第二章 动量

Lz = 恒量
(M z = 0 )
v r
x
m
y
角动量大小： 角动量的方向：
L = rp sin α = mrv sin α v v 位矢 r 和动量 mv 的矢积方向
v p
如果质点绕参考点O 做圆周运动
L = r p = mv r
注意： 角动量与所取的惯性系有关； 角动量与参考点O的位置有关。
O
v r
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的 投影，称为质点对轴线的角动量。
质心与质心运动定理
r 设由n个质点构成一质点系 质量：m1， m2，…， mn
c
z
m1 v v r1 ri
O
v v v r r r 位矢： 1 ， 2 ，…，n
mi
C
v v v v m1r1 + m2 r2 + L + mn rn rC = m1 + m2 + L + mn v ∑ mi ri = m总
v t v v v v v I = ∫ F dt = p p0 = mv mv0
to
质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的 冲量等于质点动量的增量。
说明：
v v （1） 冲量的方向 I 与动量增量 p 的方向一致。
（2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢 量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边 形法则，或把动量和冲量投影在坐标轴上以 分量形式进行计算。
o
xc
x2 x
Q m1 = m2 = m , x1 = 0
x2 = 2 xC
§2-3 角动量守恒定律
2-3-1 质点的角动量 v 设：t时刻质点的位矢 r v 质点的动量 mv
运动质点相对于参考原 点O的角动量定义为：
z
v p
α
v L
O
v v v v v L = r × p = r ×mv
单位：kg m2s-1
例1 质量m = 1kg的质点从O点开始沿半径R = 2m的 圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动 方程为 s = 0.5π t 2 。试求从 t1 = 2 s到 t 2 = 2 s这段 时间内质点所受合外力的冲量。 v
mv1
ds v= = πt dt 1 v1 = 2 π m s
1 2 s2 = π 2 = 2 π 2
p y = ∑ mi viy = 常量 p z = ∑ mi viz = 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之 一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。
例2 火箭以2.5×103m/s的速率水平飞行，由控制器 使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均 速率为103 m/s 。火箭容器仓质量m2=200 kg。求容器 仓和头部仓相对于地面的速率。 v= 2.5×103 m/s 解： vr= 103 m/s 设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2 设：
相对于参考点O的合力 矩为：
v F1
z
v r1
O
v Fi
v v v M O = ∑ ri × Fi
v ri
v r2
v F2
y
x
2．力对轴的矩
v 力 F 对轴的力矩： v v 力 F 对点的力矩 M O 在过点的 任一轴线上的投影。
A v M
v MO
A
γ
v MA
O
M A = M O cos γ
O
v r
s2 θ2 = = π R
v mv1
O
v2 = 2 π m s
1
mv1 = 2 π kg m s
1
θ
v mv1
v mv2
mv2 = 2 π kg m s
1
v v v v I = mv2 mv1 = (mv)
v mv =
v (mv)
(mv1 )2 + (mv2 )2
= 2 π 2 + 4 π 2 = 6 π kg m s 1
v v p = ∑ mi vi = 常矢量
v 条件：∑ Fi = 0
说明： （1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个
质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。 （2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认 为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等） 动量守恒的分量式：
p x = ∑ mi vix =常量
t
t0
v ∑ Fi dt
∫
t
t0
v v v v ∑ Fi dt = p p0 = p
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 微分式：
v v dp ∑ Fi = dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
2 s1 π 1 = 解：s1 = π 2 = π θ1 = R 2 2
v v ∑ Fi = MaC
质心运动定理： 作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量 与质心加速度的乘积。 质心的两个重要性质： （1） 系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒 矢量，内力既不能改变质点系的总动量,也 就不能改变质心的运动状态 。 （2） 系统在外力作用下，质心的加速度等于外 力的矢量和除以系统的总质量。
2．质心运动定理
质心位置公式：
v M rC =
v ∑ m i ri
v v drC dri = ∑ mi M dt dt
v v MvC = ∑ mi vi
结论： 质点系的总动量等于总质量与其质心运 动速度的乘积。 由质点系动量定理的微分式可得：
v v v v dp d dvi dvC v ∑ Fi = dt = dt (∑ mi vi ) = ∑ mi dt = M dt
v1 = vr + v2
( m1 + m2 ) v = m1v1 + m2 v2 = m1 ( v2 + vr ) + m2 v2
m1vr 3 1 = 2.17 × 10 m s v2 = v m1 + m2 3 1 v1 = v2 + vr = 3.17 × 10 m s
2-2-5
1．质心
v v v M O = r × F 单位： N m
力矩的大小：
v M
z
M O = rF sin α
力矩的方向由右手螺旋 v v 关系确定，垂直于 r 和 F 确定的平面。
O
v F
v r
α
y
x
v v v 设作用于质点系的作用力分别为： F1 , F2 , L , Fn
v v v 作用点相对于参考点O的位矢分别为：r1 , r2 , L , rn
i =1 i =1
n
n
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的 乘积。 冲量反映力对时间的累 积效应。 恒力的冲量：
v v I = F (t 2 t1 )
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量： 牛顿运动定律：
v t2 v I = ∫ F (t ) dt
t1
单位：Ns
v v F = ma
动量定理的微分式： 如果力的作用时间从
v v dp = F dt
v v v d (mv) dp = F= dt dt
t0 → t，质点动量从
v v p0 → p
∫
v p
v po
t v v dp = ∫ F dt to
1．力对参考点的力矩
v 质点的角动量 L 随时间的变化率为
v v v v v dL d(r × p ) dr v v dp = = × p+r× dt dt dt dt v v v dr v v v dp 式中 × p = v× p = 0 =F dt dt
v dL v v = r ×F dt
v 质点角动量的改变不仅与所受的作用力 F 有 v 关，而且与参考点O到质点的位矢 r 有关。 v 定义：外力 F 对参考点O的力矩：
v rC
v r2
m2
y
x
质心位置的分量式：
xC
∑m x = ∑m
i
i i
yC
∑m y = ∑m
i i
i
zC
∑m z = ∑m
i
i i
连续体的质心位置：
xC
∫ xdm = ∫ dm
yC
∫ ydm = ∫ dm
zC
∫ zd m = ∫ dm
说明： 对于密度均匀，形状对称的物体，其质 心都在它的几何中心。
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等 的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平 抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解： 在爆炸的前后，质心
始终只受重力的作 用，因此，质心的轨 迹为一抛物线，它的 落地点为xc 。
m1 x1 + m2 x2 xC = m1 + m2 mx2 ∴ xC = 2m
∫
∫
t2 t1
t2
t1
v v v M O dt = L2 L1
称为“冲量矩”
v M O dt
n v n v v v 质点系的角动量： L = ∑ Li = ∑ ( ri × pi ) i =1 i =1
v v v dL dri v v dpi = ∑ × pi + ri × 两边对时间求导： dt dt dt v v dri v v dpi v v v × pi = 0 ri × = ri × (Fi + F内i ) 上式中 dt dt v dL v v v v = ∑ ri × Fi + ∑ ri × F内i dt v v 合内力矩为零 上式中 ∑ ri × F内i = 0