幂指对复习学案(无答案)苏教版必修1

幂函数 学案重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图像，了解他们的变化情况．经典例题：比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1； （2）（－2）32-，（－107）32，1.134-； （3）3.832-，3.952，（－1.8）53； （4）31.4，51.5.当堂练习：1．函数y ＝（x2－2x ）21－的定义域是（ ）A ．{x|x ≠0或x ≠2}B ．（－∞，0）（2，＋∞）C ．（－∞，0）［2，＋∞ ）D ．（0，2）3．函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞ ］D ．（－∞，＋∞） 3．如图，曲线c1, c2分别是函数y ＝xm 和y ＝xn 那么一定有（ ）A ．n<m<0B ．m<n<0C ．m>n>0 4．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C ．幂函数的y x α= 图象不可能在第四象限内D ．若幂函数y x α=为奇函数，则在定义域内是增函数5．下列命题正确的是（ ）幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数6．用“<”或”>”连结下列各式：0.60.32 0.50.32 0.50.34， 0.40.8- 0.40.6-． 7．函数y ＝221m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．8．幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是 ．9．设x ∈(0, 1)，幂函数y ＝ax 的图象在y ＝x 的上方，则a 的取值范围是 ．10．函数y ＝34x -在区间上 是减函数． 11．试比较530.75380.16,1.5,6.25的大小．12．讨论函数y ＝x 54的定义域、值域、奇偶性、单调性。

（幂、指、对函数）一、教学目标（1）进一步离理解掌握幂、指、对函数的图像与性质。

（2）灵活运用性质进行解决有关问题。

二、课前练习1.已知，则1-x2.函数y=ln1+x的奇偶性为2 1 14= . 3已知a 0,b 0 ，化简：4a b( ab)34. 幂函数在是为减函数，则实数的值为5.函数f（x）= log（2x-3）定义域.函数121f(x ) 1( ) 的值域是.x2三、典型例题m例1.已知函数f（x）=1- 是奇函数。

5 +1x（1）求m的值（2）证明f（x）是R上增函数（3）当x-1, 2时，求函数f(x)的值域.（1）求函数f(x) 的定义域；1（2） 记函数 g (x ) 10f (x )3x , 求函数 g (x ) 的值域.例 3.已知函数f (x )log21 ax x1是奇函数，（1）求 a 的值；（2）证明：函数 f (x ) 在区间 (1,)内单调递减；（3）若对于区间[2, 5]上的每一个值，关于 x 的不等式 f (x )| x3| m 恒成立，求实数 m 的取值范围.四、拓展提升M xx，集合22、已知y f(x) 是定义在R上的奇函数，且当x0 时，f(x) 12x，则f(log 8)= .123、给出函数，则五、课堂小结高一上学期期中复习（二）作业（幂、指、对函数）班级___________姓名___________学号___________日期_________得分___________1、若幂函数的图像过点（9，），则的值是2.设，则.3.已知函数是定义在R上的奇函数，且当x<0时，，则函数f(x)的解析式为4.设a>1,函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a= .5.化简 6 1 (1) 2 lg 4 lg 25=4 26.设函数若，则的取值范围是7、要使函数在上f(x) 恒成立，求a的取值范围.8、已知定义在R偶函数f（x）在0，+上是单调增函数，若f（1）< f(ln 1x),求x范围9.已知函数f(x) 2x2x，（1）判断函数的奇偶性；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；（3）若f(x) 52x3，求x的值．10、已知.（1）若f(x)在0,1上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；（2）若f(x)的图像不经过第二象限，求a的取值范围。

第30课时 幂函数（2）【学习目标】1．巩固幂函数的概念和一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征； 2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养． 【课前导学】 【复习回顾】1． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.2．幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）；特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大； 当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.【课堂活动】 一．应用数学：例1 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明．【解】证：设120x x ≤<，则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <Q ，120x x ∴-<， 0>， 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <． ∴此函数在[0,)+∞上是增函数．例2已知,,,abcdy x y x y x y x ====的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．【思路分析】 重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．解：由幂函数的性质，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有c ＞a ＞b ＞d ． 【解后反思】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例3 如果函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，求满足条件的实数m 的集合．【思路分析】 我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在(0,)+∞上是减函数．由幂函数定义：形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．x α的系数只能是１，从而得到211m m --=；又由于该幂函数在(0,)+∞上是减函数，由幂函数的性质可知，0α<，即2230m m --<．由以上两条可求出满足所求的m 的范围．解： 据题意得 211m m --= 且 2230m m --<． 解得 m=2 或 m= -1 （舍去）∴ m=2．【解后反思】要注意最简单的概念和性质的熟练运用． 例4 已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．【思路分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１ 根据函数13y x-=在其定义域内单调减，得312x x ->+．4343x x ⇒<-⇒<-为所求． 错解２ 根据函数13y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数得：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵解得：4x <-为所求．【反思】错解１是函数性质运用错误，函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况． 解：因为13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，0x >时，0y >；0x <时，0y <．原不等式可以化为：312120x xx ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵， 12030x x +>⎧⎨-<⎩…⑶． ⑴无解； ⑵的解为4x <-； ⑶的解是132x -<<． 所以所求的x 的取值范围为1{|43}2x x x <--<<或．【解后反思】本题实质上是解不等式1133(3)(12)x x ---<+，由于不等式的左右两边的幂指数都是13-，因此可借助于幂函数13y x -=的图象性质来求解． 要注意数形结合思想的运用，考虑问题要细致全面． 例5 已知幂函数y ＝x23212++-p p (p ∈Z )，在(0，＋∞)内，y 随x 增大而增大，且在定义域内图象关于y 轴对称．⑴ 求p 值及相应的f (x )；⑵ 对于⑴中所求函数f (x )，设函数()(())(21)()1g x qf f x q f x =-+-+， 问是否存在)0(<q q ，使得g(x)在区间(]4,-∞-上是减函数且在区间（-4 ，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【思路分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．解： ⑴ f (x )在(0，＋∞)内，y 随x 的增大而增大．则－21p 2＋p ＋23＞0，解之－1＜p ＜3，又p ∈Z ，∴p ＝0，1，2；又f (x )图象关于y 轴对称．∴－21p 2＋p ＋23是偶数，∴p ＝1，f (x )＝x 2．⑵ 本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【解后反思】本题需要透彻理解幂函数的一般性质并能灵活运用，要求高于考纲，对提高同学的思维能力有一定的帮助． 二．理解数学：1． ⑴求函数y ＝(x ＋2)－2的定义域．值域．讨论当x 增大时，函数值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y ＝x －2的图象有何关系？ 解⑴{}2x |－且≠∈R x x ；R ＋．当x ＜－2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．⑵将2y x -=的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．2．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域． 解：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋)∞ 【课后提升】 １．函数122(2)y x x -=-的定义域是 (,0)(2,)-∞+∞U ．2．函数122(1)y x =-的值域是 ［0，1］ ． 3．函数25y x =的单调递减区间为 (,0)-∞ ． 4．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是 01a << ．5．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 [3,5]- ． 6．函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是___－1_____．7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 21有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数互为反函数．其中正确的有___①②⑤______． 8．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域．值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．解：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］，且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．。

3．1指数函数3．1.1分数指数幂学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义(重、难点)；2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点)；3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质(重点)．预习教材P59－61，完成下面问题：知识点一n次方根，n次根式一般地，有：(1)n次实数方根定义一般地，如果一个实数x满足x n＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根性质及表示n是奇数正数的n次实数方根是一个正数a的n次实数方根用符号na表示负数的n次实数方根是一个负数n是偶数正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数正数a的正的n次实数方根用符号na表示，正数a的负的n次实数方根用符号－na表示，正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±na(a＞0)的形式负数没有偶次实数方根0的n次实数方根是0，记作n0＝0式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．【预习评价】思考若x2＝3，这样的x有________个；它们叫做3的________，表示为________．提示这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.知识点二根式的性质一般地，有：(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)－a(a＜0)(n为大于1的偶数)．【预习评价】思考我们已经知道，若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2＝________，32＝________，(－3)2＝________.提示把x＝3代入方程x2＝3，有(3)2＝3；32＝9，9代表9的正的平方根即3.(－3)2＝9＝3.知识点三分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．【预习评价】用分数指数幂表示下列各式(式中a＞0)，(1)a 3＝________；(2)13a 5＝________.解析 (1)a 3＝(2)13a 5＝答案知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 【预习评价】思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？提示 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，运算性质也适用．题型一 根式的意义【例1】 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]．规律方法 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．【训练1】 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围． 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1.即a 的取值范围为[1，＋∞)． 题型二 根式的运算 【例2】 求下列各式的值．(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3(－2)3＝－2.(2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4. 因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论．【训练2】化简下列各式．(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a－b)4.解(1)5(－2)5＝－2.(2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－b(a≥b)，b－a(a＜b).题型三根式与分数指数幂的互化【例3】将下列根式化成分数指数幂形式．(1)3a·4a；(2) a a a；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.解(1)3a·4a＝(2)原式＝(3)原式＝(4)原式＝规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．【训练3】用分数指数幂表示下列各式：(1) 3a·6－a(a＜0)；(2) 3ab2(ab)3(a，b＞0)；(3)(b＜0)；(4)13x(5x2)2(x≠0)．解(1)原式＝＝(a＜0)．题型四分数指数幂的运算【例4】(1)计算：(2)化简：解(1)原式＝－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝＝＝a0＝1.规律方法指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．【训练4】计算或化简：(1)－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)解 (1)原式＝＝－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.互动 探究题型五 给值求值问题【探究1】 已知a ＞0，b ＞0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值． 解 方法一 ∵a ＞0，b ＞0，又a b ＝b a ，方法二 因为a b ＝b a ，b ＝9a ， 所以a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ， 所以a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43. 【探究2】 已知＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)解 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方， 得a 2＋a －2＋2＝49， 即a 2＋a －2＝47.(3)＝a ＋a －1＋1＝8.【探究3】 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b的值．解 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a ＞b ＞0，∴a ＞b . ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2 ab a ＋b ＋2 ab ＝6－2 46＋2 4＝210＝15， ∴a －b a ＋b＝15＝55.规律方法 给值求值问题，即带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子．课堂达标1.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________．解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 答案 0或2(a －b )2．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是________． 解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1.答案 2x －13．化简－x 3x 的结果是________． 答案 －－x4．已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 解析 103m －n＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.答案 835．将下列根式化成分数指数幂的形式． (1) (a ＞0)； (2)13x (5x 2)2(x ＞0)；(3)(b ＞0)．解 (1)原式＝(2)原式＝(3)原式＝课堂小结1．掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。

指数、对数、幂函数（1）总 课 题 期中复习总课时 第44课时 分 课 题指数、对数、幂函数（1）分课时第 3 课时教学目标理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质，知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 重点难点指、对数函数的概念、图象和性质及应用课 型复 习 课引入复习1、有理指数幂的意义及其运算性质2、指数函数、对数函数的概念、图象及性质（1,0≠>a a ）x a y =x y a log =图 象1>a10<<a定义域 值 域 过定点 单调性3、幂函数的图象与性质4、课前练习 ⑴、求值： n n an n a )(625lg 20lg 2lg 50lg 5lg -⋅-⋅⑵、已知31=+-a a ，求22-+a a ，33-+a a ，2121-+aa ，2121--aa 的值。

例题剖析例1、⑴、比较大小：2133231)43(,)32(,2,)34(-比较大小：9.0log ,7.0log ,7.0log 2.032比较大小：9.0log ,1.2,3.0log ,32312.031 ⑵、函数)1,0(312≠>-=-a a ay x 的图象必经过定点_________；函数)1,0(3)12(log ≠>--=a a x y a 的图象必经过定点_________；函数)21(312≠-=-a x y a 的图象必经过定点_________；⑶、若指数函数xa y )12(-=在R 上是单调增函数，则a 的取值范围是________若对数函数x y a )12(log +=在),0(+∞上是单调减函数，则a 的取值范围是_____若幂函数12+=a xy 在定义域上是单调减函数，则a 的取值范围是_____例2、求函数的定义域 ⑴、118-=x y⑵、xy )31(1-=⑶、521log 2--=x x y⑷、4321)3()1(--+-=x x y例3、求函数的值域 ⑴、1216-=x y⑵、1762)21(+-=x x y⑶、)8(log 25+-=x y例4、已知函数)(322Z n x y n n ∈=--的图象与两坐标轴均无交点，且其图象关于y 轴对称。

3．3 幂函数1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，12y x =的图象．2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质． 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．1．幂函数一般地，我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数．幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y ＝x 2的定义域为R ，而函数y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x α的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．【做一做1】下列函数是幂函数的有________．①y ＝x 2②y ＝1x③y ＝x 3＋x④y ＝2x⑤y ＝x －3答案：①②⑤2．幂函数的图象与性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做2－1】1412a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1613b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1815c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是__________．答案：a ＜b ＜c【做一做2－2】函数35y x =的奇偶性是__________，单调性是__________． 答案：奇函数 在R 上单调递增【做一做2－3】函数y ＝x －2的值域为__________． 答案：(0，＋∞)当n 取不同的有理数时，幂函数y ＝x n的图象及性质． 剖析：我们只研究n 是有理数的情况，规定n ＝p q是既约分数： y ＝x n 奇函数(p 奇q 奇) 偶函数(p 偶q 奇) 非奇非偶函数(q 偶)n ＞10＜n ＜1n ＜0(2)当n ∈N *时，定义域为R ； 当n ＝0时，定义域为{x |x ≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x |x ≠0}；当n ＝pq(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为R ，当n ＝－p q(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为{x |x ≠0}．(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n ＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n ＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y ＝1；当n ＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x 轴无限靠近，是减函数．③在直线x ＝1的右侧，指数n 越大图象位置越高．题型一 幂函数的性质【例1】当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，求实数m 的值．分析：幂函数的一般形式为y ＝x α，说明其系数为1，由此确定m 值．解：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2.反思：对于幂函数y ＝x α来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．解：因为函数y ＝1.2x在R 上单调递增，所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.因为函数y ＝x 1.2在(0，＋∞)上单调递增，所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用． 题型二 幂函数的图象及其应用【例3】画函数y ＝1＋3－x 的草图，并求出其单调区间．分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图．一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便．解：y ＝1＋3－x ＝－x －3＋1. 此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y ＝x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y ＝－x 的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y ＝1＋3－x 的图象(如下图所示)．从图象知y ＝1＋3－x 的单调递减区间为(－∞，3]．反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x 为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了．【例4】已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有(1)f (x )＞g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )＜g (x )?解：设f (x )＝x a，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，将点(2，2)代入f (x )＝x a 中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，即f (x )＝x 2；设g (x )＝x b ，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，将点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14代入g (x )＝x b中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g (x )＝x －2. 在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象如图所示． 由图象可知：(1)当x ＞1，或x ＜－1时，f (x )＞g (x )；(2)当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．反思：幂函数的一般形式是y ＝x α(α为常数)，要求幂函数的解析式只要解出α即可．1函数23y x =图象的大致形状是__________．答案：④2已知函数f (x )＝(a －1)·xa 2＋a －1， 当a ＝________时，f (x )为正比例函数； 当a ＝________时，f (x )为反比例函数； 当a ＝________时，f (x )为二次函数； 当a ＝________时，f (x )为幂函数．解析：当f (x )为正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝1，a －1≠0，即a ＝－2；当f (x )为反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝－1，a －1≠0，即a ＝0或a ＝－1；当f (x )为二次函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝2，a －1≠0，即a ＝－1±132；当f (x )为幂函数时，a －1＝1，即a ＝2.答案：－2 0或－1 －1±13223设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为__________．答案：1,34比较下列各组中两个值的大小：(1)351.5和351.6；(2)0.18－0.3和0.15－0.3.解：(1)因为函数35y x =在R 上单调递增， 又1.5＜1.6，所以351.5＜351.6.(2)因为函数y ＝x －0.3在(0，＋∞)上单调递减， 又0.18＞0.15，所以0.18－0.3＜0.15－0.3.5求出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小．解：f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，它是由g (x )＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的．∵g (x )的单调增区间是(－∞，0)，单调减区间是(0，＋∞)，∴f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调增区间是(－∞，－2)，单调减区间是(－2，＋∞)，f (x )的图象关于直线x ＝－2对称．∵－π∈(－∞，－2)，－22∈(－2，＋∞)，且－2－(－π)＜－22－(－2)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＜f (－π)．。

幂函数函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．一、分类讨论的思想例1已知函数223n ny x--=()n∈Z的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y轴无公共点，故2230n n--≤，又图象关于y轴对称，则223n n--为偶数，由2230n n--≤，得13n-≤≤，又因为n∈Z，所以0123n=±，，，．当0n=时，2233n n--=-不是偶数；当1n=时，2234n n--=-为偶数；当1n=-时，2230n n--=为偶数；当2n=时，2233n n--=-不是偶数；当3n=时，2230n n--=为偶数；所以n为1-，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)y x x=≠或4y x-=，其图象如图１所示．二、数形结合的思想例2已知点(22)，在幂函数()f x的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x的图象上．问当x为何值时有：（１）()()f xg x>；（２）()()f xg x=；（３）()()f xg x<．分析：由幂函数的定义，先求出()f x与()g x的解析式，再利用图象判断即可．解：设()mf x x=，则由题意，得2(2)m=，∴2m=，即2()f x x=．再令()ng x x=，则由题意，得1(2)4n=-，∴2n=-，即2()(0)g x x x-=≠．在同一坐标系中作出()f x与()g x的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x>或1x<-时，()()f xg x>；（2）当1x=±时，()()f xg x=；（3）当11x-<<且0x≠时，()()f xg x<．小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x的隐含条件0x≠．三、转化的数学思想例3 函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞ Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--- 解析：要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<．解得1m >． 故选（Ｂ）幂函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．类型一：求参数的取值范围 例1 已知函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．分析：函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335m m mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1． 当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数． 故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础． 类型二：求解存在性问题例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．解：∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+． 假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，设12x x <，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <，∴2212()32q x x q +<.．从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4--，∞上是减函数，且在(40)-，上是增函数．评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况 例3 讨论函数2221()k k y k k x--=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论． 解：（1）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（2）当2210k k --=时，1k =1k =（3）220210k k k k ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩，，即012k <<+时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小；（4）当220210k k k k ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩，，即1k <-或12k >+时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（5）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨--<⎪⎩，，即120k -<<时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（6）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨-->⎪⎩，，，即112k -<<-时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小．评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉． 幂函数习题幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用． 例1 若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．错解（数形结合）：由图１可知10320132m m m m +≠⎧⎪-≠⎨⎪+>-⎩，，，解得 23m >，且32m ≠． 剖析：函数1(0)y x x -=≠虽然在区间(0)-，∞和(0)+，∞上分别具有单调性，但在区间(0)(0)-+U ，，∞∞上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．正解（分类讨论）：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U ，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何．例2 若33(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 错解（分类讨论）：由图2知，（1）10320321m m m m +>⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，1， 解得213m -<<；（2）10320321m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪->+⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得 1m <-．综上可得 2(1)13m ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭U ，，∞．剖析：很明显，此解法机械地模仿例１的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．正解（利用单调性）：由于函数3y x =在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m +<-，解得23m <． 例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对12α=和4α=两个问题与解法进行探究．例3若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4 若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解析：作出幂函数4y x =的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+U ，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x =．于是有44(1)(32)m m +<-，即44132m m +<-．又∵幂函数4y x =在(0)+，∞上单调递增，∴132m m +<-， 解得23m <，或m ＞4． 上述解法意识到幂函数(0)y x αα=>在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如[()][()]f x g x αα<（α是常数）型的不等式的解法有了以下体会： （1）当11135α=---L ，，，，解法同例1 （2）当1113535α=L ，，，，，，解法同例2（3）当111246α=±±±L ，，，，，解法同例3 （4）当246α=±±±L ，，，，解法同例4．编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试．。

第二十八课时 幂函数（2）【学习导航】知识网络学习要求1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．自学评价1．幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过 ．2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 对称．【精典范例】例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x -=（5）12y x -=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）2223332.5,( 1.4),(3)--（2）3338420.16,0.5,6.25-- （3）11121333322253(),(),(),3,()3532-- 分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．（2）观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小．点评: 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例3：已知,,,a b c d y x y x y x y x ====的图象如图所示：则a ，b ，c ，d 的大小关系是：分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺．即0(1)n n >≠追踪训练一1. 图中曲线是幂函数y x α=在第一相限的图象，已知α取12±，2± 四个值，则相应与曲线1C 、2C 、3C 、4C 的α值依次为（ ）()A 2-，12-，12，2 ()B 2，12，12-，2- ()C 12-，2-，2，12()D 2，12，2-，12- 2.给出下列四个函数：13(1)y x =；13(2)y x -=；1(3)y x -=；23(4)y x =，其中定义域和值域相同的是 （写出所有满足条件的函数的序号）3. 比较下列几组数大小（1）131.5，131.7，1；（2）23(-，2310()7-，431.1-．【选修延伸】一、幂函数性质的运用例4: 已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围． 分析：数形给合思想的运用．由于不等式的左右两边的幂指数都是13-，因此可借助于幂函数13y x -=的图象性质来求解．点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．二、幂函数图象的性质特征例5：已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．【思维点拔：（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；（2）根据幂函数的图象，判断指数的大小，或根据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；（3）判断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式．追踪训练二1．设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是 （ ）A ．a b a a <B ．a b b b <C ．a a a b <D ．b b b a <2．函数221m m y x --=在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是 ．3．求函数215524(32)y x x x =++≥-的值域．听课随笔听课随笔。

第13课时幂函数(1)教学过程一、问题情境经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:价格/元0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9需求量/t 139.6135.4131.6128.2125.1122.2119.5根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=114.82x-0.38.这个关系式与函数y=x-0.38是相关联的.那么,函数y=x-0.38是指数函数吗?二、数学建构(一)生成概念一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (二)理解概念问题1幂函数有什么性质?解一般地,幂函数y=xα有下列性质:(1)幂函数的图象都过点(1, 1);(2)当α>0时,幂函数在[0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减;(3)当α=-2, 2时,幂函数是偶函数;当α=-1, 1, 3,时,幂函数是奇函数;(4)任何幂函数的图象都不过第四象限;(5)当α>0时,幂函数的图象过点(0, 0),(1, 1).问题2幂函数的图象在第一象限内有何分布规律?[1]解(1)当α>0时,在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限延伸,α越大,图象上升得越快;(2)当α<0时,在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;过点(1, 1)后,|α|越大,图象下落的速度越快;(3)幂指数的分母为偶数时,图象只在第一象限内;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、二象限内且关于y轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、三象限内且关于原点对称.三、数学运用【例1】(教材P88例1)写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性:(1)y=x3;(2)y=;(3)y=x-2.(见学生用书课堂本P57)[处理建议]引导学生将负指数幂转化为分式形式,将分数指数幂转化为根式的形式.[规范板书]解(1)函数y=x3的定义域是R,它是奇函数.(2)函数y=可化为y=,其定义域是[0,+∞),它既不是奇函数也不是偶函数.(3)函数y=x-2可化为y=,其定义域是(-∞, 0)∪(0,+∞),它是偶函数.[题后反思]①研究y=(p,q为互质的整数)的定义域,一般将它改写为根式后,再求出它的定义域.②如何确定幂函数的奇偶性?若指数为整数,可直接判断;若为分数,先把它改写为根式,一看定义域,二看f(-x)与f(x)的关系.变式写出函数y=的定义域,并指出它的奇偶性.[规范板书]解y=可化为y=,其定义域为R.由于f(-x)===f(x),所以函数y=是偶函数.【例2】比较下列各组数的大小:(1),;(2),,;(3),,;(4) 0.80.5, 0.90.4.(见学生用书课堂本P58)[处理建议]利用幂函数的单调性比较两数的大小.[规范板书]解(1)∵y=是偶函数,=.∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上为单调减函数,而1.2<1.3,∴ 1.<1.,即<.(2)=.∵>0,∴函数y=在[0,+∞)上为单调增函数.∵2.1<4,∴>>0.而<0,∴<<.(3)∵>=1,<=1,<0,∴>>.(4)选择中间数0.90.5.∵幂函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,且0.8<0.9,∴0.80.5<0.90.5.又∵指数函数y=0.9x在(-∞,+∞)上单调递减,且0.5>0.4,∴0.90.5<0.90.4.∴0.80.5<0.90.4.[题后反思]熟练地利用函数的单调性比较两个实数的大小关系.当比较的数多于两个时,一般采用从整体到局部的思维方法:先与0比较,分出正数与负数(如果都是正数,再与1比较;如果都是负数,再与-1比较),最后转化为只有两个数的大小比较问题.重要的是寻求它们与中间数的大小比较,如第(4)题.一般比较大小有四种方法:①作差比较法;②作商比较法;③中间值法;④利用函数的单调性比较大小.变式求下列各式中实数a的取值范围:(1)>;(2)>.[处理建议]已知指数相同的两个幂的大小,可以利用幂函数的单调性来确定底数的大小.[规范板书]解(1)∵>,∴a≥0.又函数y=在[0,+∞)上为单调增函数,∴a>0.5.(2)=.①当2a+4≥0时,由函数y=在[0,+∞)上为单调增函数知2>2a+4≥0,即-2≤a<-1;②当2a+4<0时,由函数y=在(-∞,0]上为单调减函数知-2<2a+4<0,即-3<a<-2.综上所述,a的取值范围是(-3,-1).*【例3】已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,求m的值.[处理建议]通过常见的幂函数的图象和性质进行分析,体会数形结合的思想.[规范板书]解由题意可得m2-2m-2≤0,∴ 1-≤m≤1+.又∵m∈Z,∴m=0, 1, 2.又∵该幂函数的图象与x轴、y轴都无交点,且关于y轴对称,∴该幂函数为偶函数,∴m=0或2.[题后反思]对于常见幂函数的图象,要记清其大致形状,对其性质要清晰.变式已知幂函数y=x m-6(m∈Z)和y=x2-m(m∈Z)的图象都与x轴、y轴无交点,且函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,求实数m的值.[规范板书]解因为已知两个幂函数的图象都与x轴、y轴无交点,所以解得2<m<6.又因为函数y=x2-m(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以2-m为偶数,即得m=4.四、课堂练习1.写出下列函数的定义域,并分别指出它们的奇偶性和单调性:(1)y=x4;(2)y=;(3)y=x-3;(4)y=;(5)y=.解(1)定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.(2)定义域为[0,+∞),该函数为非奇非偶函数,在[0,+∞)上单调递增.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),该函数为奇函数,在(-∞,0)上单调递减,在(0, +∞)上单调递减.(4)定义域为R,该函数为奇函数,在R上单调递增.(5)定义域为R,该函数为偶函数,在(-∞, 0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.2.比较下列各组数的大小:(1),;(2) 0.26-1, 0.27-1;(3)(-0.72)3,(-0.75)3.解(1)<;(2) 0.26-1>0.27-1;(3)(-0.72)3>(-0.75)3.五、课堂小结1.α≠0, 1时,幂函数y=xα的图象在第一象限内的特征:(1)当α>1时,图象过点(0, 0),(1, 1),且下凸递增;(2)当0<α<1时,图象过点(0, 0),(1, 1),且上凸递增;(3)当α<0时,图象过点(1, 1),且单调递减,以两坐标轴为渐近线.2.由定义域与奇偶性可知幂函数在第四象限内无图象.。