管理统计学_异方差、自相关、多重共线性的检验

精品文档精品文档第5章、违背基本假设的问题：多重共线性、异方差和自相关回顾并再次记住最小二乘法（LS）的三个基本假设：1.y=Xβ+ε2.Rank(X)=K3.ε|X~N(0,σ2I)精品文档精品文档精品文档精品文档§1、多重共线性（multicollinearity）1、含义及后果1）完全的多重共线性如果存在完全的多重共线性（perfect multicollinearity），即在X中存在不完全为0的a i，使得a1x1+…+a K x K=0即X的列向量之间存在线性相关。

因此，有Rank(X)<K，从而|X’X|=0，即b=(X’X)-1X’y不存在，OLS失效。

也即违背了基本假设2。

精品文档例子：C=β1+β2nonlabor income + β3salary +β4income + ε精品文档精品文档精品文档2）近似共线性 常见为近似共线性，即a 1x 1+…+a K x K ≈0则有|X’X|≈0，那么(X’X)-1对角线元素较大。

由于21|[,(')]b X N X X βσ-， 21|[,(')]k k kk b XN X X βσ-，所以b k 的方差将较大。

例子：Longley 是著名例子。

精品文档精品文档精品文档精品文档2、检验方法1）VIF 法（方差膨胀因子法，variance inflation factor ）第j 个解释变量的VIF 定义为21VIF 1j jR =- 此处2j R 是第j 个解释变量对其他解释变量进行回归的确定系数。

若2j R 接近于1，那么VIF 数值将较大，说明第j 个解释变量与其他解释变量之精品文档精品文档间存在线性关系。

从而，可以用VIF 来度量多重共线性的严重程度。

当2j R 大于0.9，也就是VIF 大于10时，认为自变量之间存在比较严重的多重共线性。

K 个解释变量，就有K 个VIF 。

可以计算K 个VIF 的平均值。

异方差检验与修正题目如下：由表中给出1985年我国北方几个省市农业总产值，农用化肥量、农用水利、农业劳动力、每日生产性固定生产原值以及农机动力数据，要求：（1） 试建立我国北方地区农业产出线性模型； （2） 选用适当的方法检验模型中是否存在异方差； （3） 如果存在异方差，采用适当的方法加以修正。

一、模型设定选择农业总产值为被解释变量Y ；选择农业劳动力、灌溉面积、化肥用量、户均固定、农机动力分别为解释变量1X 2X 3X 4X 5X 。

数据如下：地区 农业总产值 农业劳动力 灌溉面积 化肥用量 户均固定农机动力（亿元）（万人） （万公顷） (万吨） 资产（元） （万马力）北京 天津河北 1639 .0山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江 山东 河南陕西 764新疆二、描述性统计view-discriptive stats-common sample 的结果：individual sample的结果：三、散点图为四、参数估计设定线性回归模型：Y=C+1β1X +2β2X +3β3X +4β4X +5β5X +μ利用EViews 统计软件估计模型的参数，其输出结果如表1： 根据表1中的数据，模型估计的结果为： Y= + + 12X2 - + - （） （） （） （） （） （） R 2= 2R = .= F=表 1五、检验1.拟合优度检验无论是可决系数还是调整后的可决系数均较大，表明该模型拟合地很好。

2.异方差检验对所估计的模型进行怀特检验。

输出结果如下表所示。

检验结论:在显著水平为的条件下,检验结果显示:本模型不具有异方差性.六、结论：该模型怀特检验的t值明显大于，因而是小概率事件，接受原假设，说明该模型不具有异方差性。

从其数据特征来看可能具有多重共线性。

多重共线性的检验题目如下：下表是国内旅游收入Y 及解释变量的时间序列观测值：年 份国内旅游收入Y （亿元） 国内旅游人数X2（万人次）城镇居民人均旅游支出X3 （元）农村居民人均旅游支出X4 （元）公路里 程 X5（万公里） 铁路里 程X6（万公里） 1994 52400 1995 62900 1996 63900 1997 64400 1998 69450 1999 71900 2000 74400 2001 78400 2002 87800 200387000请分析上述数据是否存在多重共线性，并完成修正。

实验名称：多元回归模型的异方差、自相关性、多重共线性检验【实验内容】表4-7给出了我国1995-2007年名义服务产业产出（Y）、服务员就业人数（X1）、软件外包服务收入（X2）和技术进步知识（X3）的数据。

试完成：表4-7 我国1995-2007年名义服务业产出、服务员就业人数、软件外包服务收入和技术进步指数的数据年份名义服务业产出(亿元)服务员就业人数(万人)软件外包服务收入(亿美元)技术进步指数1995 19978.5 16880 0.09 1.0861996 23326.2 17927 0.08 1.0891997 26988.1 18432 0.11 1.0471998 30580.5 18860 0.14 1.0651999 33873.4 19205 0.58 1.0152000 38714 19823 1.06 0.9992001 44361.6 20228 1.8 1.0212002 49898.9 21090 3.26 1.1392003 56004.7 21809 4 0.7722004 64561.3 23011 6.33 1.342005 73432.9 23771 9.6 1.452006 84721.4 24614 14.3 1.582007 100053.5 24917 22.06 1.64(1)根据表4-7的数据建立多元回归模型，并进行估计。

(2)用White检验法对回归模型的随机干扰项进行异方差检验。

(3)用LM检验法回归模型的随机干扰项进行自相关检验。

(4)根据回归方程的结果判断各项系数是否通过了t检验，方程是否通过了F检验。

【实验步骤】（一）参数估计：打开EViews软件，输入数据，估计样本回归方程（操作方法同第二章案例的建立工作文件部分）如下图：根据上图，模型的估计的回归方程为：Y=-76769.99+6.0453X1+1631.505X2-6206.783X3 （0.199） (2.235) (31.487) (17.770)998.02=R 181.1617=F 括号内为t 统计量值。

案例七 多重共线性检验与修正估计1234123i i i i i CS GDP GDP GDP ββββµ=++++其中CS 表示广东省财政收入，GDP1、GDP2、GDP3分别表示广东省三个产业增加值。

广东省宏观经济数据（单位：亿元、万人、元、%）年份 财政收入 第一产业第二产业第三产业CS GDP1GDP2GDP3 1978 41.82 55.31 86.62 43.92 1979 36.25 66.62 91.65 51.06 1980 37.79 82.97 102.53 64.14 1981 41.01 94.30 120.34 75.71 1982 42.23 118.17 135.37 86.39 1983 44.29 121.24 152.27 95.24 1984 49.28 145.25 187.55 125.93 1985 69.27 171.87 229.82 175.69 1986 82.41 188.37 255.88 223.28 1987 95.88 232.14 330.35 284.20 1988 107.57 306.50 460.17 388.70 1989 136.87 351.73 554.13 475.53 1990 131.02 384.59 615.86 558.58 1991 177.35 416.00 782.67 694.63 1992 222.64 465.83 1100.32 881.39 1993 346.56 558.70 1704.88 1205.70 1994 298.70 692.25 2253.25 1673.52 1995 382.34 864.49 2900.22 2168.34 1996 479.45 935.24 3307.51 2592.22 1997 543.95 978.32 3704.39 3091.81 1998 640.75 994.55 4067.12 3469.21 1999 766.19 1009.01 4359.00 3882.66 2000 910.56 986.32 4999.51 4755.42 2001 1160.51 988.84 5506.06 5544.35 2002 1201.61 1015.08 6143.40 6343.94 2003 1315.52 1072.91 7592.78 7178.94 2004 1418.51 1219.84 9280.73 8364.05 20051807.201395.23 11339.939631.37Dependent Variable: CS Method: Least Squares Date: 06/10/09 Time: 00:41 Sample: 1978 2005 Included observations: 28Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 35.11563 16.65440 2.108489 0.0456 GDP1 0.028480 0.052746 0.539950 0.5942 GDP2 -0.048129 0.029830 -1.613485 0.1197 GDP30.2282070.0305297.4751300.0000 R-squared0.993321 Mean dependent var 449.5546 Adjusted R-squared 0.992486 S.D. dependent var 509.5465 S.E. of regression 44.17004 Akaike info criterion 10.54553 Sum squared resid 46823.81 Schwarz criterion 10.73585 Log likelihood -143.6375 F-statistic 1189.718 Durbin-Watson stat2.063433 Prob(F-statistic)0.000000Step1：直观分析估计结果表明拟合优度很高，但是参数的t检验不显著。

第二章异方差性、自相关性和多重共线性思考与练习参考答案2.1参考答案答：随机误差项方差随观察单位而变的现象为异方差。

影响：(1)尽管OLS估计仍无偏，但起方差不再有效(即最小方差性不具备)，且模型误差项方差估计有偏.(2)t检验、F 检验失效，从而对参数、模型整体的显著性判断不可靠.(3)预测精度低，模型的应用失效.2.2参考答案答：G---Q检验原理:(1)假定随机误差项方差σ2t 与某一解释变量Xti成正(负)相关；(2)对样本观察值按Xi升序排列后去除中间的部分样本值；(3)分别以剩下的两部分样本值为子样，利用ＯＬＳ法计算各自的方差估计值；(4)以两子样的方差估计值构造Ｆ统计量，判断两子样的方差是否差异显著。

若显著，则存在异方差；否则反之。

White检验原理：通过构造辅助回归模型e2t =β+tipiix∑=1β+tjpjitiijxx∑=1,β来判断零假设H0：①E(Ut)=2σ(t=1，2，3……N) ，并且②模型设定Ｙ＝ＸＢ+Ｕ正确若检验显著，则否定零假设，从而认为存在异方差或者模型设定错误；若检验不显著，则接受零假设。

White、Park和Glecses检验均使用辅助回归模型来探测住回归方程系数显著性检验来探测异方差性。

其间区别在于：Park和Glecses检验是通过辅助回归方程系数显著性来探测异方差；而White检验则是通过辅助回归方程整体显著性来检验探测主回归模型是否存在异方差性或者设定误差。

2.3参考答案答：WLS发实质上为模型变换法.考虑回归模型Y t =b 0+b 1x t +U t ，假设其存在异方差性并且Var(U t )=2t σ=K 2其中K 为常数，对远模型使用权数为W t =1/)/(t x t 的WLS 法进行估计时，实质上是对原模型作了变换，变换后的形式为：)(t tx f Y =)(0t x f b +)(1t tx f x b +)(t tx f v经过转换后，模型的异方差性被清除了。

多重共线性、异方差、自相关的检测与模型修正从《国家统计数据库》找到了自1978—2008年我国人均居民消费、人均国内生产总值、居民消费价格指数、前期人均居民消费、城镇居民人均可支配收入以及农村居民人均纯收入的官方数据。

以此来分析我国人均消费的影响因素以及它们具体是如何对消费产生影响的。

1978—2008年我国人均消费及其影响因素相关数据城镇居民农村居民人均居民人均国内居民消费前期人均年份人均可支人均纯收消费生产总值价格指数居民消费配收入入343 134 1978 184 381 100.7 165405 160 1979 208 419 101.9 184477 191 1980 238 463 107.5 208501 223 1981 264 492 102.5 238535 270 1982 288 528 102 264564 310 1983 316 583 102 288652 355 1984 361 695 102.7 316739 398 1985 446 858 109.3 361901 424 1986 497 963 106.5 4461002 463 1987 565 1112 107.3 4971180 545 1988 714 1366 111.8 5651373 602 1989 788 1519 118 7141510 686 1990 833 1644 103.1 7881701 709 1991 932 1893 103.4 8332027 784 1992 1116 2311 106.4 9322577 922 1993 1393 2998 114.7 11163496 1221 1994 1833 4044 124.1 13934283 1578 1995 2355 5046 117.1 18334839 1926 1996 2789 5846 108.3 23555160 2090 1997 3002 6420 102.8 27895425 2162 1998 3159 6796 99.2 30025854 2210 1999 3346 7159 98.6 31596280 2253 2000 3631 7858 100.4 33466859 2366 2001 3886 8622 100.7 36317703 2476 2002 4143 9398 99.2 38868472 2622 2003 4474 10542 101.2 41439422 2936 2004 5031 12336 103.9 447410493 3255 2005 5572 14053 101.8 503111759 3587 2006 6263 16165 101.5 557213786 4140 2007 7255 19524 104.8 626315781 4761 2008 8348 23648 105.9 7255来自《国家统计数据库》设定如下形式的计量经济模型1:=++++ Y,X,,,X,Xi33i24124其中，Y为人均居民消费 , X2为人均国内生产总值 , X3为居民消费价格指数 , X4为前期人均消费。

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●●●学术利剑Stata ：论文中数据分析的一把利剑学术论文分析利剑 Stata的简介异方差Stata检查是否存在异方差的方法：1、看残差图，模型回归之后使用即可rvfplot（残差与拟合值的散点图）rvpplot（残差与解释变量的的散点图）2、White检验其基本命令是在完成基本的OLS 回归之后，输入imtest， white如果输出的P-Value 显著小于0.05，则拒绝原假设，即不存在异方差性3、BP(Breusch and Pagan,1979)检验关于stata处理异方差问题的命令基本命令是：estat hettest var1 var2 var3其中，var1 var2 var3 分别为你认为导致异方差性的几个自变量。

是你自己设定的一个滞后项数量。

同样，如果输出的P-Value 显著小于0.05，则拒绝原假设，即不存在异方差性。

estat hettest（默认设置使用拟合值y_hat）estat hettest（使用方程邮编的解释变量，而不是y_hat）estat hettest varlist（指定使用某些解释变量）解决办法方法一：WLSWLS是GLS（一般最小二乘法）的一种，也可以说在异方差情形下的GLS就是WLS。

在WLS下，我们设定扰动项的条件方差是某个解释变量子集的函数。

之所以被称为加权最小二乘法，是因为这个估计最小化的是残差的加权平方和，而上述函数的倒数恰为其权重。

在stata中实现WLS的方法如下：reg （被解释变量）（解释变量1）（解释变量2）…… [aweight=变量名]其中，aweight后面的变量就是权重，是我们设定的函数。

一种经常的设定是假设扰动项的条件方差是所有解释变量的某个线性组合的指数函数。

在stata中也可以方便地实现：首先做标准的OLS回归，并得到残差项；reg （被解释变量）（解释变量1）（解释变量2）……predict r, resid生成新变量logusq，并用它对所有解释变量做回归，得到这个回归的拟合值，再对这个拟合值求指数函数；gen logusq=ln(r^2)reg logusq (解释变量1) （解释变量2）……predict g, xbgen h=exp(g)最后以h作为权重做WLS回归；reg （被解释变量）（解释变量1）（解释变量2）…… [aweight=h]如果我们确切地知道扰动项的协方差矩阵的形式，那么GLS估计是最小方差线性无偏估计，是所有线性估计中最好的。

第5章、违背基本假设的问题：多重共线性、异方差和自相关回顾并再次记住最小二乘法（LS）的三个基本假设：1.y=Xβ+ε2.Rank(X)=K3.ε|X~N(0,σ2I)1 / 51§1、多重共线性（multicollinearity）1、含义及后果1）完全的多重共线性如果存在完全的多重共线性（perfect multicollinearity），即在X中存在不完全为0的a i，使得a1x1+…+a K x K=0即X的列向量之间存在线性相关。

因此，有Rank(X)<K，从而|X’X|=0，即b=(X’X)-1X’y不存在，OLS失效。

也即违背了基本假设2。

例子：C=β1+β2nonlabor income + β3salary +β4income + ε2 / 513 / 514 / 512）近似共线性 常见为近似共线性，即a 1x 1+…+a K x K ≈0则有|X’X|≈0，那么(X’X)-1对角线元素较大。

由于21|[,(')]b X N X X βσ- ， 21|[,(')]k k kk b X N X X βσ- ，所以b k 的方差将较大。

例子：Longley 是著名例子。

5 / 516 / 512、检验方法1）VIF 法（方差膨胀因子法，variance inflation factor ）第j 个解释变量的VIF 定义为21VIF 1j jR =- 此处2j R 是第j 个解释变量对其他解释变量进行回归的确定系数。

若2j R 接近于1，那么VIF 数值将较大，说明第j 个解释变量与其他解释变量之间存在线性关系。

从而，可以用VIF 来度量多重共线性的严重程度。

当2j R 大于0.9，也就是VIF 大于10时，认为自变量之间存在比较严重的多重共线性。

K个解释变量，就有K个VIF。

可以计算K个VIF的平均值。

若大于10，认为存在比较严重的多重共线性。

VIF方法直观，但是Eviews不能直接计算VIF的数值。

Ch5 双变量回归的区间估计与假设检验 (Interval estimation and hypothesis test) 第三章的OLS 得到如下模型：1224.45450.5091i i iY X X ββ∧∧=+=+上述模型中(MPC)2β∧=0.5091，与2β的差距有多大？(虽然E(2β∧)=2β)。

寻找δ和α(0<α<1)使随机区间（2β∧-δ，2β∧+δ）包含2β的概率为1-α 一、区间估计我们是否能找到一个区间，使其包含真值。

22222()1(,)P βδββδαβδβδ∧∧∧∧-≤≤+=--+为置信区间*置信区间是随机的。

二、12ββ和的置信区间2β的置信区间:222~(,())N V a r βββ∧∧222~(0,1)()z N se ββσβ∧∧-==因σ未知，则:22222()tseββσβββσ∧∧∧∧--===~遵循自由度为n-2的t分布。

用t分布建立2β的置信区间22()1p t t tααα-≤≤=-给定α，可以确定一个临界值2tα，t在此区间[－2tα，2tα]的概率为1-α。

22222()1()p t tseααββαβ∧∧--≤≤=-2222222222(()())1100(1)()p t se t set seαααβββββαβαββ∧∧∧∧∧⇒-≤≤+=-⇒-±2的置信区间为:同理可推出1β的置信区间：112()t seαββ∧∧±注：置信区间宽度的决定因素：22()t se αβ∧（＝=）在支出一收入一例中220.5091,()0.0357,8.5%se df ββα∧∧====取22.306t α=则；2(0.5091 2.3060.03570.5091 2.3060.0357)15%p β-⨯≤≤+⨯=-2(0.42680.5914)95%p β≤≤=解释：从长远看，在类似于（0.4268,0.5914）的每100个区间，将有95个包含真实的2β值。