苏教版学高中数学必修一指数函数对数函数和幂函数函数与方程函数的零点讲义

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第3章 指数函数、对数函数和幂函数§3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果一个实数x 满足________________，那么称x 为a 的n 次实数方根． 2．式子na 叫做______，这里n 叫做________，a 叫做__________． 3．(1)n ∈N *时，(na )n ＝____.(2)n 为正奇数时，n a n ＝____；n 为正偶数时，na n ＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m na ＝__________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na -＝____________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 5．有理数指数幂的运算性质： (1)a r a s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝______(a >0，b >0，r ∈Q )．一、填空题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是________(填序号)．2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．3．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是______________________________． 4．化简3a a 的结果是________．5．下列各式成立的是________．(填序号)①3m 2＋n 2＝()23m n +；②(b a)2＝12a 12b ；③6(－3)2＝()133-；④34＝132.6．下列结论中，正确的个数为________．①当a <0时，()322a＝a 3；②na n ＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. 7.614－3338＋30.125的值为________． 8．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________.二、解答题10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)； (2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升12．化简：41 3322333842a a bb ab a-++÷(1－23ba)×3a.13．若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求2x－xyy＋2xy的值．1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，na n＝a；当n为大于1的偶数时，na n＝|a|.(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，(na)n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(na)n＝a，a≥0，由此看只要(na)n有意义，其值恒等于a，即(na)n＝a.2．有理指数幂运算的一般思路化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．3．有关指数幂的几个结论(1)a>0时，a b>0；(2)a≠0时，a0＝1；(3)若a r＝a s，则r＝s；(4)a±212a12b＋b＝(12a±12b)2(a>0，b>0)；(5)(12a＋12b)(12a－12b)＝a－b(a>0，b>0)．§2.2指数函数2．2.1分数指数幂知识梳理1．x n＝a(n>1，n∈N*) 2.根式根指数被开方数 3.(1)a(2)a|a| 4.(1)na m(2)1m na(3)0 没有意义 5.(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r作业设计 1．③④解析 ①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，416＝2，而±416＝±2. 2．1解析 原式＝|2－a |＋|3－a |，∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1. 3．1212-⎛⎫⎪⎝⎭解析 ∵(－12)－1＝－2, 122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，且2>22>12>－2， ∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.4．12a解析 原式＝132aa ＝332a ＝12a .5．④解析 ①被开方数是和的形式，运算错误；(b a )2＝b 2a2，②错；6(－3)2>0，()133-<0，③错． 6．1解析 ①中，当a <0时，()322a ＝[()122a ]3＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1，④正确． 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a +＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5.9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()113212xy xy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦·()12xy ·(xy )－1 ＝13x ·23y16x16y-·12x-·12y-＝13x ·13x-＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 (－3<x <1)－4 (1≤x <3).12．解 原式＝()1321123333842aa b b a b a-++÷1133132a b a-×13a＝()1321123333842aa b b a b a -++·1311332aa b-·13a ＝()33113382a a b a b -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a (a －8b )a －8b＝a .13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）． 归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． （2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c=0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c=0，且0ba>． 要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-． （1）解方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负． 【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x ―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】 B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2. 求下列函数的零点. (1)()32f x x =-； (2)()41f x x =-.【答案】（1）23；（2）-1，1． 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1)由()320f x x =-=得23x =，所以函数的零点是23； (2)由()()()()421111f x x x x x =-=++-，令()0f x =得x=1，-1，故函数的零点是-1，1. 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2． 【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在． 【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．【课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（ ） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4． 已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】 （1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-． （2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤-⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【点评】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】 关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根； （3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意； 当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图 所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解． 所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图 所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.求函数()32236f x x x x =+--的一个正数零点(精确到0.1). 【答案】1.7【解析】由于()()160,240f f =-<=>，可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.【总结升华】应首先判断x 的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】用二分法求函数()25f x x =-的一个正零点（精确到0.01） 【答案】2.24【解析】⑴由()()21, 2.5 1.25f f =-=，()()2 2.50f f <可知函数的一个正零点在[]2,2.5区间中； ⑵取[]2,2.5的区间中点2.25；⑶计算()2.25 5.062550.0625f =-=；⑷由于()()2 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2,2.25 ⑸取[]2,2.25的区间中点2.125；⑹计算()2.125 4.49442550.505575f =-=-；⑺由于()()2.125 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.125,2.25； ⑻取[]2.125,2.25的区间中点2.1875；⑼计算()2.1875 4.785156350.248437f =-=-；⑽由于()()2.1875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.1875,2.25； ⑾取[]2.1875,2.25的区间中点2.21375；⑿计算()2.21375 4.90068950.099311f =-=-；⒀由于()()2.21375 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.21375,2.25； ⒁取[]2.21375,2.25的区间中点2.231875⒂计算()2.231875 4.98126650.018734f =-=-；⒃由于()()2.231875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.231875,2.25； ⒄取[]2.231875,2.25的区间中点2.2409375； ⒅计算()2.2409375 5.02208150.022081f =-=； ⒆由于()()2.231875 2.24093750f f <，⒇由于()()2.23640625 2.24093750f f <，则有零点的新区间为[]2.236406255,2.2409375；又因为零点要求精确到0.01，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数()25f x x =-的一个正零点为：2.24.类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】 （1）3200；（2）11% 【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x ＜14精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：【变式1】 如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5． （2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为 4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。

学习目标核心素养１．理解对数函数的概念.２．掌握对数函数的图象和性质．（重点）３．能够运用对数函数的图象和性质解题．（重点）４．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．（难点）通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.１．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x（a>0，a≠１）叫做对数函数，它的定义域是（0，＋∞）．２．对数函数的图象与性质a>１0<a<１图象性质定义域：（0，＋∞）值域：R图象过定点（１,0）在（0，＋∞）上是单调增函数在（0，＋∞）上是单调减函数对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）和指数函数y＝a x（a>0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．一般地，如果函数y＝f（x）存在反函数，那么它的反函数记作y＝f —１（x）．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）对数函数的定义域为R.（）（２）y＝log２x２与log x３都不是对数函数．（）（３）对数函数的图象一定在y轴右侧．（）（４）函数y＝log２x与y＝x２互为反函数．（）[答案] （１）×（２）√（３）√（４）×２．对数函数f（x）的图象过点（４,２），则f（8）＝________.３[设f（x）＝log a x，则log a４＝２，∴a２＝４，∴a＝２，∴f（8）＝log２8＝３．]３．（１）函数f（x）＝错误!的定义域是________．（２）若对数函数y＝log（１—２a）x，x∈（0，＋∞）是增函数，则a的取值范围为________．（３）若g（x）与f（x）＝２x互为反函数，则g（２）＝________.（１）{x|x>—１且x≠１} （２）（—∞，0）（３）１[（１）错误!⇒x>—１且x≠１．（２）由题意得１—２a＞１，所以a＜0．（３）f（x）＝２x的反函数为y＝g（x）＝log２x，∴g（２）＝log２２＝１．]对数函数的概念【例１】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．１y＝log a x２（a＞0，且a≠１）；２y＝log２x—１；３y＝２log8x；４y＝log x a（x＞0，且x≠１）．思路点拨：依据对数函数的定义来判断．[解] １中真数不是自变量x，∴不是对数函数；２中对数式后减１，∴不是对数函数；３中log8x前的系数是２，而不是１，∴不是对数函数；４中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x（a＞0且a≠１）的形式，即必须满足以下条件：（１）系数为１；（２）底数为大于0且不等于１的常数；（３）对数的真数仅有自变量x.１．对数函数f（x）满足f（２）＝２，则f 错误!＝________.—２[设f（x）＝log a x（a>0且a≠１），由题知f（２）＝log a２＝２，故a２＝２，∴a＝错误!或—错误!（舍）．∴f 错误!＝log错误!错误!＝—２．]对数函数的定义域问题（１）f（x）＝log x—１（x＋２）；（２）f（x）＝错误!；（３）f（x）＝错误!；（４）f（x）＝错误!（a>0且a≠１）．思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式（组）求解．[解] （１）由题知错误!解得x>１且x≠２，∴f（x）的定义域为{x|x>１且x≠２}．（２）由错误!得错误!⇒错误!⇒0≤x<１．∴函数的定义域为[0,１）．（３）由题知错误!⇒错误!∴x>１且x≠２．故f（x）的定义域为{x|x>１且x≠２}．（４）错误!⇒错误!错误!当a>１时，—a<—１．由１得x＋a<a.∴x<0．∴f（x）的定义域为{x|—a<x<0}．当0<a<１时，—１<—a<0．由１得x＋a>a.∴x>0．∴f（x）的定义域为{x|x>0}．故所求f（x）的定义域是：当0<a<１时，x∈（0，＋∞）；当a>１时，x∈（—a,0）．求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.２．（１）函数y＝错误!ln （１—２x）的定义域为________．（２）函数y＝错误!的定义域为________．（１）错误!（２）错误![（１）由题知错误!解得0≤x<错误!，∴定义域为错误!.（２）由题知错误!解得x>错误!，∴定义域为{x|x>错误!}.]比较对数式的大小１．在同一坐标系中作出y＝log２x，y＝log错误!x，y＝lg x，y＝log0．１x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．[提示] 图象如图．结论：对于底数a>１的对数函数，在（１，＋∞）区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<１的对数函数，在（１，＋∞）区间内，底数越小越靠近x轴．２．函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？[提示] 由图象可知a>１，b，c都大于0且小于１，由于y＝log b x的图象在（１，＋∞）上比y＝log c x的图象靠近x轴，所以b<c，因此a，b，c的大小关系为0<b<c<１<a.３．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．[提示] 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．【例３】（１）比较下列各组数的大小：１log３错误!与log５错误!；２log１．１0．7与log１．２0．7．（２）已知log错误!b<log错误!a<log错误!c，比较２b,２a,２c的大小关系．思路点拨：（１）中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．（２）中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．[解] （１）１∵log３错误!<log３１＝0，而log５错误!>log５１＝0，∴log３错误!<log５错误!.２法一：∵0<0．7<１,１．１<１．２，∴0>log0．7１．１>log0．7１．２．∴错误!<错误!，由换底公式可得log１．１0．7<log１．２0．7．法二：作出y＝log１．１x与y＝log１．２x的图象，如图所示，两图象与x＝0．7相交可知log１．１0．7<log１．２0．7．（２）∵y＝log错误!x为减函数，且log错误!b<log错误!a<log错误!c，∴b>a>c.而y＝２x是增函数，∴２b>２a>２c.比较两个（或多个）对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值（如１或0等）来比较．３．比较下列各组数的大小．（１）log３３．４，log３8．５；（２）log0．１３与log0．6３；（３）log４５与log6５；（４）（lg m）１．9与（lg m）２．１（m>１）．[解] （１）∵底数３>１，∴y＝log３x在（0，＋∞）上是增函数，于是log３３．４<log３8．５．（２）在同一坐标系内作出y＝log0．１x与y＝log0．6x的图象，如图，可知在（１，＋∞）上，函数y＝log0．１x的图象在函数y＝log0．6x图象的上方，故log0．１３>log0．6３．（３）∵log４５>log４４＝１，log6５<log6 6＝１，∴log４５>log6５．（４）１当0<lg m<１，即１<m<１0时，y＝（lg m）x在R上是减函数，∴（lg m）１．9>（lg m）２．１；２当lg m＝１，即m＝１0时，（lg m）１．9＝（lg m）２．１；３当lg m>１，即m>１0时，y＝（lg m）x在R上是增函数，∴（lg m）１．9<（lg m）２．１.１．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x（a>0，且a≠１）这种形式．２．在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．３．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝log a（２x）Ｂ．y＝log２２xＣ．y＝log２x＋１Ｄ．y＝lg x.D[根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]２．函数y＝ln x的单调增区间是________________，反函数是____________．（0，＋∞）y＝e x[y＝ln x的底为e>１，故y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，其反函数为y ＝e x.]３．函数y＝log a（２x—３）＋１的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．（２,１）[函数可化为y—１＝log a（２x—３），可令错误!解得错误!即P（２,１）．]４．求下列函数的定义域：（１）y＝错误!；（２）y＝log（２x—１）（—４x＋8）；（３）y＝错误!.[解] （１）由题知错误!即错误!⇒x>—错误!且x≠—错误!.所以定义域为错误!.（２）由题意得错误!解得错误!所以y＝log（２x—１）（—４x＋8）的定义域为{x|错误!<x<２，且x≠１}.（３）由题知错误!即0<x—２≤１，所以２<x≤３，故定义域为{x|２<x≤３}．。

第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5， 综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5， 当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时 指数函数的图象与性质的应用知识点 指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小 【例3】 比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2， 又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】 解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。

学习目标核心素养１．理解对数的概念．（重点）２．能熟练地进行指数式与对数式的互化．（重点）３．掌握常用对数与自然对数的定义.通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的数学核心素养.１．对数一般地，如果a（a>0，a≠１）的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．２．常用对数通常将以１0为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log１0N，简记为lg_N.３．自然对数以e为底的对数称为自然对数．其中e＝２．7１8 ２8…是一个无理数，正数N的自然对数log e N，一般简记为ln_N.４．几个特殊对数值（１）log a１＝0，log a a＝１，log a错误!＝—１．（其中a＞0且a≠１）．（２）对数恒等式：a错误!＝N（a>0，a≠１，N>0）．（３）零和负数没有对数．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）因为（—２）４＝１6，所以log（—２）１6＝４．（）（２）对数式log３２与log２３的意义一样．（）（３）对数的运算实质是求幂指数．（）（４）等式log a１＝0对于任意实数a恒成立．（）（５）lg １0＝ln e＝１．（）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）×（５）√[提示] （１）—２不能作底数；（２）log２３与log３２底数和真数均不同，意义不一样；（４）a>0且a≠１．２．计算：log３9＝________，２错误!＝________.２３[log３9＝２,２错误!＝３．]３．（１）将log２３２＝５化成指数式，将３—３＝错误!化成对数式；（２）已知log４x＝—错误!，求x；（３）已知log２（log３x）＝１，求x；（４）求log错误!（３＋２错误!）．[解] （１）２５＝３２，log３错误!＝—３．（２）∵log４x＝—错误!，∴x＝４—错误!＝２—３＝错误!.（３）∵log２（log３x）＝１，∴log３x＝２１＝２，∴x＝３２＝9．（４）设y＝log错误!（３＋２错误!），则（错误!—１）y＝３＋２错误!＝（错误!＋１）２＝（错误!—１）—２，则y＝—２，即log错误!（３＋２错误!）＝—２．对数的概念２a—２思路点拨：根据对数中底数和真数的取值范围求解．错误!∪错误![要使log２a—２（１0—４a）有意义，则错误!⇒１<a<错误!或错误!<a<错误!.]根据对数的定义，应满足底数大于0且不为１，真数大于0，列不等式组即可.１．（１）使log a（３a—２）有意义的a的取值范围是________．（２）使log错误!（—３x＋6）有意义的x的取值范围是________．（１）错误!（２）{x|x<２且x≠0} [（１）令错误!⇒a>错误!且a≠１．（２）令错误!⇒x<２且x≠0．]指数式与对数式的互化１２４＝１6；２３—３＝错误!；３５a＝２0；４错误!错误!＝0．４５．（２）将下列各对数式改写成指数式：１log错误!１6＝—４；２log２１２8＝7；３lg 0．0１＝—２；４ln １0＝２．３0３．思路点拨：利用a x＝N⇔x＝log a N（a>0且a≠１）进行互化．[解] （１）１２４＝１6⇒log２１6＝４．２３—３＝错误!⇒log３错误!＝—３．３５a＝２0⇒log５２0＝a.４错误!错误!＝0．４５⇒log错误!0．４５＝b.（２）１错误!错误!＝１6．２２7＝１２8．３１0—２＝0．0１．４e２．３0３＝１0．１．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如（—３）２＝9就不能直接写成log（—３）9＝２，只有a>0，a≠１，N>0时，才有a x＝N⇔x＝log a N.２．对数式log a N＝b是由指数式a b＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：２．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________．１N＝a２与log N a＝２；２log错误!４＝４与（错误!）４＝４；３错误!错误!＝6４与log6４错误!＝—错误!；４log x错误!＝z与x z＝y错误!.２４[１N＝a２⇔log a N＝２（a>0且a≠１）；３错误!错误!＝6４⇔log错误!6４＝—３．]３．设a＝log３7，b＝log３２8，则３２a—b＝________.错误![由题知３a＝7,３b＝２8，∴３２a—b＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.]解指数、对数方程１．方程x＝４２，x＝３３的解是什么？如何解x＝a b型的方程．[提示] x＝４２＝１6，x＝３３＝２7，解x＝a b时按幂的运算法则计算即可．２．方程x２＝４（x>0），x３＝6４的解是什么？如何解x k＝b（k∈Z）．[提示] x２＝４，∴x＝错误!＝２，x３＝6４，∴x＝错误!＝４，x k＝b，∴x＝错误!错误!即可通过开方运算求解．３．方程２x＝8的解是什么？２x＝7呢？如何解a x＝b（a>0，a≠１）．[提示] ∵２３＝8，∴２x＝8的解为x＝３，２x＝7，∴x＝log２7，a x＝b，x＝log a b即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．【例３】解方程：（１）9x＝２7；（２）e x＝e２；（３）５错误!＝２５；（４）log２（log３（log４x））＝0；（５）log x１6＝—４；（6）x＝—ln e—３.思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．[解] （１）9x＝２7，∴（３２）x＝３３，即３２x＝３３，∴２x＝３，∴x＝错误!.（２）∵e x＝e２，∴x＝２．（３）５错误!＝２x—１＝２５，∴x＝１３．（４）∵log２（log３（log４x））＝0，∴log３（log４x）＝２0＝１，∴log４x＝３１＝３，∴x＝４３＝6４．（５）∵x—４＝１6，∴错误!错误!＝１6＝２４，∴错误!＝±２，∴x＝±错误!.又x>0，∴x＝错误!.（6）x＝—ln e—３，∴—x＝ln e—３，∴e—x＝e—３，∴—x＝—３，∴x＝３．解指数、对数方程时应注意：（１）将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．（２）利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解．（３）x的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．４．求下列各式中的x值．（１）log错误!（３x２＋２x—１）＝１；（２）lg 0．00１＝x；（３）log x 8＝３；（４）２错误!＝错误!.[解] （１）由题知２x２—１＝３x２＋２x—１，得x＝0或x＝—２，当x＝0时，２x２—１＝—１<0，∴x≠0，当x＝—２时，错误!符合题意，∴x＝—２．（２）１0x＝0．00１＝１0—３，∴x＝—３．（３）x３＝8，∴x＝错误!＝２．（４）２错误!＝x２＝错误!，∴x＝±错误!.１．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b（a>0，且a≠１，N>0），据此可得两个常用恒等式：（１）log a a b＝b；（２）a错误!＝N.２．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.１．有下列说法：１零和负数没有对数；２任何一个指数式都可以化成对数式；３以１0为底的对数叫做常用对数；４以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４C[１３４正确，２不正确，只有a>0，且a≠１时，a x＝N才能化为对数式．]２．在N＝log（１0—b）（b—２）中，实数b的取值范围是________．（２,9）∪（9,１0）[令错误!∴２<b<１0且b≠9．]３．已知log a２＝m，log a３＝n，则a２m＋n＝________.１２[∵log a２＝m，log a３＝n，∴a m＝２，a n＝３．∴a２m＋n＝（a m）２×a n＝２２×３＝１２．]４．求值：（１）２３—log２３；（２）e ln ２＋ln ５；（３）３错误!＋３错误!；（４）（错误!）错误!．[解] （１）原式＝２３÷２错误!＝8÷３＝错误!.（２）原式＝e ln ２·e ln ５＝２×５＝１0．（３）∵３错误!＝错误!，３错误!＝错误!，∴原式＝错误!＋错误!＝错误!.（４）原式＝（（错误!）２）错误!＝２错误!＝错误!＝错误!＝３．。

学习目标核心素养１．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x２，y＝x３，y＝错误!，y＝x错误!的图象．（重点）２．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．（难点）３．会用几个常见的幂函数性质比较大小．（重点、难点）通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.１．幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．２．幂函数的图象和性质y＝x y＝x２y＝x３y＝x错误!y＝x—１定义域R R R[0，＋∞）（—∞，0）∪（0，＋∞）值域R[0，＋∞）R[0，＋∞）（—∞，0）∪（0，＋∞）奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在（—∞，＋∞）上单调递增在（—∞，0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增在（—∞，＋∞）上单调递增在[0，＋∞）上单调递增在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减定点（１,１），（0,0）（１,１），（0,0）（１,１），（0,0）（１,１），（0,0）（１,１）１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）幂函数的图象不经过第四象限．（）（２）幂函数的图象必过（0,0）和（１,１）这两点．（）（３）指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．（）[答案] （１）√（２）×（３）×[提示] （１）由幂函数的一般式y＝xα（α为常数）及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．（２）y＝x—１不经过（0,0）点，故错误．（３）y＝x错误!，定义域为[0，＋∞），与指数有关，故错误．２．若y＝mxα＋（２n—４）是幂函数，则m＋n＝________.３[由题意得错误!所以错误!m＋n＝３．]３．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（２,8），则f（—２）＝________.—8 [8＝２α，所以α＝３，所以f（x）＝x３，f（—２）＝（—２）３＝—8．]幂函数的概念２思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[解] 由题意得错误!解得错误!∴m＝—３，n＝错误!为所求．１．幂函数y＝xα要满足三个特征（１）幂xα前系数为１；（２）底数只能是自变量x，指数是常数；（３）项数只有一项．２．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f（x）＝xα，根据条件求出α.１．下列函数是幂函数的有________．（填序号）１y＝x２x；２y＝２x２；３y＝x错误!；４y＝x２＋１；５y＝—错误!；⑥y＝x错误!.３⑥[根据幂函数的定义，只有３⑥符合题意．]２．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过错误!，则f（１00）＝________.错误![由题知２α＝错误!＝２错误!，∴α＝—错误!.∴f（x）＝x错误!，∴f（１00）＝１00错误!＝错误!＝错误!.]比较大小（１）错误!错误!与错误!错误!；（２）错误!错误!与错误!错误!；（３）0．２５错误!与6．２５错误!；（４）0．２0．6与0．３0．４.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[解] （１）∵y＝x错误!是[0，＋∞）上的增函数，且错误!>错误!，∴错误!错误!>错误!错误!.（２）∵y＝x—１是（—∞，0）上的减函数，且—错误!<—错误!，∴错误!错误!>错误!错误!.（３）0．２５错误!＝错误!错误!＝２错误!，6.２５错误!＝２．５错误!.∵y＝x错误!是[0，＋∞）上的增函数，且２<２．５，∴２错误!<２．５错误!，即0．２５错误!<6．２５错误!.（４）由幂函数的单调性，知0．２0．6<0．３0．6，又y＝0．３x是减函数，∴0．３0．４>0．３0．6，从而0．２0．6<0．３0．４.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：（１）若指数相同而底数不同，则构造幂函数；（２）若指数不同而底数相同，则构造指数函数；（３）若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．３．比较下列各组中两个数的大小：（１）３错误!，３．１错误!；（２）a１．５，（a＋１）１．５（a＞0）；（３）（—0．88）错误!，（—0．89）错误!.[解] （１）因为函数y＝x错误!在（0，＋∞）内是减函数，所以３错误!＞３．１错误!.（２）函数y＝x１．５在（0，＋∞）内是增函数，又a＞0，a＋１＞a，所以（a＋１）１．５＞a１．５.（３）函数y＝x错误!在R上为增函数，所以（—0．88）错误!＞（—0．89）错误!.幂函数的图象与性质１．做幂函数y＝x错误!的图象应该怎么做？[提示] １因为0<错误!<１，故函数y＝x错误!在第一象限内是单调递增的，并且在（0,１）上应在y＝x的上方，在（１，＋∞）上应在y＝x的下方．２函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝x错误!的图象（略）．２．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？[提示] １先看α，按α<0,0<α<１，α>１来分类（α＝0，α＝１两种特殊情况可直接作图），并确定在第一象限的图象的形状．２再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．３．作出y＝x错误!的图象（草图），并说明若x错误!>y错误!时，x，y与0的大小关系有多少种？[提示] y＝x错误!在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若x错误!>y错误!，则有以下情况１0<x<y；２x<y<0；３x>0>y.【例３】已知幂函数y＝x３m—9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上单调递减，求满足（a＋１）错误!<（３—２a）错误!的a的取值范围．思路点拨：错误!→错误!→错误!→错误!→错误!→错误![解] ∵函数在（0，＋∞）上递减，∴３m—9<0，解得m<３．又m∈N*，∴m＝１,２．又函数图象关于y轴对称，∴３m—9为偶数，故m＝１．∴有（a＋１）错误!<（３—２a）错误!.∵y＝x错误!在（—∞，0），（0，＋∞）上均递减，∴a＋１>３—２a>0或0>a＋１>３—２a，或a＋１<0<３—２a，解得错误!<a<错误!或a<—１．所以a的取值范围为（—∞，—１）∪错误!１．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．２．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．４．已知x２>x错误!，则x的取值范围是______．（—∞，0）∪（１，＋∞）[作出函数y＝x２和y＝x错误!的图象（如图所示），易得x<0或x>１．]１．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．２．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律在第一象限内直线x＝１的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝１的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．３．简单幂函数的性质（１）所有幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且当自变量为１时，函数值为１，即f（１）＝１．（２）如果α>0，幂函数在[0，＋∞）上有意义，且是增函数．（３）如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在（0，＋∞）上是减函数．１．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）Ａ．y＝x—３Ｂ．y＝—x３Ｃ．y＝２x３Ｄ．y＝x３—１．A[幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]２．已知幂函数y＝xα的图象过点（２，错误!），则f（４）的值是_____．２[将点（２，错误!）代入幂函数可得f（２）＝２α＝错误!，解得α＝错误!，即幂函数为f（x）＝x错误!，可得f（４）＝４错误!＝２．]３．下列幂函数中过点（0,0），（１,１）的偶函数是________．（填序号）（１）y＝x错误!；（２）y＝x４；（３）y＝x—１；（４）y＝x３.（２）[（１）为非奇非偶函数，（３）为不过（0,0）的奇函数，（４）为奇函数，只有（２）符合题意．]４．设a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，比较a，b，c的大小关系．[解] ∵f（x）＝错误!错误!在R上为减函数，∴错误!错误!<错误!错误!，即a<b，∵f（x）＝x错误!在（0，＋∞）上为增函数，∴错误!错误!>错误!错误!，即a>c，所以b>a>c.。