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八年级数学下册 17.1平方根（1）导学案新人教版17、1 平方根（1）学案环节主要内容创设情境引入目标由与希帕索斯之死的故事（见课件）引入学习目标：1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；2、理解平方根的性质；3、会求一个数的平方根、自主学习合作探究环节一、平方根的概念1、定义：如果一个数x的______等于a，即__________，那么这个数x叫做a的___________，也叫做a的___________、2、应用：练习1：①3是_____的平方根；②－4是_____的平方根；③20是_____的平方根；④ b是_____的平方根、练习2：①25的平方根是 ___________；② 0、49的平方根是__________；③ 的平方根是 __________；④3－2的平方根是 __________、归纳：、环节二、平方根的性质1、性质：①一个正数有______个平方根,它们_______________；②0只有_____个平方根，它是__________；③负数_____平方根、2、运用练习1：判断：①1是1的平方根（）②1的平方根是1（）③（-1）2的平方根是－1 （）④ －1的平方根是－1（）练习2：①如果一个数的平方是它本身，那么这个数是__________、②如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是__________、③（-3）2的平方根等于__________、④如果一个正数的平方根是2a－1和－a+2，那么__________、变式：如果2a－1和－a+2是一个正数的平方根，那么__________、环节三、平方根的表示1、表示方法：一个正数a的正的平方根表示为__________,负的平方根表示为__________,这两个平方根可表示为__________、其中, a叫做__________、2、运用练习1、说出下列各数所表示的意义① ② ③ ④ 练习2、填一填：①9的平方根表示为_________，结果为________、②0 、25的正的平方根表示为_________，结果为_________、③ 的负的平方根表示为___________，结果为___________、④17的平方根表示为___________，结果为___________、⑤0的平方根表示为___________，结果为___________、归纳: 环节四、开平方1、定义：求一个数的的运算，叫做开平方、2、求下列各数的平方根：①81 ② ③ ④ 0、49 归纳_________________________________________________________ ______、3、挑战自我：的平方根是__________、展示交流点拨释疑对上述问题，展示同学完成的情况，教师点拨展示过程中的关键点、疑难和困惑、归纳总结检测评价1、归纳本节课你的收获：2、当堂检测：1、判断：①－14是196的平方根（）②－7是a的平方根，则a=－49（）③－a没有平方根（）④a2的正的平方根是a （）2、求下列各数的平方根：① 0、36 ②（-5）2 ③10-2【作业】必做题：课本96页习题1、2、3、4题、选作题：若 =2，求2x+5的平方根、教学反思：本节课为《实数》的起始课，理解平方根的定义、表示及开平方运算的进行，为学生理解算术平方根、立方根的有关概念作了知识上的铺垫，同时，由于本节课的研究方法和后续学习内容具有高度相似性，因而，掌握本节课的研究思路对于学生学习后面相关内容也具有指导意义。
第1课时算术平方根师生活动【情境导入】同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道的速度在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)，而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s).v1，v2的大小满足v12=gR，v22=2gR，其中g是物理中的一个常数（重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径,R≈6.4×106m.怎样求v1，v2呢？这就要用到算术平方根的概念，也就是本节课的主要学习内容.探究点1算术平方根的概念与求算术平方根（教材P40问题）学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?解：因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5dm.填表并回答问题.问题1观察上表，从上面到下面对应的是什么运算？从下面到上面又对应的是什么运算？答：从上面到下面是已知一个正数的平方，求这个正数；从下面到上面是求一个正数的平方，即我们学过的平方运算.问题2这两个运算之间有什么关系？ 答：互为逆运算.概念引入：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.例1（教材P40例1）求下列各数的算术平方根: (1)100；(2)6449；(3)0.0001.解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即100=10； (2)因为(87)2=6449，所以6449的算术平方根是87，即6449=87；(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即0.0001=0.01.从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立，即若a >b >0，则a >b . 【对应训练】1.若x 是49的算术平方根，则x 等于（ A ） A.7 B.±7 C.49 D.-492.(1)若一个数的算术平方根是13，则这个数是13. （2）①16=4，16的算术平方根是2；②2(-5) =5，2(-5)的算术平方根是5，（-5）2的算术平方根是5. （3）2x =6，则x =±6.（4）算术平方根是其本身的数是0,1. 3.教材P41练习第2题.4.（教材P41练习第1题及补充）求下列各数的算术平方根： (1)0.0025；(2)81；(3)32；（4）12136；(5)25241.解：(1)因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术平方根是0.05，即0.0025=0.05；(2)因为92=81，所以81的算术平方根是9，即81=9； (3)因为32=9，所以32的算术平方根是3，即23=3；（4）因为(116)2=12136，所以12136的算术平方根是116，即12136=116；（5）因为25241=2549，(57)2=2549，所以25241的算术平方根是57，即25241=57.师生活动础.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是算术平方根？如何求一个正数的算术平方根？什么数才有算术平方根？【知识结构】【作业布置】1.教材P47习题6.1第1，2，11题.2.相应课时训练.师生活动算术平方根的性质归纳：①算术平方根的双重非负性：算术平方根本身是非负数，算术平方根的被开方数也是非负数.拓展：非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数均等于0.即若√a +√b +…+√m =0，则a =b =…=m=0.②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身.即(√a )2=a .③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，再根据这个数的正负去绝对值符号.即√a 2=a .例1 √81的算术平方根是（ B ） A.9 B.3 C.±9 D.±3分析：利用算术平方根的概念解答即可，注意看清被开方数是√81，而不是81. 解析：因为√81=9，9的算术平方根为3，所以√81的算术平方根是3.故选B. 例2若√x −1+√x +y =0，则x +2y 的值为（ A ） A.-1 B.0 C.1 D.2分析：根据算术平方根的非负性可知被开方数必须为非负数，由此得到x -1=0，x +y =0，分别求出x ,y 的值，然后代入所要求值的式子即可得出结果.解析：因为√x −1+√x +y =0，所以x -1=0，x +y =0，所以x =1,y =-1,所以x +2y =-1.故选A.例3计算：√32=3，√0.72=0.7，√02=0，√(−6)2=6，-√(−34)2=34.(1)根据计算结果，回答√a 2一定等于a 吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.(2)利用你总结的规律，计算：√(3.14−π)2 . 解：(1) √a 2不一定等于a , √a 2=|a |. (2)原式=|3.14-π| = π-3.14.例1已知√25=x ，√y =2，z 是9的算术平方根，求2x +y -z 的算术平方根.解：因为√25=x ，所以x =5.因为√y =2，所以y =4.因为z 是9的算术平方根，所以z =3. 所以2x +y -z =2×5+4-3=11，所以2x +y -z 的算术平方根是11. 例2小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S 1，S 2)（1）如图①，S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的边长为√2；3.性质：（1）算术平方根的“双重非负性”；（2）正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.教学反思本节课从宇宙飞船的实例引入，激发学生学习的积极性，再从学生熟知的正方形的边长与面积的关系入手，揭示问题本质：它们都是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，进而从具体到抽象地给出算术平方根的概念，再从概念的本质入手，引导学生分析算术平方根的双重非负性，最后通过例题和练习题进一步巩固所学知识，达到教学目标.如图②，S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为√5；如图③，S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的边长为√17.（2）若将（1）中的图③沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长、宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由.分析：（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的概念进行计算即可；（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可.解：（1）解析：当S1=1，S2=1时，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为√2；当S1=1，S2=4时，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为√5；当S1=1，S2=16时，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为√17.（2）不能.理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x·3x=14.52，所以x2=1.21，即x=1.1(x>0).因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3.因为(4.4)2=19.36>17，所以4.4＞√17，所以不能沿正方形A3B3C3D3边的方向剪出一个面积为14.52且长、宽之比为4∶3的长方形.。
第十三章 算术平方根导学案（1）<教材信息> 章节：第13章 课题：算术平方根（1） 总课时编号：20 <学生信息> 班级： 姓名： 所属小组： 【知识链接】 1.什么样的运算是平方运算？2.你还记得1～20之间整数的平方吗？正数_____的平方是9； 正数___的平方是0.25；正数_____的平方是1；_____的平方是0。
3.任意一个有理数的平方是什么数？4.问题：已知一正方形装饰板的面积是14平方米，你能帮助工人师傅算出该装饰板的边长吗？【学习过程】（一）学生独学：学生看书第68—69页试做练习和习题13.1（1、2）1. 一块面积为252dm 的正方形画布，这块正方形画布的边长应取多少dm ？如果这块画布的面积是212dm ？2. 一般地，如果一个____ __的平方等于a ，即2x =a ，那么这个__ _叫做a 的_____ ．温馨提示：关键词语“正数”.a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．3. 另外：0的算术平方根是_______00=记作：（二） 学生对学、群学1.a (a ≥0)表示求a 的________ __________2.a 有意义的条件是____ ___；无意义的条件是___ ___3. 0的算数平方根是0，_______没有算数平方根. 为什么?4. 试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗?5.下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 25 81.0 0思考：正数有算术平方根吗？是什么数？负数呢？0呢？（总结）（三）组内小展示：1. 请自学例1、然后仿照例1 求下列各数的算术平方根：（1）100； (2) 6449； (3) 0.0001 (4)2)2(- <学习目标>1. 学会算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，学会其非负性。
2. 知道开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
6.1.1算术平方根（一）学习目标1 •理解算术平方根的意义，会用根号表示正数的算术平方根，会求一个非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性。
2. 培养逆向思维能力。
（二）学习重点理解算术平方根的意义（三）学习难点理解算数平方根的意义（四）课前预习1、填空：⑴因为_____ 2=64,所以64的算术平方根是 _______ ，即•. 64二____ ;⑵因为 _____ 2=0.25，所以0.25的算术平方根是_______ ，即..0.25 = _______⑶因为2=49，所以49的算术平方根是，即.49二.36 36 362、0的算术平方根是_________3、J81的算术平方根是_____________4、当x __________ 寸，J2x+1有意义.5、已知正方形的边长为a，面积为b，下列说法中：①b = •. a :②a = b :③b 是a的算术平方根；④a是b的算术平方根.正确的是（）A •①③B •②③C •①④D •②④（五）疑惑摘要：预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨.、算术平方根的定义1. 填表:正方形面积 1 9 16 36 边长4 25表中的问题，实际上是已知一个正数的的问题。
2、算术平方根的定义一般的，如果一个正数等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根记为，读作“”，a叫做规定：0的算术平方根是、算术平方根的性质(、.4)2；( 2)2 =发现: (•.a)2(a >0);典例分析例1、求下列各式的值.(1)..10000 (3) .. -82(4) (5) 148121(6) 18 2例2、已知x, y 满足x-4 +、：y+3 = 0,求(x + y f016的值.课后作业一、选择题1、的算术平方根是（A. 4 B .土 4C . 2D .土 22、 算术平方根等于3的是（）A . .3B . 3C . 9D . .. 93、 下列说话正确的是（ ）A 、（一 l ）?是1的算术平方根；B — 1是1的算术平方根C 、（— 2） 2的算术平方根是—2;D —个数的算术平方根等于它本身，这个数是 0 4、 对于,a ，下列说法不正确的是（ ）二、填空题5、 3的算术平方根是 ；（-2）2的算术平方根是：3■- 9 表示 ,-9 =:. 1；= ____ ； 、（一0.2）2 = ___6、 ⑴J —x —J2x —1有意义，则x 的范围 __________________f '（2）要使注匕有意义，则x 的范围为 _______________x_2 7、（1） 一个数的算术平方根是5,这个数是 _______________（2）算术平方根等于它本身的数有 _____________ .8、后1 + 2的最小值是 ____________ ,此时a 的取值是 ___________ 三、解答题 9.若 ”-10. x y-25 =0, 求x • y _ xy 的值。
章节：课题：11.1平方根(1) 班级：_______ 姓名：______学习目标1、了解平方根的概念。
并能用符合表示，会求一个非负数的平方根。
2、 了解乘方与开方是互逆运算。
重点：平方根的概念难点：求一个非负数的平方根学习过程：一、 填空132=_____ 152=_____ 172=_____ 182=_____ ( -25)2=_____ （ ）2=4 （ ）2=16 （ ）2=144 （ ）2=3649预习书本40-41页1. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的 ．即：如果2x =a ，那么x 叫做2 .求一个数的平方根的运算，叫做3. 如果一个数的平方等于9，这个数是 ；若2542=x ，则x= 4、±3的平方等于 ，9的平方根是 ，平方与开平方互为 运算．5、 正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数6、 求下列各数的平方根.（1） 100 （2）169 （3） 0.257、 求下列各式的值 ；（1）144， （2）－81.0， （3）196121±8、 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有 ，而它的算术平方根只有 ；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的 ，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
9、 已知一个正数x 的两个平方根是a+1和a-3，则a= ，x=二、展示探究例1、 求下列各数的平方根225 6101 144121 3619例2、 求下列各式的值169 0049.0- 8164±例3、下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，()24-，－（－2.5）巩固练习：1、求下列各数的平方根3649 161-2、计算 ±625 —16 )5(-² 5²例4、求下列各式中的x 的值(1) 252x －1=0； (2) 215+2x = 217巩固练习：书本42第2，3题例5、已知2a-1的平方根是+3， 4是3a+b-1的算术平方根，求a+2b 的值三、课堂小结(1)、一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(2)、求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算表示(3)、正数x的算术平方根可用x表示，正数a的负平方根可用a(4)、正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
目录序号章节起始页码1 学习目标 22 16.1二次根式 53 16.2二次根式的乘除154 16.3二次根是的加减295 17.1勾股定理376 17.2勾股定理的逆定理537 18.1平行四边形638 18.2特殊的平行四边形899 19.1函数11510 19.2一次函数14311 19.3课题学习选择方案18612 20.1数据的集中趋势19513 20.2数据的波动程度222 备注学习目标第十六章二次根式备注1、了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算第十七章勾股定理备注2、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
第十八章平行四边形备注3、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
4、探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5、了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
6、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形具有矩形和菱形的一切性质7、探索并证明三角形的中位线定理。
学习目标第十九章一次函数备注8、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
9、结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
10、能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析11、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
12、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系13、结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论14、结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式15、会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
新湘教版八年级数学上册导学案：3.1《平方根(2)》学习目标1、理解无理数的概念。
2、会区别无理数和有理数。
学习重点：理解无理数的概念。
学习难点：会区别无理数和有理数。
学习过程【学生活动】探究:如何作出面积是8 2cm 正方形？1、无理数的概念【学生活动】回答下面问题。
面积为8 2cm 的正方形，它的边长是多少呢？是整数吗？你能给无理数一个定义吗？【同步练习】1. 面积为102m 的正方形的边长是（ ） （A ）整数 （B ）分数 （C ）有理数 （D ）无理数2. 若24a =，则a 有理数；若25a =，则a 无理数（填“是”或“不是”）2、有理数和无理数的概念及辨别讨论：有理数的范围是哪些？无理数以哪些形式表现？【同步练习】1.下列说法正确的有（ ） （A ）无限小数一定是无理数 （B ）无理数一定是无限小数（C ）带根号的数一定是无理数 （D ）不带根号的数一定是有理数2. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ .25,3.14,3,1.732,0.3,18,,0.585885888......36π----小结1.无理数是 小数，2. 统称为有理数。
【方法归纳】1.注意无理数的几种表现形式。
2.特别是不要把无限小数当做是无理数。
课堂练习一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）（A ）有理数都是有限小数 （B ）2π-是无理数 （C ）不循环小数是无理数 （D ）有理数是整数，无理数是分数2. 面积为3的正方形的边长的整数部分是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 下列说法错误的是( )A ．无理数没有平方根；B ．一个正数有两个平方根；C ．0的平方根是0；D ．任何一个分数都是有理数，因为将分数化为小数后要么是有限小数，要么是无限小数如227一定为有理数． 4. -53、-2、3、-2π四个数中,最大的数是( )A.-53B.-2C.3D.-2π二、填空题 1. 2-3的相反数是 ；绝对值是2. 化简(1)52- = ； (2)π-3= .3. 大于-17而11的所有整数的和4. 数轴上表示1，2的对应点分别是A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则C 点所表示的数为 .10a 和b 之间，10a b <<，那么a 、b 的值分别是三、解答题1．已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值．2. 将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列：6.1,0,2,5,22-- π3. 已知正数a 和b ，有下列命题： （1）2=+b a ，1≤ab ；（2）3=+b a ，23≤ab ；（3）6=+b a ，3≤ab ； 根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，≤ab .布置作业：。
