin αcos α·12sin 2α－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3sin 10°cos 10°)＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2(12cos 10°＋32sin 10°)cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.8.利用联系的观点进行角的变换典例 (1)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 .(2)若tan α＝2tan π5，则cos (α－3π10)sin (α－π5)＝ .思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；α＝(α－β)＋β；α＋π12＝(α＋π3)－π4；15°＝45°－30°等. 解析 (1)∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45>0，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. (2)cos (α－3π10)sin (α－π5)＝sin (α－3π10＋π2)sin (α－π5)＝sin (α＋π5)sin (α－π5)＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sinπ5cos π5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sin π5＝3.答案 (1)17250(2)31.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan(α＋π4)＝ .答案 17解析 由α∈(0，π)，cos α＝－45，得tan α＝－34，则tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.2.(2016·盐城三模)若角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y＝12x 上，则tan α的值为 . 答案 －13解析 若角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝12x 上，则tan(α＋π4)＝12，又tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α，所以tan α＝－13.3.(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角，且cos α＝117，cos(α＋β)＝－4751，则cos β＝ . 答案 13解析 由于α、β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又cos α＝117，cos(α＋β)＝－4751，所以sin α＝12217，sin(α＋β)＝14251，所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－4751×117＋14251×12217＝13.5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是 .答案3解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6.已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是 . 答案 β<α解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.7.化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ .答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12. 8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为 . 答案725解析 因为sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°， 所以cos(α－45°)＝1－(－210)2＝7210. cos 2α＝sin(90°－2α)＝－sin(2α－90°)＝－sin [2(α－45°)]＝－2sin(α－45°)cos(α－45°) ＝－2×(－210)×7210＝725. *9.(2016·南京模拟)已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 .答案 58解析 因为cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝(22cos θ－22sin θ)(22cos θ＋22sin θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝(1－cos 2θ2)2＋(1＋cos 2θ2)2＝116＋916＝58. 10.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 .答案 π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)， 所以此函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)的图象，由题意得m ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∵m >0，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z 且k ≥0)， ∴m 的最小值是π6. 11.已知α∈(π2，π)，sin α＝55. (1)求sin(π4＋α)的值； (2)求cos(5π6－2α)的值. 解 (1)因为α∈(π2，π)，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin(π4＋α)＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×(－255)＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×(－255)＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(55)2＝35， 所以cos(5π6－2α)＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝(－32)×35＋12×(－45)＝－4＋3310. 12.已知α∈(0，π2)，tan α＝12，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值. 解 ∵tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈(0，π2)，∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin(2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. *13.已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2). (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值. 解 (1)cos(π6＋α)·cos(π3－α) ＝cos(π6＋α)·sin(π6＋α) ＝12sin(2α＋π3)＝－14， 即sin(2α＋π3)＝－12. ∵α∈(π3，π2)，∴2α＋π3∈(π，4π3)， ∴cos(2α＋π3)＝－32， ∴sin 2α＝sin[(2α＋π3)－π3] ＝sin(2α＋π3)cos π3－cos(2α＋π3)sin π3＝12. (2)∵α∈(π3，π2)，∴2α∈(2π3，π)， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2.各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( √ )1.(2015·福建改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为 .答案 －512解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.2.(教材改编)已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为 .答案 －43解析 因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0， sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.3.(2016·连云港模拟)计算：sin116π＋cos 103π＝ .答案 －1 解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－12， cos103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－12， ∴sin116π＋cos 103π＝－1. 4.(教材改编)已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝ .答案 12解析 原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.5.(教材改编)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin (3π2－α)＋sin (2π－α)cos (α－7π2)sin (3π2＋α)cos (2π＋α)＝ .答案 1解析 因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin(3π2－α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(α－7π2)＝cos(α＋π2)＝－sin α，sin(3π2＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为 .(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝ .答案 (1)32 (2)－3125解析 (1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .答案 －1解析 由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例2 (1)(2016·宿迁模拟)已知f (x )＝sin (2π－x )·cos (32π＋x )cos (3π－x )·sin (112π－x )，则f (－21π4)＝ .(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 .答案 (1)－1 (2){2，－2}解析 (1)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·(－cos x )＝－tan 2x ，f (－21π4)＝－tan 2(－21π4)＝－tan 234π＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin (α－3π2)cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 cos (π2＋α)·sin (－π－α)cos (11π2－α)·sin (9π2＋α)的值为 .答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan αcos αsin[－2π＋(α＋π2)]cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin (π2＋α)(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 . 答案31010解析 2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由－π<x <0，知sin x <0， 又sin x ＋cos x >0， ∴cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本题(2)中，若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值. 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，又(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin (α＋3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)tan (π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)的值.解 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α(－cos α)·tan 2α(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝±34.7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ .(2)已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ .思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论. 解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1. 答案 (1)52或－52(2)－11.(2016·盐城模拟)已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值为 .答案 34解析 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝ 1－cos 2α＝1－(45)2＝35，由tan α＝sin αcos α，得tan α＝34. 2.已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则cos (－α－π)sin (2π＋α)tan (2π－α)sin (3π2－α)cos (π2＋α)＝ .答案 －2 2解析 原式＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－cos α)·(－sin α)＝tan α，∵cos α＝13，－π2<α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.3.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 .答案 －3解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4.若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α的值为 .答案 －25解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 5.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 . 答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.*6.(2016·扬州模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 . 答案 1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7.已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ .答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74.8.(2016·江苏如东高级中学期中)若sin α＝2cos α，则sin 2α＋2cos 2α的值为 . 答案 65解析 由sin α＝2cos α，得tan α＝2，因此sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan 2α＋1＝4＋24＋1＝65. 9.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝ . 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 10.(2016·无锡模拟)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析 原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α ＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11.已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12.已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.解 (1)∵(sin A ＋cos A )2＝125， ∴1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)∵sin A cos A <0，又0<A <π，∴cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形.(3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 又sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35， 故tan A ＝－43. *13.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π).求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34，知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。