高考数学总复习教案第九章 平面解析几何第3课时 直线与直线的位置

2021年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第2讲 两条直线的位置关系教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】 1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式． 【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等． 三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3.答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )． A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5.答案 D3．(xx·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A. 答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )． A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－b x ′－a ×－1＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1. 答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 解析 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132. 答案132考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________. (2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )． A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k 1·k 2＝－1解题．(2)抓住ab ＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab ＝4.解析 (1)由题意知(a ＋2)a ＝－1，所以a 2＋2a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的充要条件是－2a ＝－b 2且－1a ≠－1，即ab＝4且a ≠1，则“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的必要而不充分条件． 答案 (1)－1 (2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1 x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. (3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二 两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解 法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3－2－x 0－54－y 0－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －－1－2－－1，即3x ＋y ＋1＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3.则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，① 将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )，整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.② ①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三 距离公式的应用【例3】►(xx·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6. 答案 －2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程．解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四 对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C . 解 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0.答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】► (xx·浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.【示例2】►(xx·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。

一、知识梳理１．两条直线平行与垂直的判定（１）两条直线平行对于两条不重合的直线l１，l２，其斜率都存在且分别为k１，k２，则有l１∥l２⇔k１＝k２；特别地，当直线l１，l２的斜率都不存在时，l１与l２平行．（２）两条直线垂直如果两条直线l１，l２斜率都存在，设为k１，k２，则l１⊥l２⇔k１·k２＝—１，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．２．两直线相交直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0和l２：A２x＋B２y＋C２＝0的公共点的坐标与方程组错误!的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．３．两种距离点点距点P１（x１，y１），P２（x２，y２）之间的距离|P１P２|＝错误!点线距点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!常用结论１．两个充要条件（１）两直线平行或重合的充要条件直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0平行或重合的充要条件是A１B２—A２B＝0．１（２）两直线垂直的充要条件直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与直线l２：A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件是A１A２＋B１B２＝0．２．六种常见对称（１）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（—x，—y）．（２）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，—y），关于y轴的对称点为（—x，y）．（３）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝—x的对称点为（—y，—x）．（４）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（２a—x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，２b—y）．（５）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（２a—x，２b—y）．（6）点（x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k—y，k—x），关于直线x—y＝k的对称点为（k ＋y，x—k）．３．三种直线系方程（１）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）．（２）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx—Ay＋n＝0（n∈R）．（３）过直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0与l２：A２x＋B２y＋C２＝0的交点的直线系方程为A１x＋B１y ＋C１＋λ（A２x＋B２y＋C２）＝0（λ∈R），但不包括l２.二、教材衍化１．已知点（a，２）（a>0）到直线l：x—y＋３＝0的距离为１，则a＝________．解析：由题意得错误!＝１．解得a＝—１＋错误!或a＝—１—错误!.因为a>0，所以a＝—１＋错误!.答案：错误!—１２．已知P（—２，m），Q（m，４），且直线PQ垂直于直线x＋y＋１＝0，则m＝________．解析：由题意知错误!＝１，所以m—４＝—２—m，所以m＝１．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）当直线l１和l２的斜率都存在时，一定有k１＝k２⇒l１∥l２.（）（２）如果两条直线l１与l２垂直，则它们的斜率之积一定等于—１．（）（３）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．（）（４）已知直线l１：A１x＋B１y＋C１＝0，l２：A２x＋B２y＋C２＝0（A１，B１，C１，A２，B２，C２为常数），若直线l１⊥l２，则A１A２＋B１B２＝0．（）（５）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；（２）判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；（３）求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．１．直线２x＋（m＋１）y＋４＝0与直线mx＋３y—２＝0平行，则m＝________．解析：直线２x＋（m＋１）y＋４＝0与直线mx＋３y—２＝0平行，则有错误!＝错误!≠错误!，故m＝２或—３．答案：２或—３２．若直线（３a＋２）x＋（１—４a）y＋8＝0与（５a—２）x＋（a＋４）y—7＝0垂直，则a ＝________．解析：由两直线垂直的充要条件，得（３a＋２）（５a—２）＋（１—４a）（a＋４）＝0，解得a＝0或a＝１．答案：0或１３．直线２x＋２y＋１＝0，x＋y＋２＝0之间的距离是________．解析：先将２x＋２y＋１＝0化为x＋y＋错误!＝0，则两平行线间的距离为d＝错误!＝错误!.答案：错误!两直线的位置关系（多维探究）角度一判断两直线的位置关系（２0２0·天津静海区联考）“a＝１”是“直线ax＋２y—8＝0与直线x＋（a＋１）y＋４＝0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】设直线l１：ax＋２y—8＝0，直线l２：x＋（a＋１）y＋４＝0．若l１与l２平行，则a（a ＋１）—２＝0，即a２＋a—２＝0，解得a＝１或a＝—２．当a＝—２时，直线l１的方程为—２x＋２y—8＝0，即x—y＋４＝0，直线l２的方程为x—y＋４＝0，此时两直线重合，则a≠—２．当a＝１时，直线l１的方程为x＋２y—8＝0，直线l２的方程为x＋２y＋４＝0，此时两直线平行．故“a＝１”是“直线ax ＋２y—8＝0与直线x＋（a＋１）y＋４＝0平行”的充要条件．故选Ａ．【答案】A角度二由两直线的位置关系求参数（１）（２0２0·安徽芜湖四校联考）直线（２m—１）x＋my＋１＝0和直线mx＋３y＋３＝0垂直，则实数m的值为（）A．１Ｂ．0C．２Ｄ．—１或0（２）（２0２0·陕西宝鸡中学二模）若直线x＋（１＋m）y—２＝0与直线mx＋２y＋４＝0平行，则m的值是（）A．１Ｂ．—２C．１或—２Ｄ．—错误!【解析】（１）由两直线垂直可得m（２m—１）＋３m＝0，解得m＝0或—１．故选Ｄ．（２）１当m＝—１时，两直线方程分别为x—２＝0和x—２y—４＝0，此时两直线相交，不符合题意．２当m≠—１时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得错误!解得m＝１．综上可得m＝１．故选Ａ．【答案】（１）D （２）A角度三由两直线的位置关系求直线方程（一题多解）经过两条直线２x＋３y＋１＝0和x—３y＋４＝0的交点，并且垂直于直线３x ＋４y—7＝0的直线的方程为________．【解析】法一：由方程组错误!解得错误!即交点为错误!，因为所求直线与直线３x＋４y—7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝错误!.由点斜式得所求直线方程为y—错误!＝错误!错误!，即４x—３y＋9＝0．法二：由垂直关系可设所求直线方程为４x—３y＋m＝0，由方程组错误!可解得交点为错误!，代入４x—３y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为４x—３y＋9＝0．法三：由题意可设所求直线的方程为（２x＋３y＋１）＋λ（x—３y＋４）＝0，即（２＋λ）x＋（３—３λ）y＋１＋４λ＝0，１又因为所求直线与直线３x＋４y—7＝0垂直，所以３（２＋λ）＋４（３—３λ）＝0，所以λ＝２，代入１式得所求直线方程为４x—３y＋9＝0．【答案】４x—３y＋9＝0错误!两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．（１）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．（２）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于—１．[提醒] 判断两条直线的位置关系应注意：（１）注意斜率不存在的特殊情况．（２）注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．１．求满足下列条件的直线方程．（１）过点P（—１，３）且平行于直线x—２y＋３＝0；（２）已知A（１，２），B（３，１），线段AB的垂直平分线．解：（１）设直线方程为x—２y＋c＝0，把P（—１，３）代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x—２y＋7＝0．（２）AB的中点为错误!，即错误!，直线AB的斜率k AB＝错误!＝—错误!，故线段AB的垂直平分线的斜率k＝２，所以其方程为y—错误!＝２（x—２），即４x—２y—５＝0．２．（一题多解）已知直线l１：ax＋２y＋6＝0和直线l２：x＋（a—１）y＋a２—１＝0．（１）试判断l１与l２是否平行；（２）当l１⊥l２时，求a的值．解：（１）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１不平行于l２；当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不平行于l２；当a≠１且a≠0时，两直线可化为l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），l１∥l２⇔错误!解得a＝—１，综上可知，当a＝—１时，l１∥l２.法二：由A１B２—A２B１＝0，得a（a—１）—１×２＝0，由A１C２—A２C１≠0，得a（a２—１）—１×6≠0，所以l１∥l２⇔错误!⇔错误!可得a＝—１，故当a＝—１时，l１∥l２.（２）法一：当a＝１时，l１：x＋２y＋6＝0，l２：x＝0，l１与l２不垂直，故a＝１不成立；当a＝0时，l１：y＝—３，l２：x—y—１＝0，l１不垂直于l２，故a＝0不成立；当a≠１且a≠0时，l１：y＝—错误!x—３，l２：y＝错误!x—（a＋１），由错误!·错误!＝—１，得a＝错误!.法二：由A１A２＋B１B２＝0，得a＋２（a—１）＝0，可得a＝错误!.两条直线的交点和距离问题（典例迁移）（１）经过两直线l１：x—２y＋４＝0和l２：x＋y—２＝0的交点P，且与直线l３：３x—４y ＋５＝0垂直的直线l的方程为__________________．（２）（２0２0·宿州模拟）已知点P（４，a）到直线４x—３y—１＝0的距离不大于３，则a的取值范围是________．（３）（２0２0·厦门模拟）若两平行直线３x—２y—１＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为错误!，则c的值是________．【解析】（１）由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l⊥l３，所以直线l的斜率k＝—错误!，所以直线l的方程为y—２＝—错误!x，即４x＋３y—6＝0．（２）由题意得，点P到直线的距离为错误!＝错误!.又错误!≤３，即|１５—３a|≤１５，解得0≤a≤１0，所以a的取值范围是[0，１0]．（３）依题意知，错误!＝错误!≠错误!，解得a＝—４，c≠—２，即直线6x＋ay＋c＝0可化为３x—２y＋错误!＝0，又两平行线之间的距离为错误!，所以错误!＝错误!，解得c＝２或—6．【答案】（１）４x＋３y—6＝0 （２）[0，１0] （３）２或—6【迁移探究】若将本例（１）中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解：法一：由方程组错误!得错误!即P（0，２）．因为l∥l３，所以直线l的斜率k＝错误!，所以直线l的方程为y—２＝错误!x，即３x—４y＋8＝0．法二：因为直线l过直线l１和l２的交点，所以可设直线l的方程为x—２y＋４＋λ（x＋y—２）＝0，即（１＋λ）x＋（λ—２）y＋４—２λ＝0．因为l与l３平行，所以３（λ—２）—（—４）（１＋λ）＝0，且（—４）（４—２λ）≠５（λ—２），所以λ＝错误!，所以直线l的方程为３x—４y＋8＝0．错误!（１）求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．（２）利用距离公式应注意：１点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0—a|，到直线y＝b的距离d＝|y0—b|；２应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．１．已知A（２，0），B（0，２），若点C在函数y＝x２的图象上，则使得△ABC的面积为２的点C 的个数为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１解析：选Ａ．设点C（t，t２），直线AB的方程是x＋y—２＝0，|AB|＝２错误!.由于△ABC的面积为２，则这个三角形中AB边上的高h满足方程错误!×２错误!h＝２，即h＝错误!.由点到直线的距离公式得错误!＝错误!，即|t＋t２—２|＝２，即t２＋t—２＝２或者t２＋t—２＝—２．因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有４个．２．已知直线y＝kx＋２k＋１与直线y＝—错误!x＋２的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．解析：如图，已知直线y＝—错误!x＋２与x轴、y轴分别交于点A（４，0），B（0，２）．而直线方程y＝kx＋２k＋１可变形为y—１＝k（x＋２），表示这是一条过定点P（—２，１），斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上（不包括端点），所以动直线的斜率k需满足k PA<k<k PB.因为k PA＝—错误!，k PB＝错误!.所以—错误!<k<错误!.答案：错误!３．（一题多解）直线l过点P（—１，２）且到点A（２，３）和点B（—４，５）的距离相等，则直线l的方程为________．解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y—２＝k（x＋１），即kx—y＋k＋２＝0．由题意知错误!＝错误!，即|３k—１|＝|—３k—３|，所以k＝—错误!，所以直线l的方程为y—２＝—错误!（x＋１），即x＋３y—５＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝—１，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋３y—５＝0或x＝—１．法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝—错误!，直线l的方程为y—２＝—错误!（x＋１），即x＋３y—５＝0．当l过AB的中点时，AB的中点为（—１，４），所以直线l的方程为x＝—１，故所求直线l的方程为x＋３y—５＝0或x＝—１．答案：x＋３y—５＝0或x＝—１对称问题（多维探究）角度一点关于点的对称过点P（0，１）作直线l，使它被直线l１：２x＋y—8＝0和l２：x—３y＋１0＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．【解析】设l１与l的交点为A（a，8—２a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（—a，２a—6）在l２上，把B点坐标代入l２的方程得—a—３（２a—6）＋１0＝0，解得a＝４，即点A（４，0）在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋４y—４＝0．【答案】x＋４y—４＝0角度二点关于线的对称如图所示，已知两点A（４，0），B（0，４），从点P（２，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）Ａ．２错误!Ｂ．6Ｃ．３错误!Ｄ．２错误!【解析】易得AB所在的直线方程为x＋y＝４，由于点P关于直线AB的对称点为A１（４，２），点P关于y轴对称的点为A２（—２，0），则光线所经过的路程即A１（４，２）与A２（—２，0）两点间的距离．于是|A１A２|＝错误!＝２错误!.【答案】A角度三线关于线的对称直线２x—y＋３＝0关于直线x—y＋２＝0对称的直线方程是（）Ａ．x—２y＋３＝0 Ｂ．x—２y—３＝0Ｃ．x＋２y＋１＝0 Ｄ．x＋２y—１＝0【解析】设所求直线上任意一点P（x，y），则P关于直线x—y＋２＝0的对称点为P′（x0，y0），由错误!得错误!由点P′（x0，y0）在直线２x—y＋３＝0上，所以２（y—２）—（x＋２）＋３＝0，即x—２y＋３＝0．【答案】A错误!（１）中心对称问题的２个类型及求解方法１点关于点对称：若点M（x１，y１）及N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得错误!进而求解；２直线关于点的对称，主要求解方法：（a）在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；（b）求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．（２）轴对称问题的２个类型及求解方法１点关于直线的对称：若两点P１（x１，y１）与P２（x２，y２）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组错误!可得到点P１关于l对称的点P２的坐标（x２，y２）（其中B≠0，x１≠x２）．２直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知直线l：２x—３y＋１＝0，点A（—１，—２）．求：（１）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（２）直线m：３x—２y—6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（３）直线l关于点A（—１，—２）对称的直线l′的方程．解：（１）设A′（x，y），由已知错误!解得错误!所以A′错误!.（２）在直线m上取一点，如M（２，0），则M（２，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′（a，b），则错误!解得M′错误!.设直线m与直线l的交点为N，则由错误!得N（４，３）．又因为m′经过点N（４，３），所以由两点式得直线m′的方程为9x—４6y＋１0２＝0．（３）设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（—１，—２）的对称点为P′（—２—x，—４—y），因为P′在直线l上，所以２（—２—x）—３（—４—y）＋１＝0，即２x—３y—9＝0．直线系方程的应用一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．求与直线３x＋４y＋１＝0平行且过点（１，２）的直线l的方程．【解】依题意，设所求直线方程为３x＋４y＋C１＝0（C１≠１），因为直线过点（１，２），所以３×１＋４×２＋C１＝0，解得C１＝—１１．因此，所求直线方程为３x＋４y—１１＝0．先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C１＝0（C１≠C），再由其他条件求C１. 错误!二、垂直直线系由于直线A１x＋B１y＋C１＝0与A２x＋B２y＋C２＝0垂直的充要条件为A１A２＋B１B２＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．求经过A（２，１），且与直线２x＋y—１0＝0垂直的直线l的方程．【解】因为所求直线与直线２x＋y—１0＝0垂直，所以设该直线方程为x—２y＋C１＝0，又直线过点A（２，１），所以有２—２×１＋C１＝0，解得C１＝0，所以所求直线方程为x—２y＝0．错误!先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx—Ay＋C１＝0，再由其他条件求出C１.三、过直线交点的直线系求经过直线l１：３x＋２y—１＝0和l２：５x＋２y＋１＝0的交点，且垂直于直线l３：３x—５y＋6＝0的直线l的方程．【解】法一：将直线l１，l２的方程联立，得错误!解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２）．由题意得直线l３的斜率为错误!，又直线l⊥l３，所以直线l的斜率为—错误!，则直线l的方程是y—２＝—错误!（x＋１），即５x＋３y—１＝0．法二：由于l⊥l３，所以可设直线l的方程是５x＋３y＋C＝0，将直线l１，l２的方程联立，得错误!解得错误!即直线l１，l２的交点为（—１，２），则点（—１，２）在直线l上，所以５×（—１）＋３×２＋C＝0，解得C＝—１，所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．法三：设直线l的方程为３x＋２y—１＋λ（５x＋２y＋１）＝0，整理得（３＋５λ）x＋（２＋２λ）y＋（—１＋λ）＝0．由于l⊥l３，所以３（３＋５λ）—５（２＋２λ）＝0，解得λ＝错误!，所以直线l的方程为５x＋３y—１＝0．错误!本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l１与l２的交点坐标，方便简捷，是最优解法．四、直线恒过定点已知λ∈R，求证直线l：（２λ＋１）x＋（３λ＋１）y—7λ—３＝0恒过定点，并求出该定点坐标．【解】将（２λ＋１）x＋（３λ＋１）y—7λ—３＝0化成（２x＋３y—7）λ＋（x＋y—３）＝0．要使直线恒过定点，必须错误!解得错误!即直线l恒过定点（２，１）．错误!直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题．将问题转化为两直线的交点，即将Ax ＋By＋C＝0化为（a１x＋b１y＋c１）λ＋（a２x＋b２y＋c２）＝0．通过方程组错误!，即可求出直线恒过的定点．[基础题组练]１．已知直线l１：mx＋y—１＝0与直线l２：（m—２）x＋my—２＝0，则“m＝１”是“l１⊥l２”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．充要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由l１⊥l２，得m（m—２）＋m＝0，解得m＝0或m＝１，所以“m＝１”是“l１⊥l２”的充分不必要条件，故选Ａ．２．已知直线l１：（k—３）x＋（４—k）y＋１＝0与l２：２（k—３）x—２y＋３＝0平行，则k 的值是（）Ａ．１或３Ｂ．１或５Ｃ．３或５Ｄ．１或２解析：选Ｃ．法一：由两直线平行得，当k—３＝0时，两直线的方程分别为y＝—１和y＝错误!，显然两直线平行．当k—３≠0时，由错误!＝错误!≠错误!，可得k＝５．综上，k的值是３或５．法二：当k＝３时，两直线平行，故排除B，D；当k＝１时，两直线不平行，排除Ａ．３．（２0２0·安徽江南十校二联）已知直线l１：mx—３y＋6＝0，l２：４x—３my＋１２＝0，若l∥l２，则l１，l２之间的距离为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由于两条直线平行，所以m·（—３m）—（—３）·４＝0，解得m＝±２，当m＝２时，两直线方程都是２x—３y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝—２时，l１：２x＋３y—6＝0，l２：２x＋３y＋6＝0，故l１，l２之间的距离为错误!＝错误!.故选Ａ．４．若点P在直线３x＋y—５＝0上，且P到直线x—y—１＝0的距离为错误!，则点P的坐标为（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，１）Ｃ．（１，２）或（２，—１）Ｄ．（２，１）或（—１，２）解析：选Ｃ．设P（x，５—３x），则d＝错误!＝错误!，化简得|４x—6|＝２，即４x—6＝±２，解得x＝１或x＝２，故P（１，２）或（２，—１）．５．直线ax＋y＋３a—１＝0恒过定点M，则直线２x＋３y—6＝0关于M点对称的直线方程为（）Ａ．２x＋３y—１２＝0 Ｂ．２x—３y—１２＝0Ｃ．２x—３y＋１２＝0 Ｄ．２x＋３y＋１２＝0解析：选Ｄ．由ax＋y＋３a—１＝0，可得a（x＋３）＋（y—１）＝0，令错误!可得x＝—３，y ＝１，所以M（—３，１），M不在直线２x＋３y—6＝0上，设直线２x＋３y—6＝0关于M点对称的直线方程为２x＋３y＋c＝0（c≠—6），则错误!＝错误!，解得c＝１２或c＝—6（舍去），所以所求方程为２x＋３y＋１２＝0，故选Ｄ．6．与直线l１：３x＋２y—6＝0和直线l２：6x＋４y—３＝0等距离的直线方程是________．解析：l２：6x＋４y—３＝0化为３x＋２y—错误!＝0，所以l１与l２平行，设与l１，l２等距离的直线l的方程为３x＋２y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋错误!|，解得c＝—错误!，所以l的方程为１２x＋8y—１５＝0．答案：１２x＋8y—１５＝07．l１，l２是分别经过A（１，１），B（0，—１）两点的两条平行直线，当l１，l２间的距离最大时，直线l１的方程是________．解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又k AB＝错误!＝２，所以两条平行直线的斜率为k＝—错误!，所以直线l１的方程是y—１＝—错误!（x—１），即x＋２y—３＝0．答案：x＋２y—３＝08．已知点A（—１，２），B（３，４）．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．解析：设AB的中点坐标为M（１，３），k AB＝错误!＝错误!，所以AB的中垂线方程为y—３＝—２（x—１）．即２x＋y—５＝0．令y＝0，则x＝错误!，即P点的坐标为（错误!，0），|AB|＝错误!＝２错误!.点P到AB的距离为|PM|＝错误!＝错误!.所以S△PAB＝错误!|AB|·|PM|＝错误!×２错误!×错误!＝错误!.答案：错误!9．已知两直线l１：ax—by＋４＝0和l２：（a—１）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．（１）l１⊥l２，且直线l１过点（—３，—１）；（２）l１∥l２，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：（１）因为l１⊥l２，所以a（a—１）—b＝0．又因为直线l１过点（—３，—１），所以—３a＋b＋４＝0．故a＝２，b＝２．（２）因为直线l２的斜率存在，l１∥l２，所以直线l１的斜率存在．所以错误!＝１—a.１又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l１，l２在y轴上的截距互为相反数，即错误!＝b.２联立１２可得a＝２，b＝—２或a＝错误!，b＝２．１0．已知直线l经过直线２x＋y—５＝0与x—２y＝0的交点P.（１）点A（５，0）到直线l的距离为３，求直线l的方程；（２）求点A（５，0）到直线l的距离的最大值．解：（１）因为经过两已知直线交点的直线系方程为（２x＋y—５）＋λ（x—２y）＝0，即（２＋λ）x＋（１—２λ）y—５＝0，所以错误!＝３，解得λ＝错误!或λ＝２．所以直线l的方程为x＝２或４x—３y—５＝0．（２）由错误!解得交点P（２，１），如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．所以d max＝|PA|＝错误!.[综合题组练]１．已知直线y＝２x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是（—４，２），（３，１），则点C的坐标为（）Ａ．（—２，４）Ｂ．（—２，—４）Ｃ．（２，４）Ｄ．（２，—４）解析：选Ｃ．设A（—４，２）关于直线y＝２x的对称点为（x，y），则错误!解得错误!所以BC所在的直线方程为y—１＝错误!（x—３），即３x＋y—１0＝0．同理可得点B（３，１）关于直线y＝２x 的对称点为（—１，３），所以AC所在的直线方程为y—２＝错误!·（x＋４），即x—３y＋１0＝0．联立得错误!解得错误!则C（２，４）．故选Ｃ．２．两条平行线l１，l２分别过点P（—１，２），Q（２，—３），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l１，l２之间距离的取值范围是（）Ａ．（５，＋∞）Ｂ．（0，５]C．（错误!，＋∞）Ｄ．（0，错误!]解析：选Ｄ．当直线PQ与平行线l１，l２垂直时，|PQ|为平行线l１，l２间的距离的最大值，为错误!＝错误!，所以l１，l２之间距离的取值范围是（0，错误!]．故选Ｄ．３．在平面直角坐标系xOy（O为坐标原点）中，不过原点的两直线l１：x—my＋２m—１＝0，l２：mx＋y—m—２＝0的交点为P，过点O分别向直线l１，l２引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN 面积的最大值为（）Ａ．３Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．错误!解析：选Ｄ．将直线l１的方程变形得（x—１）＋m（２—y）＝0，由错误!，得错误!，则直线l１过定点A（１，２），同理可知，直线l２过定点A（１，２），所以，直线l１和直线l２的交点P的坐标为（１，２），易知，直线l１⊥l２，如图所示，易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝错误!＝错误!，设|OM|＝a，|ON|＝b，则a２＋b２＝５，四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤错误!＝错误!，当且仅当错误!，即当a＝b＝错误!时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为错误!，故选Ｄ．４．如图，已知A（—２，0），B（２，0），C（0，２），E（—１，0），F（１，0），一束光线从F 点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，因为点A（—２，0）关于直线BC：x＋y＝２的对称点为A１（２，４），所以kA１F＝４．又点E（—１，0）关于直线AC：y＝x＋２的对称点为E１（—２，１），点E１（—２，１）关于直线BC：x＋y＝２的对称点为E２（１，４），此时直线E２F的斜率不存在，所以k FD>kA１F，即k FD∈（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）５．正方形的中心为点C（—１，0），一条边所在的直线方程是x＋３y—５＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋３y—５＝0的距离d＝错误!＝错误!.设与x＋３y—５＝0平行的一边所在直线的方程是x＋３y＋m＝0（m≠—５），则点C到直线x＋３y＋m＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得m＝—５（舍去）或m＝7，所以与x＋３y—５＝0平行的边所在直线的方程是x＋３y＋7＝0．设与x＋３y—５＝0垂直的边所在直线的方程是３x—y＋n＝0，则点C到直线３x—y＋n＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得n＝—３或n＝9，所以与x＋３y—５＝0垂直的两边所在直线的方程分别是３x—y—３＝0和３x—y＋9＝0．6．在直线l：３x—y—１＝0上求一点P，使得：（１）P到A（４，１）和B（0，４）的距离之差最大；（２）P到A（４，１）和C（３，４）的距离之和最小．解：（１）如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|—|PB|＝|PA|—|PB′|<|AB′|＝|P0A|—|P0B′|＝|P0A|—|P0B|，则P0即为所求．易求得直线BB′的方程为x＋３y—１２＝0，设B′（a，b），则a＋３b—１２＝0，１又线段BB′的中点错误!在l上，故３a—b—6＝0．２由１２解得a＝３，b＝３，所以B′（３，３）．所以AB′所在直线的方程为２x＋y—9＝0．由错误!可得P0（２，５）．（２）设C关于l的对称点为C′，与（１）同理可得C′错误!.连接AC′交l于P１，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P１C′|＋|P１A|＝|P１C|＋|P１A|，故P１即为所求．又AC′所在直线的方程为１9x＋１7y—9３＝0，故由错误!可得P１错误!.。

最新整理高三数学20 高考数学备考复习点、直线、平面之间的位置关系教案专题四：立体几何第二讲点、直线、平面之间的位置关系最新考纲透析1．理解空间直线平面位置关系的定义。

2．了解可以作为推理依据的公理和定理。

3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

核心要点突破要点考向1：线线、线面的位置关系考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。

2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。

3．三种题型均可出现，属较容易或中档题。

考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。

2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。

3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质4．证明线面垂直的方法有：（1）定义；（2）判定定理；例1：（2010 天津高考文科Ｔ１9）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD， CD=1，AD= ，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

命题立意本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。

思路点拨（1）∠CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。

规范解答 (I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA 平面ABCD，所以FA CD.故ED CD.在Rt△CDE中，CD=1，ED= ，CE= =3,故cos = = .所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为 .(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则 .由 ,可得BG AB,从而CD AB,又CD FA,FA AB=A,所以CD 平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG= ，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GN EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NM EF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.2两条直线的位置关系最新考纲1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组1x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12l l k k ⋅＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)题组二教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于()A.2B ．2－2 C.2－1D.2＋1答案C 解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.答案1解析由题意知m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.4．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析＝2x ，＋y ＝3，＝1，＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.题组三易错自纠5．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于()A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2m ＝2或－3.故选C.6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．答案324解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解(1)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2－a2＝11－a ，3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2(a－1)－1×2＝0，(a2－1)－1×6≠0，2－a－2＝0，(a2－1)≠6，可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.a≠－1时，l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，·11－a＝－1，得a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝23.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2018·潍坊模拟)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，当直线l1∥l2时，满足3＋m2＝45＋m≠5－3m8，解得m＝－7，所以“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的必要不充分条件，故选B.(2)(2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即ab＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.题型二两直线的交点与距离问题1．(2018·西宁调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是()A ．－23 B.23C ．－32D.32答案A解析由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得1，又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．答案－16，解析方法一＝kx ＋2k ＋1，＝－12x ＋2，＝2－4k 2k ＋1，＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴又∵交点位于第一象限，，，解得－16<k <12.方法二如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，∴动直线的斜率k 需满足k P A <k <k PB .∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16<k <12.4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P点坐标为________________．答案(1，－4)解析设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②a ＝1，b ＝－4a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)277，－87思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A (4,0)，B(0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是()A ．33B ．6C ．210D ．25答案C解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________．答案x －2y ＋3＝0解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，－y ＋y 02＋2＝0，(y －y 0)，0＝y －2，0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有1，B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．跟踪训练2已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解(1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②′＝－4x ＋3y －95，③′＝3x ＋4y ＋35.④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．一、平行直线系例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11.因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.二、垂直直线系例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解方法一－2y ＋4＝0，＋y －2＝0，得P (0,2)．∵l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，∴直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案C解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.2．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m 等于()A ．－1或3B ．－1C ．－3D ．1或－3答案A解析当m ＝0时，显然不符合题意；当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m7，解得m ＝－1或m ＝3，故选A.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为()A ．－10B ．－2C ．0D ．8答案A解析因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是()A ．2x －y ＋8＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y －1＝0答案D 解析方法一因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－12，所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－12，又所求直线过M (－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－12(x ＋3)，化为一般式得x ＋2y －1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线为x ＋2y －1＝0.故选D.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为()A.423B ．42 C.823D ．22答案C解析∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0，∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝|6－23|2＝823.6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.1 2B．－12C．2D．－2答案A解析直线y＝2x＋3与y＝－x的交点为A(－1,1)，而直线y＝2x＋3上的点(0,3)关于y＝－x的对称点为B(－3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2＝1－0－1－(－3)＝12.7．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1＋y－6＝0，－y＝0，易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案34 5解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，2×7＋m2－3，＝－12，＝35，＝315，故m＋n＝34 5 .9．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________．答案x－2y＝0解析＝2x＋3，＝x＋1，解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.10．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．答案6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，＝－1，－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于42.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝7510，所以|a ＋12|5＝7510，即|a ＋12|＝72，又a >0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12|c ＋12|5，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，0＝－3，0＝12，(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，＝19，0＝3718.所以存在点P 13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4) C．(2,4)D．(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则2＝－1，2×－4＋x2，解得＝4，＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，∴AC所在直线方程为y－2＝3－2－1－(－4)(x＋4)，即x－3y＋10＝0.x＋y－10＝0，－3y＋10＝0，＝2，＝4，则C(2,4)．故选C.14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C．23D．25答案A解析＝2x，＋y＝3，解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝m2＋n2＝(5＋2n)2＋n2＝5(n＋2)2＋5≥5，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 5.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为()A ．4x ＋2y ＋3＝0B ．2x －4y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案B解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0,2)，故AB k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1即2x －4y ＋3＝0.16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点，b P 关于点(2,4)－m ，8－b ∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋98，即6x －8y ＋9＝0.。

第九章 平面解析几何第3课时 直线与直线的位置关系1. 已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的________条件．答案：充要解析：由k 1＝k 2，1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2，知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2. 已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．答案：32解析：∵ 直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋12＝0，∴ 直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 3. 直线l 经过点(－2，1)，且与直线2x －3y ＋5＝0垂直，则l 的方程是____________________．答案：3x ＋2y ＋4＝0解析：所求直线的斜率为－32，则所求直线的方程为y －1＝－32(x ＋2)，即3x ＋2y ＋4＝0.4. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点________． 答案：(0，2)解析：由于直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2恒过定点(0，2)．5. 直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5，1)，则l 的方程是________________．答案：x ＋3y －8＝0解析：设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0，解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.6. 已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 答案：[0，10]解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0，10]．7. 若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________．答案：4解析：设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2.又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.8. 过点P(1，2)引直线，使之与A(2，3)、B(4，－5)的距离相等，则这条直线的方程为________________________________________________________________________． 答案：4x ＋y －6＝0，3x ＋2y －7＝0 解析：符合题意的直线有两条，一条直线与直线AB 平行，另一条直线经过AB 的中点．k AB ＝－5－34－2＝－4，y －2＝－4(x －1)即4x ＋y －6＝0；AB 的中点D(3，－1)，k PD ＝－1－23－1＝－32，y －2＝－32(x －1)即3x ＋2y －7＝0. 9. 已知l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，分别求m 的值使得l 1和l 2：(1) 垂直；(2) 平行；(3) 重合；(4) 相交．解：(1) l 1⊥l 2m －2＋3m ＝0m ＝12. (2) l 1∥l 2m －21＝3m ≠2m 6m 2－2m －3＝0且m ≠±3m ＝－1. (3) l 1与l 2重合m ＝3.(4) l 1与l 2相交m ≠3且m ≠－1.10. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1) 点P(4，5)关于l 的对称点；(2) 直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x′，y ′)．∵ k PP ′·k l ＝－1，即y′－y x′－x×3＝－1.① 又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴ 3×x′＋x 2－y′＋y 2＋3＝0.② 由①②得⎩⎨⎧x′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35.④ (1) 把x ＝4，y ＝5代入③④得x′＝－2，y ′＝7，∴ P(4，5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2，7)．(2) 用③④分别代换x －y －2＝0中的x 、y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 11. 过点P(1，2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长AB ＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵ AB ＝2，∴ ⎝⎛⎭⎫53k ＋42＋⎝⎛⎭⎫5k 3k ＋42＝2， 整理得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17. 因此，所求直线l 的方程为7x －y －5＝0或x ＋7y －15＝0.12. 两条平行直线分别过点P(－2，－2)、Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行．(1) 求d 的变化范围；(2) 用d 表示这两条直线的斜率；(3) 当d 取最大值时，求两条直线的方程．解：(1) (解法1)设过点P(－2，－2)的直线l 1方程为Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q(1，3)的直线l 2方程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 在直线上，得－2A －2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0，两式相减得C 1－C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|3A ＋5B|A 2＋B2， 即(d 2－9)A 2－30AB ＋(d 2－25)B 2＝0.(*)① 当B ≠0时，两直线斜率存在，有(d 2－9)⎝⎛⎭⎫A B 2－30⎝⎛⎭⎫A B ＋d 2－25＝0. 由d>0及Δ≥0，得(－30)2－4(d 2－9)(d 2－25)≥0，从而0<d ≤34；② 当B ＝0时，两直线分别为x ＝－2与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论． 综上所述，d 的取值范围是(0，34]．(解法2)两平行直线在旋转过程中，0<d ≤PQ ，而PQ ＝34，故d 的取值范围是(0，34]，(2) 当B ≠0时，两直线的斜率存在，从方程(*)中解得A B ＝15±d 34－d 2d 2－9，直线的斜率k ＝－A B ＝－15±d 34－d 2d 2－9. (3) 当d ＝34时，k ＝－A B ＝－35，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y －18＝0.。

9.2 点与直线、直线与直线的位置关系考纲要求1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1∥l 2⇔________________. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔__________________________. (2)两直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1⊥l 2⇔____________. 2．两直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，若方程组有唯一解，则l 1与l 2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l 1与l 2____；若方程组有无数个解，则l 1与l 2____.3．有关距离 (1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝________________________. (2)点到直线的距离平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________. (3)两平行线间的距离已知l 1，l 2是平行线，求l 1，l 2间距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________. 4．对称问题 (1)中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为____________． (2)中心对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得________________． (3)轴对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，而且连接P 1，P 2的直线垂直于对称轴l .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 1－y 2x 1－x 2＝B A可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝02．已知点P 在直线x ＋2y ＝5上，且点Q (1,1)，则|PQ |的最小值为( )．A.55B.855C.355D.2553．若直线ax ＋y ＋5＝0与x －2y ＋7＝0垂直，则a 的值为( )．A ．2 B.12 C ．－2 D ．－124．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( )．A ．－1B ．－12C ．2D ．125．与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离为4的直线方程是__________．一、两直线的平行 【例1】 直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )． A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3 方法提炼1．判定两直线平行的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0. 2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，这也是经常采用的解题技巧．请做演练巩固提升2 二、两直线的垂直 【例2】 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝__________. 方法提炼1．判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0，这也是经常采用的解题技巧．请做演练巩固提升1 三、距离公式的应用【例3】 已知点A (2，－1)，(1)求过点A 且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过点A 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点A 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在．请说明理由．方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．请做演练巩固提升4四、对称问题【例4】 已知直线l 1：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 1的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 1的对称直线l 2的方程； (3)直线l 1关于点A 对称的直线l 3的方程． 方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决． 请做演练巩固提升3直线中的新概念问题【典例】 在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1； 其中正确的结论有__________(填上你认为正确的所有结论的序号)．解析：①根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题．①由[OP ]＝1，根据新定义得：|x |＋|y |＝1，上式可化为：y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0＜1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确的结论有：①.答案：①答题指导：1.本题有以下两处创新点(1)考查内容的创新，使解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查．(2)考查对新定义、新概念的理解与运用，同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同．2．解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点： (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值； (3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何．1．与直线3x ＋4y ＋1＝0垂直且过点(2,1)的直线l 的方程为__________． 2．直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是a ＝__________.3．如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线被直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经OB 反射回到P 点，则光线经过的路程是__________．4．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．5．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)k 1＝k 2且b 1≠b 2 A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0 (2)－1 A 1A 2＋B 1B 2＝0 2．相交 平行 重合3．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (3)②|C 1－C 2|A 2＋B 24．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1基础自测1．A 解析：∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.2．D 解析：根据题意知，|PQ |的最小值为点Q 到直线x ＋2y ＝5的距离．根据点到直线的距离公式，得|1＋2×1－5|1＋22＝25＝25 5. 3．A 解析：∵两直线垂直，∴a ×1＋1×(－2)＝a －2＝0. ∴a ＝2.4．B 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴三条直线交于点(－1，－2)．∴－1－2b ＝0，即b ＝－12.5．7x ＋24y ＋95＝0或7x ＋24y －105＝0 解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋c ＝0，则d ＝|c －(－5)|72＋242＝4， ∴c ＝95或c ＝－105.∴所求直线方程为7x ＋24y ＋95＝0或7x ＋24y －105＝0. 考点探究突破【例1】 C 解析：(方法一)当m ＝－1时，l 1：2x ＋4＝0，l 2：－x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不平行；当m ≠－1时，因为l 1∥l 2，所以应满足－2m ＋1＝－m 3且－4m ＋1≠23，解得m ＝2或m ＝－3.(方法二)若l 1∥l 2，需2×3－m (m ＋1)＝0，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3或2时，－2(m ＋1)－12≠0. ∴m ＝－3或2为所求．【例2】 1 解析：(方法一)当m ＝0时，l 1：x －2y ＋5＝0，l 2：2x －6＝0不垂直；当m ≠0时，因为l 1⊥l 2，则12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，则m ＝1.(方法二)若l 1⊥l 2， 则1×2＋(－2)×m ＝0. ∴m ＝1.【例3】 解：(1)由过点A 的直线l 与原点距离为2，而点A 的坐标为(2，－1)，可知当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时，原点到直线l 的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0，综上可知：直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过点A 与原点O 距离最大的直线是过点A 与AO 垂直的直线， 由l ⊥AO ，得k l k OA ＝－1，所以k l ＝－1k OA＝2.由直线的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点A 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点A 不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过点A 且与原点距离为6的直线．【例4】 解：(1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M 关于l 1的对称点必在l 2上． 设对称点为M ′(a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 1的交点为N ， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又l 2过N 点，由两点式得直线l 2的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)(方法一)在l 1：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)． 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l 3上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l 3的方程为2x －3y －9＝0. (方法二)∵l 1∥l 3，∴可设l 3的方程为2x －3y ＋c ＝0(c ≠1)．∵点A 到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c ＝－9，∴l 3的方程为2x －3y －9＝0.(方法三)设P (x ，y )是l 3上任一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )．∵P ′在直线l 1上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0. 整理得2x －3y －9＝0. 演练巩固提升1．4x －3y －5＝0 解析：(方法一)易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0垂直，∴k ＝43.又直线l 过点(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝43(x －2)，即4x －3y －5＝0.(方法二)设直线l 的方程为4x －3y ＋c ＝0， 由l 过点(2,1)，∴4×2－3×1＋c ＝0， ∴c ＝－5.∴直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．－2 解析：直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行⇔a 2＝4且a 4≠36⇔a ＝－2.3．210 解析：P 关于直线AB ：x ＋y ＝4的对称点P 1(4,2)，P 关于y 轴的对称点P 2(－2,0)，则|P 1P 2|＝62＋22＝210为所求．4．解：∵a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2，可看成是点P (a ，b )与点(1,1)之间的距离．又∵点P 是直线x ＋y ＋1＝0上任一点，∴(a －1)2＋(b －1)2即是点 (1,1)与直线x ＋y ＋1＝0上任一点之间的距离．因此，点(1,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离即是(a －1)2＋(b －1)2的最小值．由于点(1,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝|1＋1＋1|12＋12＝322， 故a 2＋b 2－2a －2b ＋2的最小值为322.5．解：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．图甲设B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1， 即b －4a·3＝－1.∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)． (2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，连接AC ′交l 于点Q ，此时的Q 满足|QA |＋|QC |的值最小．图乙设C ′的坐标为(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′－4x ′－3·3＝－1，3·x ′＋32－y ′＋42－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35，y ′＝245.∴C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.由两点式得直线AC ′的方程为y －1245－1＝x －435－4，即19x ＋17y －93＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267.∴所求点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267.。

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程教案理含解析新人教A版§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.2.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°).3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠π2，则k ＝tan θ. 4.直线方程的五种形式名称 方程适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ )题组二 教材改编2.若过点M (－2，m )，N (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1B.4C.1或3D.1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 易错自纠4.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1， 又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5.如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA >0，在y 轴上的截距－C B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为.答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 答案 B解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α， 又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)， 所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.(2)(2018·抚顺调研)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为. 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°). 思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k 不存在.③当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0). (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性.跟踪训练1 (1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于( ) A.1±2或0 B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0答案 A解析 ∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A.(2)直线l 经过点A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.题型二 求直线的方程例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)， 令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)， 此时|AB |＝5，即x ＝1为所求.设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行). 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与均值不等式相结合求最值问题例3 (2018·包头模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程. 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小. 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解.跟踪训练3 过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程. 解 设直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30°B.60°C.150°D.120° 答案 B解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ， 化直线方程为y ＝3x ＋a ， ∴k ＝tan α＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A.x ＝2B.y ＝1C.x ＝1D.y ＝2 答案 A解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3.已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A.150°B.135°C.120°D.不存在答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2， 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k 2×22－2k21＋k2 ≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.4.在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合.5.直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则( ) A.M (5,7) B.M (4,5) C.M (2,1) D.M (2,3)答案 B解析 设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上， 则有b ＝a ＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1a －1＝2.② 联立①②可得a ＝4，b ＝5， 即M 的坐标为(4,5).故选B.6.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D.－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7.(2018·焦作期中)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条 答案 B解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B.8.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4 答案 C解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C. 二、填空题9.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是. 答案3x －y －33＝0解析 因为直线y ＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k ＝tan π3＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0.10.不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点. 答案 (－2,1)解析 直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，∴x＝－2，y ＝1，∴直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1).11.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为.答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y＋5＝0.12.经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为.答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.13.设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52 解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52. 14.已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为.答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )， ∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0. ∴a ＋c ＝3.则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号. 三、解答题15.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，(m －0)·(－3n －1)＝(n －0)·(m －1)，解得m ＝3，所以A (3，3). 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 16.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1). (2)解 直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0.(3)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

两条直线的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.两条直线的位置关系该讲知识是平面解析几何部分的基础，命题热点为两点间与点到直线的距离公式的应用，判断两直线的位置关系及求解有关对称问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等偏易.交点与距离问题2021新高考卷ⅠT11；2021新高考卷ⅡT3；2020全国卷ⅡT5；2020全国卷ⅢT8对称问题2022新高考卷ⅡT15学生用书P1721.两条直线的位置关系记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2.两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点坐标与方程组1＋1＋1=0，2＋2＋2=0的解一一对应.3.三种距离公式将直线方程化为一般式；（2）求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.1.下列说法正确的是（A）A.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线不一定相交B.点P（x0，y0）到直线y＝kx＋bC.当直线l1和直线l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2D.若两条直线垂直，则他们的斜率之积一定等于－12.设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，则l1与l2的位置关系是（B）A.平行B.相交C.重合D.不确定解析假设l1与l2平行或重合，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得12＋2＝0，与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交.故选B.3.已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（A）A.1B.13C.－2D.－1解析由题意可得，若三条直线不能围成三角形，则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行，当l1∥l3时，可得a＝13，当l2∥l3时，可得a＝－2；若三条直线经过同一点，由3－=1，+2=5，可得直线l1与l2的交点为（1，2），则（1，2）在l3上，故可得1－2a－3＝0，解得a＝－1.综上，实数a的值可能为13，－2，－1.故选A.4.[易错题]直线2x＋2y＋1＝0与x＋y＋2＝0之间的距离是324.解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，则两平行线间的距离d｜2－12｜.（注意应用公式时x，y的系数分别对应相等）5.[教材改编]已知点A（2，1），B（3，4），C（－2，－1），则△ABC的面积为5.解析解法一设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.｜AB｜＝（3－2）2＋（4－1）2＝10.由两点式可得AB边所在直线的方程为－1＝－23－2，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h10，所以S△ABC＝12×｜AB｜×h＝12×10×10＝5.解法二易知B ＝（1，3），B ＝（－4，－2），所以△ABC的面积为12×｜1×（－2）－3×（－4）｜＝5.（二级结论：若B ＝（x，y），B ＝（u，v），则S△ABC＝12｜x v－yu｜）学生用书P173命题点1两条直线的位置关系例1（1）[2023四川凉山州二模]已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：4x－my＋2＝0，若l1∥l2，则m＝－2.解析因为l1∥l2，所以－2＝－4，2≠4，（注意排除直线重合情况）解得m＝－2.（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＝0.解析因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A（2，1），所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.方法技巧1.判断两条直线位置关系的注意点（1）斜率不存在的特殊情况；（2）可直接利用直线方程系数间的关系得结论.2.与直线Ax＋By＋C1＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0，与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2），过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）（该直线系不含l2）.训练1（1）[2023南昌市模拟]直线l1：ax＋（a＋1）y－1＝0，l2：（a＋1）x－2y＋3＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若l1⊥l2，则a（a＋1）＋（a＋1）×（－2）＝0，解得a＝－1或a＝2，所以“a＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.（2）过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为2x＋3y＋10＝0.解析设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.命题点2交点与距离问题例2（1）[全国卷Ⅲ]点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（B）A.1B.2C.3D.2解析解法一由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d使d最大，需k＞0且k＋1最小，由基本不等式知，k＋1≥2，当且仅当k＝1时，等号成立，所以当k＝1时，d max＝2，故选B.解法二记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y ＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝2，故选B.（2）[2023合肥市期末]若直线y＝x与直线y＝1x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为35.解析由题易得k≠1，由＝1－5，＝，得x＝y＝51－，将（51－，51－）代入y＝kx＋3，得51－＝521－＋3，得k＝35.方法技巧1.求解距离问题的策略（1）点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解，但要注意方程必须为一般式.（2）两平行线间的距离：①利用两平行线间的距离公式求解；②将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.训练2（1）直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到l的距离相等，则直线l的方程是（C）A.4x＋y－6＝0B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0D.3x＋2y－7＝0或x＋4y－6＝0解析显然直线l的斜率存在，故设直线l：y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，则k－1＝3k＋7或k－1＋3k＋7＝0⇒k＝－4或k＝－32，所以l的方程为y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0或y－2＝－32（x－1），即3x＋2y－7＝0.故选C.（2）函数f（x）＝2－2+2＋2+2+2的最小值为22.解析f（x）＝2－2+2＋2+2+2＝（－1）2+1＋（+1）2+1，所以函数f（x）的几何意义为点P（x，0）与点A（1，1），点B（－1，1）的距离之和，易知点P为x轴上一动点，且当点P在原点时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值22.命题点3对称问题例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：（1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程；（3）直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析（1）设A'（x，y×23＝－1，－12－3×－22+1=0，解得＝－3313，＝413，即A'（－3313，413）.（2）在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m'上.设M关于直线l的对称点为M'（a，b），3×r02+1=0，解得＝613，＝3013，即M'（613，3013）.设m与l的交点为N，则由－1，2－3+1=0，3－2－6=0得N（4，3）.又m'经过点N（4，3），所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0.（3）解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P（1，1），N（4，3），则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上.易知P'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.解法二设Q（x，y）为l'上任意一点，则Q（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为Q'（－2－x，－4－y），因为点Q'在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.方法技巧对称问题的解题策略射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝－13x －23射出，则实数a 可以为（AD ）A.2B.－2C.23D.－23解析由题知，直线y ＝－3x ＋3a 2－4a －2与直线y ＝－13x －23关于直线x ＋y ＝0对称.在直线y ＝－13x －23上任意取一点A （x 0，y 0），其关于直线x ＋y ＝0对称的点为（-y 0，-x 0），则0＝－130－23，－0=30+32－4－2，整理得3a 2－4a －4＝0，解得a ＝−23或a ＝2，故选AD.（2）过点P （0，1）作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解析设l 1与l 的交点为A （a ，8－2a ），由题意知，点A 关于点P 的对称点o −，2−6)在l 2上，把点B 的坐标代入l 2的方程得－a －3（2a －6）＋10＝0，解得a ＝4.因为点A （4，0），P （0，1）在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.1.[命题点1]已知点A （－m －3，2），B （－2m －4，4），C （－m ，m ），D （3，3m ＋2），若直线AB ⊥CD ，则m 的值为1或－1.解析解法一∵A ，B 两点的纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行，又AB ⊥CD ，∴CD 与x 轴不垂直，∴－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而当m ＝－1时，点C ，D 的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意.当AB 与x 轴不垂直，即m ≠－1时，k AB ＝4－2－2－4－（－－3）＝2－（r1），k CD ＝3r2－3－（－）＝2（r1）r3.∵AB ⊥CD ，∴k AB ·k CD ＝－1，即2－（r1）·2（r1）r3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.解法二由题意可得B·C ＝0，所以（－m －1，2）·（3＋m ，2m ＋2）＝0，解得m ＝±1.2.[命题点2/2023武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则｜c 1－c 2｜＝（B ）A.23B.25C.2D.4解析直线x ＋2y ＋1＝0与x ＋2y ＋3＝0间的距离d 1直线3x －4y ＋c 1＝0与3x －4y ＋c 2＝0间的距离d 2＝｜1－2｜5.由菱形的性质知d 1＝d 2，所以｜1－2｜5＝｜c 1－c 2｜＝25.3.[命题点2]｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜的最小值为13.解析设点P （x ，y ），l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：3x ＋4y ＋1＝0，则点P 到l 1的距离d 1＝｜3r4－12｜5，点P 到l 2的距离d 2＝｜3r4r1｜5，则｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜＝5（d 1＋d 2），易得直线l 1∥l 2，所以当点P 位于直线l 1与l 2之间时，｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜最小，最小值为直线l 1与l 2之间的距离的5倍，即d ＝|−12−1|5×5＝13.4.[命题点2，3/2024江西景德镇一中模拟]在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 的坐标为（－4，2），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x －y ＋1＝0，∠B 的角平分线所在的直线方程为2x ＋y －2＝0，则直线BC 的方程为18x －y －38＝0.解析设点B 坐标为（a ，b ），因为点A 的坐标为（－4，2），所以AB 的中点M （K42，r22），所以－42－r22＋1＝0，即a －b －4＝0.因为点B 在直线2x ＋y －2＝0上，所以2a ＋b －2＝0.由－－4=0，2＋－2=0，解得=2，＝－2，所以B （2，－2）.设点A （－4，2）关于直线2x ＋y －2＝0的对称点为A'（m ，n ），r22－2=0，2）＝－1，解得＝125，＝265，所以A'（125，265），所以直线BC的方程为y＋2＝265+2125－2·（x－2），即18x－y－38＝0.5.[命题点3]已知直线l：x－y－1＝0.若直线l上存在一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为(103,73)；若直线l上存在一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小，则点Q的坐标为(52,32).解析如图1，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，PB，PB'，=－1，1=0，解得=5，＝－1，∴点B'的坐标为（5，－1）.易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.于是直线AB'的方程为－1－1－1＝－45－4，即2x＋y－9＝0.图1联立直线l与AB'的方程，解得＝103，＝73，即点P的坐标为（103，73）.如图2，设点C关于l的对称点C'的坐标为（m，n），连接CC'，QC，QC'，QA，1=－1，2－1=0，解得=1，=2，图2∴点C'的坐标为（1，2），∴直线AC'的方程为－12－1＝－41－4，即x＋3y－7＝0.易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜≥｜AC'｜，当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.联立直线AC'与l的方程，解得＝52，＝32，即点Q的坐标为（52，32）.学生用书·练习帮P3491.[2024山东鄄城第一中学校考]若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（A）A.（－52，12）B.（－2，12）C.[－52，－12]D.[－25，12]解析将两直线方程联立得＝+2+1，＝－12+2，得＝2－43，＝2r53，即交点坐标为（2－43，2r53）.2－43>0，2r530，解得－52＜k＜12.故选A.2.[2024天津耀华中学校考]已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（A）A.1或2B.3或4C.3D.4解析由题意得2+1＝2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，则2a－5＝±(4−7)，解得a＝1或a＝2.故选A.3.已知直线l1：x sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（A）A.35B.－35C.23D.－23解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinBossin2＋cos2＝2tG1+tan2＝35.故选A.4.[2024河北衡水模拟]已知点（a，b）在线段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，则2+ 2−2的取值范围是（B）A.[2，18]B.[2，38]C.[0，38]D.[0，210－2]解析画出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的图象如图.（a，b）是图中线段上任意一点，a2＋b2表示原点到点（a，b）的距离的平方，易知图中线段的端点分别为（－2，4），（6，－2），到原点距离的平方分别为20，40，由原点到线段的距离d＝|−10|32＋42＝2，可得2＝4，综上，a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故选B.5.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，则P点的坐标是（C）A.（1，－1）B.（－1，1）C.（135，－135）D.（－2，2）解析点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y ＝0的交点即为所求的点，直线A'B的方程为r3－2+3＝－15－1，即y＝14x－134，与x＋y＝0联立，解得＝135，＝－135.即点P坐标为（135，－135）时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值.6.m是实数，直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，O为坐标原点，则｜OQ｜的最大值是（B）A.2B.22C.23D.4解析解法一由－B－2=0，B＋+2=0，得＝2－22+1，＝－2r22+1，即点Q（2－22+1，－2r22+1）.因为m是实数，O为坐标原点，所以｜OQ−==当m＝0时，｜OQ｜max＝22，所以｜OQ｜的最大值是22.解法二易知直线l1恒过定点A（2，0），直线l2恒过定点B（0，－2），且l1⊥l2.连接AB，数形结合（如图所示）可知，点O，Q均在以AB为直径的圆上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.7.[多选/2023青岛检测]已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），则（ACD）A.直线l2过定点（－3，－1）B.当m＝1时，l1⊥l2C.当m＝2时，l1∥l2D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1解析对于A，解法一直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2－+5=0，－+2=0，解得＝－3，＝－1，即直线l2过定点（－3，－1），故A正确.解法二在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点（－3，－1），故A正确.对于B，若l1⊥l2，则有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正确.对于C ，若l 1∥l 2，则有4·[－（m ＋1）]－（－3）·（m ＋2）＝0，解得m ＝2，当m ＝2时，l 1与l 2不重合，故C 正确.对于D ，当l 1∥l 2时，由对选项C 的分析可得此时直线l 2的方程为4x －3y ＋9＝0，则l 1，l 21，故D 正确.故选ACD.8.[2024安徽合肥联考]过直线2x －y ＋4＝0与3x －2y ＋9＝0的交点，且垂直于直线−2+1＝0的直线方程是2x ＋y －8＝0.解析由3－2+9=0，2－+4=0，解得=1，=6，即交点坐标为（1，6）.因为所求直线与直线x －2y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－112＝－2，所以所求的直线方程是y －6＝－2（x －1），即2x ＋y －8＝0.9.已知△ABC 的一个顶点A （4，－1），两条角平分线所在直线的方程分别为1:－－1=0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为2x －y ＋3＝0.解析由题知，A （4，－1）不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是角B ，角C 的角平分线所在直线.设点A 关于直线l 1的对称点为A 1（x 1，y 1），关于直线l 2的对称点为A 2（x 2，y 2），则A 1，A 2均在边BC 所在的直线上.×1=－1，21－12－1=0，得1=0，1=3，所以1(0,3).因为l 2：x ＝1，所以易得y 2＝－1，由2+42＝1，得x 2＝－2，所以A 2（－2，－1）.所以BC 边所在直线的方程为－3－1－3＝－0－2－0，即2x －y ＋3＝0.10.过点A （0，73），B （7，0）的直线l 1与过点（2，1），（3，k ＋1）的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k ＝（B ）A.－3B.3C.－6D.6解析若l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2.（圆内接四边形的对角互补）易知直线l 1的斜率1=73−7=−13，直线l 2的斜率k 2＝r1－13－2＝k ，由k 1k 2＝－1，得k ＝3.11.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x －my －2＝0的距离.当θ，m 变化时，d 的最大值为（C）A.1 B.2C.3D.4解析解法一由题意可得dcos φsin φ＝∵－1≤sin（θ－φ）≤1，d1∴当m＝0时，d取得最大值3，故选C.解法二易知点P（cosθ，sinθ）在单位圆x2＋y2＝1上，直线－B－2＝0恒过定点A（2，0）.如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是单位圆的半径），所以d max＝3，此时A，B重合，直线方程为x＝2.12.[多选/2024山西吕梁统考]已知点A（－2，1），B（1，1），且点P在直线G++ 3=0上，则（ACD）A.存在点P，使得｜PA｜＝2B.存在点P，使得PA⊥PBC.存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值为29解析设P（a，－a－3）.对于A，若｜PA｜＝2，则(r2)2＋(－－3－1)2＝2，即2+ 6+8=0，解得a＝－2或a＝－4，故存在点P，使得｜PA｜＝2，A正确.对于B，当a＝－2时，直线PA的斜率不存在，又k PB＝23≠0，此时PA与PB不垂直；当=1时，直线PB的斜率不存在，又k PA＝－53≠0，此时PA与PB不垂直；当a≠－2且a≠1时，k PA＝－－4r2，k PB＝－－4－1，若PA⊥PB，则k PA k PB＝－－4r2·－－4－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0，Δ＝92－4×2×14＝－31＜0，方程无解，故不存在点P，使得PA⊥PB，B错误.对于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，则2（+2）2＋（－－3－1）2＝（－1）2＋（－－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝142－4×2×21＝28＞0，方程有解，故存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜，C正确.对于D，设A（－2，1）关于直线l的对称点为A'（a，b1，1+2+3=0，解得＝－4，＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜＝（－4－1）2＋（－1－1）2＝29，当且仅当A'，P，B三点共线时取等号，故D正确.故选ACD.13.已知点A（5，0），B（0，4），动点P，Q分别在直线y＝x＋2和y＝x上，且PQ与两直线垂直，则｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB解析设Q（x0，x0），因为直线PQ与两直线垂直，所以｜PQ｜＝2，则P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(0－5)2＋02＋(0−1)2＋(0－3)2，此式可理解为点o0，0)到A（5，0）及C（1，3）的距离之和，其最小值为｜AC｜＝5.故B+B+ |B|的最小值为5＋2.14.[新定义题]定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是真命题的是（D）A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交解析设P1（x1，y1），P2（x2，y2），若d1＝d2＝0，满足d1－d2＝0，d1＋d2＝0，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，直线P1P2与直线l重合，A，B，C错误；对于D，若d1d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，D正确.。