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[工学]第五讲：直线与平面及平面与平面的相对位置关系相交_点、直线和平面的综合题

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直线与平面、两平面的相对位置

直线与平面、两平面的相对位置
如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。

点、直线、平面之间的位置关系(知识梳理)

点、直线、平面之间的位置关系(知识梳理)

的位置关系-@>% )一平面1.平面的概念平面是一个只描述而不加定义的最基本的原始概念,常见的桌面㊁黑板面㊁海面都给我们以平面的形象.立体几何里所说的平面就是从这样一些物体中抽象出来的.但是几何里所说的平面是无限延展的.2.平面的基本性质三个公理及公理2的三个推论如下:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.公理2:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.二空间两条直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系(1)相交直线:在同一平面内,有且仅有一个公共点.(2)平行直线:在同一平面内,没有公共点.(3)异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.(4)异面直线所成的角:如图51所示,直线a ,b是异面直线,经过空间一点O ,分别引直线a 'ʊa ㊁b 'ʊb ,相交直线a ',b '所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ,b 所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,则称这两条异面直线互相垂直.abαabαOOaa b图512.平行公理与等角定理(1)平行公理(公理4):平行于同一直线的两条直线相互平行.(2)等角定理:空间中如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.三直线和平面、平面和平面的位置关系1.一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：(1)直线在平面内 有无数个公共点;(2)直线和平面相交 有且只有一个公共点;(3)直线和平面平行 没有公共点.2.两个平面的位置关系只有两种(1)平行 没有公共点;(2)相交 有一条公共直线.四直线和平面平行的判定与性质1.直线和平面平行的判定定理(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(2)判定定理的符号表示:a⊄α}⇒aʊαb⊂αaʊb2.直线和平面平行的性质定理(1)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行.(2)性质定理的符号表示aʊαa⊂βαɘβ=b}⇒aʊb五平面与平面平行的判定与性质1.平面与平面平行的判定定理(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.(2)判定定理的符号表示:a⊂αb⊂αaɘb=A aʊβbʊβüþýïïïïïï⇒αʊβ2.平面与平面平行的性质定理(1)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)性质定理的符号表示:αʊβγɘα=a γɘβ=b }⇒a ʊb 六直线和平面垂直的判定与性质1.直线和平面垂直的定义如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 和平面α互相垂直,记作l ʅα,直线l 叫作平面α的垂线,平面α叫作直线l 的垂面.2.直线和平面垂直的判定(1)直线和平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与这个平面垂直.判定定理的符号表示:a ⊂αb ⊂αa ɘb =P l ʅal ʅbüþýïïïïïï⇒l ʅα(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即a ʊba ʅα}⇒b ʅα3.直线和平面垂直的性质(1)直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.性质定理的符号表示:a ʅαb ʅα}⇒a ʊb(2)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.(3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.(4)如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行.七平面与平面垂直的判定与性质1.两个平面垂直的定义(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所形成的空间图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,两个半平面叫作二面角的面.(2)二面角的平面角:在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ,以O 为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线O A 和O B ,则射线O A 和O B 所成的角øA O B叫作二面角α-l -β的平面角.(3)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角(4)两个平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理(1)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(2)判定定理的符号表示:a ⊂αa ʅβ}⇒αʅβ3.两个平面垂直的性质定理(1)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(2)性质定理的符号表示:αʅβ,αɘβ=l b ⊂α,b ʅl}⇒b ʅβ。

机械制图_5_直线、平面间的相对位置

机械制图_5_直线、平面间的相对位置
12/45
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
两平面相交其交线为直线；交 几何特性是： 线是两平面的共有线；交线上 的点都是两平面的共有点。 推断 两平面相交的问题
2. 两平面相交
两组直线与平面相交的问题
需要解决：
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
b' f'
空间分析：
a'
e' x a e
k’
l’
d'
c' c o
A E K B F L D C
k
f
l
界
d
前，可见
b V 面投影
a b
c
k l
投射方向
作图步骤 1) 用面上取线的方法求交线 2) 可见性：根据空间位置关系判别。其余部分可由推理得出可见性。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
B K A
(D )
a' E C d' x d b
e'
c' o
怎么求？ 辅助平面法
就是用辅助平面将一般位置直线与平面的求交问题，转 变为在同一平面内求两直线交点的问题，从而使原问题得到求解的方法。 下面通过例子说明如何使用辅助平面法
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
c e m
9/45
h
求解步骤 作辅助线EK//AC 结论
a

第五章 直线、平面的相对位置

第五章 直线、平面的相对位置

第五章直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行；2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交；3)垂直关系：直线与平面垂直，两一般位置直线垂直和两平面垂直。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行直线与平面平行的几何条件是：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面。

由于ef∥bd，e′f′∥b′d′，即EF∥BD，且BD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。

［例1］试过K点作一水平线，使之平行于△ABC先在△ABC上作一水平线，如直线AD（ad，a′d′）；再过点K（k，k′），作k′l′∥a′d′，kl∥ad，则直线KL（kl，k′l′）为所求。

［例2］试过K点作一正平线，使之平行于P平面因PV 是P平面上特殊的正平线，所以过点K（k，k′）作KL∥PV ，即作k′l′∥PV ，kl∥X轴，则直线KL（kl，k′l′）为所求。

［例3］试过K 点作一铅垂面P(用迹线表示)，使之平行于AB 直线由于铅垂面的H投影为一直线，故若作铅垂面平行于AB 直线，则P H 必平行于ab 。

因此，过k 作P H ∥ab ；过P X 作P V ⊥X 轴，则P 平面为所求。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

AB∥A1B1，BC∥B1C1，所以，平面ABC和平面A1B1C1相平行两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。

因此，两平行平面的同面迹线一定平行。

如图所示，P面平行于Q面，则PV ∥QV，PH∥QH。

如果两平面的两对同面迹线分别互相平行，则不能肯定两平面是互相平行的如果平面的两条迹线是相交直线，则该两平面平行如果平面的两条迹线是平行直线时，则一般要看第三个投影才能确定P平面平行于Q平面P平面不平行于Q平面［例1］过点K作一平面，使之与AB、CD两平行直线表示的平面平行1：在AB、CD平面上，作一条和AB、CD不平行的辅助线，如AC（ac，a′c′）；2：过k作kl∥ab，过k′作k′l′∥a′b′；3：过k作km∥ac，过k′作k′m′∥a′c′，则平面LKM即为所求。

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
且方向相同。
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直

直线与平面平面与平面的相对位置ppt课件

直线与平面平面与平面的相对位置ppt课件

V
M
B
c
f k
l
P
a
K
n
A
L
m
m
F
N
ka
Cf
l
ba
k
cn
c
f
l
P
H
H
n
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
返回
判断平面的可见性
b
m k
V
c f
l
M
a
B
x
n
o
P K A
L
m
ba
k
m
F
N
k
a
Cf
l
c
f
l
cn
P
n H
H
返回
例：求两平面的交线 空间及投影分析
MN并判别可见性。
平面ABC与DEF都
k
b
和KH所给定的平面
a
c g
1.由题意
f
KH∥V,
k
GF ∥H;且两
直线都属于KG
和KH所定平面；
b d
返回
例3 过点A作平行于直线BC且垂直于△ DEF的面。
c' k'
b'
X
a'
ck ba
h' d'
e' h
e d
f'
n' m'
O
设所作平面为两
条相交直线AK和
AH表示。
m
那么，使AK∥BC,
n
AH⊥ △ DEF（此 二问题前面已经解
包
括
直线与平面平行
平面与平面平行

3直线与平面、平面与平面的相对位置


将一般位置直线变换为投影面平行线为一次换面，新投影轴应平行于直
线原有的一个投影。
b'
a'
X
V H
b
a
平行
b1'
一般位置直线变换成H1面平行线
Wang chenggang
a1'
实长
换V面：轴与水平投影平行 25/86
2.直线的投影变换
1）将一般位置直线变换为投影面平行线——换H面
将一般位置直线变换为投影面平行线为一次换面，新投影轴应平行于直
Wang chenggang
21/86
3.4.2 基本变换 1.点的投影变换
1）点的一次变换： 变换V面
a'
V a'
a1'
V1
a1'
A
X
V H
X
ax
ax1
a H
a X1
HV1 X1
点的一次投影变换（变换V 面）
① 新投影与不变投影之间的连线垂直于新投影轴；
② 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。
线原有的一个投影。
a1
实长
b1
平行
b'
a'
X
V H
b
一般位置直线变换成H1面平行线
Wang chenggang
a
换H面：轴与正面投影平行 26/86
2）将投影面平行线变换为投影面垂直线 将投影面平行线变换为投影面垂直线为一次换面，新投影轴应垂直于反
映实长的投影。
c'
d'
XV H c
0 d
c1'(d1')
3.2.1一般位置直线与特殊位置平面相交

第五节 直线与平面、平面与平面之间的相对位置


d' a'
n' (m')
k' •1'
2'
c'
判别可见性：在H面中mn与 ac的交点1（2），即是直线
MN与平面上AC边对H 面的
d bm
重影点，求出1'、2'；因1'的 Z坐标大，所以kn可见。
a k• 1 (2) c n
4、平面与平面相交
两平面相交，其交线为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。
b'
影k'，再求出H面投影k。
k• a
b 由于a'k'在水平面的上方，故
水平投影ak可见，kb被圆遮 住的部分为不可见。
2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交 例3、求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。
n'
a'
d' b'
1' (2 ')
k' • c'
e'
n
a
b
2
d
(k) •1
(e)
2、平面与平面平行
几何条件：
1）、若一个平面上的两相
交直线分别平行于另一平
面上的两相交直线，则两
平面相互平行。
c'
g'
d'
e'
a'
b' f '
g
c df
e
a
b
Ⅰ ⅡⅢ
2）、若两投影面垂直
面相互平行，则它们
具有积聚性的那组投
O
影必相互平行。
例3、过点K作平面平行于△ABC

高中数学 第五讲 点 直线 平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2


【例 3】如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱垂直底 面，∠BCA=90°，点D1 、F1 分别是A1B1 、A1C1 的中点.若 BC=CA=CC1 ，则BD1与AF1 所成的角的 余弦值是（ A ）.
B
E C
A
【例 4】已知直线 a、b 和平面α ，下面推论错误的是（ D ）
a a A．若 a b b a a b C.若 a // a或a a b a
性 质 一个平面内垂直于 定 交线 的直线与另 理 一个平面垂直
常用方法
1、证明直线和平面垂直的常用方法有
(1)利用判定定理． (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)利用面面垂直的性质． 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线， 常用来证明线线垂直．
2．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计 算其为90°)． (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
3．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．
【注意】
在求平面垂直时，一般要用性质定理，在一个
平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步 转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂 直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化 方法是本讲内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这 类问题的关键．
文字语言 性 质 定 理 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面 的两条直线 平行
二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理. 文字语言 判 一个平面过另一个 定 平面的 垂线 ，则这 定 理 两个平面垂直 图形语言 符号语言
2．平面与平面垂直的性质定理.

第六章-直线与平面、平面与平面的相对位置PPT课件


直线投影具有积聚性
-
4
(3) 直线和平面均无积聚性投影
一般位置直线 一般位置平面
如何求交线？
-
5
求一般位置直线与一般位置平面之间交线的方法
——辅助平面法 （辅助垂直面法）
为方便作图，应选择辅 助平面为垂直面！！
P
K
该法求作交点的步骤：
1.含已知直线DE 作辅助垂直面P 2.求辅助垂直面P与已知平面
a
c m
n
●
c
a
d
m●
n
b
唯一解
-
25
2.平面与平面平行
定理：若甲平面内的两条相交直线对 应平行于乙平面内的两条相交直线， 则甲乙两平面平行。
依据该定理可解决两类问题：
1.判断两平面是否平行？
2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
-
26
例4：试判断两已知平面ABC 和DEF 是否平行？
答案：平行
⑶
f
a
b
m ●
d
k
●
e c
f
b
m●
e
a
●k
c d
互交
-
15
（4） 两平面均无积聚性投影
如何求交线?
-
16
用一般位置直
辅 助 垂
线与一般位置 平面相交求交 点的方法求交 线
直
面
方
法
-
17
先筛选出可能相交的边线段：
AB X BC X CA X
DE
EF X
FD
再辅助垂 直面方法 求交点
-
18
判别可见性
⑴ a
d X
a d
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9
例4：试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h h
h h
2018/11/20
h
（ c）
（ a）
（ b）
10
例5：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否 垂直于该平面。 不垂直
e f
X
O
e
f
2018/11/20 11
两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的 所有平面都垂直于该平面。
垂直问题
掌握线面垂直的投影特性及作图方法。了解面面垂直的 投影特性及作图方法。
2018/11/20
27
例 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直 线EF相交 。
X
O
2018/11/20
28
分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面 P交于H；连接KH，KH即为所求。
K F H E
1
m
X
e’
m e k 1
2018/11/20
2
O
l
n
5
垂直--直线与平面垂直;
平面与平面垂直
直线与平面垂 直的几何条件： 若一直线垂直于 平面内的任意两条 相交直线，则直线 与平面互相垂直。
定理1 若一直线垂直于一平面，则该直线的水平投影必 垂直于该平面的水平线的水平投影；其正面投影必垂直于 该平面的正平线的正面投影。
2018/11/20
B
K F
N
C
L
2
例1：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 a b e ● m(n)
f
c
d
步骤： １．空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面， 它们的正面投影都积聚成直线。 交线必为一条正垂线，只要求 得交线上的一个点便可作出交 线的投影。
２．作 图 O e X ① 求交线 a n ● ② 判别可见性 c 从正面投影上可看出， d ● 在交线左侧，平面ABC在上， m 其水平投影可见。 f b 还有何办法判别？ 可通过正面投影直 如何判别？ 还可通过重影点判别可见性。 观地进行判别。
1
PV 2 e
1
a
e
2 a
k
f 1
2018/11/20
1
18
点、直线、平面综合问题——
距离问题


基本问题：点到直线的距离 点到平面的距离 衍生问题: 两直线间距离(平行和交叉) 直线到平面的距离 两平面间的距离
2018/11/20
19
距离问题

根据要求求距离
d’
距离 的 实长
a’ k’ c’ e’
2018/11/20
29
例 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °， 与H面的夹角为45 °。
X
O
2018/11/20
30
分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的 夹角互为余角。
2018/11/20
31
作图过程
m k
|zM-zN|
m n
|yM-yN|
h n
X O
m n n
30° 45° NM
直径任取
k
|yM-yN|
m n
|zM-zN|
m
2018/11/20
h
32
作图
PV m 1 2 n
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
X
2．求直线EF与 平面KMN的交点 OH 。 3．连接KH，KH 即为所求。
h
n
2
2018/11/20
m 1
33
直线与平面、平面与平面的相对位置— —相交（含垂直） 点、直线、平面综合问题——
距离问题——作垂直、求实长(度量) 相对位置关系(定位) 角度问题(度量)

2018/11/20
1
平面与平面相交
两平面相交，其交线为直线， 交线是两平面的共有线，同时交线 M 上的点都是两平面的共有点。 求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的 方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：判别可见性。 A
n k
X
O
k n
2018/11/20
7
定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于一平面水 平线的水平投影；其正面投影垂直于该平面正平线的 正面投影，则该直线必垂直于该平面。
X
O
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例3：平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
c a
X O
a
c n
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f d
因为AD 直线不在 ABC平面上， 所以两平面 不垂直。
f d
20与已知直线EF正交。
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分析——过已知点A作平面垂直于已知直线EF，
并交于点K，连接AK，AK即为所求。
A
E
K
F
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作图
2
k
2
f
例：求图中点A到 平面CDE的距离。 解题要点： 1、作垂线; 2、求垂足; O 3、连接线段,求实长.
X
c a k
e
作图结果要求：表示 距离的线段的投影、 实长都须作出。
d
距离问题

根据要求求距离
d’ k’
例：求点A到直线CD的距离。 解题要点： 1、作垂面; 2、求垂足; 3、求实长.
a’ e’
A
D
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反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的 任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直
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两平面不垂直
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例6 平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
c
g
a
a
c
g
h
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例题 试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是 否垂直。 结论：
●
X
２．作
图
e
●
b m n
●
a f
1(2)
c
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，在上方，点 Ⅱ在BC上，在下方，故fh可见 ，n2不可见。
求两平面的交线
2 k
PV n l QV
两一般位置平面相 交，求交线步骤： 1．用求直线与平面交 点的方法，作出两平面 的两个共有点K、E。 2．连接两个共有 点，画出交线KE。
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求角度

求直线AB与P平面的夹角。
b’ p’
a’ X a b O
p
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分析
L
P
f
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小结－－本讲基本要求
相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投 影具有积聚性）交点的求法和求两个面的交线的作图方法（ 其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一 般位置面、面相交求交线的作图方法。 3．熟练掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
例2：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 b e m f ● a
步骤： １．空间及投影分析
平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef n 1 h ● ● 的交点m 、 b c与f h的交点 ● 2 n即为两个共有点的正面投影， c 故mn即交线MN的正面投影。 O h
c’ L
QV
B
a’
解题要点： 1.求线先定面; 2.明确平面的迹 线表示.
L
A
b’ d’
X
Q
a c b d
B
O
A Q
QH
求角度

直线的倾角－－用直角三角形法 平面的倾角－－用最大斜度线 两直线的夹角－－求角所在平面实形 直线与平面的夹角－－借助垂线 两平面的夹角－－作垂面
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X
d
O
k
L
P K
e
a
A
距离的实 长
距离问题

解题要点： 1.从空间理解概念; 2.明确作图思路.
K 求两交叉直线的公垂线。 C
l’
a’ c’ b’
D
K C A
D
E L
P B
A k’
c k
d’
E L
F
P
X
OB
F
a
l
b d
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空间几何元素之间相对位置关系
例：经过A点求作直线AB ，使其与Q平面平行，且 与直线CD相交。