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第三章电路的暂态分析1培训资料电路的暂态分析是电路理论中的重要内容，它研究电路在初始状态或在切换瞬间的瞬态响应。
在本章中，我们将介绍电路暂态分析的基本概念、方法和应用。
一、电路暂态分析的基本概念电路暂态分析是指在电路切换瞬间或在初始状态下，电路中各元件的电流、电压和功率的瞬态变化情况。
电路暂态分析是电路理论中的基础知识，它对于理解电路的动态行为和瞬态响应具有重要意义。
二、电路暂态分析的方法1. 瞬态响应方程瞬态响应方程是描述电路在切换瞬间或初始状态下的电流、电压和功率变化的数学方程。
通过求解瞬态响应方程，可以得到电路在瞬态过程中的电流、电压和功率的变化规律。
2. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解电路暂态响应的一种常用方法。
通过将电路中的元件和信号用拉普拉斯变量表示，可以将电路暂态分析转化为求解代数方程的问题，从而得到电路的瞬态响应。
3. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机仿真来求解电路暂态响应的一种方法。
通过建立电路的数学模型，并利用数值计算方法进行仿真计算，可以得到电路在瞬态过程中的电流、电压和功率的变化情况。
三、电路暂态分析的应用1. 电路开关过程的分析在电路中，开关的切换过程会引起电路中电流、电压和功率的瞬态变化。
通过电路暂态分析，可以研究开关过程中电路的动态行为，为电路设计和故障诊断提供依据。
2. 电源启动过程的分析电源启动过程是指电源从初始状态到正常工作状态的过程。
在电源启动过程中，电路中的电流、电压和功率会发生瞬态变化。
通过电路暂态分析，可以研究电源启动过程中电路的瞬态响应，为电源设计和调试提供参考。
3. 电路故障诊断在电路中，故障会引起电路中的电流、电压和功率的异常变化。
通过电路暂态分析，可以分析故障引起的瞬态响应，从而判断故障的位置和原因，为电路的修复和维护提供指导。
总结：电路暂态分析是电路理论中的重要内容，它研究电路在初始状态或在切换瞬间的瞬态响应。
电路暂态分析的方法包括瞬态响应方程、拉普拉斯变换法和数值模拟方法。
第3章电路的暂态分析3.1 电阻元件、电感元件、电容元件3.2 储能元件和换路定则3.3 RC电路的响应3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法3.5 微分电路和积分电路3.6 RL电路的响应1. 了解电阻元件、电感元件与电容元件的特征;2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义;3. 掌握换路定则及初始值的求法;4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
第3章 电路的暂态分析：本章要求第3章电路的暂态分析稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
研究暂态过程的实际意义1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
2. 控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。
3.1.1 电阻元件描述消耗电能的性质iRu =根据欧姆定律:即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系线性电阻S lR ρ= 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关，表达式为：表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
d d 0≥==⎰⎰t Ri t ui W t2t电阻的能量Riu +_3.1 电阻元件、电感元件与电容元件描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。
1.物理意义iNΦi ψL ==电感:( H)线性电感: L 为常数;非线性电感: L 不为常数3.1.2 电感元件电流通过N 匝线圈产生(磁链)NΦψ=电流通过一匝线圈产生(磁通)Φui Φ+-2.自感电动势：tiL t ψe L d d d d -=-=3.电感元件储能221LiW =tiLe u L d d =-=根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上 i ，并积分，则得：20021d d Li i Li t ui ti==⎰⎰即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。
磁场能3.1.3 电容元件描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。
电容：uqC =)(F uiC+_电容元件t u Ci d d dt dq == 当电压u 变化时，在电路中产生电流:电容元件储能将上式两边同乘上 u ，并积分，则得：2021d d Cuu Cu t ui tu==⎰⎰即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。
221CuW 电场能电容元件储能本节所讲的均为线性元件，即R 、L 、C 都是常数。
3.2 储能元件和换路定则1.电路中产生暂态过程的原因电流 i 随电压 u 比例变化。
合S 后： 所以电阻电路不存在暂态暂态过程 (R 耗能元件)。
图(a)： 合S 前：00321====R R R u u u i例：tIO(a)S +-UR 3R 2u 2+-R 1i3.2 储能元件和换路定则图(b)合S 后： 由零逐渐增加到UC u 所以电容电路存在暂态过程(C 储能元件),0=C i 0=C u 合S 前:U暂态稳态otCu u C +–C i C (b)U+–SR产生暂态过程的必要条件：∵ L 储能：221LL Li W =换路: 电路状态的改变。
如： 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变不能突变C u ∴不能突变L i ∴∵ C 储能：221C C Cu W =产生暂态过程的原因：由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变若c u 发生突变，∞⇒=dtdu i CC 不可能！一般电路则(1) 电路中含有储能元件 (内因)(2) 电路发生换路 (外因)电容电路：)0()0(-+=C C u u 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 u C 、 i L 初始值。
设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t =0-— 表示换路前的终了瞬间t =0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）2.换路定则电感电路：)0()0(-+=L L ιι3.初始值的确定初始值：电路中各u、i在t =0+时的数值。
求解要点：(1)u C( 0+)、i L ( 0+) 的求法。
1) 先由t =0-的电路求出u C (0–)、i L (0–)；2) 根据换路定律求出u C( 0+)、i L ( 0+) 。
(2)其它电量初始值的求法。
1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值；2) 在t =0+时的电压方程中u C = u C( 0+)、t =0+时的电流方程中i L = i L ( 0+)。
暂态过程初始值的确定例1．解：(1)由换路前电路求)0(),0(--L C i u 由已知条件知0000==--)(,)(L C i u 根据换路定则得：0)0()0(==-+C C u u 0)0()0(==-+L L ιι 已知：换路前电路处稳态，C 、L 均未储能。
试求：电路中各电压和电流的初始值。
C R 2S(a)U R 1t =0+-L暂态过程初始值的确定例1:00=-)(C u , 换路瞬间，电容元件可视为短路。
00=-)(L ι , 换路瞬间，电感元件可视为开路。
1100R U)()(C ==++ιι )0)0((=-C ι 0)0(2=+u Uu u L ==++)0()0(1)0)0((=-L u i C 、u L 产生突变(2) 由t =0+电路，求其余各电流、电压的初始值C R 2S(a)U R 1t =0+-L i L (0+ )U i C (0+ )u C (0+)u L (0+)_u 2(0+)u 1(0+)i 1(0+ )R 2R 1+++__+-(b) t = 0+等效电路例2：试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解：(1) 由t = 0-电路求 u C (0–)、i L (0–) 换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路； 电感元件视为短路。
由t = 0-电路可求得：A144442444)0(3131311=+⨯+⨯+=++⨯+=-UR R R R R U R R R i L 2Ω+_RR 2R 1U 8Vt =0++4Ωi 14Ωi C_u C _u L i L R 34Ω4Ω2Ω+_R R 2R 1U 8V++4Ωi 14Ωi C_u C _u L i L R 3L C t = 0 -等效电路例2：V414)0()0(3=⨯==--L C i R u 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解：A1)0()1(=-L i 由换路定则：V4)0()0(==-+C C u u A 1)0()0(==-+L L i i 2Ω+_RR 2R 1U 8Vt =0++4Ωi 14Ωi C_u C_u Li L R 34Ω4Ω2Ω+_R R 2R 1U 8V++4Ωi 14Ωi C_u C _u L i L R 3L C t = 0 -等效电路例2：换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解：(2) 由t = 0+电路求 i C (0+)、u L (0+)由图可列出)0()0()0(2+++++=C C u i R i R U )0()0()0(++++=L C i i i 带入数据4)0(4)0(28++=++C i i 1)0()0(+=++C i i t = 0+时等效电路4V 1A4Ω2Ω+_R R 2R 1U 8V+4Ωi C _i L R 3i i L (0+)u c (0+)2Ω+_RR 2R 1U8Vt =0++4Ωi 14Ωi C _u C _u L i L R 34Ω例2：换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解：解之得 A31)0(=+C i 并可求出)0()0()0()0(32++++-+=L C C L i R u i R u V311144314=⨯-+⨯=2Ω+_R R 2R 1U8V t =0++4Ωi 14Ωi C _u C _u L i L R 34Ωt = 0+时等效电路4V 1A 4Ω2Ω+_RR 2R 1U 8V +4Ωi C _i L R 3i计算结果：电量A /L i A /C i V /C u V/L u +=0t -=0t 4113104311换路瞬间，L C i u 、不能跃变，但可以跃变。
L C u i 、2Ω+_R R 2R 1U 8Vt =0++4Ωi 14Ωi C_u C _u L i L R 34Ω结论1.换路瞬间，u C、i L不能跃变, 但其它电量均可以跃变。
2.换路前, 若储能元件没有储能, 换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。
3.换路前, 若u C(0-)≠0, 换路瞬间(t=0+等效电路中), 电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为u c(0+);换路前, 若i L(0-)≠0 , 在t=0+等效电路中, 电感元件可用一理想电流源替代，其电流为i L(0+)。
3.3 RC 电路的响应一阶电路暂态过程的求解方法1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。
2. 三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。
一阶电路求解方法代入上式得0d d =+C Cu tu RC tu C CC d d =ι R u R ι =换路前电路已处稳态 Uu C =-)0(t =0时开关, 电容C 经电阻R 放电1S →一阶线性常系数齐次微分方程(1) 列 KVL 方程0=+C R u u 1.电容电压 u C 的变化规律(t ≥ 0) 零输入响应: 无电源激励, 输入信号为零, 仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。
图示电路实质：RC 电路的放电过程3.3.1 RC 电路的零输入响应U u C =-)0(+-SRU 21+ –C i Cu 0=t R u +–cRC p 1-=∴(2) 解方程：0d d =+C C u t u RC 01=+RCp 特征方程RCt A u C -=e 由初始值确定积分常数 A可得时，，根据换路定则 , )0()0(U u t C ==++UA =RC t U u C -=e齐次微分方程的通解： 电容电压 u C 从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC 决定。
)0( e≥=-+t C u τt (3) 电容电压 u C 的变化规律pt A u C e :=通解电阻电压：RC t eU R i u C R --==RC tRU tu Ci CC --==ed d 放电电流RCt U u C-=e 电容电压Cu Ci Ru 2.电流及电阻电压的变化规律tO3. 、 、 变化曲线C i C u R u4.时间常数(2) 物理意义RC =τ令:单位: s(1) 量纲s VA Ωs=⋅UU u C 008.36e 1==-τ=t 当时RCt Ut u C -=e )(时间常数 τ 决定电路暂态过程变化的快慢08.36∴τ时间常数等于电压C u 衰减到初始值U 0 的所需的时间。
