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高一数学中的反函数与对数函数有何特性在高一数学的学习中，反函数与对数函数是两个重要的概念，它们具有独特的特性和应用。
理解这些特性对于我们掌握数学知识、解决数学问题以及培养数学思维都具有重要意义。
首先，让我们来了解一下反函数。
反函数是指对于一个给定的函数，如果把它的自变量和因变量互换，所得到的新函数就是原函数的反函数。
通俗地说，如果函数 f(x) 把 x映射到 y，那么它的反函数就把 y 映射回 x。
反函数存在的条件是原函数必须是一一映射。
也就是说，对于原函数定义域内的每一个 x 值，都有唯一的 y 值与之对应；反过来，对于值域内的每一个 y 值，也都有唯一的 x 值与之对应。
以最简单的一次函数 y ＝ 2x 为例，它是一个一一映射的函数。
我们将 x 和 y 互换，得到 x ＝ 05y，然后将 y 写成自变量的形式，即 y ＝05x，这就是原函数的反函数。
反函数的图像与原函数的图像关于直线 y ＝ x 对称。
这是反函数的一个重要特性。
通过这个特性，我们可以通过研究原函数的图像来了解反函数的图像特征，反之亦然。
反函数的性质还体现在其定义域和值域上。
原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。
接下来，我们再看看对数函数。
对数函数是以对数形式表示的函数，常见的有以自然常数 e 为底的自然对数函数（ln x）和以 10 为底的常用对数函数（log₁₀ x）。
对数函数的定义是：如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐ N ＝ b。
对数函数的定义域是（0，＋∞），因为对数中的真数必须大于 0。
对数函数具有一些重要的性质。
首先，当底数 a＞1 时，函数单调递增；当 0＜a＜1 时，函数单调递减。
例如，对于函数 y ＝ log₂ x，因为底数 2＞1，所以它在定义域内是单调递增的。
而对于函数 y ＝ log₀5 x，由于底数 05＜1，所以它在定义域内是单调递减的。
反函数
1．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x
＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表
示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记
作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
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函数一、函数：1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义1． 求值域的几种常用方法〔1〕配方法：对于〔可化为〕“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决〔2〕基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
〔3〕判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域 由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，假设0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；假设0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- 〔4〕别离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
一、对数1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。
实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
3、对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m na M =nmlog a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =bNa a log log （0<a ≠1，0<b ≠1，N ＞0）.二、反函数1、反函数定义一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=()1fy -。
在习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=()x A ∈2、关于反函数的结论（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与()1y f x -=图像关于直线y=x 对称；若点M （a ，b ）在y=f(x)的图像上，则点'M (b,a)必在()1y fx -=图像上；（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,{}0x ∈除外，其中c 为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如1y x=； 对数、反函数知识梳理（5）y=f(x)与()1y fx -=互为反函数，设f(x)定义域为D ，值域为A ，则有f[()1fx -]=x ()x A ∈,()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦;（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ()1y f x -=,()1x f y -=与函数y=f(x)的比较；（9）y=f(x)与()1y fx -=图像若有公共点，并非一定在y=x 上，例如：f(x)=116x⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1116log f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x 对称3、求反函数的步骤（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；（2）反解：由y=(x)解出()1x f y -=；（3）改写：在()1x fy -=中，将x,y 互换得到()1y f x -=；（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析 方法一 先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三 对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四 反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法 要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义． 跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________． 答案 y ＝e x解析 由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项； 当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 答案 (2,1)解析 函数图象过定点，则与a 无关， 故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1， 所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________． 答案 y ＝10x解析 由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案 －32解析 设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)． 三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解 因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。
反函数与对数函数【知识梳理】1. 反函数的概念设函数()y f x =的定义域为D, 值域为A, 若对于A 中的每一个确定的y , 都有唯一确定的D 中的x 与之对应, 则由这一对应法则得到的函数称为()y f x =的反函数; 记作1()x f y -=. 习惯上仍记作1()y f x -=.2. 函数存在反函数的判定(整体性质)(1) 对应法则f 是一个一一对应;(2) 函数的图像满足水平线法则(用于否定);(3) 反函数定理. 若一个函数在其定义域内单调, 则其必存在反函数, 且其反函数的单调性与其一致.3. 函数与反函数间的关系(1) 函数的定义域是反函数的值域; 函数的值域是反函数的定义域;(2) 对应法则满足:1(())(A)f f x x x -=∈, 1(())(D)f f x x x -=∈;(3) 它们的图像关于直线y x =对称;(4) 性质(3)具体到点上: 若一个函数()y f x =过点(,)a b , 则其反函数必过点(,)b a .4. 求一个函数的反函数(1) 遵循以下步骤: ①求出原函数的值域; ②用y 表示x , 有分歧找定义域; ③x , y 互换, 写上定义域;(2) 分段函数求反函数应当分段求值域, 分段求解析式, 最后仍表示成分段的形式.5. 对数函数及其性质形如log (0,1)a y x a a =>≠的函数称为对数函数. 对数函数具有如下性质:(1) 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数;(2) 对数函数的定义域是(0,)+∞, 值域是R;(3) 对数函数非奇非偶;(4) 对数函数过定点(1,0), 这是函数值正负的分界点;(5) 对数函数当1a >时, 是单调递增的; 当01a <<时, 是单调递减的.【典型例题】例1. 判断下列命题的真假, 并说明理由.(1) 若函数()y f x =的图像与y a =有两个交点, 则此函数不存在反函数;(2) 一个函数的反函数可能是其本身;(3) 若一个函数的图像和它反函数的图像有公共点, 则公共点必在一三象限角平分线上;(4) 反函数与原函数具有相同的奇偶性.例2. 求下列函数的反函数.(1)221(0)y x x x =--≤;(2)y =;(3)12log (1)1(1)y x x =-+<;(4)1()(0,1,0)2x x y a a a a x -=+>≠≥.例3. 求函数2 1 1() 1 1x x f x x x ⎧+≤-=⎨-+>-⎩的反函数.例4. 已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭, 求13x f -⎛⎫⎪⎝⎭.例5. 函数与反函数的图像(1) 若函数1()y f x -=是函数()y f x =的反函数, 且函数1()y f x -=过定点(1,0), 则函数1(1)2f x -的反函数图像一定过点___________;(2) 23()1x f x x +=-, 函数()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于y x =对称, 求(11)g 的值.例6. 解下列不等式 (1)22151311()()22x x x --+>; (2)20.50.5log (215)log (13)x x x -->+.例7. 已知函数()21x f x =-有反函数1()f x -, 4()log (31)g x x =+;(1) 若1()()f x g x -≤, 求x 的取值范围D ;(2) 设函数11()()()2H x g x f x -=-, 当x D ∈时, 求函数()H x 的值域.【巩固练习】1. 函数1()4(0,1)x f x a a a -=+>≠的反函数的图像经过的定点的坐标是……………...............................( )A. (1,4)B. (1,5)C. (5,1)D.(4,1)2. 设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1), 反函数的图像过点(2,8), 则a b +的值为...( )A. 3B. 4C. 5D.63. 函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为…….…………………………………………………..........................( )A. 1(R)x y e x +=∈B. 1(R)x y e x -=∈C. 1(1)x y e x +=>D. 1(1)x y e x -=>4. 设3()|log |f x x =, 若()(3.5)f x f >, 则x 的取值范围是………………………………...........................( ) A. 27(0,)(1,)72⋃ B. 7(,)2+∞ C. 27(0,)(,)72⋃+∞ D. 27(,)725. 函数1()ln 1x f x x+=-的定义域是 ; 6. 函数20.3()log (32)f x x x =-+的单调区间是 ;7. 若函数2()412([,))f x x x x a =+-∈+∞存在反函数, 则实数a 的取值范围是 ;8. 已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称, 则m 的值是___________; 9. 已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3), 函数1()(0)f x a x -+>的图像经过(4,2), 试求函数1()f x -的表达式.10. 是否存在实数a , 使得2()log ()a f x ax x =-在区间[2,4]上是增函数? 若存在, 求出a 的值(或范围); 若不存在, 说明理由.。
高一对数函数知识点梳理对数函数是高中数学中的一个重要概念，对数函数既是指数函数的逆运算，也是一种特殊的函数类型。
在高一阶段，对数函数是数学课程中的重点，它的概念和性质需要我们掌握清楚。
本文将对高一对数函数的知识点进行梳理和总结，以帮助大家更好地理解和应用。
一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对于任意的正实数a和正实数x，以a为底的对数函数定义为：y=logₐx，其中a>0且a≠1，x>0。
其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对数函数是解指数方程的重要工具，可以帮助我们求解各种数学问题。
2. 对数函数的性质：（1）对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)（2）对数函数的值域为实数集(-∞,+∞)（3）对数函数的图像在x轴的正半轴上是递增的（4）对数函数的图像在x=a处有唯一的切线，且斜率为1/a （5）对数函数y=logₐx的反函数是指数函数y=aˣ二、对数函数的基本公式1. 对数的运算法则：（1）对数乘法公式：logₐ(mn) = logₐm + logₐn（2）对数除法公式：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn（3）对数乘方公式：logₐ(m^p) = p × logₐm2. 常用对数：以10为底的对数，记作logx=log₁₀x，简写为lgx。
常用对数可以简化对数运算和计算，是数学和科学中经常使用的一种对数形式。
3. 自然对数：以自然常数e为底的对数，记作lnx。
自然对数在微积分和概率论中应用广泛，它具有特殊的性质和应用价值。
三、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像特点：（1）以正实数a为底的对数函数y=logₐx的图像在x轴的正半轴上递增。
当x＝1时，y＝0；当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0。
（2）对数函数的图像在x=a处有一个特殊点A(a,1)，该点为对数函数图像的对称轴的交点。
（3）因为对数函数是单调递增的，所以它在定义域内的任意两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，若x₁＜x₂，则y₁＜y₂。
