第二章 刚体转动

《大学物理》综合练习(二)——刚体定轴转动班级学号： 姓 名： 日 期： 一、选择题(把正确答案的序号填入括号内)1．两个小球质量分别为m 和m 3，用一轻的刚性细杆相连。

对于通过细杆并与之垂直的轴来说，轴应在图中什么位置处物体系对该轴转动惯量最小?(A)cm 10=x 处； (B)cm 20=x 处； (C)cm 5.22=x 处； (D)cm 25=x 处。

[ C ]2．一匀质杆质量为m ，长为l ，绕通过一端并与杆成θ角的轴的转动惯量为(A)3/2ml ； (B) 12/2ml ； (C) 3/sin 22θml ； (D) 2/cos 22θml 。

[ C ]3．一正方形均匀薄板，已知它对通过中心并与板面垂直的轴的转动惯量为J 。

若以其一条对角线为轴，它的转动惯量为(A)3/2J ； (B)2/J ； (C)J ； (D)不能判定。

[ B ]4．如图所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为m 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且mg F =，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速度的大小比较是 (A)B A ββ=； (B)B A ββ>； (C)B A ββ<； (D)无法比较。

[ C ]5．关于力距有以下几种说法：B题1图题4图(1)内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量； (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3)质量相等形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。

在上述说法中:(A)只有(2)是正确的； (B)(1)、(2)是正确的； (C)(2)、(3)是正确的； (D)(1)、(2)、(3)都是正确的。

[ B ]6．一水平圆盘可绕固定的铅直中心轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状 态，忽略轴的摩擦，当此人在盘上随意走动时，此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒；(C)对中心轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。

[ C ]7．一质量为kg 60的人站在一质量为kg 60、半径为1ｍ的均匀圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的。

后来人沿圆盘边缘走动，当他相对圆盘的走动速度为m /s 2时，圆盘角速度为 (A)rad/s 1； (B)rad/s 2； (C)rad/s 3/2； (D)rad/s 3/4。

[ B ]8．水平刚性轻细杆上对称地串着两个质量均匀为m 的小球，如图所示。

在外力作用下细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到0ω时两球开始向杆的两端滑动，此时使撤去外力任杆自行转动(不考虑转轴和空气的摩擦)。

(1)此后过程中球、杆系统 E(A)动能和动量守恒； (B)动能和角动量守恒； (C)只有动量守恒； (D)只有角动量守恒； (E)动量和角动量守恒。

(2)当两球都滑至杆端时系统的角速度为(A)0ω； (B)02ω； (C)016.0ω； (D)]二、填充题(单位制为SI)cm 4=dcm 20=l 题8图1．当一汽车发动机以1800转/分的角速率转动时，它输出的功率是100马力(4105.7⨯ 瓦)，则其输出的力矩为m N 1098.32⋅⨯。

2．一滑轮的半径为cm 10，转动惯量为24cm g 100.1⋅⨯。

一变力23.05.0t t F +=(F 的单位为牛顿，t 的单位为秒)沿着切线方向作用在滑轮的边缘上。

如果滑轮最初处于静止状态，那么它在0.3秒后的角速度为rad/s 1095.42⨯。

3．将一根米尺m)1(=l 竖直地立在地板上，而后让它倒下。

设接触地板的一端不因倾倒而滑动，则当它撞击地板时，顶端的速率为m /s 42.5。

4．如图所示的装置可测轮子的转动惯J ，若m 由静止开始下降，t 秒后下降的距离为h ，则=J ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1222h gt mR 。

5．长为l 质量为m 的均匀细棒，一端悬挂在过O 点的无靡擦的水平转轴上，在此转轴上另有一长为r 的轻绳悬挂一小球，质量也为m ，当小球悬线偏离铅直方向某一角度θ时由静止释放(如图示)，小球在悬挂点正下方与静止的细棒发生弹性碰撞，且碰后小球刚好静止，则=r L 33；若︒=60θ，则碰后细棒的角速度=ωL g 3。

6．一长为l 质量为m 的均匀细棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可在竖直平面内转动。

最初棒静止在水平位置，则它由此下摆θ角时的角加速度=βg cos 3θ，角速度·O〇lrθ ·AOθl v·Rmh题3图题4图题5图题6图=ωL g θsin 3，端点A 的速度=A v θsin 3Lg ，切向加速度2cos 3θg a t =,法向加速度θsin 3g a n =。

Δ棒受轴的力的大小1sin 9941222+=+=θmg F F F n t ，力的方向θθβsin 10cos arctan arctan ==n t F F 。

三、计算题1．质量M 、半径R 的均匀球壳可绕装在光滑轴承上的竖直轴转动，如图所示。

一根轻绳绕在球壳赤道上，又跨过转动惯量为0J 、半径r 的滑轮，然后系在一质量为m 小物体上，这个小物体在重力的作用下下降。

试问当它从静止下落距离h 时，它的速率为多大?1． 设1T 、2T 分别为物体m 与滑轮间、球壳与滑轮间绳的张力，J 为球壳绕竖直轴的转动惯量，a 为物体m 的加速度大小，方向竖直向下。

由转动定律和牛顿第二定律，得球壳： RaMR R a JJ R T 2232===α （1） 滑轮： raJ J r T T 00021)(==-α （2）物体： ma T mg =-1 （3） 由（1）~（3）式解得：2032r J M m mga ++=，ah v 2=20322rJ M m mgh++=2．在一根长为2.1m 质量为4.6kg 的均匀钢棒的两端各装上质量为06.1kg 的小球。

这钢棒只能绕通过其中点的竖直轴在水平面内转动。

在某一时刻，其转速为0.39转/秒。

由于轴的摩擦作用，在0.32s 后它就停止转动。

假如摩擦力矩恒定不变，试计算: (1)轴摩擦力所作的总功； (2)在0.32s 的时间内转过的转数；(3)如果已知摩擦力矩不是恒定的，那么(1)(2)中有没有什么量仍然可以计算出来而无需任何附加条件?请求出它的数值。

钢棒绕其转轴的转动惯量2222221m Kg 53.122.106.122.14.6121221212⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=+=l m Ml J J J(1) 由动能定理得轴摩擦力所做的总功AJ 1060.421420⨯-=-=∆=ωJ E A k(2) 恒定力矩的功 n M M A πθ2==，故在s 32内转过的转数(rev)9.62439253.120.321060.4224=⨯⨯⨯⨯⨯===ππαππJ A M A n(3) 当摩擦力矩不恒定时，只有力矩作功可以计算，无需任何附加条件，且 J 1060.44⨯-=A3．一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，初始角速度为0ω。

设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即ωK M -=(K 为大于零的常数)，求： (1)它的角速度从0ω变为2/0ω所需的时间； (2)在上述过程中阻力矩所作的功。

(1) 由转动定律 ωωK tJ-=d d ，积分 ⎰⎰-=2/000d d ωωωωt t J K ，得2ln KJt = (2) 由动能定理 20220832122112ωωωJ J J E E A k k -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=4．一均匀细杆长l ，可绕离其一端4/l 的水平轴在竖直平面内转动。

当杆自由悬挂时，给它一个起始角速度0ω，若杆能持续转动而不摆动(一切摩擦不计)，问ω为多少?取杆自由悬挂时的质心所在位置为势能零点，杆对离其一端4/l 的水平轴的转动惯量为2224874121ml l m ml J =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=系统在整个运动过程中机械能守恒，故有22120l mg J =ω，l g 7340=ω，0ωω> 5．如图所示，水平桌面上有一长m 0.1=l 、质量kg 0.31=m 的均质细杆，细杆可绕通过O 点的铅直轴转动，杆与桌面间的动摩擦系数20.0=μ。

开始时杆静止，有一子弹质量g 202=m ，速率m /s 400=v ，沿水平方向以与杆成︒=30θ角入射杆的中点，且留在杆中。

求：(1)子弹射入后，细杆开始转动的角速度； (2)细杆停下来时转过的角度。

(1) 碰撞过程不计摩擦力的影响，系统对O 点的角动量守恒02122210234330sin 2ωωωl m l m l m J v m l≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==︒ 23325.040002.03230sin 2120=⨯⨯⨯=⨯︒=l m v lm ωrad/s(2) 在距O 点r 处取一长为r d 质元，摩擦力大小为 r lgm mg f d d d 1μμ==，f d 对O 点的力矩 r r l gm f r M d d d 1μ-=-=，则整个细杆所受的摩擦力对O 点的力矩为 ⎰⎰-=-==l l gl m r r l g m M M 00112d d μμ由动能定理 2022121ωωθJ J M -=rad 68.08.92.03232321212201202120=⨯⨯==-⨯-=-=g l gl m l m M J μωμωωθ6．一根质量为m 、长为l 2的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动。

开始时细棒在水平位置，一质量为m '的小球以速度u垂直落到棒的端点，与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度及棒的角速度各为多少?·u m '系统对通过其中心的水平轴的角动量守恒vl m J ul m '-='ω即 ωω231)(ml J l v u m ==+' （1）因小球和细杆作弹性碰撞，系统机械能守恒222212121ωJ v m u m +'=' （2） 由（1）和（2）式解得m m m m u v '+'-=3)3(，l m m u m )3(6'+'=ω7．如图所示，质量为m 、半径为R 的匀质圆盘，初角速度为0ω，不计轴承处的摩擦，若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比于该处的线速度，即kv f -=，k 为常数，求： (1) 圆盘在任一角速度ω时所受的空气阻力矩； (2) 圆盘在停止转动前转过的圈数。

(1) 在距圆心r 处取一宽度为r d 的圆环，其上所受的阻力大小为f d ，则r kr r r kr s kv f d 4d 4d d 2πωπω===圆盘所受的空气阻力矩为⎰⎰⎰-=-=-==RRkR r kr f r M M 043d 4d d πωπω(2) 由转动定律θωωθθωωπωd d d d d d d d 4J t J t JkR M ===-=ω积分⎰⎰-=θωωπθ0040d d kR J得 2040240221kR m kR mR kR J πωπωπωθ=== 22042kRm n πωπθ==。