材力5-1

1材料力学公式汇总一、应力与强度条件1、拉压[]σσ≤=maxmax AN 2、剪切[]ττ≤=A Qmax 挤压[]挤压挤压挤压σσ≤=AP 3、圆轴扭转[]ττ≤=WtTmax 4、平面弯曲①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I Mz t max c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤5、斜弯曲[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M 6、拉（压）弯组合[]σσ≤+=maxmax zW M A N []t max t z max t σσ≤+=y I M A N z[]c max c zzmax c σσ≤-=AN y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr34W M M ②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M ③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max二、变形及刚度条件１、拉压∑⎰===∆LEAx x N EAL N EANLL d )(ii ２、扭转()⎰=∑==Φppi i p GI dxx T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy =Cx x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θDCx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…，()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θEI PL B 22=θEI qL B 63=θEIML f B 22=EI PL f B 33=EIqL f B 84=EI ML B 3=θ,EI MLA 6=θEIPL AB 162==θθEIqL AB 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqL f c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EI dxx M 22(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆i i P U ()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i三、应力状态与强度理论１、二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx y x --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为45PAB MAB A BqL LLLL４、三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=)(y x z E σσμε+-=Gxyxy τγ=（2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-=)(12x y y E μεεμσ+-=0=z σxyxy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,,Gxyxy τγ=()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤[]bbn σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤[]s sn σσ=8、平面应力状态下的应变分析（1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xy y x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆p λλ≥()2min 2cr L EI P μπ=22cr λπσE=②中长受压杆s p λλλ≥≥λσb a -=cr ③短粗受压杆sλλ≤“cr σ”=s σ或b σ2、关于柔度的几个公式iLμλ=p2p σπλE =ba s s σλ-=3、惯性半径公式AI i z =（圆截面4di z =，矩形截面12min b i =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程UV T ∆=∆+∆冲击系数std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α⎰==6442d dA y I z π()44164απ-D 123bh 123hb 323max d y I W z z π==()43132απ-D 62bh 62hb 2、惯性矩平移轴公式Aa I I 2zc z +=3截面的几何参数序号公式名称公式符号说明（3.1）截面形心位置AzdA z Ac⎰=，AydA y Ac⎰=Z 为水平方向Y 为竖直方向（3.2）截面形心位置∑∑=ii i c AA z z ，∑∑=iii c AA y y （3.3）面积矩⎰=AZ ydA S ，⎰=Ay zdAS （3.4）面积矩i i z y A S ∑=，i i y z A S ∑=（3.5）截面形心位置AS z y c =，AS y z c =（3.6）面积矩c y Az S =，c z Ay S =（3.7）轴惯性矩dA y I Az ⎰=2，dAz I Ay ⎰=2（3.8）极惯必矩dAI A⎰=2ρρ（3.9）极惯必矩y z I I I +=ρ（3.10）惯性积dAzy I Azy ⎰=（3.11）轴惯性矩A i I z z 2=，A i I y y 2=（3.12）惯性半径（回转半径）AI i zz =，AI i y y =（3.13）面积矩轴惯性矩极惯性矩∑=zi z S S ，∑=yi y S S ∑=zi z I I ，∑=yiy I I惯性积∑=i I I ρρ，∑=zyi zy I I （3.14）平行移轴公式A a I I zc z 2+=A b I I yc y 2+=abAI I zcyc zy +=4应力和应变序号公式名称公式符号说明（4.1）轴心拉压杆横截面上的应力A N =σ（4.2）危险截面上危险点上的应力AN =max σ（4.3a ）轴心拉压杆的纵向线应变ll ∆=ε（4.3b ）轴心拉压杆的纵向绝对应变ll l l .1ε=-=∆（4.4a ）（4.4ab 虎克定理εσE =Eσε=（4.5）虎克定理EAl N l .=∆（4.6）虎克定理∑∑==∆ii i i i EA l N l l ε（4.7）横向线应变bb b b b -=∆=1'ε（4.8）泊松比（横向变形系数）εεν'=νεε-='（4.9）剪力双生互等定理y x ττ=（4.10）剪切虎克定理γτG =（4.11）实心圆截面扭转轴横截面上的应力ρρρτI T =（4.12）实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力ρτI TR =max （4.13）抗扭截面模量（扭转抵抗矩）R I W T ρ=（4.14）实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力TW T =max τ（4.15）圆截面扭转轴的变形ρϕGI l T .=（4.16）圆截面扭转轴的变形∑∑==ii i i GI l T ρϕϕ（4.17）单位长度的扭转角l ϕθ=，ρθGI T =（4.18）矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力3max b TW T T βτ==T W 是矩形截面T W 的扭转抵抗矩（4.19）矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力max1γττ=（4.20）矩形截面扭转轴单位长度的扭转角4b G TGI T T αθ==T I 是矩形截面的T I 相当极惯性矩（4.21）矩形截面扭转轴全轴的扭转角4..b G l T l αθϕ==γβα,,与截面高宽比b h /有关的参数（4.22）平面弯曲梁上任一点上的线应变ρεy=（4.23）平面弯曲梁上任一点上的线应力ρσEy=（4.24）平面弯曲梁的曲率z EI M =ρ1（4.25）纯弯曲梁横截面上任一点的正应力zI My =σ（4.26）离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力z I y M maxmax .=σ（4.27）抗弯截面模量（截面对弯曲的抵抗矩）max y I W z =（4.28）离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力zW M =max σ（4.29）横力弯曲梁横截面上的剪应力bI VS z z *=τ*zS 被切割面积对中性轴的面积矩。

2015年12《材力学》概念复习题（挑选题）纺织参考题目：．题号为红色，不作为考试内容1．构件的强度、刚度和稳定性 C 。

（A）只与材料的力学性质有关； （B）只与构件的形状尺寸有关； （C）与二者都有关； （D）与二者都无关。

2．轴向拉伸杆，正应力最大的截面和剪应力最大的截面 D 。

（A）分别是横截面、45°斜截面； （B）都是横截面；（C）分别是45°斜截面、横截面； （D）都是45°斜截面。

3．某轴的轴力沿杆轴是变化的，则在发生破坏的截面上 D 。

（A）外力一定最大，且面积一定最小； （B）轴力一定最大，且面积一定最小； （C）轴力不一定最大，但面积一定最小；（D）轴力和面积之比一定最大。

5．下图为木榫接头，左右两部形状相同，在力P 作用下，接头的剪切面积为 C 。

（A）ab； （B）cb； （C）lb； （D）lc。

6．上图中，接头的挤压面积为 B 。

（A）ab； （B）cb； （C）lb； （D）lc。

7．下图圆轴截面C 左右两侧的扭矩M c-和M c+的 C 。

（A）大小相等，正负号相同； （B）大小不等，正负号相同； （C）大小相等，正负号不同； （D）大小不等，正负号不同。

8．下图等直径圆轴，若截面B、A 的相对扭转角φAB =0，则外力偶M 1和M 2的关系为 B 。

（A）M 1=M 2； （B）M 1=2M 2； （C）2M 1=M 2； （D）M 1=3M 2。

PLPabc LM2A CB 知识归纳整理分析：A 点固定不动，则ΦAB=ΦAC, ；）（prad GI TL =ϕIp 、G 相等，TL 也要相等。

9．中性轴是梁的 C 的交线。

（A）纵向对称面与横截面； （B）纵向对称面与中性层； （C）横截面与中性层； （D）横截面与顶面或底面。

10．矩形截面梁，若截面高度和宽度都增加1倍，则其弯曲强度将提高到原来的 C 倍。

（A）2； （B）4； （C）8； （D）16。

第二章 拉伸、压缩与剪切一 填空题（共5道小题）1、 铸铁压缩试件，破坏是在 截面发生剪切错动，是由于 引起的。

2、 a 、b 、c 三种材料的应力－应变曲线如图2－1所示。

其中强度最高的材料是 ，弹性模 量最小的材料是 ，塑性最好的材料是 。

3、 图2－2结构中杆1和杆2的截面面积和拉压许用应力均相同，设载荷P 在刚性梁AD上移动。

结构的许可荷载[P ]是根据P 作用在 点处确定的。

4、 五根抗拉刚度EA 相同的直杆铰接成图所2－3边长为a 的正方形结构，A 、B 两处受力P 作用。

若各杆均为小变形，则A 、B 两点的相对位移∆AB ＝ 。

5、 图2－4所示结构中。

若1、2两杆的EA 相同，则节点A 的竖向位移∆Ay ＝ ，水平位移为∆Ax ＝ ，CAP图2－3ε图2－1图2－2二 选择题（共9道小题）1、图2－5所示木接头，水平杆与斜杆成α角，其挤压面积为A bs 为：（ ） （A ）bh ； （B ）bh tg α ； （C ）bh/cos α ； （D ）bh/（cos α sin α）。

2、图2－6所示铆钉联接，铆钉的挤压应力为：（ ）（A ）2P/(πd 2)； （B ）P/(2dt )； （C ）P/(2bt )； （D ）4P/(πd 2)。

3、图2－7所示杆（Ⅰ和Ⅱ）连接木头，承受轴向拉力作用，下面说法错误的是：（ ） （A ）1－1截面偏心受拉； （B ）2－2截面为受剪面； （C ）3－3截面为挤压面； （D ）4－4截面为挤压面。

4、由同一种材料组成的变截面杆的横截面积分别为2A 和A ，受力如图2－8所示，E 为常数，下面结论正确的是：（ ）（A ）D 截面位移为0； （B ）D 截面位移为Pl/(2EA )； （C ）C 截面位移为Pl/(2EA )； （D ）D 截面位移为Pl/(EA )。

tt图2－6图2－5图2－45、图2－9所示直杆，杆长为3a ，材料的抗拉刚度为EA ，受力如图。

失效原因：脆性材料在其强度极限bσ破坏，塑性材料在其屈服极限sσ时失效。

二者统称为极限应力理想情形。

塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：[]3n sσσ=，[]bb n σσ=，强度条件：[]σσ≤⎪⎭⎫⎝⎛=maxmax A N ，等截面杆[]σ≤AN m a x轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：ll l-=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：ll ∆=ε，AN =σ。

横向应变为：bb b bb -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即εσE =，这就是胡克定律。

E 为弹性模量。

将应力与应变的表达式带入得：EANl l =∆圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力：tpW T R I T ==maxτ；圆轴扭转的强度条件： ][maxττ≤=tW T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。

圆轴扭转时的变形：；等直杆：pGITl =ϕ圆轴扭转时的刚度条件：∏⨯=='180pGIT dxd ϕϕ，][max maxϕϕ'≤='pGIT弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)()(x q dxx dQ =；()()x Q dxx dM =；()()()x q dxx dQ dxx M d ==22Q 、M 图与外力间的关系a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

c ）在梁的某一截面。

()()0==x Q dxx dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。

d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。

梁的正应力和剪应力强度条件[]σσ≤=WMmaxmax，[]ττ≤max提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩maxM，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状塑性材料：[][]c t σσ=，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。

木材的力学性能参数分析整理木材作为一种常见的建筑材料，其力学性能参数对于工程设计和产品应用十分重要。

本文将对木材的力学性能参数进行分析整理，以帮助读者更好地了解木材的力学特性和应用。

1.弹性模量（E）：弹性模量是描述材料在受力后恢复原状的能力。

对于木材而言，弹性模量可以衡量其在受到拉伸或压缩力时的变形程度。

一般来说，木材的弹性模量随着纤维方向的不同而有所变化。

纵向弹性模量较高，而横向弹性模量较低。

2.抗压强度（Fc）：抗压强度是指木材在受到压力时所能承受的最大力量。

它是衡量木材抗压能力的重要指标。

抗压强度通常比抗拉强度低，且与木材的纤维方向有关。

3.抗拉强度（Ft）：抗拉强度是指木材在受到拉伸力时所能承受的最大力量。

它也是评价木材力学性能的关键参数之一、抗拉强度通常比抗压强度高，并且与木材的纤维方向有关。

4.抗剪强度（Fv）：抗剪强度是指木材在受到剪切力时所能承受的最大力量。

与抗压强度和抗拉强度不同，抗剪强度是以相对较小的截面积来计算的。

抗剪强度与木材纤维方向的垂直性有关。

5.单剪胶合强度（Iv）：单剪胶合强度是指胶合接头在受到单向剪切力时所能承受的最大力量。

对于胶合木材而言，胶合接头的强度对整个结构的稳定性和耐久性具有重要影响。

6.密度（ρ）：密度是指单位体积的木材质量。

它不仅与木材的力学性能有关，还与木材的隔热性能、声学性能和阻燃性能等方面有关。

一般来说，密度较高的木材具有较高的强度。

7.弯曲强度（Fb）：弯曲强度是指木材在受到弯曲力时所能承受的最大力量。

对于梁、桁架等结构，弯曲强度是评价其承载能力的关键指标之一除了上述参数外，还有一些其他的力学性能参数也需要在实际应用中进行考虑，例如冲击强度、抗冲击性、弹性系数等。

此外，木材的性能还受到湿度、温度、木材品种和处理方式等因素的影响。

综上所述，了解木材的力学性能参数对于正确应用木材、合理设计和评估结构的稳定性和可靠性至关重要。

通过分析和整理木材的力学性能参数，可以更好地理解木材的力学特性，选择适合的木材种类和处理方法，确保木材在工程和产品应用中能够发挥最佳效果。