利用正余弦定理三角形形状的判断

正、余弦定理与三角形形状判断附答案一、使用正弦定理判断三角形性质的基本思路是将条件转化为边或角之间的关系，然后进一步判断。

二、使用余弦定理判断三角形性质的基本思路是关注特殊角的余弦值，将其转化为边与边之间的关系。

三、使用正弦和余弦定理综合判断三角形性质的基本思路是尽量统一边或角之间的关系，使得未知量的个数减少，从而可以得出结论。

常用的公式包括sinA=sin(π-A)=sin(B+C)，以及正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC中，b=c•cosA，可以通过正弦定理得到a²+b²=c²，因此可以判断△ABC为直角三角形。

2、已知在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，可以通过余弦定理得到cosA＞cos(π/2-B)，进一步得到A＜π/2-B，因此可以判断△ABC为钝角三角形。

3、已知在△ABC中，b=a•sinC，c=a•cosB，可以通过正弦和余弦定理得到a²+b²=c²和b=c，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

4、已知在△ABC中，2sinA•cosB=sinC，可以通过正弦和余弦定理得到2a•cosB=c和a=b，因此可以判断△ABC为等腰三角形。

5、已知在△ABC中，sinA=2sinB•cosC，sinA=sinB+sinC，可以通过正弦定理得到a=b+c/2，进一步得到a=2bc/(b²+c²)，因此可以判断△ABC为等腰直角三角形。

6、已知在△ABC中，(a+b+c)(b+c-a)=3bc，sinA=2sinB•cosC，可以通过正弦和余弦定理得到a=b+c和a=b，因此可以判断△ABC为等边三角形。

已知在三角形ABC中，角B=60度，且b=ac。

根据余弦定理，cosB=b^2/(2ac)，化简得到ac=a^2+c^2-b^2=a^2+c^2-ac，进一步化简得到(a-c)^2=0，因此a=c。

判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。

根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。

本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。

边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。

角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。

此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。

边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。

中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。

角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。

正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。

面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。

向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。

因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。

代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。

例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。

这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。

在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。

高中数学：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( D ) A ．等腰三角形 B.直角三角形C ．等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【条件探究1】 将典例中的条件变为：若cos A cos B ＝b a ＝2，则该三角形的形状是( A )A ．直角三角形B.等腰三角形 C ．等边三角形 D.钝角三角形解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin2A ＝sin2B .由b a ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．【条件探究2】 将典例中的条件改为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 的形状为等腰三角形__．解析：方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .所以△ABC 为等腰三角形．方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．【条件探究3】 将典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解：由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)．∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2. ∴△ABC 为直角三角形．1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a 2c ，则△ABC 的形状一定是直角三角形__．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .①求角A 的大小；②若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.②∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3.∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.∵0°＜B ＜120°，∴30°＜B ＋30°＜150°.∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．。

正、余弦定理之判定三角形的形状一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。

二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。

三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。

1、已知在△ABC 中，A c b cos ∙=，试判断△ABC 的性状。

2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。

3、已知在△ABC 中，C a b sin ∙=，且)2sin(B a c -∙=π，试判断△ABC 的形状。

4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=∙，试判断△ABC 的性状。

5、已知在△ABC 中，C B A cos sin 2sin ∙=，且C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 的性状。

6、已知在△ABC 中，3bc a)-c c)(b b (a =+++，且cosC 2sinB sinA ∙=，试判断△ABC 的性状。

7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。

8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。

9、已知在△ABC 中，c C b B a A cos cos sin ==，试判断△ABC 的性状。

10、已知在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -∙+=+∙-，试判断△ABC 的性状。

11、在△ABC 中，B a C B A c b a sin 3)sin sin )(sin (∙=-+++，且B a A b cos cos ∙=∙，试判断△ABC 的性状。

利用正、余弦定理判断三角形的形状（1）在ABC △中,分别为角 的对边),则ABC △的形状为A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2）已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，则ABC △是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形（3）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222b c a bc +=+，且cos 0C =，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,a B c= ∴由余弦定理,得2222a c b aac c+-=,∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形.故选A.（2）由正弦定理可得::5:11:13a b c =，令5,11,13a t b t c t ===，则c 为最长的边，故角C 最大，由余弦定理可得22223cos 02110a b c C ab +-==-<，所以角C 为钝角，故ABC △是钝角三角形．故选D ．（3）由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，[来源:学,科,网] 所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 故选D ．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路： ①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断． 可简记为“化角为边”、“化边为角”．1．在ABC △中， ， ，则ABC △一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在ABC △中，cos cos a bB A=，则ABC △一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos aB c=，则此三角形的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．已知在ABC △中， ，则ABC △的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形1．【答案】D【解析】由余弦定理可知 ， 而 ， ，所以 ，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 而 ，所以ABC △一定是等边三角形. 故选D ． 2．【答案】D【解析】由正弦定理可知：sin sin a bA B=，[来源:学*科*网] 而已知cos cos a b B A =，所以cos sin cos sin B AA B=，[来源:学_科_网] 即sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B ⋅=⋅⇒=，而,(0,π),A B ∈即2,2(0,2π)A B ∈， 所以22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2A B +=， 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D 3．【答案】B【解析】因为2cos a B c=，所以由正弦定理可得sin 2cos sin AB C =，即2sin cos sin C B A =，所以2sin cos sin cos cos sin C B B C B C =+， 因此sin cos sin cos C B B C =，所以tan tan C B =，所以B C =，即ABC △为等腰三角形.故选B. 4．【答案】D【解析】根据正弦定理，原式可变形为： ， 所以，整理得 ，，即ABC △是直角三角形.故选D ．。

灵活应用正、余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形在近几年的高考中出现的频率比较频繁，因此，掌握好正、余弦定理在各种题型中的应用就显得尤其重要。

下面就正、余弦定理的几种应用作一个归纳，希望能帮助同学们更好地掌握。

一、直接利用定理求边和角。

例1：在△ABC 中，0060,30,366==+=+B A b a ，求边c 的长。

解：∵ )(1800B A c +-==090 由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==及等比定理得 0060sin 30sin 366sin sin sin ++=++=B A b a C c ∴12)31(21)31(62321366=++=++=c 二、配凑公式求边和角。

例2：若a ，b ，c 分别表示△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边长，且（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，求cos （A+B ）。

解： 由（a +b+c ）（a +b －c ）=3a b ，得ab c b a 3)(22=-+整理得：ab c b a =-+222， 故cos （A+B ）=－cosC =－2122222-=-=-+ab ab ab c b a 三、利用定理求边和角的求值范围。

例3：①在锐角△ABC 中，a =1，b=2则c 的取值范围是多少？②设a ,a +1, a +2为钝角三角形的三边，则a 的取值范围是__________.解:①由余弦定理得: =2c C C ab b a cos 45cos 222-=-+由0<cosC<1 得512<<c 即 51<<c②由余弦定理得: 0)1(2)2()1(cos 222<++-++=a a a a a C 30310322<<⇔<<-⇔<--⇔a a a a四、利用定理判断三角形的形状。

例4：在△ABC ，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，判断△ABC 的形状。

正弦定理判断三角形形状正弦定理是高中数学中重要的一个定理，它可以帮助我们计算三角形的各种属性。

在这篇文档中，我们将探讨正弦定理如何判断三角形的形状。

正弦定理的表达式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为它们所对应的角度。

这个定理告诉我们，当我们知道了三角形的任意三个元素时（边、角度、角的正弦值），我们就可以求出这个三角形的所有属性。

在判断三角形的形状时，我们需要考虑三边之间的关系。

根据正弦定理，当我们知道第一个角的正弦值和边长时，就可以求出三角形的其他属性。

下面我们给出一些例子：1. 等边三角形等边三角形的三条边的长度相等，每个角的度数为60度。

因此，sin(60)相等于根号三除以二。

我们应用正弦定理，可以得出：a/sin(60) = b/sin(60) = c/sin(60)由于三个边相等，因此可以得到a=b=c。

因此，等边三角形与正三角形是等价的。

2. 直角三角形直角三角形的两个角的正弦值都可以通过特殊三角函数求出。

例如一个直角三角形，它的直角边长为4，所在角的正弦为1/2。

应用正弦定理，我们可以求出另外两条边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)我们可以将B视为直角。

因为sin(B)等于1，我们可以将sin(A)左右同时乘以a，得到：a = c*sin(A)应用余弦定理，我们可以将cos(A)表示为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc由于a等于直角边，因此cos(A)等于0。

因此，我们可以得到b^2 + c^2 = a^2。

因此这个三角形是一个直角三角形。

3. 等腰三角形在等腰三角形中，两条腰的长度相等。

因此，我们可以将正弦定理中的a和c替换为相同的值，得到：b/sin(B) = 2a/sin(A)由于B和A对应的边长都相同，我们可以将它们视为同一条边。

因此，sin(B)等于1。

例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状.例3：在△ABC 中，已知22tan tan ba B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA=CB CB cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状．例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，54cos =A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ）∴△ABC 为钝角三角形。

例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ）例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::2:6:(31)a b c =+，试判断三角形的形状。

所以三角形为锐角三角形。

3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形.4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A 、三边均不相等的三角形B 、直角三角形C 、等腰非等边三角形D 、等边三角形 5、在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。

正弦余弦定理判断三角形形状专题三角形是平面几何中最基本的图形之一，根据三个角或边的关系，我们可以判断三角形的形状。

在三角形的形状判断中，正弦余弦定理是一种常用的工具。

本文将以正弦余弦定理为基础，探讨如何判断三角形的形状，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。

一、正弦余弦定理的基本概念在介绍如何判断三角形的形状之前，我们首先了解一下正弦余弦定理的基本概念。

正弦定理表达了三角形的边与其对应的角之间的关系，而余弦定理则描述了三角形的两条边和夹角的关系。

1. 正弦定理正弦定理可以表示为：在任意三角形ABC中，三边a、b、c与其对应的角A、B、C之间有以下关系：\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]2. 余弦定理余弦定理可以表示为：在任意三角形ABC中，三边a、b、c与其对应的角A、B、C之间有以下关系：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \]二、判断等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

根据正弦余弦定理，我们可以得出以下结论：如果在三角形ABC中，有a=b=c，则该三角形为等边三角形。

三、判断等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

根据正弦余弦定理，我们可以得出以下结论：1. 如果在三角形ABC中，有a=b，则该三角形为等腰三角形。

2. 如果在三角形ABC中，有b=c，则该三角形为等腰三角形。

3. 如果在三角形ABC中，有a=c，则该三角形为等腰三角形。

四、判断直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

根据正弦余弦定理，我们可以得出以下结论：1. 如果在三角形ABC中，有$\sin A = 0$ 或 $\sin B = 0$ 或 $\sin C = 0$，则该三角形为直角三角形。

2. 如果在三角形ABC中，有$\cos A = 0$ 或 $\cos B = 0$ 或 $\cos C= 0$，则该三角形为直角三角形。

如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。

利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。

1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。

分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。

解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。

点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。

1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。

分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。

解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。

点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。

2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。

判定三角形形状的十种方法数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。

解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。

1、若有a=b或(a-b）(b-c）(c-a)=0，则△ABC为等腰三角形。

2、若有(a-b)2+（b—c)2+(c—a)2=0，则△ABC为等边三角形.3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形;若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。

4、若有（a2-b2）( a2+b2—c2）=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形.5、若有a=b且a2+b2=c2，则△ABC为等腰直角三角形.以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。

6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。

7、若有cosA＞0，或tanA＞0,（其中∠A为△ABC 中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。

8、若有cosA＜0，或tanA＜0，(其中∠A为△ABC中的最大角), 则△ABC为钝角三角形.9、若有两个(或三个）同名三角函数值相等(如tanA=tanB），则△ABC为等腰三角形(或等边三角形）.10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断,如cosA=,b=c，则△ABC为等边三角形。

以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质:例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx—b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角形为（）（A)锐角三角形；(B）钝角三角形;（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角三角形；(“缙云杯”初中数学邀请赛）解:将两个方程相减,得：2ax—2cx+2b2=0，显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾,故x= ，将两个方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0，否则b=0，与题设矛盾，∴x=—（a+c)，∵两个方程有一个相同的根，∴ =—（a+c),即b2+c2=a2,故△ABC是以a为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例2:已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b（x2—1）—2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC的形状。

正弦定理余弦定理解三角形技巧以正弦定理和余弦定理为基础的三角形解题技巧在解决三角形相关问题时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。

它们可以帮助我们计算三角形的各个角度和边长，从而解决一系列问题，比如求解未知边长、未知角度、判断三角形类型等。

下面我将介绍一些使用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的技巧。

一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间的关系。

具体表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，A、B、C分别代表三角形的三个角度。

通过正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两个角和一个边的长度，求解其他未知边和角。

2. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。

3. 已知一个边和两个角的大小，求解其他未知边和角。

以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用正弦定理求解其他未知边和角。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sinA = 7/sinB = c/sin30通过计算可得sinA ≈ 0.866，sinB ≈ 0.5。

将这些结果代入等式中，可以求解出c ≈ 8.66，A ≈ 60度，B ≈ 30度。

二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的余弦值之间的关系。

具体表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的一个角的大小。

通过余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三个边的长度，求解三个角的大小。

2. 已知两个边和对应的夹角，求解第三边的长度。

3. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。

以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用余弦定理求解其他未知边和角。

利用正（余）弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：A R a sin 2=，C ab c b a cos 2222=-+等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π等； 二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如bca cb A R a A 2cos ,2sin 222-+==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.例：在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且2cos Asin B=sin C ，试判断△ABC 的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系. 方法一：由正弦定理得b c B C =sin sin ，∵2cos Asin B=sin C ，bc B C A 2sin 2sin cos ==∴， 由余弦定理的推论得bca cb A 2cos 222-+= ∴bc bc a c b 22222=-+， 化简得2222c a c b =-+，∴a=b ； 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，化简得22234b c b =-，∴b=c ，∴a=b=c ，即△ABC 是等边三角形.方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C ，∴2cos Asin B=sin(A+B)， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，∴sin Acos B-cos Asin B=0，∴sin(A-B)=0，∵A,B ∈(0,π)，∴A-B ∈(-π,π)， ∴A=B ，又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222，由余弦定理的推论得2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又C ∈(0,π)，3π=∴C ，又A=B ，∴△ABC 是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的关系；③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形.针对性练习：1.在△ABC 中，若a 2tan B=b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin 2A ·sin B cos B=sin 2B ·sin A cos A ， 即sin Acos A=sin Bcos B ，∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B 或2A=π-2B.即A=B 或A+B=2π. 所以，三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形.法二：在得到sin 2A=sin 2B 后，也可以化为sin 2A-sin 2B=0， ∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.∵0<A+B<π，且-π<A-B<π，∴A+B=2π或A-B=0， 即A+B=2π或A=B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状.【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+sin C.∵B ＝60°，∴A+C ＝120°,即A ＝120°－C ，代入上式，得2sin 60°=sin(120°-C)+sin C 展开，整理得： ∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 为正三角形.方法二：由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+=，∵B=60°, 2c a b +=， 60cos 2)2(222ac c a c a -+=+， 整理，得0)(2=-c a ，∴a=c. 从而a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形.。

如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。

利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。

1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。

分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。

解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。

点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。

1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。

分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。

解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。

点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。

2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。

ʏ夏晓静有关三角形的形状判断问题是高考的常考点,下面通过举例分析,帮助同学们掌握一些常用的解题策略㊂类型一:借助边角互化,判断三角形形状例1 在әA B C 中,若(a 2+b 2)s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,则әA B C 的形状为㊂解:在әA B C 中,由(a 2+b 2)s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n C ,可得(a 2+b 2)s i n (A -B )=(a 2-b 2)s i n (A +B ),展开化简得a 2c o s A s i n B =b 2s i n A c o s B ㊂由正弦定理a =2R s i n A ,b =2R s i n B ,可得4R 2s i n 2A c o s A s i n B =4R 2s i n 2B s i n A ㊃c o s B ㊂因为4R 2,s i n A ,s i n B 均不等于0,所以s i n A c o s A =s i n B c o s B ,所以s i n2A =s i n 2B ㊂又因为2A ɪ(0,2π),2B ɪ(0,2π),所以2A =2B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =π2㊂故әA B C 为等腰三角形或直角三角形㊂评析:解答本题容易出现漏解,即忽视2A +2B =π的情况,因此要引起同学们的重视㊂结合余弦定理也可求解,同学们不妨试一试㊂类型二:依托连等式,判断三角形形状例2 (多选题)已知әA B C 的三个内角满足s i n A 6=s i n B 8=s i n Cm (m ɪN *),则当m 取不同值时,关于әA B C 的形状,下面说法正确的是( )㊂A .当m =2时,әA B C 为锐角三角形B .当m =4时,әA B C 为钝角三角形C .当m =6时,әA B C 为等腰三角形D .当m =10时,әA B C 为直角三角形解:由s i n A 6=s i n B 8=s i n C m ,可得a6=b 8=c m ㊂令a 6=b 8=cm=t ,则a =6t ,b =8t ,c =m t ㊂当m =2时,a =6t ,b =8t ,c =2t ,a +c =b ,显然不能构成三角形,A 不正确㊂当m =4时,a =6t ,b =8t ,c =4t ,由c o s B =a 2+c 2-b 22ac =36t 2+16t 2-64t 248t2=-14<0,可知B 为钝角,B 正确㊂当m =6时,a =6t ,b =8t ,c =6t ,a =c ,C 正确㊂当m =10时,a =6t ,b =8t ,c =10t ,a 2+b 2=c 2,D 正确㊂应选B ,C ,D ㊂评析:熟练应用余弦定理和正弦定理是解答本题的关键㊂类型三:利用向量的数量积运算,判断三角形形状例3 已知非零向量A B ң与A C ң满足A B ңA B ң+A C ңA C ңæèçöø÷㊃B C ң=0,且A B ңA Bң㊃C A ңA Cң=12,则әA B C 的形状是㊂解:A BңA B ң,A C ңA Cң分别是与A B ң,A C ң同向的单位向量㊂由A B ңA B ң+A C ңA C ңæèçöø÷㊃B C ң=0可知,以A B ң,A C ң同向的单位向量为邻边所构成的平行四边形的对角线与B C 垂直,即øB A C 的平分线与B C 垂直,则A B =A C ,即әA B C 为等腰三角形㊂设A B ң与C A ң的夹角为θ,则A BңA B ң㊃C A ңA Cң=c o s θ=12㊂因为θɪ0,π[],所以θ=π3,所以øB A C =π-π3=2π3,可知әA B C 不是等边三角形㊂故әA B C 为等腰三角形㊂评析:题中向量A B ң与C A ң的夹角不是三角形的内角,而是其对应的补角,这是同学们解题中容易忽视的地方㊂作者单位:江苏省锡东高级中学(责任编辑 郭正华)4数学部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2022年3月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

判断三⾓形形状前⾔判断依据主要是正、余弦定理的⾓的形式或者边的形式，其次还可能⽤到诱导公式，两⾓和与差的公式和⼆倍⾓公式等，变形思路①⾓化边，利⽤sinA =a2R等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配⽅、提取公因式等，解代数⽅程得到边的相应关系，从⽽判断形状；②边化⾓，利⽤a =2RsinA 等，转化为只有⾓的形式，然后通过三⾓恒等变换，解三⾓⽅程得到，得到内⾓的关系，从⽽判断形状；此时要注意由于sinA >0恒成⽴，故⽅程两端出现sin A 可以放⼼约掉；但若出现cosA 时不能约分，需要移项提取公因式。

注意：由sinAcosB =sinA ，只能得到cosB =1，从⽽得到B =π2，即直⾓三⾓形；由cosAsinB =cosAsinC ，应该得到cosA =0或sinB =sinC ，从⽽得到A =π2或B =C ，即直⾓三⾓形或等腰三⾓形；重要结论sinA =sinB ⇒A =B ，等腰三⾓形；sin 2A =sin 2B ⇒A =B 或A +B =π2，等腰或直⾓三⾓形；cosA =cosB ⇒A =B ，等腰三⾓形；cos 2A =cos 2B ⇒A =B ，等腰三⾓形sin (A −B )=0⇒A =B ，等腰三⾓形；cos (A −B )=1⇒A =B ，等腰三⾓形相关拓展三⾓形内⾓和定理A +B +C =π，A +B 2=π2−C 2三⾓形中的三⾓函数关系sin (A +B )=sinC ，cos (A +B )=−cosC ，sin A +B2=cos C 2，cos A +B 2=sin C 2，三⾓形中的射影定理a =b ⋅cosC +c ⋅cosB ，b =a ⋅cosC +c ⋅cosA ，c =b ⋅cosA +a ⋅cosB ，典例剖析№1设ΔABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则ΔABC 的形状为【】A .锐⾓三⾓形B .直⾓三⾓形C .钝⾓三⾓形D .不确定分析：⽤正弦定理的边的形式，边化⾓，得到sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ，即sin (B +C )=sinA =sinAsinA ，由于sinA ≠0，故sinA =1，故A =π2，故为直⾓三⾓形。