高三数学反函数1

2.5 反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x－1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x =y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展 若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1） B.y =x 2－2x +2（x ≥1） C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）. 答案：B2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B （理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 解析：y =e 2x ⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）. 答案：C3.函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.a ∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是C解析：y =log 2x ⇔x =2y ⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x . 答案：C 5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b 的图象上. 把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b 可得.答案：－712 7106.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，设f （x ）的反函数是y =g（x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x －1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x .∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---xx 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x ∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2. 答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m5=5，得m =－1. 8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得 f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx -+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx -+11＞1.当a ＞1时， 原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0. ∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于A.10－x －1B.10x －1C.1－10－xD.1－10x 解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值.解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝axax +-11的反函数为y ＝a ax x +-1.∵函数y ＝axax+-11的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax+-11＝a ax x +-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。

高三数学反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲一、反函数1. 函数y f x =()存在反函数的条件若函数y f x =()有定义域为A ，值域为B ，对于B 中每一个元素y 0，在A 中都有唯一确定的元素x 0与之对应，则函数y f x =()存在反函数，记为y f x =-1()，否则，就不存在反函数。

2. 互为反函数的图像之间的关系 互为反函数的图像关于直线y x =对称由此可得到如下结论：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ②fa b f b a -=⇔=1()()③函数y f x =()与x f y =-1()的图像完全相同。

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。

3. 求y f x =()的反函数的一般步骤 ①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由y f x =()的解析式解出x f y =-1()③将x 、y 对换、得反函数的习惯表达式y f x =-1()并注明定义域二、二次函数1. 二次函数的基本知识（1）定义：形如f x ax bx c a ()()=++20≠的函数叫做二次函数。

（2）图像：二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。

（3）性质：二次函数y ax bx c a =++20()≠的单调性是以项点的横坐标x ba=-2分界。

当a ＞0时，x ba∈-∞-(]，，2f x ()单调递减，x b a ∈-+∞[)2，，f x ()单调递增。

当a ＜0时，x b af x ∈-∞-(]()，，2单调递增，x ba f x ∈-+∞[]()2，，单调递减。

2. 二次函数的解析式（1）一般式f x ax bx c a ()()=++20≠； （2）顶点式f x a x k h a ()()()=++20≠； （3）零点式f x a x x x x a ()()()()=--120·≠；求解析式都是用待定系数法。

高三数学反函数试题答案及解析1.已知函数，则．【答案】1【解析】因为，所以因此【考点】反函数2.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为，函数的反函数是，则有，设，则，所以，即函数.【考点】1.反函数；2.函数图像的平移变换3.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为．【答案】【解析】由题意知，，所求的切线斜率为，所以切线方程为化简即.【考点】互为反函数的函数图象的关系，导数的几何意义，切线方程的求法.4.函数的反函数是．【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2，x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的解析式的求解，属于基础题。

5.函数的反函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据已知函数，函数，由得，所求反函数为，选B。

【考点】反函数点评：主要是考查了反函数的求解，属于基础题。

6.若满足2x+="5," 满足2x+2(x－1)="5," +＝A．B．3C．D．4【答案】A【解析】如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x－1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A【考点】本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性。

点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了。

7.函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=_______．【答案】-1【解析】因为函数为奇函数，是y＝f(x)的反函数，若f(3)=0则=-18.已知函数f (x)=a x+2-1（a>0，且a≠1）的反函数为．（1）求；（注意：指数为x+2）（2）若在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；（3）设函数，求不等式g(x)≤对任意的恒成立的x的取值范围．(x+1)-2(x>-1)．（2）或．【答案】（1）=loga（3）满足条件的x的取值范围为．【解析】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题（y+1）-2，即可得f-1（x）；（1）由y="f" （x）=a x+2-1，求得x=loga（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；（3）由题意可得转化为不等式x2≤a3+1对任意的恒成立，从而可求得x的取值范围。

【本讲主要内容】反函数的概念，互反函数的关系，反函数的简单应用。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 反函数的概念定义方法1：设确定函数)(x f y =，A x ∈，C y ∈的映射f 是从A 到C 的一一映射，则其逆映射1-f：A C →确定的函数记作)(1x fy -=为)(x f y =的反函数。

定义方法2：若对于函数)(x f y =，A x ∈，C y =从中解出)(y x ϕ=，且x 是y 的函数，则记)(1x y -=ϕ（C x ∈）是)(x f y =的反函数。

注：反函数首先是函数，其具有作为函数的独立性，一律是函数集合中的元素，但寻找它们之间的联系，便是)(x f y =与)(1x f y -=称作互反函数的。

2. 互反函数的关系设)(x f y =的反函数是)(1x fy -=（1）)(x f y =的定义域和值域分别是函数)(1x f y -=的值域和定义域。

有些时候，通过求)(1x fy -=的定义域寻找)(x f y =的值域。

（2）单调函数必有反函数，但有反函数的函数不一定单调。

（是否有反函数，还应从定义分析）（3）互反函数的图象间关于直线x y =对称；若两个函数图象关于x y =对称，可认为它们是互为反函数的，特别的，一个函数图象本身关于直线x y =对称，可称它为自反函数，即它的反函数即自身。

（4）由于在一个区间内自变量值的顺序与其对应函数值的顺序始终一致，称此函数为增函数，相反称为减函数，故互反函数单调性一致（如果是单调函数，单调性一致）（5）偶函数不可能有反函数，如果一个函数是奇函数，其有反函数则其反函数也必然是奇函数。

（如3x y =的反函数3x y =）【解题方法指导】[例1] 判断下列函数在各自给的区间内是否有反函数。

（1）xy 1=),0()0,(+∞⋃-∞∈x（2）x x y 22-= ),(+∞-∞∈x （3）x y sin = ]23,2[ππ∈x（4）x y ln = ),0(+∞∈x （5）x y -=12 ),(+∞-∞∈x 解：（1）由x y 1=yx y x 100=≠⇒≠⇒，x 是关于y 的函数∴ 有反函数且为其自身（2）11111)1(2+±=⇒+±=-⇒--=y x y x x y此式对于y 在),1(+∞-上任意取值，都有11+±y 两个值与之对应，即x 非y 的函数，故没有反函数。

高考数学必学反函数的性质数学是人类智慧的结晶，高考数学更是考验青年才华的阶梯。

其中，反函数是必须掌握的知识。

反函数的性质是高考数学中重要的一块。

本文将从反函数的定义、性质等方面对此进行解析。

一、反函数的定义反函数，顾名思义，是数学中的一种特殊函数。

它是一种将原有函数的定义域和值域互换并且有映射关系的函数。

换言之，如果一个函数f(x)与另一个函数g(x)满足以下条件，那么g(x)就是f(x)的反函数：1. f(x)是单调函数；2. f(x)的定义域和值域分别为[A,B]和[C,D]；3. g(x)与f(x)的定义域和值域互换，也就是说，g(x)的定义域为[C,D]，值域为[A,B]。

二、反函数的性质1.反函数性质的定义在反函数的定义中，已经提到了反函数的主要性质：反函数与原函数的定义域和值域互换。

因此，反函数的主要性质可以总结如下：（1）反函数存在的必要条件是原函数必须是一一映射函数；（2）反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域互换；（3）反函数的导函数等于原函数的导函数的倒数，即f'(g(x))=1/g'(x)。

2.反函数的可导性反函数的可导性也是一个非常重要的性质。

通常情况下，如果一个函数是连续函数且可导，那么它的反函数也应该是连续可导的。

但是，这个性质在较少的情况下不成立，因而反函数的可导性需要我们单独来探讨。

举个例子，如果将y=x^3的图形按y=x的直线做对称，产生的函数是y=x^(1/3)。

由于y=x^3是连续可导的函数，在其定义域上一定是单调递增的函数，因此它的反函数y=x^(1/3)也是单调递增的，且在x≠0处也是连续可导的。

但是，在x=0处，y=x^(1/3)的导数不存在。

这就意味着，反函数的可导性不仅仅取决于原函数的可导性，还受到其定义域和取值范围的影响。

三、反函数的应用反函数的应用非常广泛。

例如，在统计学中，反函数可以用来研究概率分布，因为大多数的概率分布函数具有单调性。

反函数基本公式大全反函数是指对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，且g(f(x)) = x成立，那么g(x)就是f(x)的反函数。

在数学中，反函数是一个非常重要的概念，它在解方程、求导、积分等数学问题中都有着重要的应用。

因此，了解反函数的基本公式是十分必要的。

1. 一次函数的反函数。

对于一次函数y = kx + b，它的反函数可以通过以下公式来求解：x = ky + b。

y = (x b) / k。

其中k为一次函数的斜率，b为截距。

通过这个公式，我们可以很容易地求出一次函数的反函数。

2. 二次函数的反函数。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的反函数的求解就稍微复杂一些。

我们可以通过以下步骤来求解二次函数的反函数：首先，将y = ax^2 + bx + c中的y替换为x，然后解出关于x的二次方程；接着，将得到的解中的x和y互换位置，得到的表达式就是二次函数的反函数。

3. 对数函数的反函数。

对数函数y = loga(x)的反函数是指数函数y = a^x。

其中，a为对数函数的底数。

这两个函数是互为反函数的关系，它们的图像关于y=x对称。

4. 指数函数的反函数。

指数函数y = a^x的反函数是对数函数y = loga(x)。

同样地，这两个函数也是互为反函数的关系，它们的图像关于y=x对称。

5. 三角函数的反函数。

对于三角函数y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)等，它们的反函数分别是反正弦函数y = arcsin(x)、反余弦函数y = arccos(x)、反正切函数y = arctan(x)等。

这些反函数在三角函数的求解中具有重要的作用。

6. 复合函数的反函数。

对于复合函数f(g(x))，它的反函数可以通过以下公式来求解：g(f(x)) = x。

f(g(x)) = x。

通过这些公式，我们可以求解复合函数的反函数，从而在数学问题中得到更加简洁的表达式。

八、反函数一、 反函数的定义1、 传统定义：设有函数M x f(x)y ∈=，，其值域为N ，若由y=f(x)解出x=g(y)且对于任意的N y ∈，通过x=g(y)都有唯一的M x ∈和它相对应，则把函数x=g(y)，N y ∈叫作函数M x f(x)y ∈=，的反函数。

一般记作N.x (x),f y -1∈=2、 现代定义：如果给的定函数的对应法则f 是定义域M 到值域N 上的一一映射，那么由其逆映射 -1f 所确定的函数N y (y),f x -1∈=叫做函数M x f(x)y ∈=，的反函数。

一般记作N.x (x),f y -1∈=3、 反函数的本质：y=f(x)与x=g(y)是两个集合M 、N 的元素x 、y 之间的一一对应关系的两种表现形式，可以统一为一个二元方程F(x 、y)=0。

二、反函数的求法：根据定义可以按以下步骤得到函数M x f(x)y ∈=，的反函数。

1、 反解———求出反函数的对应法则 -1f 。

得(y)f x -1=2、 交换———把x 、y 的位置互换。

得(x)f y -1=3、 求出函数M x f(x)y ∈=，的值域N ，即为反函数的定义域。

得到函数M x f(x)y ∈=，的反函数：N.x (x),f y -1∈=。

（三个步骤的先后次序可以交换）三、 互为反函数的两个函数的关系1、 定义域和值域互反；2、 对应法则互逆；3、 在同一坐标系中，M x f(x)y ∈=，的图象与N y (y),f x -1∈=的图像是同一图像；M x f(x)y ∈=，的图象与N.x (x),f y -1∈=的图像关于直线y=x 对称。

四、 一些值得思考的问题1、 什么样的函数才有反函数（1） 充分条件：定义域内的单调函数必有反函数。

（2） 图象特点：平行于x 轴的直线与函数的图像最多只有一个交点。

2、 有反函数的函数是否一定是单调函数？不一定。

例如： ⎩⎨⎧<≤<≤+=1)x (0 x 0)x (-1 1x -y 不是单调函数，但有反函数⎩⎨⎧≤<<≤=2)x (1x-11)x (0 x y 3、 反函数的单调性：与原函数相同。