高考数学复习第一轮相关习题D4.4 向量的夹角与长度

求向量夹角的题
摘要：
1.引言：向量夹角的概念和重要性
2.向量夹角的计算公式
3.求向量夹角的方法
4.应用实例
5.结论：向量夹角在几何和物理学等领域的重要性
正文：
1.引言
向量是几何学和物理学中一个重要的概念，它可以用来表示空间中的点或者箭头。

在向量的研究中，向量夹角是一个重要的话题。

所谓向量夹角，指的是两个向量之间的角度，它的范围在0 到180 度之间。

向量夹角的概念和计算方法在几何学、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。

2.向量夹角的计算公式
向量夹角的计算公式为：cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)，其中a 和b 是两个向量，|a|和|b|分别是向量a 和b 的长度，a·b 是向量a 和向量b 的数量积。

3.求向量夹角的方法
求向量夹角的方法主要有两种：一种是通过计算两个向量的数量积和模长来求得，另一种是通过向量的点积公式来求得。

这两种方法在实际应用中都有广泛的应用，具体使用哪种方法取决于问题的具体要求。

4.应用实例
在物理学中，向量夹角常用来描述物体之间的相互作用。

例如，在力学中，向量夹角可以用来描述两个力的作用方向，从而求出它们的合力。

在几何学中，向量夹角可以用来求解三角形的内角，从而进一步求出三角形的面积。

在工程学中，向量夹角也经常被用来解决各种实际问题，例如，在计算机图形学中，向量夹角常用来计算两个向量之间的角度，从而确定图形的位置和方向。

5.结论
向量夹角是向量研究中的一个重要概念，它在几何学、物理学以及工程学等领域都有着广泛的应用。

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。

平面向量的夹角计算计算平面向量夹角的方法总结：1.cos〈a⃑∙b⃑⃑〉=a⃑⃑∙b⃑⃑|a⃑⃑||b⃑⃑|2.cos〈a⃑∙b⃑⃑〉=1212√x12+y12∙√x22+y22（其中a⃑=(x1,y1),b⃑⃑=(x2,y2)）注意：两个向量的夹角要求这两个向量起点相同，这样做成的角才是平面向量的夹角高频考题1.设向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=|b⃑ |=1，|3a⃑−2b⃑ |=√7，则a⃑，b⃑ 的夹角为()A. π3B. π6C. π4D. 2π32.已知向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑⋅b⃑ =−6，则cos ⟨a⃑,a⃑+b⃑ ⟩=()A. −3135B. −1935C. 1735D. 19353.若|a⃑|=1，|b⃑ |=2，且(a⃑+b⃑ )⊥a⃑，则a⃑与b⃑ 的夹角为()A. π3B. −π3C. 2π3D. 2π3或−π34.已知a⃑，b⃑ 均为单位向量，若|a⃑−2b⃑ |=√3，则向量a⃑与b⃑ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65.已知向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑·b⃑ =−6，则cos<a⃑，a⃑+b⃑ >=()A. −3135B. −1935C. 1735D. 19356.若两个非零向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑+b⃑ |=|a⃑−b⃑ |=2|a⃑|，则向量a⃑+b⃑ 与a⃑−b⃑ 的夹角是()A. π6B. 5π6C. π3D. 2π37.设向量a⃑=(x,1),b⃑ =(1,−√3)，且，则向量a⃑−√3b⃑ 与b⃑ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 点A(3,0)、B(0,3)、、O(0,0)，若|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√13，α∈(0,π)，则OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为( ) A. π2B. π4C. π3D. π69. 已知a ⃑ =(3,−1)，b ⃑ =(1,−2)，则a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π210. 设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12 AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 则向量AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角的余弦值为( )A.√63B.√36C.√1912D. 4√191911. 已知向量，b ⃑ =(−3,1)，c ⃑ =(√55,−2√55)，则( ) A.B. 向量在向量上的投影向量为C. 与的夹角余弦值为2√55D. a ⊥c12. 如果平面向量a ⃑ =(2,−4),b ⃑ =(−6,12)，那么下列结论中正确的是( )A. |b ⃑ |=3|a ⃑ |B. a ⃑ //b ⃑C. a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为30°D. a ⃑ 在b ⃑ 上的投影向量的模为2√513. 已知向量a ⃑ +b ⃑ =(1,1)，a ⃑ −b ⃑ =(−3,1)，c ⃑ =(1,1)，设a ⃑ ,b ⃑ 的夹角为θ，则( )A. |a ⃑ |=|b⃑ | B. a⃑ ⊥c ⃑ C. b ⃑ //c ⃑D. θ=135°14. 已知a ⃑ ，b ⃑ 为单位向量，且a ⃑ ⋅b ⃑ =0，若c ⃑ =2a ⃑ −√5b ⃑ ，a⃑ 与c ⃑ 的夹角为θ，则cos θ=_______．15. 已知|a ⃑ |=2,|b ⃑ |=3，a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为60∘.若a ⃑ +λb ⃑ 与λa ⃑ +b ⃑ 的夹角锐角，则实数λ的取值范围为________．16. 已知a ⃑ ，b ⃑ 均为非零向量，(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ，(b ⃑ −2a ⃑ )⊥b ⃑ ，则a ⃑ ，b ⃑ 的夹角为________． 17. 已知平面向量a ⃑ ，b ⃑ 满足a ⃑ =(1,−1)，|b ⃑ |=1，|a ⃑ +2b ⃑ |=√2，则a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为________．18. 已知向量a ⃑ 在向量b ⃑ =(1,√3)方向上的投影为2，(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ．(1)求向量a⃑与b⃑ 的夹角；(2)求|2a⃑−b⃑ |的值；(3)若向量c⃑=3a⃑−4b⃑ ，d⃑=m a⃑+b⃑ ，c⃑//d⃑，求m的值．19.已知a⃑，b⃑ 都是非零向量，且a⃑+3b⃑ 与7a⃑−5b⃑ 垂直，a⃑−4b⃑ 与7a⃑−2b⃑ 垂直，求a⃑与b⃑的夹角θ．20.已知向量a⃑=(1,2)，b⃑ =(3,x)，c⃑=(2,y)，且a⃑//b⃑ ，a⃑⊥c⃑．(1)求b⃑ 与c⃑;(2)若m⃑⃑⃑ =2a⃑−b⃑ ，n⃑=a⃑+c⃑，求向量m⃑⃑⃑ ，n⃑的夹角的大小．21.已知单位向量e⃑1与e⃑2是夹角为α，且cosα=1，向量a⃑=3e⃑1−2e⃑2与b⃑ =3e⃑1−e⃑2的夹3角为β，求β的余弦值．22. 已知a ⃑ a ⃑ =(1,2)，b ⃑ =(−3,1)．(Ⅰ)求a ⃑ −2b ⃑ ；(Ⅱ)设a ⃑ ,b ⃑ 的夹角为θ，求cosθ的值；(Ⅲ)若向量a ⃑ +k b ⃑ 与a ⃑ −k b ⃑ 互相垂直，求k 的值．23. 已知a⃑ =(1,2)，b ⃑ =(1,λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为直角； (2)a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为钝角； (3)a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为锐角．24. 在△ABC 中，AB =3，AC =6，∠BAC =2π3，D 为边BC 的中点，M 为中线AD 的中点．(1)求中线AD 的长;(2)求BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角θ的余弦值．25.已知向量a⃑=(2cosα,2sinα)，b⃑ =(6cosβ,6sinβ)，且a⃑⋅(b⃑ −a⃑ )=2．(1)求向量a⃑，b⃑ 的夹角；(2)若|t a⃑−b⃑ |=3√3，求实数t的值．答案和解析1.【答案】A根据|3a⃑⃑⃑⃑ −2b⃑ |=√7，|a⃑|=|b⃑ |=1求出a⃑·b⃑ ，然后代入向量夹角公式计算即可求解．【解答】解：设a⃑与b⃑ 的夹角为θ，由题意得(3a⃑−2b⃑ )2=7，∴9|a⃑|2+4|b⃑ |2−12a⃑⋅b⃑ =7，又|a⃑|=|b⃑ |=1，∴a⃑⋅b⃑ =12，∴|a⃑||b⃑ |cos θ=12，即cos θ=12．又θ∈[0,π]，∴θ=π3．故选A．2.【答案】D计算出a⃑⋅(a⃑+b⃑ )，|a⃑+b⃑ |的值，即可得解．【解答】解：∵|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑⋅b⃑ =−6，∴a⃑⋅(a⃑+b⃑ )=|a⃑|2+a⃑⋅b⃑ =52−6=19，|a⃑+b⃑ |=√(a⃑+b⃑ )2=√a⃑2+2a⃑⋅b⃑ +b⃑ 2=√25−2×6+36=7，因此，cos<a⃑,a⃑+b⃑ >=a⃑ ⋅(a⃑ +b⃑)|a⃑ |⋅|a⃑ +b⃑|=195×7=1935．故选D．3.【答案】C【解析】解：|a⃑|=1，|b⃑ |=2，且(a⃑+b⃑ )⊥a⃑，∴(a⃑+b⃑ )⋅a⃑=a⃑2+a⃑⋅b⃑ =0，∴a⃑⋅b⃑ =−1，设a⃑与b⃑ 的夹角θ，则cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=−11×2=−12，，∴θ=2π3，故选：C．由(a⃑+b⃑ )⊥a⃑，结合向量数量积性质可求a⃑⋅b⃑ ，然后根据向量夹角公式cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|，代入即可求解．4.【答案】B由|a⃑−2b⃑ |=√3，得a⃑2+4b⃑ 2−4a⃑ ⋅ b⃑ =3，设单位向量a⃑与b⃑ 的夹角为θ，则有，解得，进而求出结果..【解答】解：由|a⃑−2b⃑ |=√3，得(a⃑−2b⃑ )2=3，即a⃑2+4b⃑ 2−4a⃑ ⋅ b⃑ =3，设单位向量a⃑与b⃑ 的夹角为θ，则有，解得，又θ∈[0, π]，所以θ=π3．故选B．5.【答案】D利用已知条件求出|a⃑+b⃑ |，然后利用向量的数量积求解即可．【解答】解：向量a⃑，b⃑ 满足|a⃑|=5，|b⃑ |=6，a⃑·b⃑ =−6，可得|a ⃑ +b ⃑ |=√a ⃑ 2+2a ⃑ ⋅b⃑ +b ⃑ 2=√25−12+36=7， cos <a ⃑ ，a ⃑ +b ⃑ >=a ⃑ ⋅(a ⃑ +b⃑ )|a ⃑ ||a ⃑ +b⃑ |=a ⃑ 2+a ⃑ ⋅b ⃑ 5×7=25−65×7=1935．故选D ．6.【答案】D先根据模相等分别得到a ⃑ ·b ⃑ =0及|b ⃑ |2=3|a ⃑ |2，进一步利用向量的夹角公式计算即可得解．【解答】解：∵|a ⃑ +b ⃑ |=|a ⃑ −b⃑ |， ∴a ⃑ 2+2a ⃑ ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=a ⃑ 2−2a ⃑ ⋅b ⃑ +b ⃑ 2，∴a⃑ ⋅b ⃑ =0． 又∵|a ⃑ +b ⃑ |=2|a ⃑ |，∴|a ⃑ |2+2a ⃑ ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2=4|a ⃑ |2，∴|b ⃑ |2=3|a ⃑ |2． 设a ⃑ +b ⃑ 与a ⃑ −b ⃑ 的夹角为θ， 则cosθ=(a ⃑ +b ⃑ )⋅(a ⃑ −b⃑ )|a ⃑ +b ⃑ ||a ⃑ −b⃑ |=|a ⃑ |2−|b ⃑ |24|a ⃑ |2=−2|a ⃑ |24|a ⃑ |2=−12．又∵θ∈[0,π]，∴θ=2π3．故选D ．7.【答案】D【解答】解：根据题意，设向量a ⃑ −√3b ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ， 向量a ⃑ =(x,1)，b ⃑ =(1,−√3)，若a ⃑ ⊥b ⃑ ，则有a ⃑ ⋅b ⃑ =x −√3=0，解得x =√3， 即a ⃑ =(√3,1)，b ⃑ =(1,−√3)， 则a ⃑ −√3b ⃑ =(0,4)，则有|a ⃑ −√3b ⃑ |=4，|b ⃑ |=2，(a ⃑ −√3b ⃑ )⋅b ⃑ =a ⃑ ⋅b ⃑ −√3b ⃑ 2=−4√3，则cosθ=√3b⃑ ⃑ |a ⃑ −√3b⃑ ||b ⃑ |=−√32， 又由0≤θ≤π，则θ=5π6；故选D ．8.【答案】D【解答】 解：∵A(3,0)，，O(0,0)，，|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(3+cosα)2+sin 2α=√10+6cosα=√13，，∵α∈(0,π)， ∴α=π3，即C (12,√32)，∴OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角余弦值为OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |OB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3×√323×1=√32， ∵OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角范围为[0,π]， ∴OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角为π6． 故选D ．9.【答案】B先由已知向量的坐标求出向量的模，再代入向量的夹角公式得到cos θ=√22，即可求出夹角．【解答】解：设a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为θ，∵|a ⃑ |=√10，|b ⃑ |=√5，a ⃑ ⋅b ⃑ =5， ∴cos θ=a⃑ ⋅b ⃑ |a ⃑ ||b⃑ |=√10×√5=√22， 又θ∈[0,π]， ∴a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为π4． 故选B ．10.【答案】D由AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，两边平方得|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√196，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =23，由向量数量积公式求解． 【解答】解：|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=(AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=(12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+(13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+2×12×13·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1936， 则|AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√196， AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2+13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =23， ∴向量AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 夹角的余弦值为：AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4√1919． 故选D ．11.【答案】BCD【详解】对于A 选项，a ⃑ +b ⃑ =(−1,2)，∵22≠1×(−1)，则a ⃑ +b ⃑ 与a⃑ 不平行，A 选项错误； 对于B 选项，∵a ⃑ ⋅b ⃑ =2×(−3)+12=−5，b ⃑ 2=10，则a ⃑ ⋅b ⃑ =−12b 2， 所以，向量a ⃑ 在向量b ⃑ 上的投影向量为−12b ⃑，B 选项正确； 对于C 选项，由已知可得a ⃑ −b ⃑ =(5,0)，cos <a ⃑ ,a ⃑ −b ⃑ >=a ⃑ ⋅(a ⃑ −b ⃑ )|a ⃑ |⋅|a ⃑ −b⃑ |=√5×5=2√55， C 选项正确；对于D 选项，a ⃑ ⋅c ⃑ =2√55−2√55=0，故a⃑ ⊥c ⃑ ，D 选项正确． 故选：BCD ．12.【答案】ABD直接依据平面向量模长，夹角，投影的运算方法以及两向量平行的判断方法运算求解． 【解答】解：因为a ⃑ =(2,−4)，b ⃑ =(−6,12)，所以b ⃑ =−3a ⃑ ． 在A 中，因为b ⃑ =−3a ⃑ ，所以|b ⃑ |=3|a ⃑ |，故A 正确； 在B 中，因为b ⃑ =−3a ⃑ ，所以a ⃑ //b ⃑ ，故B 正确；在C 中，因为b ⃑ =−3a ⃑ ，所以a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃑ 在b ⃑ 上的投影向量的模为|a⃑ ⋅b ⃑ |b ⃑ |×b⃑ |b ⃑ ||=|√(−6)2+122|=2√5，故D 正确，故选ABD ．13.【答案】BD【解答】解：根据题意，a ⃑ +b ⃑ =(1,1)，a ⃑ −b ⃑ =(−3,1)， 则a ⃑ =(−1,1)，b ⃑ =(2,0)，依次分析选项：对于A ，|a ⃑ |=√2，|b ⃑ |=2，则|a ⃑ |=|b ⃑ |不成立，A 错误； 对于B ，a⃑ =(−1,1)，c ⃑ =(1,1)，则a ⃑ ⋅c ⃑ =0，即a ⃑ ⊥c ⃑ ，B 正确； 对于C ，b ⃑ =(2,0)，c ⃑ =(1,1)，b ⃑ //c ⃑ 不成立，C 错误； 对于D ，a ⃑ =(−1,1)，b ⃑ =(2,0)，则a ⃑ ⋅b ⃑ =−2，|a ⃑ |=√2，|b ⃑ |=2，则cos θ=2√2=−√22，则θ=135°，D 正确； 故选：BD ．14.【答案】23【解答】解：由题|a ⃑ |=|b ⃑ |=1,a ⃑ ·b ⃑ =0，所以c ⃑ 2=(2a ⃑ −√5b ⃑ )2=4a ⃑ 2+5b ⃑ 2−4√5a ⃑ ·b⃑ =9， 故|c⃑ |=3， 又因为a ⃑ ·c ⃑ =a ⃑ ·(2a ⃑ −5b ⃑ )=2a ⃑ 2−5a ⃑ ·b ⃑ =2，a⃑ 与c ⃑ 的夹角为θ，所以cosθ=a ⃑ ·c ⃑|a⃑ |·|c ⃑ |=21×3=23， 故答案为23．15.【答案】(−∞,−13−√1336)∪(√133−136,1)∪(1,+∞) 【分析】本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“a →+λb →与λa →+b →共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a →⋅b →>0与⟨a →,b →⟩为锐角等价.先求得a ⃑ ⋅b ⃑ ，根据(a →+λb →)⋅(λa →+b →)>0，结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得λ的取值范围，排除a →+λb →与λa →+b →共线时λ的值，由此求得λ的取值范围． 【解答】解：由题意可知a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos60°=2×3×12=3． 又∵(a →+λb →)⋅(λa →+b →)=λa →2+(λ2+1)a →⋅b →+λb →2，∴a →+λb →与λa →+b →的夹角为锐角，∴λa →2+(λ2+1)a →⋅b →+λb →2>0．∵a →2=|a →|2=4,b →2=|b →|2=9,a →⋅b →=3，∴3λ2+13λ+3>0．解得λ>√133−136或λ<−13−√1336． 当λ=1时，a →+λb →与λa →+b →共线，其夹角不为锐角，故λ的取值范围是(−∞, −13−√1336)∪(√133−136, 1)∪(1, +∞)．故填：(−∞,−13−√1336)∪(√133−136, 1)∪(1,+∞)．16.【答案】本题考查平面向量数量积运算，夹角.难度一般.由(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ，(b ⃑ −2a ⃑ )⊥b ⃑ ，可得a ⃑ 2=|a ⃑ |2=2a ⃑ ⋅b ⃑ ，b ⃑ 2=|b ⃑ |2=2a ⃑ ⋅b ⃑ ，所以由cos⟨a ⃑ ,b ⃑ ⟩=a ⃑ ⋅b ⃑ |a ⃑ |⋅|b⃑ |=12，求出⟨a ⃑ ,b ⃑ ⟩=π3． 【解答】解：由题意得，因为，(b ⃑ −2a ⃑ )⊥b ⃑ ，所以(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ =a ⃑ 2−2a ⃑ ⋅b ⃑ =0，(b ⃑ −2a ⃑ )⋅b ⃑ =b ⃑ 2−2a ⃑ ⋅b ⃑ =0，即a⃑2=|a⃑|2=2a⃑⋅b⃑ ，b⃑ 2=|b⃑ |2=2a⃑⋅b⃑ ，所以，又⟨a⃑,b⃑ ⟩∈[0,π]，所以⟨a⃑,b⃑ ⟩=π3．故答案为．17.【答案】本题考查向量的模，向量的数量积，平面向量的坐标运算，向量的夹角，属于基础题．根据条件对|a⃑+2b⃑ |=√2的两边平方即可求出a⃑⋅b⃑ =−1，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【解答】解：∵a⃑=(1,−1)，∴|a⃑|=√2，∵|b⃑ |=1，|a⃑+2b⃑ |=√2，∴(a⃑+2b⃑ )2=a⃑2+4a⃑⋅b⃑ +4b⃑ 2=2+4a⃑⋅b⃑ +4=2，∴a⃑⋅b⃑ =−1，∴cos⟨a⃑,b⃑ ⟩=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=−√22．又，∴a⃑与b⃑ 的夹角为3π4．故答案为3π4．18.【答案】解：(1)因为b⃑ =(1,√3)，所以|b⃑ |=√12+(√3)2=2，因为向量a⃑在向量b⃑ 方向上的投影为2，设向量a⃑与b⃑ 的夹角为θ，所以|a⃑|cosθ=2，所以a⃑·b⃑ =|a⃑||b⃑ |cosθ=2×2=4，∵(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ ， ∴(a ⃑ −2b ⃑ )·a ⃑ =0，∴a ⃑ 2−2a ⃑ ·b ⃑ =0，∴a ⃑ 2=8，则|a ⃑ |=2√2， 则cosθ=a⃑ ·b ⃑ |a⃑ |·|b ⃑ |=√22， 又，，∴向量a ⃑ 与b ⃑ 的夹角为π4； (2)由向量模的计算公式|a ⃑ |=√a ⃑ ·a ⃑ 得：|2a ⃑ −b ⃑ |=√(2a ⃑ −b ⃑ )2=√4a ⃑ 2−4a ⃑ ·b ⃑ +b ⃑ 2=√32−16+4=2√5． (3)∵c ⃑ //d ⃑ ， ∴c ⃑ =λd⃑ ， ∴3a ⃑ −4b ⃑ =λ(m a ⃑ +b ⃑ )， ∵a ⃑ 、b ⃑ 不共线，∴{3=λm−4=λ, 解得m =−34．【解析】本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行的判定，向量的投影的求解，属于中档题．(1)先求出|b ⃑ |，再利用向量a ⃑ 在向量b ⃑ 方向上的投影为2，求出a ·b ⃑ ，由(a ⃑ −2b ⃑ )⊥a ⃑ 得到|a ⃑ |=2√2，再利用夹角公式求出两向量a →与b →的夹角； (2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；(3)由c ⃑ //d ⃑ ，则存在实数λ，使得c ⃑ =λd⃑ 成立，由此利用向量相等可得参数值．19.【答案】解：∵a ⃑ +3b ⃑ 与7a ⃑ −5b ⃑ 垂直，∴(a⃑+3b⃑ )⋅(7a⃑−5b⃑ )=0，即7a⃑2+16a⃑⋅b⃑ −15b⃑ 2=0． ①又∵a⃑−4b⃑ 与7a⃑−2b⃑ 垂直，∴(a⃑−4b⃑ )⋅(7a⃑−2b⃑ )=0，即7a⃑2−30a⃑⋅b⃑ +8b⃑ 2=0． ② ①− ②整理得2a⃑⋅b⃑ =b⃑ 2． ③将 ③代入 ①，得a⃑2=b⃑ 2，∴|a⃑|=|b⃑ |，∴cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=|b⃑|22|b⃑|2=12．∵0∘≤θ≤180∘，∴θ=60∘．20.【答案】解：(1)由a⃑//b⃑ ，得x−2×3=0，解得x=6．由a⃑⊥c⃑，得1×2+2y=0，解得y=−1．所以b⃑ =(3,6)，c⃑=(2,−1)．(2)因为m⃑⃑⃑ =2a⃑−b⃑ =(−1,−2)，n⃑=a⃑+c⃑=(3,1)，所以m⃑⃑⃑ ⋅n⃑=−1×3−2×1=−5，|m⃑⃑⃑ |=√(−1)2+(−2)2=√5，|n⃑|=√32+12=√10．所以cos<m⃑⃑⃑ ，n⃑>=m⃑⃑⃑ ⋅n⃑⃑|m⃑⃑⃑ |⋅|n⃑⃑ |=−5√5×√10=−√22，又因为．所以向量m⃑⃑⃑ ，n⃑的夹角为3π4．21.【答案】解：∵单位向量e1⃑⃑⃑ 与e2⃑⃑⃑ 的夹角为α，且cosα=13，向量a⃑=3e1⃑⃑⃑ −2e2⃑⃑⃑ 与b⃑ =3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ 的夹角为β，∴|a⃑|2=(3e1⃑⃑⃑ −2e2⃑⃑⃑ )2=9e1⃑⃑⃑ 2−12e1⃑⃑⃑ ⋅e2⃑⃑⃑ +4e2⃑⃑⃑ 2=9+4−12cosα=9，∴|a⃑|=3,|b⃑ |2=(3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ )2=9−2×3cosα+1=8，a⃑·b⃑ =(3e1⃑⃑⃑ −2e2⃑⃑⃑ )⋅(3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ )=9e1 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2−9e1⃑⃑⃑ ⋅e2⃑⃑⃑ +2e2 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=9−9×1×1×13+2=8，∴cosβ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ ||b⃑|=3×2√2=2√23．22.【答案】解：(Ⅰ)a⃑−2b⃑ =(1，2)−2(−3，1)=(1+6，2−2)=(7，0)．(Ⅱ)cosθ=a⃑ ⋅b⃑|a⃑ |⋅|b⃑|=√1+(−3)2×√22+1=−√210．(Ⅲ)因为向量a⃑+k b⃑ 与a⃑−k b⃑ 互相垂直，所以(a⃑+k b⃑ )⋅(a⃑−k b⃑ )=0，即a⃑2−k2b⃑ 2=0因为a⃑2=5，b⃑ 2=10，所以5−10k2=0，解得k=±√22．23.【答案】解：设a⃑与b⃑ 的夹角为θ，|a⃑|=√12+22=√5，|b⃑ |=√1+λ2，a⃑⋅b⃑ =(1,2)⋅(1,λ)=1+2λ．(1)因为a⃑与b⃑ 的夹角的直角，所以a⃑⋅b⃑ =0，所以1+2λ=0，所以λ=−12．(2)因为a⃑与b⃑ 的夹角为钝角，所以cosθ<0且cosθ≠−1，即a⃑⋅b⃑ <0且a⃑与b⃑ 不反向．由a⃑⋅b⃑ <0得1+2λ<0，故λ<−12，由a⃑与b⃑ 共线得λ=2，故a⃑与b⃑ 不可能反向．所以λ的取值范围为(−∞,−12)．(3)因为a⃑与b⃑ 的夹角为锐角，所以cosθ>0且cosθ≠1，即a⃑⋅b⃑ >0且a⃑、b⃑ 不同向．由a⃑⋅b⃑ >0，得λ>−12，由a⃑与b⃑ 同向得λ=2．所以λ的取值范围为(−12,2)∪(2,+∞)．【解析】本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算，求出两个向量的模，进而得到a⃑·b⃑ ．(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出λ的值；(2)根据两个向量的夹角为钝角，得到cosθ的范围，继而得到有关λ的不等式，求解即可； (3)根据两个向量的夹角为锐角，得到cosθ的范围，继而得到有关λ的不等式，求解即可． 24.【答案】解：(1)根据题意，得AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) 所以|AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )2 =14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2) =14(32+2×3×6×cos 2π3+62) =274，∴|AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√32； (2)BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以|BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |2=916×9−38×(−9)+116×36=17116，从而|BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√194． BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−38×9−28×(−9)+18×36=278， 所以cosθ=BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=278×3√193√3=√5719．25.【答案】解：(1)由题意可知，|a ⃑ |=2,|b⃑ |=6， a ⃑ ·(b ⃑ −a ⃑ )=a ⃑ ·b ⃑ −a ⃑ 2=2，则a ⃑ ·b ⃑ =2+4=6， 设向量a ⃑ ，b ⃑ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃑ ·b ⃑ |a⃑ ||b ⃑ |=62×6=12，且，则．(2)由(1)可知，a ⃑ ·b ⃑ =6，|t a ⃑ −b ⃑ |=√(t a ⃑ −b ⃑ )2=√4t 2−2t ×6+36=3√3， 解得t =32．。

第4讲 平面向量经典精讲题一：已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为123,,,a a a 以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为133,,,c c c 若i ，j ，k ，l ∈{1，2，3}，且 i ≠j ，k ≠l ，则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是．题二：定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD 的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：,,,,,,,AB BA AC CA AD DA BD DB （由于,AB DC 是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f （2），试求f （2）的值；（2）作n 个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f （n ），试求f （n ）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f （2×3），试求f （2×3）的值；（4）作m ×n 个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f （m ×n ），试求f （m ×n ）的值．题三：如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若AB·AE＋AC·AF＝2，则EF与BC的夹角θ等于________．题四：已知点P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设OM＝OP＋OQ.(1)求点M的轨迹方程；(2)求向量OP和OM夹角最大时的余弦值，并求此时P点的坐标．题五：设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且AP＝m AB＋n AC，m，n∈R，则m2＋(n－2)2的取值X围为________．题六：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP，则λ＋μ的最小值为________．第4讲 平面向量经典精讲题一：5．详解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的 向量123,,a a a 分别为,,,AB AC AD 以C 为起点，其余顶点为终点的向量133,,c c c 分别为,,,CD CA CB如图建立坐标系．（1）当i =1，j =2，k =1，l =2时，则()()i j k l a a c c +⋅+=[（1，0）+（1，1）]•[（1，0）+（1，1）]=5；（2）当i =1，j =2，k =1，l =3时，则()()i j k l a a c c +⋅+=[（1，0）+（1，1）]•[（1，0）+（0，1）]=3； （3）当i =1，j =2，k =2，l =3时，则()()i j k l a a c c +⋅+=[（1，0）+（1，1）]•[（1，1）+（0，1）]=4；（4）当i =1，j =3，k =1，l =2时，则()()i j k l a a c c +⋅+=[（1，0）+（0，1）]•[（1，0）+（1，1）]=3；同样地，当i ，j ，k ，l 取其它值时，()()i j k l a a c c +⋅+=5，4，或3．所以()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是5．故答案为：5．题二： （1）14；（2）6n +2；（3）34；（4）2（m +n ）+4mn ． 详解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f （2）=14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f （1）=6×1+2=8，f （2）=6×2+2=14，f （3）=6×3+2=20，f （4）=6×4+2=26， ∴f （n ）=6n +2；（3）f （2×3）=34；（4）∵f （2×2）=24，f （2×3）=34，f （2×4）=44，f （3×2）=34，f （3×3）=48，f （3×4）=62∴f （m ×n ）=2（m +n ）+4mn ．题三： π3． 详解：因为△ABC 中，CA ＝CB ＝2，AB ＝1，所以cos∠CAB ＝12·AB AC ＝14，所以AC ·AB ＝12.又因为AB ·AE ＋AC ·AF ＝2，所以AB ·(AB ＋BE )＋AC ·(AB ＋BF )＝2， 即1＋AB ·BE ＋12＋AC ·BF ＝2， 所以AB ·BE ＋AC ·BF ＝12. 因为BE ＝－BF ，所以－AB ·BF ＋AC ·BF ＝12， 即BF (AC －AB )＝12，所以BF ·BC ＝12， 所以cos θ＝12，故θ＝π3. 题四： （1）x 24＋y 2＝1；（2）余弦值为223，此时P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，±63． 详解：(1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则OP ＝(x 0，y 0)，OQ ＝(x 0，0)，OM ＝OP ＋OQ ＝(2x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 0，y ＝y 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝12x ，y 0＝y . ∵x 20＋y 20＝1，∴x 24＋y 2＝1. 故点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)设向量OP 与OM 的夹角为α， 则cos α＝OP ·OM |OP |·|OM |＝2x 20＋y 204x 20＋y 20＝22020(1)31x x ++， 令t ＝3x 20＋1，则cos α＝132(2)t t +＝13t ＋4t ＋4≥223， 当且仅当t ＝2时，等号成立，即α最大．∴OP 与OM 夹角最大时的余弦值为223，此时P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，±63．题五： (1,5).详解：因为点P 是三角形ABC 内一点(不包括边界)，所以0<m ，n <1,0<m ＋n <1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m 2＋(n －2)2表示点P (0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A (0,1)的距离最近，为1；到点B (1,0)的距离最远，这时m 2＋(n －2)2＝5，故所求取值X 围为(1,5)．题六： 12． 详解：以A 为原点，AB 为x 轴正方向， AD 为y 轴正方向，建立直角坐标系．设AB ＝1，P (cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，AP ＝(cos θ，sin θ)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝12λ＋μcos θ，1＝－λ＋μsin θ，解得μ＝32cos θ＋sin θ. 又λ＝μsin θ－1，所以λ＋μ＝μ(sin θ＋1)－1＝3(1sin )12cos sin θθθ+-+. 设y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ， 则y ′＝2cos (2cos sin )(1sin )(cos 2sin )(2cos sin )θθθθθθθθ+-+-+ ＝222sin cos (2cos sin )θθθθ+-+， 因为y ′＝222sin cos (2cos sin )θθθθ+-+>0， 所以y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增． 所以(λ＋μ)min ＝12．。

多维层次练42[A 级 基础巩固]1．若直线l 的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．60°或30°解析：设直线l 与平面α所成的角为β，直线l 与平面α的法向量的夹角为γ.则sin β＝|cos γ|＝|cos 120°|＝12.又因为0°≤ β≤90°，所以β＝30°. 答案：B2．(2020·湖北七校联考)如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A.105B.155C.45D.23解析：设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，则O (1，1，0)，E (0，2，1)，F (1，0，0)，D 1(0，0，2)，所以FD 1→＝(－1，0，2)，OE →＝(－1，1，1)．所以cos 〈FD 1→，OE →〉＝FD 1→·OE →|FD 1→|·|OE →|＝1＋0＋25×3＝155.答案：B3．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A.64 B.104C.22D.32解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O (0，0，0)，B (3，0，0)，A (0，－1，0)，B 1(3，0，2)，所以AB 1→＝(3，1，2)，由题知BO →＝(－3，0，0)为侧面ACC 1A 1的一个法向量．即sin θ＝|AB 1→·BO →||AB 1→||BO →|＝64.答案：A4．(2020·平阴一中月考)过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：以A 点为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，且设AB ＝1，所以C (1，1，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)． 设平面CDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝（x ，y ，z ）·（－1，0，0）＝－x ＝0，n ·PD →＝（x ，y ，z ）·（0，1，－1）＝y －z ＝0.令y ＝1，所以n ＝(0，1，1)． 又因为AD →为平面ABP 的一个法向量， 所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝12＝22.所以二面角为45°. 答案：B5．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：如图所示，二面角的大小就是〈AC →，BD →〉．因为CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD →，所以CA →·BD →＝12[(217)2－62－42－82]＝－24.因此AC →·BD →＝24，cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝12，又〈AC →，BD →〉∈[0°，180°]，所以〈AC →，BD →〉＝60°，故二面角为60°. 答案：C6．如图所示，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：因为AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，所以AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0，0，0)，A (1，0，0)，F (0，2，0)，C (0，2，1)， 所以AF →＝(－1，2，0)，EC →＝(0，2，1)， 所以cos 〈AF →，EC →〉＝AF →·EC →|AF →||EC →|＝45，所以AF 与CE 所成角的余弦值为45.答案：457．已知点E ，F 分别在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．解析：延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角．因为BH ＝322，EB ＝1，所以tan ∠EHB ＝EBBH ＝23. 答案：238．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x ，1，1)，B 1(1，1，0)，F (0，0，1－y )，B (1，1，1)， B 1E →＝(x －1，0，1)，FB →＝(1，1，y )， 由于B 1E ⊥平面ABF ，所以FB →·B 1E →＝(1，1，y )·(x －1，0，1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，已知点P 在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小； (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解：(1)如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz .则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于点H . 设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →|·|DH →|cos 〈DH →，DA →〉， 可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝22， 所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)因为ABCD-A ′B ′C ′D ′为正方体， 所以CD ⊥平面ADD ′A ′.所以CD →为平面ADD ′A ′的一个法向量，CD →＝(0，－1，0)． 又因为DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，设DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为θ， 所以sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 〈DH →，CD →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－221×2＝12.所以DP 与平面AA ′D ′D 所成角为30°.10.(2019·浙江卷)如图所示，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．(1)证明：连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点， 所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC . 如图所示，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0，0，23)，B (3，1，0)，B 1(3，3，23)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，C (0，2，0)．因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1，0)．由EF →·BC →＝0得EF ⊥BC .(2)解：设直线EF 与平面A 1BC 所成的角为θ. 由(1)可得BC →＝(－3，1，0)，A 1C →＝(0，2，－23)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1，3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →|·|n |＝45，所以cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.[B 级 能力提升]11．(2020·青岛模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝CD ，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为( )A.23 B.34 C.33D.24解析：以C 为原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝BC ＝CD ＝1，则A (1，0，1)，B (1，0，0)，C (0，0，0)，D (0，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，则BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，12，CD →＝(0，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ， 则cos θ＝|BM →·CD →||BM →|·|CD →|＝1234＝33.所以异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33.答案：C12．(2020·武汉调研)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1的对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1下面补一个棱长为1的正方体ABCD-A 2B 2C 2D 2，连接A 2C 2，B 2D 2，AC 2，设B 2D 2∩A 2C 2＝E ，连接CE 交AC 2于M (即A 关于平面BDC 1的对称点)，易得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，－23，所以点M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝53.答案：5313.如图所示，已知四棱锥P-AB-CD 的底面是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，OA ＝4，OB ＝3，OP ＝4，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足PM →＝λMC →(λ>0)．(1)当λ＝12时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； (2)若二面角M-AB-C 的大小为π4，求λ的值． 解：(1)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则A (4，0，0)，B (0，3，0)，C (－4，0，0)，D (0，－3，0)，P (0，0，4)，所以PA →＝(4，0，－4)，DB →＝(0，6，0)，AB →＝(－4，3，0)．当λ＝12时，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0，83， 所以MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3，－83， 设平面BDM 的法向量n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n ＝0，MB →·n ＝0，即⎩⎨⎧6y ＝0，43x ＋3y －83z ＝0，得y ＝0. 令x ＝2，则z ＝1，所以n ＝(2，0，1)，所以cos 〈PA →，n 〉＝442·5＝1010， 故直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值为1010. (2)易知平面ABC 的一个法向量n 1＝(0，0，1)．设M (a ，0，b )，代入PM →＝λMC →，得(a ，0，b －4)＝λ(－4－a ，0，－b )，解得⎩⎨⎧a ＝－4λ1＋λ，b ＝41＋λ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λ1＋λ，0，41＋λ， 所以MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ1＋λ，3，－41＋λ， 设平面ABM 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n 2＝0，MB →·n 2＝0，即⎩⎨⎧－4x ＋3y ＝0，4λ1＋λx ＋3y －41＋λz ＝0， 消去y ，得(2λ＋1)x ＝z ，令x ＝1，则z ＝2λ＋1，y ＝43， 所以n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，2λ＋1， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝cos π4＝|2λ＋1|1＋169＋（2λ＋1）2， 解得λ＝13或λ＝－43，因为λ>0，所以λ＝13. [C 级 素养升华]14．(2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)．解析：依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0，1，0)，直线b 的方向向量为b ＝(1，0，0)，CB →以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0，2π)，则B (cos θ，sin θ，0)，所以AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝ 2.设直线AB 与a 所成夹角为α，则cos α＝|AB →·a ||a ||AB →|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22， 所以45°≤α≤90°，所以③正确，④错误．设直线AB 与b 所成夹角为β，则cos β＝|AB →·b ||b ||AB →|＝22|cos θ|. 当直线AB 与a 的夹角为60°，即α＝60°时，则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝22，所以|cos θ|＝22.所以cos β＝22|cos θ|＝12.因为0°≤β≤90°，所以β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°. 所以②正确，①错误．故正确的结论有②③.答案：②③。

考点45 立体几何中的向量方法1．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点，且BE ⊥平面APC（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥ABC P -体积最大时，求二面角B AC P --的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）3. 【解析】（1）证明：∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB底面ABCD AB =，四边形ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥，面ABCD ，∴BC ⊥面PAB ， 又AP ⊂面PAB ， ∴AP BC ⊥，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，∴BE AP ⊥，B BE BC = ，,BC BE ⊂平面PBC ，∴AP ⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ． （2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥ABC P -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值．令,PA x PB y ==，由（1）知，PA PB ⊥， ∴224x y +=，而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=，当且仅当x y ==PA PB ==ABC P V -的最大值为23． 如图所示，分别取线段AB ，CD 中点O ，F ，连接OP ，OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -． 由已知(0,1,0),(0,1,2),(1,0,0)A C P -，所以(1,1,0),(0,2,2)AP AC ==， 令(,,)n x y z =为面PAC 的一个法向量，则有0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，∴(1,1,1)n =-易知(1,0,0)m =为面ABC 的一个法向量， 二面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角则1cos 3n m n m θ⋅===⋅.2．（湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷一数学理）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，平面PAC 垂直圆O 所在平面，直线PC 与圆O 所在平面所成角为60°，PA ⊥PC ．（1）证明：AP ⊥平面PBC（2）求二面角P —AB 一C 的余弦值 【答案】(1)见解析.(2) 721. 【解析】（1）由已知可知AC BC ⊥，又平面PAC ⊥平面圆O ，平面PAC 平面圆O AC =，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC PA ⊥， 又PA PC ⊥，PC BC C =，PC ⊂平面PBC ，D 平面PBC ，∴PA ⊥平面PBC .（2）法一：过P 作PH AC ⊥于H ，由于平面PAC ⊥平面O ，则PH ⊥平面O ，则PCH ∠为直线PC 与圆O 所在平面所成角，所以60PCH =︒. 过H 作HF AB ⊥于F ，连结PF ，则AB PF ⊥， 故PFH ∠为二面角P AB C --的平面角.由已知60ACP ABC ∠=∠=︒，30CAP CAB ∠=∠=︒，在Rt APC ∆中，sin30cos30sin30PH AP AC =⋅︒=⋅︒⋅︒19224==，由2AP AH AC =⋅得2AP AH AC ==Rt AFH ∆中，sin 30FH AH =︒=，故9tan3PHPFHHF∠===，故cos7PFH∠=，即二面角P AB C--的余弦值为721.法二：过P作PH AC⊥于H，则PH⊥平面O，过H作//HF CB交AB于F，以H为原点，HA、HF、HP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)H，4A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，4B⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，90,0,4P⎛⎫⎪⎝⎭，从而94AP⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，(AB=-，设平面PAB的法向量(,,)n x y z=，则9394333AP n x zABn x y⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩得zy⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1x=，从而(1,3,n=，而平面ABC的法向量为(0,0,1)m=，故3cos,7n mn mn m⋅<>===即二面角P AB C--的余弦值为721.3．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是菱形，且2PA AD ==，120PAD BAD ∠=∠=︒，E ，F 分别为PD ，BD 的中点，且2EF =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求锐二面角E AC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）过P 作PO ⊥AD ，垂足为O ，连结AO ，BO ， 由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt △PAO 中，PO=PAsin ∠PAO=2sin60°=2×2∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO ，∴△PAO ≌△BAO ，∴∵E ，F 分别是PA ，BD 的中点，EF=2EF 是△PBD 的中位线，∴，∴PB 2=PO 2+BO 2，∴PO ⊥BO ，∵AD∩BO=O ，∴PO ⊥平面ABCD ，又PO ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，1，0），P （0，0，B0，0），D （0，3，0），∴E （0，32，F302，），AE =（0，12，AF =12，0），易得平面ABCD 的一个法向量m =（0，0，1），设平面ACE 的法向量n =（x ，y ，z ），则1AE y z 02231AF x y 022n n ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取x=1，得n =（1，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos ＜,m n ＞|=m nm n⋅⋅=，∴锐二面角E-AC-D．4．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）如图，在四棱锥中，，平面，二面角为为中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：作SA中点F，连接EF∵E为SD中点∴∵∴∴得平行四边形∴∵平面∴为二面角的平面角∴∵∴∴∴（2）作AB中点O，由（1）知∵∴平面如图建立空间直角坐标系设，则∴设平面SCD 的法向量，得令 ，则∵∴∴∴AB 与平面所成角的余弦值为.5．（安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =，90AFD ︒∠=，且二面角E AF D --与二面角C BE F --都是30.（1）证明：⊥AF 平面EFDC ；（2）求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）42. 【解析】 （1）面ABEF 为正方形∴ΑF FE ⊥又90AFD ∠=∴ΑF DF ⊥，而DF FE F ⋂=,DF ⊂面EFDC ,⊂EF 面EFDC∴ΑF ⊥面EFDC（2）⊂AF ABEF ，则由（1）知面EFDC ⊥平面ΑΒΕF ，过D 作DG ΕF ⊥，垂足为G ，∴DG ⊥平面ΑΒΕF ．以G 为坐标原点，GF uu u r的方向为x 轴正方向，GD 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（1）知DFE ∠为二面角E AF D --的平面角，故DFE 30∠=，又AF =，则2DF =，GF =AF =()B -，()E -，)F．由已知，//AB EF ，∴//AB 平面EFDC ．又平面ABCD平面EFDC DC =，故//AB CD ，//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，∴C F ∠E 为二面角C BE F --的平面角，30C ΕF ∠=．∴()C -． ∴()3,0,1ΕC=，()ΕΒ=，()BF =-．设(),,n x y z =是平面ΒC Ε的法向量，则C 00n n ⎧⋅E =⎨⋅EB =⎩，即00z +==⎪⎩，∴可取(1,0,n = .则43sin cos ,446BF n BF n BF nθ⋅=<>===⨯． ∴直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值为42 .6．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五)数学（理）在五边形AEBCD 中，BC CD ⊥，C //D AB ，22AB CD BC ==，AE BE ⊥，AE BE =（如图）.将△ABE 沿AB 折起，使平面ABE ⊥平面ABCD ，线段AB 的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE ⊥平面DOE ；（2）求平面EAB 与平面ECD 所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）见解析（2）45° 【解析】（1）由题意2AB CD =，O 是线段AB 的中点，则OB CD =.又//CD AB ，则四边形OBCD 为平行四边形，又BC CD ⊥，则AB OD ⊥， 因AE BE =，OB OA =，则EO AB ⊥.EO DO O =，则AB ⊥平面EOD.又AB Ì平面ABE ，故平面ABE ⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB ，OD ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OD ，OE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， △EAB 为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC ， 则OA OB OD OE ===，取1CD BC ==，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0）， E （0，0，1），则1CD =-（，0,0)，011DE =-（，，）， 设平面ECD 的法向量为n x y z =（，，）， 则有取0,0,n CD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z -=⎧⎨-+=⎩1z =，得平面ECD 的一个法向量011n =（，，）， 因OD ⊥平面ABE.则平面ABE 的一个法向量为010OD =（，，）， 设平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角为θ，则,cos cos OD n θ===因为0(0,90)θ∈，所以045θ=，故平面ECD 与平面ABE 所成的镜二面角为45°.7．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）如图，已知四棱锥中，四边形ABCD 为矩形，AB =2BC SC SD ===，BC SD ⊥.（1）求证：SC ⊥平面SAD ； （2）设12AE EB =，求平面SEC 与平面SBC 所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2【解析】（1）证明： BC ⊥SD ，BC ⊥CD 则BC ⊥平面SDC, 又//BC AD 则AD ⊥平面SDC ，SC ⊂平面SDC SC ⊥AD又在△SDC 中，SC=SD=2, DC=AB SC 2+SD 2=DC 2则SC ⊥SD ，又SD AD D =所以 SC ⊥平面SAD（2）解：作SO⊥CD于O，因为BC⊥平面SDC, 所以平面ABCD⊥平面SDC，故SO⊥平面ABCD 以点O为原点，建立坐标系如图.则),C(0,0), A(2，,0),B(2,0)设E(2,y,0),因为12 AE EB=所以1),23y y y+=∴=-即E((2,3-,0)42=(0,2,-2),(2,-,0),=(2,0,0)SC CE CB==(,,),=(,b,c)SEC n x y z SBC m a设平面的法向量为平面的法向量为22=0·=0,·=02=03zSC nCE n x y⎧⎧⎪∴⇒⎨⎨-⎩⎪⎩令3z=，则3y=，23x==(22,3,3)n∴·=0·=0SC mCB m⎧∴⇒⎨⎩20a==⎪⎩，令1b=，则1c=，0a=8．（陕西省西安市2019届高三第三次质量检测理）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，AB⊥平面11BB C C，E是1CC的中点，1BC=，12BB=，160BCC∠=°.=(0,1,1)∴vmcos<,>=13||||∴u r ru r r gu r rm nm nm n（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若AB =11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】解：（1）证明：连接1BC ，BE ， 因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=°．所以1BC BC ⊥． 所以1112BE CC ==，因为1B E ==所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ， 所以1B E AB ⊥，AB BE B ⋂=， 所以1B E ⊥平面ABE ， 因为AE ⊂平面ABE ， 所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(A，()1B -，12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(1A -，所以13,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1AB =-，13,2A E ⎛= ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =r，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1100{{y B E n AB n x -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,n =，则1100{{30y B E m A m a E -=⋅=⇒⋅=-=，取()1,3,0m =．所以cos ,26m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯，即二面角11A B E A --． 9．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.（1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）因为是等边三角形，是的中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，又因为，，所以平面.所以.又因为，所以.又且，平面，所以平面.所以.（2）由（1）得平面.所以就是直线与平面所成角.因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.所以，解得.则.由（1）得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，所以，.令平面的法向量为，则由得解得令，可得平面的一个法向量为；易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.10．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点（I ）求证：平面； （II ）求二面角的正弦值；（III ）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。

第一轮复习自己整理绝对经典2016向量--第一轮(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除平面向量题型总结(2015版)题型一:定义判断1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

例1.平面向量→→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→→b a ,方向相 同B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ 例2.下列命题正确的是（ ） A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。

向量专题练习1、已知向量)21,23(),23,21(==BC BA ,则=∠ABC ( ) A 、 30 B 、 45 C 、 60 D 、 1202、设D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC,CA,AB 的中点，则=+FC EB ( )A 、BCB 、ADC 、BC 21D 、AD 213、已知向量b a ,满足b a b a b a -+==⊥λ与且23,32垂直，则实数λ的值为（ ）A 、23B 、23-C 、23± D 、14、已知平面向量=-==b a x b a ，如果,//)1,(),6,3( ( )A 、5B 、25 C 、3 D 、23 5、已知向量共线与，如果b a b n a m b a +--==2)3,2(),2,1(（其中R n m ∈,且0≠n ）则=nm ( ) A 、2- B 、2 C 、21-D 、21 6、在凸四边形OABC 中，)1,2(),4,2(-==AC OB ,则该四边形的面积为 ( )A 、5B 、52C 、5D 、107、已知向量垂直与，如果b a a m b a 2),2(),3,1(+-==，则m 的值为 ( )A 、1B 、1-C 、21-D 、218、若向量b a ,=⊥+⊥+=b b a a b a ,)3(,)(,1（ ）A 、3B 、3C 、1D 、33 9、过点M （2，0）作圆122=+y x 的两条切线MA,MB(A,B 为切点)，则=⋅MB MA （ ）A 、235B 、25C 、233 D 、2310、已知向量=+=-=b a )1,0(),1,2( ( )A 、5B 、22C 、2D 、411、已知向量b a m b a //),3(),2,1(，若-==，则实数=m ( )A 、6B 、6-C 、6±D 、312、0,21=⋅==AC AB ,点D 在CAB ∠内，且 30=∠DAB ，设=∈+=μλμλμλ则),,(R AC AB AD （ ） A 、3 B 、33 C 、332 D 、3213、已知平面向量b a ,)2()2(,36b a b a -⊥+==，那么b a 与的数量积等于 ( )A 、2-B 、1-C 、2D 、2314、设21,e e 是夹角为 60的两个单位向量，若212132e e b e e a -=+=与λ垂直，则=λ15、已知向量b a , 的夹角为=-⋅==)2(,2243b a a 则π 16、若向量b a b a -==，则与)2,7(),1,3(同向的单位向量为17、已知向量)3,1(),1,3(--=--=+b a b a ，则b a 与的夹角为182==，若函数))(R x x f ∈+=的最小值为1，则=⋅b a19、已知向量AC AB 与 的夹角为AC AB AP +===λ若,23,120 ,且BC AP ⊥，则实数=λ20、若向量b a ,a b a ⊥+==)(,21，则向量b a 与的夹角为二项式定理1、522)11)(3(+-xx 的展开式的常数项是 ( ) A 、2- B 、2 C 、3- D 、32、若6)(x a x -展开式的常数项为20，则常数a 的值为3、在201543)1()1()1(x x x ++++++ 展开式中，含2x 项的系数为 ( )A 、22016CB 、122016-C C 、32016CD 、132016-C 4、52)21)(2(xx +-的展开式中1-x 的系数为 ( ) A 、60 B 、50 C 、40 D 、205、10)1(xx +-的展开式中2x 的系数等于( ) A 、45 B 、20 C 、30- D 、90-6、若92)(xa x +的二项式展开式中的常数项是84，则实数a = 7、若n xx )13(-展开式中各项系数之和为16，则该展开式中含2x 项的系数为 8、在52)(x a x -的二项式展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 9、已知⎰-=22cos ππxdx a ，则二项式62)(x a x +的展开式中3x 的系数为( ) A 、20 B 、20- C 、160 D 、160-10、5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 11、已知1010221010)1(,0x a x a x a a mx m ++++=+> ，若10231021=+++a a a ，则实数=m12、二项展开式62)12(x x -中，常数项为 ( ) A 、240 B 、240- C 、15 D 、不存在13、)()1(2*∈+N n x xn 的展开式中，只有第5项的系数最大，则其2x 项的系数为 14、已知6)13(xx -的展开式中常数项为a ，则=-⎰102)(dx ax x ( ) A 、1 B 、2- C 、21- D 、41-15、若n xx )1(32-的展开式中有常数项，则当正整数n 取最小值时，该常数项为 ( ) A 、21- B 、7- C 、7 D 、21 16、3)1)((x x m ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为16，则=⎰-11dx x m17、设⎰=20sin πxdx a ，则6)2(xa x +展开式的常数项为。

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向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a＝（m,1），b＝（1，m),如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )A．－1 B．1C．－2 D．2［答案］A［解析]设a＝λb（λ<0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ〈0，∴m＝－1.［点评］ 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝（x1，y1)，b＝（x1,y2）,则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a，b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意a∥b 与错误!＝错误!不等价．2．证明共线（或平行)问题的主要依据：（1)对于向量a,b，若存在实数λ，使得b＝λa,则向量a与b共线(平行)．（2）a＝（x1，y1）,b＝（x2,y2）,若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b。