函数反函数对数及对数函数

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函数反函数对数及对数函数

函数一、函数：1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数22122+-+=x x x y 的值域由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

对数及对数函数要点及解题技巧讲解

的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
人
A. 2
B．2 或12
教
B
版
C．2 2
D．4 或14
分析：∵a>1 与 0<a<1 时，f(x)的单调性不同，∴最
小值、最大值也不同，故需分类讨论．
第2章函数
高考数学总复习
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意
得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
人教
B
当 a>1 时，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为增函数，
版
∴loga2a－logaa＝12，解得 a＝4，故选 D.
答案：D
第2章函数
(2011·江苏四市联考)已知函数 f(x)＝|log2x|，正实数 m、n 满足 m<n，且 f(m)＝f(n)，若 f(x)在区间[m2，
高考数学总复习
二、对数函数的图象与性质
定义
y＝logax(a>0，a≠1)
人教
B
版
图象
第2章函数
高考数学总复习
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝0.
人
性质 (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数；
教
B
当 0<a<1 时，在(0，＋∞)上是减函数．
B
版
(2)原式＝llgg23＋llgg29·llgg34＋llgg38
＝llgg23＋2llgg23·2llgg32＋3llgg32＝32llgg23·56llgg32＝54.
答案：(1)2

对数函数运算公式大全

对数函数运算公式大全1. 对数函数的定义：y = loga x，其中a为正数且a ≠ 1，x为正数。

则y表示以a为底，x的对数。

2. 对数函数与指数函数互为反函数：loga a^x = x，a^loga x = x。

3. 对数函数的性质：① loga (xy) = loga x + loga y。

② loga (x/y) = loga x - loga y。

③ loga x^n = n loga x。

④ logb x = loga x / loga b。

⑤ loga √x = 1/2 loga x。

⑥ loga (1/x) = -loga x。

4. 常用对数函数值：① log10 1 = 0。

② log10 10 = 1。

③ log10 100 = 2。

④ log10 1000 = 3。

⑤ loge 1 = 0。

⑥ loge e = 1。

5. 解对数方程的方法：①转化为指数形式，即a^x = b。

②化简为一般形式，即loga (mx + n) = p。

将等式两边化为指数形式。

③变形为倒数形式，即loga x - loga (x - 1) = b。

将等式两边化为分数形式。

6. 求解对数函数性质的方法：①分解对数式。

②合并同类项。

③平方移项。

④如有必要，将对数式转化为指数式。

⑤根据指数函数的性质求解。

7. 对数函数的图像特征：①定义域为正实数集。

②值域为全体实数集。

③函数图像关于直线y = x对称。

④在x轴上有一个特殊点：x = 1，此时对数值为0。

⑤在函数图像上任意两点的连线与x轴所成的角度相等，且这个角度叫做该点的倾角。

【高中数学】第六节对数与对数函数

第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=logN ,其中③ a 叫做对数的底数,④N 叫做真数.a(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1) ⑤log a N常用对数底数为10 ⑥lg N自然对数底数为e ⑦ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N .(a>0,且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩log b N =log a N(a,b均大于0且不等于1);log a b,log a b·log b c·log c d=log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于相关结论:log a b=1log b a0).(3)对数的运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 log a (MN )= log a M +log aN; log a MN = log a M -log a N ; log a M n = n log a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M (m ,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域:(0,+∞) 值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0 当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数 y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称. 知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y =1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c <d <1<a <b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)log a (MN )=log a M +log a N. ( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ). ( )(3)log 2x 2=2log 2x. ( ) (4)若log a m <log a n ,则m <n. ( )(5)函数y =ln 1+x1-x 与函数y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(6)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),其图象经过第一,四象限.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)√ 2.log 525+1612=( )A.94 B.6 C.214 D.9答案 B log 525+1612=log 552+(42)12=2log 55+4=6.故选B . 3.下列各式中正确的是( )A.log a 6log a3=log a 2 B.lg 2+lg 5=lg 7 C.(ln x )2=2ln x D.lg √x 35=35lg x答案 D 对于A 选项,由换底公式得log a 6log a3=log 36=1+log 32,故A 错;对于B 选项,lg 2+lg 5=lg(2×5)=1,故B 错; 对于C 选项,(ln x )2=ln x ×ln x ≠2ln x ,故C 错;对于D选项,lg √x 35=lg x 35=35lg x ,故D 正确.故选D.4.(2020安徽月考)已知a =log 23,b =(12)12,c =(13)13,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <b <a 答案 D 因为a =log 23>log 22=1,0<b =(12)12<(12)0=1,0<c =(13)13<(13)0=1, 又b 6=(12)3=18,c 6=(13)2=19,所以b 6>c 6,所以b >c ,即c <b <a.故选D.5.(2020河北唐山第十一中学期末)函数f (x )=lg(x -2)的定义域为 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)答案 D 函数f (x )=lg(x -2)的定义域为x -2>0,即x >2,所以函数f (x )=lg(x -2)的定义域为(2,+∞),故选D .6.(易错题)已知a >0,且a ≠1,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 的图象可能是( )答案 B 由函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 互为反函数,得图象关于y =x 对称,从而排除A,C,D.易知当a >1时,两函数图象与B 选项中的图象相同.故选B. 易错分析忽视反函数的定义.对数的概念、性质与运算角度一对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m ,log a 5=n (a >0,且a ≠1),则a 3m +n = ( )A.11B.13C.30D.40 (2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x = . 答案 (1)D (2)1 (3)2 角度二对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)·lg 2+2lg 5=(1+1)·lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2=12+13+14+16=54. 规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.1.(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= . 答案 9解析原式=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.2.如果45x =3,45y =5,那么2x +y = . 答案 1解析 ∵45x =3,45y =5,∴x =log 453,y =log 455,∴2x +y =2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f (x )=ln|x -1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x (a >0,且a ≠1),则a 的取值范围是 ( )A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2) D.(√2,2)(3)已知函数f (x )=4+log a (x -1)(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 .答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x >1时, f (x )=ln(x -1),又f (x )的图象关于直线x =1对称,所以选B .(2)易知0<a <1,函数y =4x与y =log a x 的大致图象如图所示,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a >√22,∴√22<a <1,故选B .方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式的问题常转化为相应函数的图象问题,利用数形结合求解.1.(2020黑龙江齐齐哈尔第六中学模拟)函数f(x)=|log a(x+1)|(a>0,且a≠1)的大致图象是()答案C函数f(x)=|log a(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x∈(-1,+∞),均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.2.函数y=x-a与函数y=log a x(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是()答案C当a>1时,对数函数y=log a x为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负,故A、D错误; 当0<a<1时,对数函数y=log a x为减函数,当x=1时,函数y=x-a的值为正,故B错误,C正确.故选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)已知f (x )满足f (x )-f (-x )=0,且在(0,+∞)上单调递减,若a =(79)-14,b =(97)15,c =log 219,则f (a ), f (b ), f (c )的大小关系为 ( )A.f (b )<f (a )<f (c )B.f (c )<f (b )<f (a )C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a ) 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知得c =log 23,∵log 23>log 2e>1,b =ln 2<1,∴c >a >b ,故选D . (2)∵f (x )-f (-x )=0,∴f (x )=f (-x ), ∴f (x )为偶函数.∵c =log 219<0,∴f (c )=f (-log 219) =f (-log 219)=f (log 29),∵log 29>log 24=2,2>(97)1>a =(79)-14=(97)14>(97)15=b >0,∴log 29>a >b.∵f (x )在(0,+∞)单调递减, ∴f (log 29)<f (a )<f (b ), 即f (c )<f (a )<f (b ). 故选C .角度二解简单的对数不等式典例5 (1)函数f (x )=√(log 2x )-1的定义域为 ( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) (2)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( )A.[1,2]B.[1,2)C.[23,+∞)D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C角度三对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f (x )=log a (ax 2-x +1)(a >0,且a ≠1). (1)若a =12,求函数f (x )的值域;(2)当f (x )在[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a =12时,ax 2-x +1=12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]>0恒成立, 故函数f (x )的定义域为R,∵12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]≥12,且函数y =lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f (x )的值域为(-∞,1]. (2)由题意可知,①当a >1时,由复合函数的单调性可知,必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2;②当0<a <1时,同理可得必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13.综上,a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞).规律总结1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间值进行比较.2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x >log a b (a >0,且a ≠1)的不等式,需借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需要分为a >1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x >b (a >0,且a ≠1)的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解.1.设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c答案 D ∵a =log 36=1+log 32=1+1log 23,b =log 510=1+log 52=1+1log 25,c =log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0,∴a >b >c.2.(2019山东高考模拟)已知f (x )=e x -1+4x -4,若正实数a 满足f (log a 34)<1,则a 的取值范围是( )A.a >34 B.0<a <34或a >43 C.0<a <34或a >1 D.a >1答案 C 因为y =e x -1与y =4x -4都是在R 上的增函数,所以f (x )=e x -1+4x -4是在R 上的增函数,又因为f (1)=e 1-1+4-4=1,所以f (log a 34)<1等价于log a 34<1,所以log a 34<log a a ,当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递减,所以a <34,故0<a <34; 当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递增,所以a >34,故a >1, 综上所述,a 的取值范围是0<a <34或a >1.故选C.3.(2020上海高三专题练习)函数y=√log0.5(4x2-3x)的定义域为.答案[-14,0)∪(34,1]解析由题意可知0<4x2-3x≤1,解得x∈[-14,0)∪(34,1].4.函数f(x)=lo g13(-x2+2x+3)的单调递增区间是.答案[1,3)解析令u=-x2+2x+3,由u>0,解得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3),根据二次函数的图象与性质可知函数u=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减, 因为函数f(x)=lo g13u为单调递减函数,所以根据复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为[1,3).5.已知函数f(x)=ln(√1+9x2-3x)+1,求f(lg 2)+f(lg12)的值.解析由√1+9x2-3x>0恒成立知函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=[ln(√1+9x2+3x)+1]+[ln(√1+9x2-3x)+1]=ln [(√1+9x2+3x)·(√1+9x2-3x)]+2=ln 1+2=2,所以f(lg 2)+f(lg12)=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A组基础达标1.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a= ()A.4B.5C.6D.7答案 B2.log29×log34+2log510+log50.25= ()A.0B.2C.4D.6答案 D 原式=2log 23×(2log 32)+log 5(102×0.25)=4+log 525=4+2=6. 3.(2020河北冀州中学模拟)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 C4.log 6[log 4(log 381)]的值为( )A.-1B.1C.0D.2 答案 C5.(2019河南郑州模拟)设a =log 50.5,b =log 20.3,c =log 0.32,则 ( )A.b <a <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <b <c答案 B a =log 50.5>log 50.2=-1,b =log 20.3<log 20.5=-1,c =log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3,log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg2lg0.3<lg2lg0.2,即c <a ,故b <c <a.故选B .6.若lg 2=a ,lg 3=b ,则log 418= ( ) A.a+3b a 2B.a+3b 2aC.a+2b a 2D.a+2b 2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a ,lg 3=b ,所以log 418=a+2b 2a.故选D .7.已知函数f (x )=lg 1-x1+x ,若f (a )=12,则f (-a )= ( ) A.2 B.-2 C.12 D.-12答案 D ∵f (x )=lg 1-x1+x 的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=lg 1+x1-x =-lg 1-x1+x =-f (x ), ∴f (x )为奇函数,∴f (-a )=-f (a )=-12.8.设f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,则a 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.12 D.-12答案 D 函数f (x )=lg(10x+1)+ax 的定义域为R,因为f (x )为偶函数,所以f (x )-f (-x )=0,即lg(10x +1)+ax -[lg(10-x +1)+a (-x )]=(2a +1)x =0,所以2a +1=0,解得a =-12.B 组能力拔高9.已知f (x )=lo g 12x ,则不等式(f (x ))2>f (x 2)的解集为 ( ) A.(0,14) B.(1,+∞) C.(14,1) D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f (x ))2>f (x 2)得(lo g 12x )2>lo g 12x 2⇒lo g 12x ·(lo g 12x -2)>0,即lo g 12x >2或lo g 12x <0,解得原不等式的解集为(0,14)∪(1,+∞).10.若x 、y 、z 均为正数,且2x =3y =5z ,则 ( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z答案 D 令2x =3y =5z =k (k >1),则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k ,∴2x 3y =2lgklg2·lg33lgk =lg9lg8>1,则2x >3y ,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk =lg25lg32<1,则2x <5z ,故选D . 11.(2020福建莆田第六中学模拟)已知函数f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm = . 答案 9解析 ∵f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),∴0<m <1<n ,-log 3m =log 3n ,∴mn =1. ∵f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,且函数f (x )在[m 2,1)上是减函数,在(1,n ]上是增函数, ∴-log 3m 2=2或log 3n =2.若-log 3m 2=2,则m =13(舍负),故n =3, 此时log 3n =1=-log 3m ,符合题意, 即nm =3÷13=9;若log 3n =2,则n =9,故m =19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故nm =9.C 组思维拓展12.(2020四川攀枝花第七中学模拟)设函数f (x )=|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n -m 的最小值为13,则实数a 的值为 . 答案 23解析作出y =|log a x |(0<a <1)的大致图象如图所示,令|log a x |=1,得x =a 或x =1a ,又1-a -(1a -1)=1-a -1-a a=(1-a )(a -1)a<0,所以1-a <1a -1,所以n -m 的最小值为1-a =13,即a =23.13.若log a (a 2+1)<log a (2a )<0,则a 的取值范围是 . 答案 (12,1)解析由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a (2a )<0,所以0<a <1,又2a >1,所以a >12.综上,实数a 的取值范围为(12,1).14.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f (x )=log 2x2·lo g √2√x2的值域. 解析由2x ≤16得x ≤4,∴log 2x ≤2, 又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f (x )=log 2x2·lo g √2√x 2=(log 2x -1)·(log 2x -2) =(log 2x )2-3log 2x +2 =(log 2x -32)2-14,∴当log 2x =32时, f (x )min =-14.又当log 2x =12时, f (x )=34; 当log 2x =2时, f (x )=0, ∴当log 2x =12时, f (x )max =34. 故函数f (x )的值域是[-14,34].15.已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )得 (3-4log 2x )·(3-log 2x )>k ·log 2x. 令t =log 2x ,因为x ∈[1,4], 所以t =log 2x ∈[0,2],所以(3-4t )·(3-t )>k ·t 对任意的t ∈[0,2]恒成立. 当t =0时,k ∈R; 当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立,即k <4t +9t -15恒成立. 因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号, 所以(4t +9t -15)min =-3,则k <-3.综上,实数k 的取值范围是(-∞,-3).高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

对数函数的概念和反函数

(4) y loga x 1(a 0,且a 1)
二、反函数
对数式与指数式的互化:
a N b loga b N
指数函数与对数函数的互化：
y a x loga y x
函数的概念
在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作 y=f(x)，x∈D，x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A．如果对A中任意一个值y ，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做 y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y)．
y=f -1(x) (x A)
反函数存在的条件：函数的定义域与值域是一一映射
对数函数的概念和反函数
一、对数函数的概念
• 一般地,函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函
数.其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）.
• 注意：1、loga x 前面的系数必须是1；
•
2、对数的底数是常数，a＞0,且a≠ 1；
•பைடு நூலகம்
3、自变量x在真数的位置上，且真数仅有自变量x。
4、若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
求反函数的步骤
1、由y=f(x)解出x关于y的式子，即“反解”； 2、由函数y=f(x)的定义域和值域确定反函数
的值域和定义域，即“交换”； 3、根据习惯将x改写为y,y改写为x，并注明相

对数函数图象及性质——图象反函数

THANK YOU
感谢观看
$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利用对数函数和指数函数的互逆关系进行转化，从而简化问题的求解过程。
例如，在求解复利、增长率等问题时，可以利用指数函数进行建模；而在求解对数方程、求解某些特定函数的定义域等问题时，则可以利用对数函数的性质进行求解。
此外，在一些工程和科学计算中，也经常需要利用对数函数和指数函数的互逆关系进行数值计算和数据处理。

对数与对数函数

y
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小（1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数因为所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2

高一数学指、对数函数与反函数

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赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。民歌有意思，留在春营地和路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。财富离幸福有多远？贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。有人不想多办事，也不想到哪儿去以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享受，与幸福无关。（二）人有时不知道自己到底要什么。如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只占一成，饮食男女而已。于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。（三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。（四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的住房。在，听朋友交流打高尔夫球的体会。而到了深圳，几位巨富比较各自的健康状况，甘油三脂，高密度脂蛋白胆固醇（HDL），后者在每公升血液中多一毫克，心肌梗塞的发生率会下降3%。 ? 我想到，太行山农人的甘油三脂和HDL一定最让深圳的富豪倾心。这样，又想起海因里希·伯尔那篇一个渔夫在海边晒太阳，有游客劝他工作等等的小说。人的努力常常会使目标回到原地，换句话说，人也许不知道自己的幸福在哪里。有时，人只为温饱而工作，没有办法去为幸福而谋划，因为谋划的结果大多是财富或满足，离幸福仍然很远。 ? 其实幸福太简单，简单到我们承担不了。（五） ? 为什么穷人离幸福很近？ ? 如同朴素离美很近那样，穷人的愿望低而单纯。人在风雪路上疾走，倘遇暖屋烤火，是一种幸福。把汗湿的鞋垫抻出来，手脚并感炉火的温暖，与封侯何异？这时，倘有一杯热茶与点心，更让人喜出望外。这样的例子太多，如避雨之乐，推重载之车上坡幸无顶风之乐，在街头捡一张旧报纸读到精妙故事之乐，在快餐店吃饭忽闻老板宣布啤酒免费之乐，走夜路无狼狗尾随之乐。穷人太容易快乐了，因为愿望低，“望外”之喜于是多多。有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，是因为此类幸福需要风雪、推车、捡报纸以及走夜路这些条件。 ? 穷人的幸福差不多是以温饱不逮为前提的，满足了温饱，幸福却变得悭吝，它的价值又升高了。 ? 除非你有意过一种简单的生活。（六）贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。蝴蝶一如梦游人 ? 会飞的生灵里，蝴蝶一如梦游人。它好像不知住哪儿飞，断断续续。鲍罗丁有一首曲子叫《我的生活》，什么样的生活，醉醺醺，有一点混乱，甜蜜忧伤各半，如蝴蝶。 ? 蝴蝶蹁跹，像找丢失的东西。仔细看，它啥东西都没丢，触须、肚子和翅膀是它的全部家当。它飞，一跳一跳，像人跺脚。也许，它视陆地为海洋，怕浪花打湿衣袂。 ? 蝴蝶有大梦，伏落灌木的时候，其实在工作。梦里飞里，直至被露水凉醒。诺瓦利斯说：“如果在梦中梦见自己做梦，梦就快醒了。”它梦见城市的水泥地面长满卷心菜和十字花科椰菜，楼顶冒出清泉，空气变好了。蝴蝶对空气很挑剔，它的肺太纤弱。蝴蝶梦到月亮跟太阳商量，替值一个白班。月色昼夜相连，雾一般的蝴蝶弥漫城市上空，如玉色的落叶，却无声息。人愿把蝴蝶想象为女性，正如可以把鸟类想象为男性。鸟儿高飞，一如士兵。蝴蝶一生都在草地灌木中。蝴蝶假如不怯生，从敞开的窗飞进人类的家里，那么—— 落在酣睡的孩子的额上，有如天使的祝福。落书页上，好像字句开出素白的花。落碗边，仿佛里面装满泉水。 ? ?落鞋上，这双鞋好像刚刚走过长满鲜花的草地。 ? 落于枕旁，人梦见青草像一片流水淹没大地。 ? 蝴蝶落在墙上的竹笛上，笛孔屏息，曲牌在一厢排起了队：平沙落雁、阳关三叠、大起板、鹧鸪飞。蝴蝶飞过人的房间，看人的床辅、厨房、牙刷和眼镜，缓缓飞出窗外，接着梦游。春天是做梦的季节，边飞边梦，蝴蝶就像年青人。黄金不用是废铁 ? 讲个故事吧。有一个老汉勤劳致富。他种的粮食，自用之外卖钱，再把钱换成黄金。这些金子放丰一只瓦罐里，摆在屋檐下面。老汉累的时候，或者需要娱乐的时候，背着手看这些金锭，它们闪闪发光，像歌颂老汉的不凡。当然，喜欢黄金的人并不只老汉一个人，别人也喜欢。别人不想经历种粮食、卖粮食、换钱再买黄金这么复杂的历程，把老汉的偷走了。黄金没了，老汉就哭。他没想到别人用偷的方法积累黄金。他觉得自己的粮食啊，汗水啊，青春啊，特别是黄金，都让这个人偷走了。悲声惊动了邻居，大伙儿围成一圈儿，听老汉哭。 ? 一位邻居说：这些黄金你用过吗？用的意思是打个戒指，或者换一头小毛驴替代劳动，也包括送给别人施善。老汉说：没有。邻居说：没用过，你哭什么？ ? 老汉说什么话？没用过就不疼吗？没用过就没有价值吗？ ? ?邻居说：嗨，没用过的东西就跟没有东西是一样的。黄金对你来说，用处只在看。别哭啦，你可以看其他的东西，比如花、比如天空的云彩。还有，你拿几块镀金的元宝放在罐子里，不也好看吗？老汉止住了哭泣。他不赞成邻居的话，但这一番话让他无法反驳，只好认为自己不曾有过黄金，别人也未曾偷走它。故事就是这样，不一定真正发生过，但有一点儿趣味。一个有才能的人不运用才能，就贫穷如老汉，

14.高一上学期—反函数与对数函数

反函数与对数函数【知识梳理】1. 反函数的概念设函数()y f x =的定义域为D, 值域为A, 若对于A 中的每一个确定的y , 都有唯一确定的D 中的x 与之对应, 则由这一对应法则得到的函数称为()y f x =的反函数; 记作1()x f y -=. 习惯上仍记作1()y f x -=.2. 函数存在反函数的判定(整体性质)(1) 对应法则f 是一个一一对应;(2) 函数的图像满足水平线法则(用于否定);(3) 反函数定理. 若一个函数在其定义域内单调, 则其必存在反函数, 且其反函数的单调性与其一致.3. 函数与反函数间的关系(1) 函数的定义域是反函数的值域; 函数的值域是反函数的定义域;(2) 对应法则满足:1(())(A)f f x x x -=∈, 1(())(D)f f x x x -=∈;(3) 它们的图像关于直线y x =对称;(4) 性质(3)具体到点上: 若一个函数()y f x =过点(,)a b , 则其反函数必过点(,)b a .4. 求一个函数的反函数(1) 遵循以下步骤: ①求出原函数的值域; ②用y 表示x , 有分歧找定义域; ③x , y 互换, 写上定义域;(2) 分段函数求反函数应当分段求值域, 分段求解析式, 最后仍表示成分段的形式.5. 对数函数及其性质形如log (0,1)a y x a a =>≠的函数称为对数函数. 对数函数具有如下性质:(1) 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠与指数函数(0,1)x y a a a =>≠互为反函数;(2) 对数函数的定义域是(0,)+∞, 值域是R;(3) 对数函数非奇非偶;(4) 对数函数过定点(1,0), 这是函数值正负的分界点;(5) 对数函数当1a >时, 是单调递增的; 当01a <<时, 是单调递减的.【典型例题】例1. 判断下列命题的真假, 并说明理由.(1) 若函数()y f x =的图像与y a =有两个交点, 则此函数不存在反函数;(2) 一个函数的反函数可能是其本身;(3) 若一个函数的图像和它反函数的图像有公共点, 则公共点必在一三象限角平分线上;(4) 反函数与原函数具有相同的奇偶性.例2. 求下列函数的反函数.(1)221(0)y x x x =--≤;(2)y =;(3)12log (1)1(1)y x x =-+<;(4)1()(0,1,0)2x x y a a a a x -=+>≠≥.例3. 求函数2 1 1() 1 1x x f x x x ⎧+≤-=⎨-+>-⎩的反函数.例4. 已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭, 求13x f -⎛⎫⎪⎝⎭.例5. 函数与反函数的图像(1) 若函数1()y f x -=是函数()y f x =的反函数, 且函数1()y f x -=过定点(1,0), 则函数1(1)2f x -的反函数图像一定过点___________;(2) 23()1x f x x +=-, 函数()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于y x =对称, 求(11)g 的值.例6. 解下列不等式 (1)22151311()()22x x x --+>; (2)20.50.5log (215)log (13)x x x -->+.例7. 已知函数()21x f x =-有反函数1()f x -, 4()log (31)g x x =+;(1) 若1()()f x g x -≤, 求x 的取值范围D ;(2) 设函数11()()()2H x g x f x -=-, 当x D ∈时, 求函数()H x 的值域.【巩固练习】1. 函数1()4(0,1)x f x a a a -=+>≠的反函数的图像经过的定点的坐标是……………...............................( )A. (1,4)B. (1,5)C. (5,1)D.(4,1)2. 设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1), 反函数的图像过点(2,8), 则a b +的值为...( )A. 3B. 4C. 5D.63. 函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为…….…………………………………………………..........................( )A. 1(R)x y e x +=∈B. 1(R)x y e x -=∈C. 1(1)x y e x +=>D. 1(1)x y e x -=>4. 设3()|log |f x x =, 若()(3.5)f x f >, 则x 的取值范围是………………………………...........................( ) A. 27(0,)(1,)72⋃ B. 7(,)2+∞ C. 27(0,)(,)72⋃+∞ D. 27(,)725. 函数1()ln 1x f x x+=-的定义域是 ; 6. 函数20.3()log (32)f x x x =-+的单调区间是 ;7. 若函数2()412([,))f x x x x a =+-∈+∞存在反函数, 则实数a 的取值范围是 ;8. 已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称, 则m 的值是___________; 9. 已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3), 函数1()(0)f x a x -+>的图像经过(4,2), 试求函数1()f x -的表达式.10. 是否存在实数a , 使得2()log ()a f x ax x =-在区间[2,4]上是增函数? 若存在, 求出a 的值(或范围); 若不存在, 说明理由.。

2.2.2 对数函数及其性质

3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示：函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域值域性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函数就是y f ( x) 。

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（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数1cos 3cos 2+-=x x y 的值域，因为1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]25,(1cos 5--∞∈+-x ，故]21,(--∞∈y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432+=x xy 的值域当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，xx y 43+=，若0>x ，则4424=⋅≥+xx x x 若0<x ，则4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+x x x x x x ，从而得所求值域是]43,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 在)21,1(--上递减、在)0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法一、选择题1．下列四种说法正确的一个是（） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于（） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y ==4．已知函数23212---=x x xy 的定义域为（）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 5．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f（）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（）7．设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（）A ．x x -+11B ． 11-+x xC ．xx +-11D ．12+x x8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为（） A ．正数 B ．负数 C ．0 D ．符号与a 有关9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式（）A ．x b c a c y --=B ．x c b a c y --=C ．x ac bc y --=D ．x ac cb y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（）A ．)2,1[-B ．]1,1[-C ．)2,2(-D ．)2,2[-二、填空题：11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 12．若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成个不同的映射.14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 三、解答题： 15、①．求函数|1||1|13-++-=x x x y 的定义域；②求函数x x y 21-+=的值域；③求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.16、在同一坐标系中绘制函数x x y 22+=，||22x x y +=得图象.17已知函数x x f x x f x =+-+-)()11()1(，其中1≠x ，求函数解析式.18设)(x f 是抛物线，并且当点),(y x 在抛物线图象上时，点)1,(2+y x 在函数)]([)(x f f x g =的图象上，求)(x g 的解析式.19动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ；设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式.20已知函数)(x f ，)(x g 同时满足：)()()()()(y f x f y g x g y x g +=-；1)1(-=-f ，0)0(=f ，1)1(=f ，求)2(),1(),0(g g g 的值.二、函数的基本性质：（1）函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；（2）函数的最大（小）值设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I 上0)(>'x f （0)(<'x f ）仅是)(x f 为区间I 上的增函数（减函数）的充分不必要条件。

（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。

但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。

而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有)()(21x f x f ≥即可。

如果用导数证明)(x f y =在某区间I 上递增或递减，那么就证明在某区间I 上0)(>'x f 或0)(<'x f 。

（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞ （6）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“异减同增”2．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。

函数反函数对数及对数函数

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