3.2回归分析(1)

病种数据统计分析引言概述：病种数据统计分析是一种重要的医学研究方法，通过对大量病例数据的收集和分析，可以揭示疾病的流行趋势、发病原因以及治疗效果等信息。

本文将从五个方面详细介绍病种数据统计分析的内容和方法。

一、数据收集1.1 病例选择：选择具有代表性的病例，包括不同性别、年龄、病情严重程度等因素的患者。

1.2 数据来源：从医院、研究机构或者医疗保险数据库中获取病例数据，确保数据的可靠性和完整性。

1.3 数据整理：对收集到的数据进行整理和清洗，包括去除重复数据、填补缺失值等处理。

二、数据描述统计2.1 频数分析：统计每个病种的发病次数，了解疾病的流行情况。

2.2 平均数分析：计算病例的平均年龄、平均住院天数等指标，揭示疾病的特点。

2.3 分布分析：绘制病种的年龄分布、性别分布等图表，发现潜在的风险因素。

三、相关性分析3.1 相关系数：计算不同变量之间的相关系数，如疾病发病率与环境因素的相关性，探索疾病的影响因素。

3.2 回归分析：建立回归模型，预测疾病的发病风险，评估不同因素对疾病发展的影响程度。

3.3 交叉分析：对病例数据进行交叉分析，探索不同因素之间的关系，如年龄与病情严重程度的关系。

四、统计推断4.1 假设检验：对病例数据进行假设检验，判断疾病的发病率是否存在显著差异。

4.2 置信区间：计算疾病发病率的置信区间，评估统计结果的可靠性。

4.3 方差分析：对多个组别的病例数据进行方差分析，比较不同组别之间的差异。

五、数据可视化5.1 条形图：用条形图展示不同病种的发病次数，直观了解疾病的流行情况。

5.2 折线图：通过折线图展示疾病发病率的变化趋势，发现疾病的高发季节或周期。

5.3 散点图：绘制散点图展示两个变量之间的关系，如年龄与病情严重程度的关系。

结论：病种数据统计分析是一种重要的医学研究方法，通过数据的收集、描述统计、相关性分析、统计推断和数据可视化等步骤，可以揭示疾病的流行趋势、发病原因以及治疗效果等信息，为医学研究和临床实践提供科学依据。

引言概述：本文将对设计实验（DesignofExperiments，简称DOE）进行详细讲解，旨在帮助读者深入了解和掌握这一方法。

DOE是一种系统的试验设计方法，通过合理地安排试验方案，可以帮助我们充分挖掘数据中的信息，从而更准确地预测和控制我们感兴趣的因变量。

本文将从DOE的基本原理、试验设计、数据分析和实际应用等方面进行阐述，希望能为读者提供一份全面的DOE参考文献。

正文内容：一、DOE的基本原理1.1DOE的定义和作用1.2影响因素与响应变量关系的建立1.3统计分析在DOE中的作用1.4DOE的优势与局限性1.5DOE的基本原理总结二、试验设计的基本原则2.1因素与水平的选择2.2试验设计的类型2.3试验次数的确定2.4试验方案的随机化与均衡2.5试验设计的基本原则总结三、DOE的数据分析3.1假设检验与方差分析3.1.1单因素方差分析3.1.2多因素方差分析3.1.3方差分析的解释和应用3.2回归分析与响应曲面法3.2.1简单线性回归分析3.2.2多元回归分析3.2.3响应曲面法的建模和优化3.3数据分析中常见问题的处理3.3.1离群值处理3.3.2缺失值处理3.3.3交互作用和噪声因素的分析3.4DOX的数据分析总结四、DOE在实际应用中的案例分析4.1工程设计中的DOE案例4.1.1确定最佳参数设置4.1.2优化产品设计4.1.3降低产品成本4.2制造过程优化中的DOE案例4.2.1优化工艺参数4.2.2提高产品质量4.2.3提高生产效率4.3医学研究中的DOE案例4.3.1药物剂量优化4.3.2疾病诊断与治疗4.3.3临床试验设计4.4DOX在实际应用中的总结五、DOE的发展与未来展望5.1DOE的发展历程5.2目前的研究热点与前沿5.3DOE在大数据时代的应用前景5.4DOE在新兴行业中的应用展望5.5DOX的发展与未来展望总结总结：DOE作为一种系统的试验设计方法，能够帮助我们更加准确地预测和控制感兴趣的因变量。

本试验主要是引导学生掌握利用 SPSS 软件进行回归分析的基本方法，包括一元线性回归分析，多元线性回归分析，包含虚拟变量的线性回归分析，曲线参数估计法，二值多元Logistic 回归分析。

特别是，学生应掌握在 SPSS 软件中进行多元线性回归方法和曲线参数的估计方法。

线性回归分析(Linear 过程)回归分析(Regression) 是研究一个自变量或多个自变量与一个因变量(Dependent)之间是不存在某种线性关系或非线性关系的一种统计学分析方法。

而线性回归分析(Linear Regression) 是研究一个或多个自变量(independent)与一个因变量之间是否存在某种线性关系的统计学方法。

在菜单中选择Analyze==>Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：【Dependent 框】用于选入回归分析的应变量。

【Block 按钮组】由Previous 和Next 两个按钮组成，用于将下面Independent 框中选入的自变量分组。

由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。

【Independent 框】用于选入回归分析的自变量。

【Method 下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter (强行进入法)、Stepwise (逐步法)、Remove (强制剔除法)、Backward (向后法)、Forward (向前法) 五种。

该选项对当前Independent 框中的所有变量均有效。

【Selection Variable 框】选入一个筛选变量，并利用右侧的Rules 钮建立一个选择条件，这样，只有满足该条件的记录才会进入回归分析。

【Case Labels 框】选择一个变量，他的取值将作为每条记录的标签。

最典型的情况是使用记录ID 号的变量。

【WLS>>钮】可利用该按钮进行权重最小二乘法的回归分析。

张喜林制3.2 回归分析教材知识检索考点知识清单1．对于一组具有线性相关关系的数据,),,(),,(2211 y x y x),,(n n y x我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：(1)(2)其中,1,111i ni i n i y n y x n x ∑∑==== 称为样本点的中心，回归直线必然过样本点的中心，,2e a bx y ++=⋅这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与+=bx yˆ a之间的误差，通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值,0)(=e E方差.0)(2>=σe D这样线性回归模型的完整表达式为：=i eˆ.3 i eˆ 称为相应于点),(i i y x的残差．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 作为2σ的估计量，其中b h aˆ*ˆ 由相应公式给出，)ˆ,ˆ(b aQ 称为残差平方和( residual sum of squares).可以用2ˆσ衡量回归方程的预报精度，通常2ˆ,σ越小，预报精度越高．4．在研究两个变量间的关系时，首先要根据 来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后，可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析，要点核心解读1．变量间的相关关系及线性回归方程(1)变量间的相关关系：①变量与变量间的两种关系：a ．函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积S 与半径r 之间的关系2r s π=为函数关系．b ．相关关系：这是一种非确定性关系．即当自变量取值一定时，因变量的取值有一定的随机性，它还受一些其他因素的影响，例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．相关关系又包括两种：a ．在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量．b ．两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩．本书主要涉及上述相关关系的前一种情况．②散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据，③正相关与负相关：根据变量相关性的不同，线性相关关系可分为正相关与负相关．正相关是指两个变量之间的变化趋势方向一致，即一个变量随另一个变量的增长而呈增长趋势；负相关是指两个变量变化趋势方向相反，如产品单位成本降低，利润随之增加就是负相关．(2)线性回归方程：①线性回归模型：一组数据对应点在一条直线附近，但并不在同一条直线上，也就是说，两者之间不能用线性关系准确地表示出来，为此我们将两者之间的关系表示为,⊕++=εbx a y其中a+ bx 称为确定性函数，￡称为随机误差，它产生的原因主要有：a ．所用的确定性函数不恰当引起的误差．b ．忽略了某些因素的影响；c ．观测误差．我们将方程④称为线性回归模型( linearregression model).②回归直线：一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且对应于几组观测值的几个点),,2,1)(,(n i y x i i =大致分布在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系．显然，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条叫做回归直线，③线性回归方程：根据线性回归模型，对于每一个,i x对应的随机误差),(i i i bx a y +-=ε利用最小二乘法可求出线性回归方程( equation of linear regression)为.ˆˆˆxb a y += 其中的aˆ 称为回归截距，bˆ 称为回归系数，yˆ称为回归值．求b aˆˆ- 的具体计算公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=--=∑∑∑∑∑=====.ˆˆ,)()()(ˆ22112111x b y aS y x xy x x n y x y x n b x n i i n i i n i i n i i n i i i 其中x与x S分别表示数据),,2,1(n i x i =的均值和标准差，γ⋅表示数据=⋅i y i (),,2,1n的均值，xy表示数据),,2,1(n i y x i i =的均值．b aˆˆ 的意义是：以aˆ 为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化⋅bˆ卜单位．从单调性 的角度看，回归系数0ˆ0ˆ<>b b h时，回归方程表示的函数分别是增函数、减函数．2．相关性检验x 与y 之间可以用一个直线方程x b a yˆˆˆ+= 来反映其关系，而对x 与y 的具体变化规律应对x 与y 作线性相关性检验，简称相关性检验．对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据,(1x),,(,),,(),221n n y x y x y检验统计量是样本相关系数=r,)()())((21211y y x xy y x xi n i i n i i i n i ----∑∑∑--= 即))((212221y n y x n x y x n y x r n i i nt i i i in i ---=∑∑∑--= 这种方法是用参数r 检验线性相关的程度，这个r 称为y 与x 的样本相关系数，简称相关系统( correlation coefficient)．其中.11≤≤-r若r >0，则称x 与y 正相关，即x 增加，y 随之相应地增加；若x 减少，y 随之相应地减少．若r <0，则称x 与y 负相关，即x 增加，y 随之相应地减少；若x 减少，y 随之相应地增加，若r =0，则称x 与y 不相关，即x 与y 无线性相关关系，｜x ｜越接近于1，y 与x 的线性相关程度越高，若r=l 或-1，则x 与y 为完全线性相关．｜r ｜越接近于0，则x 与y 线性相关程度越弱．上面公式计算相关系数r ，通常计算量较大，通过变形可将上面公式化为⋅-=yx s s y x xy r 其中y x s s ,分别表示数据=i y x i i (,),,2,1n的标准差，检验的步骤如下：(1)提出统计假设x 与y 不具有线性相关关系；(2)根据小概率0.05与n-2在附表中查出 r 的一个临界值,05.0r(3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值；(4)作出统计推断：如果05||αr r >表明有95%的把握认为x与y 之间具有线性相关关系，如果,||05αr r ≤我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻求回归直线方程是毫无意义的．3．回归分析对于回归分析问题，在解题时应首先利用散点图或相关性检验判断x 与y 是否具有线性相关关系，如果线性相关，才能求解后面的问题．否则求线性回归方程没有实际意义，它不能反映变量x 与y 之间的变化规律．只有在x 与y 之间具有相关关系时，求线性回归方程才有实际意义．相关性检验的依据：主要利用检验统计量yx i n i i n i i in i s s y x xy y y x xyx n y x r -=---=∑∑∑--=21211)(.)( （其中化简式容易记也好用）求出检验统计量的样本相关系数，再利用r 的性质确定x 和y 是否具有线性相关关系，r 具有的性质为：1||≤r且｜r ｜越接近于1，线性相关程度越强；｜r ｜越接近于0，线性相关程度越弱．4．非线性回归分析问题(1)对于非线性回归分析问题，如果给出了经验公式可直接利用换元，使新元与y 具有线性相关关系，进一步求出y 对新元的线性回归方程，换回x 即可得y 对x 的回归曲线方程．(2)非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时按以下步骤求回归方程：①画出已知数据的散点图，看是否是线性回归分析问题，如果不是，把它与必修数学中学过的函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，采用适当的变量置换，把非线性回归分析问题化为线性回归分析问题．②作相关性检验，即判断寻找线性回归方程是否有意义，③当寻找线性回归方程有意义时，计算系数,ˆ,ˆb a得到线性回归方程．④代回x 得y 对x 的回归曲线方程．5．求线性回归方程的三种方法在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时，由于所给两个变量的数据较多并且量大，致使运算量大且繁杂，常常使我们望而生“畏”，望而生“烦”，下面给出求线性回归方程的几种方法，以供参考．(1)用最小二乘法求线性回归方程：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归方程．用“最小二乘法”求线性回归方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式=--=∑∑==a xn x y x n y x b i ni i in i ˆ,ˆ2211 .ˆx by - 求出系数,ˆ,ˆb a这样回归方程也就建立起来了．为了使计算更加有条理，我们通过制作表格来先计算出212111i n i thn i ih n i i n i y x y x ∑∑∑∑====、和,1ii ni y x ∑= 再计算出,1,111i ni i n i x n x y n y ∑∑==== 然后利用公式yy n i i xx L x n x L ,212-=∑=-=-=∑∑==ni i i xy n i iy x L y n y 1212, ,y x n计算,ˆˆ,ˆx b y a r x xxL L -== 最后写出线性回归方程．.ˆˆˆa x b y+= (2)用函数型计算器求线性回归方程：在求线性回归方程时，所给的数据一般较多，运算量大，我们可以借助函数型计算器来代替人工完成这种复杂的数字计算，以提高运算速度．(3)用Excel 软件作散点图并求线性回归方程．在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点图是否在一条直线附近；用线性回归方程拟合二者的关系，这一过程还可以用Excel 软件来帮助我们完成，实现上机操作， 典例分 类剖析考点1 相关关系命题规律当一个变量变化时，另一个变量的取值有一定的相关性，这种关系是相关关系．相关关系可以利用散点图和相关系数进行判定．[例1] 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 的一组数据如下表所示．(1)画出散点图．(2)根据散点图，你能得出什么结论？[解析] 利用散点图，直观地归结出相关关系的两个变量所具备的特点，【解] (1)如图3-2 -1所示散点图．(2)结论：设戈与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 组观测值的n 个点大致分布在一条直线附近，其中整体上与这n 个点最接近的一条直线最能代表x 与y 之间的关系．[点拨]散点图能帮助我们发现变量之间的线性关系，直观地反映了数据的变化规律．母题迁移 1．如图3 -2-2所示的5组数据中，去掉占剩下的4组数据的线____点， 性相关系数最大．考点2求线性回归方程命题规律利用公式yx S S y x xy r -= 计算相关系数，与对应r 的一个临界值进行比较，确定x 、y 之间是否相关；运用相应公式求出线性回归方程中的函数.ˆ,ˆb a[例2]近几年来，随着我国经济的发展，汽车已进入普通百姓家中．根据某汽车协会资料统计，国产某种型号家庭轿车的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （千元），如下表：(1)求出相关系数r ，并根据所求的r 判断两个变量之间的线性相关关系的强弱；(2)试求出回归直线方程，若某家庭购得此型号的汽车，请你为他们估计一下使用年限为10年时，维修费用是多少？、 [解析] 通过求出相关系数r ，从而判断出是否具有相关关系；再求回归方程，从而进行回归预测．[解] (1)根据公式，求得r≈0.9792 >0.878，故两个变量之间有较强的线性相关关系． ?(2)设所求的回归方程为,ˆˆˆa x b y+= 则,08.0ˆˆ,23.155ˆ225151=-==--=∑∑==x b y a xx y x y x b i i i ii 即所求的回归直线方程为.08.023.1ˆ+=x y当x=10时，代入回归直线方程得,38.12ˆ=y所以估计使用年限为10年时，维修费用是1.238万元．[点拨] 求x 与y 的回归直线方程，应首先判断x 与y 是否具有线性相关关系，如果直接求x 与y 的回归直线方程，它就没有任何实际价值，也就不能准确反映变量x 与y 之间的变化规律．母题迁移2．测得某种物质在温度x （单位：℃）下吸附另一种物质的重量y(单位：mg)的对应数据如下：(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)若x 与y 具有线性相关关系，求y 对x 的回归直线方程[例3] 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x( kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y(t)之间的关系有如下数据：(1)求x 与y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2)若线性相关，求蔬菜产量y 与使用氮肥量x 之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量．[解析] (1)使用样本相关系数计算公式来完成．(2)先作统计假设，由小概率0.05与n-2在附表中查得相关系数临界值,05L r若05.0r r则线性相关，否则不线性相关．[解] 列出下表，并用科学计算器进行相关计算：)15)(15(15)1(215121215121151---=--⋅-=∑∑∑y y x x y x y x r i i i ii )11.101555.1628)(10115161125(11.10101158.16076⨯-⨯-⨯⨯-= 45.87915.760~ .864.0~由小概率0.05与n-2 =13在附表中查得,514.0.0=ωrx r r ∴>,||05α与y 线性相关．221511511515ˆ)2(x xyx y x b ii i ii -⋅-=∑∑== 21011516112511.10101158.16076⨯-⨯⨯-= ,37.0~ω.6463.010137.011.10ˆˆ=⨯-=-=ωx b y a．‘．回归直线方程为.6463.00937.0ˆ+=x y．．．当每单位面积施肥150 kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量为⋅=+⨯)(7.14~~7013.146463.015037.0t ω[点拨] 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大时，需要细心、谨慎地计算．母题迁移 3:-个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：(l)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)根据求出的回归直线方程，预测加工150个零件所用的时间为多少？考点3 线性回归方程的三种解法[例4】测得某地10对父子身高（单位：英寸）如下：父亲身高（x ）606264656667687067 68 707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.165. 5 66. 9 67. 167.468: 370.17070如果x 与y 之间具有线性相关关系，求线性回归方程，如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高．[解] 解法一：先将两个变量的有关数据在表中计算出来，如下表所示：由表中数据可计算，====101.6,8.6610668r y x=∑=1101,01.67y x i i,44794,4.448422111=∑=x i,101293.44941∑==⋅i y i代入公式=⨯-⨯⨯-28.66104479401.678.66104.44842 ≈6.17172.79 .646.04所以4646.001.67ˆˆ-=-=x b y a.975.358.66≈⨯因而所求得线性回归方程为：.975.354646.0ˆ+=x y当78=x时，=yˆ 975.35784646.0+⨯.2.722138.72≈=所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2英寸．解法二：用计算器求这个线性回归方程：（计算参数)a得35.977，（计算参数)ˆb得0.4646．所以所求线性回归方程为：.977.354646.0ˆ+=x y当78=x时，⨯=4646.0ˆy.2.722158.72977.3578≈=+所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2英寸，解法三：运用计算机中的Excel 软件：(1)输入数据x ，y:x6062646566672.665.6368707274y9.566.66654.167.67)2.(170.370.68选择数据，生成散点图：在菜单中选定“插入”中的“图表”，选择“xy 散点图”，连续点击“下一步”，可得到如图3 -2 -3所示的散点图．(3)建立回归直线：选中“图表”中的“添加趋势线”，点击“类型”标签，选定“趋势预测／回归分析类型”中的“线性”选项，单击“确定”，得到回归直线．(4)求得回归直线方程：双击回归直线，弹出“趋势线格式”，单击“选项”，选定“显示公式”，最后单击“确定”就得到回归直线方程，如图3 -2 -4所示．所求回归直线方程为：;977.354646.0ˆ+=x y当x=78时，977.35784646.0ˆ+⨯=y,2.722158.72≈=所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2英寸．[点拨] (1)“最小二乘法”是求线性回归方程常用的方法，在线性回归方程b a lr a x b yˆ,ˆ,ˆˆˆ+= 是线性回归方程中的系数，其中bˆ 是线性回归的斜率，表示自变量变化1个单位时因变量的平均变化值，在数值计算的过程中可以用计算器来帮助完成复杂的计算．(2)用函数型计算器求线性回归方程，避免了繁琐的计算，节省了时闽，因而大大地提高了解题的速度．(3)在运用计算机中的Excel 软件求线性回归方程时，只要严格按照运算程序一步步进行下去，最终总能求出回归直线方程并且得到如上图的图像，总之，求线性回归方程的方法是较多的，既有最常用的“最小二乘法”，又有简便易行的计算器法，还有用计算机软件来完成的方法，这些方法在以后的学习中同学们要逐步体会，考点4非线性回归的转化命题规律借助指数、幂、对数函数，将变量间的变换转化为回归问题．[例5] 在一化学反应过程中某化学物质的反应速度yg /min 与一种催化剂的量xg 有关，现收集了8组数据列于表中，试建立y 与x 之间的回归方程．[解析] 两个变量不一定是线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法将非线性关系转化为线性回归模型．[解】根据收集的数据作散点图：图3 -2 -5根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合．(1)可认为样本点集中在某二次曲线221c x c y +=的附近，令,2x t =则变换后样本，点 应该分布在直线==+=a c b a bt y ,(1)2c的周围，由题意得变换后的t 与y 的样本数据表如下：作y 与 t 的散点图，由y 与t 的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程a tb yˆˆˆ+=来拟合，即不宜用二次曲线221c x c y +=来拟合y 与x 之间的关系．(2)根据x 与 y 的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线.1c e c y =的周围，今,ln y z =则,ln 12c x c z +=即变换后样本点应该分布在直线),ln (21c b c a a bx z ==+=的周围，由y 与x 数据表可得z 与x 的数据表作出z 与x 的散点图．由散点图可观察到大致在一条直线上，所以可用线性回归方程来拟合它，由z 与x 的数据表，得到线性回归方程，,8485.01812.0ˆ-=x z所以非线性回归方程为,ˆ8485.01812.0-=x e y因此，该化学物质反应速度关于催化剂的量的非线性回归方程为8485.01812.0ˆ-=x e y[点拨] 非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数图像作比较，挑选一种跟这些散点拟舍得最好的函数，然后像本例这样，采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决，母题迁移4．某种图书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：检测每册书的成本费y与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的回归方程．优化分层测训学业水平测试1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )．A ．已知二次函数,2c bx ax y ++=其中a ，c 是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式ac b 42-=∆B ．光照时间和果树亩产量C ．降雪量和交通事故发生的数量D ．每亩施用肥料量和粮食产量2．对于线性相关系数r ，下列叙述正确的是( )．||),,0(||.r r A +∞∈越大，相关程度越大，反之，相关程度越小r r B ),,(||.+∞-∞∈越大，相关程度越大，反之，相关程度越小,1||.≤r C且lrl 越接近于1，相关程度越大；｜r ｜越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对3．工人月工资y （元）按劳动生产率x （千元）变化的回归方程为,8050ˆx y+= 下列判断正确的是( )．①劳动生产率为1000元时，则月工资为130元；②劳动生产率提高1000元时，则月工资提高80元；③劳动生产率提高1000元时，则月工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2000元．A ．① B．② C．③． D ．④4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并利用线性回归方法，求得回回归直线分别为,21l l N已知两人获得的试验数据中，变量x 和y的数据的平均值都相等，且分别都是s 、t ，那么下列说法正确的是( )．A ．直线21*nl l一定有公共点(s ，t)B ．直线21*l l ∏相交，但交点不一定是(s ，t)C ．直线21*nl l可能没有交点21.kJl l D必定重合5．在一次实验中，测得(x ，y)的四组值分别是A(l ，2)，B(2，3)，),5,4(),4,3(D C则y 与x 之间的回归直线方程为( )．1ˆ.+=x yA 2ˆ+=⋅x yB 12ˆ+=⋅x yC 1ˆ.-=x yD 6．弹簧长度），( cm)随所挂物体质量x(g)不同而变化的情况如下：(1)画出散点图；(2)求y 对x 的回归直线方程；(3)预测所挂物体的质量为27 g 时的弹簧长度（精确到0.01 cm)．7．随着人们经济收入的不断增长，购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增加，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司为此进行了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y （万元）有如下的数据资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程a xb yˆˆˆ+= 的回归系数,ˆˆb a、 (2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？嵩考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：120分）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分．共35分）1．下面两个变量间的关系不是函数关系的是( )．A ．正方形的棱长与体积B ．角的度数与它的正弦值C ．单产为常数时，土地面积与粮食总产量D ．日照 时间与水稻亩产量2．（2011年江西高考题）变量x 与y 相对应的一组数据为,10();5,13(),4,5.12(),3,8.11(),2,3.11(),1变量u 与v 相对应的一组数据为),2,5.12(),3,8.11(),4,3.11(),5,10(1),1,13(r表示变量y 与x 之间的线性相关系数，2r表示变量v 与u 之间的线性相关系数，则()．0.12<<r r A120.r r B <<120.r r C <<12.r r D =3．为了表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用( )．)ˆ(.1i i ni y y A -∑=表示)ˆ(.1i i ni y y B -∑=表示21)ˆ(.i i ni y y C -∑=表示21)(.y y D i ni -∑=表示4．设一个回归方程为,53ˆx y -=变量x 增加一个单位时( )．A ．y 平均增加3个单位 B.y 平均减少5个单位C.y 平均增加5个单位 D.y 平均减少3个单位5．线性回归方程a xb yˆˆˆ+= 必过( )．)0,0.(A)0,.(x B),0(y C ⋅),.(y x D6．已知两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：经计算得回归方程a bx y+=ˆ 的系数,575.0=b则a=9.14.-A9.13.-B9.12.-C9.14.D7．判断图3 -2 -8中的两个变量，具有相关关系的是( )．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）8．（2011年广东高考题）某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm ，170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为____ cm.9．-唱片公司欲知出歌费用x （十万元）与唱片销售量y （千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得到如下的资料：,4.303,282101101==∑∑≡=i i ti x x γ ,5.598,75211011101==∑∑≈y yx i i ,237101=∑≈i ti y x则y 与x 的相关系数r 的绝对值为10.某五星级大饭店的入住率x(%)与每天每间客房的成本，，（元）如下：则y 关于x 的回归直线方程是____三、解答题（70分）11．（10分）设有资料如下表所示：两位评酒员对10种品牌白酒的主观排序及白酒种类试问两位评酒员的评审顺序是否具有一定的线性相关关系？（按5%的显著水平检验）12.（12分）用镁合金X 光探伤时，要考虑透视电压U 与透视厚度l 的关系，做了5次独立试验结果如下：(1)画出散点图；(2)进行相关性检验；(3)求U 关于l 的线性回归方程，并预测当透视厚度l 为40 mm 时，透视电压U 是多少千伏．13.（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过’程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y 关于x 的线性回归方程;ˆˆˆa x b y+= (3)已知该厂技改前100t 甲产品的生产能耗为90t 标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100t 甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5+4 x3 +5 x4+6 x4.5 =66.5)14.（12分）每立方米混凝土的水泥用量x （单位：kg ）与28天后混凝土的抗压强度（单位：)/2cm kg之间的关系有如下数据：(1)对变量y 与x 进行相关性检验；(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程．15.（12分）下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系；(2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x=40时y 的值．16.（12分）已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表：(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线方程．单元知识整合2．本章注意问题在本章的学习中我们必须注意以下几个问题：(1)函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，函数关系有具体的函数关系式，而相关关系没有一个确定的关系式，用回归直线来估计相应的量的关系，但这种关系也不是确切的，存在着一定的误差．(2)利用散点图来确定两个变量之间是否具有线性相关关系时，作图要规范，如果样本点呈条形分布，我们就认为具有线性相关关系，如果有个别的样本点出现异常，而绝大多数的样本点在这个条形区域内，我们可以不考虑这个别的点，或认为这几个出现异常的点对我们的结论影响不大．但如果出现异常的点过多就认为不具有线性相关关系．(3)样本相关系数的计算公式为,)()())((21211y y x xy y x x r i n i i n i i i n i ----=∑∑∑=-= 可以用来衡量两个变量之间的线性相关关系，当r >0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．在实际判断中用…进行衡量，如果｜r ｜越接近于1，表明两个变量之间的线性相关性越强，｜r ｜越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；通常当｜r ｜大于0.75时，就认为两个变量之间有很强的线性相关关系，就可以求回归直线方程，并且在r >0时，回归系数bˆ 为正，在r<0时，bˆ 为负．(4)回归直线方程a xb yˆˆˆ+= 过样本点中心).,(y x(5)在线性回归模型中，随机误差用y ∧预报真实值_y 的误差．它是一个不可预测的变量，但可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体特征，均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差是反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值为O ，因此可以用方差来衡量随机误差的大小．(6)在研究两个变量之间的关系时，可以先根据散点图来粗略地判断它们是否存在线性相关关系，是否可以用线性回归模型来拟合两个变量的关系，如果可以用线性回归模型来拟合时，再求出面归直线方程，．最后再作残差分析来判断拟合的效果，并判断原始数据中是否存在可疑数据．(7)在判断两个分类变量的可信程度时要特别注意计算的准确度，准确代数，准确计算，准确比较，准确下结论．(8)在实际问题中，经常会面临需要推断的问题，在对问题进行推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，还需要通过收集数据，并根据独立性检验的基本原理作出合理的推断．(9)统计方法是可能犯错误的，不管是回归分析还是独立性检验，得到的结论都可能犯错误，好的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率，比如在推断吸烟与患肺癌是否有关时，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，而且这个结论出错的概率在0.01以下，实际上这是统计思维与确定性思维差异的反应．结合本章的学习，谈谈你对统计思维和确定性思维差异的理解．3．热点透视(1)独立性检验思想在日常生活中的应用．(2)了解线性回归思想，会求线性回归方程及进行相关性检验，掌握回归分析在生活中的应用．4．思想方法总结类型1 独立性检验思想在生活中的应用 ‘由题意列出事件A 与B 的2×2列联表，据公式计算出,2x若,706.22>x则有90%的把握认为事件A 与B 有关，若>2x,635.6则有99%的把握认为事件A 与B 有关；若,828.102>x则有99.9%的把握认为事件A 与B 有关，若,706.22≤x。

回归分析03：回归参数的估计（1）⽬录Chapter 3：回归参数的估计(1)3.1 最⼩⼆乘估计⽤y表⽰因变量，x_1,x_2,\cdots,x_p表⽰对y有影响的p个⾃变量。

总体回归模型：假设y和x_1,x_2,\cdots,x_p之间满⾜如下线性关系式y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p+e \ ,其中e是随机误差，将\beta_0称为回归常数，将\beta_1,\beta_1,\cdots,\beta_p称为回归系数。

总体回归函数：定量地刻画因变量的条件均值与⾃变量之间的相依关系，即{\rm E}(y|x)=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p \ ,回归分析的⾸要⽬标就是估计回归函数。

假定已有因变量y和⾃变量x_1,x_2,\cdots,x_p的n组观测样本\left(x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ip}\right),\,i=1,2,\cdots,n。

样本回归模型：样本观测值满⾜如下线性⽅程组y_i=\beta_0+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\cdots+\beta_px_{ip}+e_i \ , \quad i=1,2,\cdots,n \ .Gauss-Markov 假设：随机误差项e_i,\,i=1,2,\cdots,n满⾜如下假设：1. 零均值：{\rm E}(e_i)=0；2. 同⽅差：{\rm Var}(e_i)=\sigma^2；3. 不相关：{\rm Cov}(e_i,e_j)=0 \ , \ \ i\neq j。

如果将样本回归模型中的线性⽅程组，⽤矩阵形式表⽰为Y\xlongequal{def}\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{np} \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_p \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{array}\right)\xlongequal{def}X\beta+e \ ,其中X称为设计矩阵。

3.2 回归分析练习1．对某种机器购置后运营年限次序x(1,2,3，…)，与当年增加利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为：y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用__________年最合算．2若由此资料知y与．3由资料表明y对__________万元．4)的几组统计数据：__________．5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：试预测加工106．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发=+；求出y关于x的线性回归方程y bx a(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？7如果y与x(1)作出这些数据的散点图；(2)求这些数据的线性回归方程；(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．8．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数．9．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)，与该周每天销售这种服装件数x已知721280iix==∑，2145309iiy==∑，13487i iix y==∑.(1)求x，y；(2)判断纯利y与每天销售件数x之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归方程．10．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？参考答案1. 答案：8解析：令y ≥0，即10.47－1.3x ≥0，∴x ≤8，∴估计该台机器使用8年较为合算． 2. 答案：y ＝0.08＋1.23x解析：代入5152215=1.235i ii ii x y x yb xx ==-=-∑∑，y a bx =+，∴a ＝0.08.∴线性回归方程是y ＝0.08＋1.23x . 3. 答案：64.5解析：∵x ＝95，y ＝50代入公式求得b ＝0.58，a ＝－5.1， ∴线性回归方程为y ＝0.58x －5.1.将x ＝120代入线性回归方程得y ＝64.5(万元)．∴估计购买120平方米的房屋时，购买房屋费用是64.5万元． 4. 答案：y ＝1.23x ＋0.08 解析：∵521ii x=∑＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且x ＝4，y ＝5，n ＝5，∴112.354512.31.239051610b -⨯⨯===-⨯，a ＝5－1.23×4＝0.08，∴回归直线为y ＝1.23x ＋0.08. 5. 解：2+3+4+5=3.54x =， 2.5+3+4+4.5 3.54y ==，41i ii x y =∑＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，421ii x=∑＝4＋9＋16＋25＝54，∴252.54 3.5 3.50.7544 3.5b -⨯⨯==-⨯， a ＝3.5－0.7×3.5＝1.05.∴回归直线方程为y ＝0.7x ＋1.05， 当x ＝10时，y ＝0.7×10＋1.05＝8.05， ∴预测加工10个零件需要8.05小时． 6. 解：(1)由数据，求得x ＝13(11＋13＋12)＝12， y ＝13(25＋30＋26)＝27，3x y ＝972.31i ii x y =∑＝11×25＋13×30＋12×26＝977，321ii x=∑＝112＋132＋122＝434，23432x =.由公式，求得122197797254344322ni ii ni i x y nx yb x nx==--===--∑∑，a y bx =-＝27－52×12＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3. (2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|＜2. 同样，当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|＜2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．7. 解：(1)(2)x ＝5，y ＝50，511390i ii x y==∑，521145i i x ==∑，515221572i ii ii x y x yb xx ==-==-∑∑，a ＝y －b x ＝15，∴线性回归方程为y ＝7x ＋15.(3)当x ＝9时，y ＝78.即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元． 8. 解：(1)散点图如下图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．x ≈15.364，y ≈111.636，11214335i i x ==∑，11114778i i i x y ==∑.∴11111222111 2.3521111i ii ii x y x yb xx x ==-=≈---∑∑.a y bx =-≈147.767.∴回归方程为：y ＝－2.352x ＋147.767. (4)当x ＝2时，y ≈143.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮． 9. 解：(1)3+4+5+6+7+8+967x ==，66+69+73+81+89+90+9179.867y =≈；(2)画出散点图可知，y 与x 有线性相关关系， 设回归直线方程：y bx a =+，5593487761337 4.7528073628b -⨯⨯===-⨯，a ＝79.86－6×4.75＝51.36，∴回归直线方程y ＝4.75x ＋51.36.10. 解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算．设所求的回归直线方程为bx a =+.同时，利用上表可得1011022211055950105591.70.66838500105510i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， a y bx =-＝91.7－0.668×55＝54.96，即所求的回归直线方程为y ＝0.668x ＋54.96.(2)这个回归直线方程的意义是当x 增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x增大而变化的部分．因此当x＝200时，y的估计值为y＝54.96＋0.668×200＝188.56≈189.故加工200个零件时所用的时间约为189分．。

回归知识点总结归纳随着社会的发展和科技的进步，人们对于回归知识点的重视日益增加。

回归分析是一种用来探索变量之间关系的统计方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并对未来的趋势进行预测。

在本文中，我们将对回归知识点进行总结归纳，以便读者更好地掌握这一重要的统计学方法。

一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的定义回归分析是指通过确定两个或多个变量之间的数理关系，来预测一个或多个变量的方法。

在回归分析中，通常将要预测的变量称为因变量，而用来预测的变量称为自变量。

1.2 回归分析的类型回归分析可以分为线性回归分析和非线性回归分析两种类型。

其中，线性回归分析是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归分析则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。

1.3 回归分析的应用领域回归分析广泛应用于各个学科领域，如经济学、金融学、社会科学、生物学等。

它可以帮助研究者了解变量之间的关系，并为决策提供依据。

二、线性回归分析2.1 简单线性回归分析简单线性回归分析是指只包含一个自变量和一个因变量的回归分析方法。

其数学表达式可以表示为Y = α + βX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，α和β分别为截距和斜率，ε为误差。

2.2 多元线性回归分析多元线性回归分析是指包含两个或多个自变量和一个因变量的回归分析方法。

其数学表达式可以表示为Y = α + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε，其中X1、X2、…、Xn为自变量，β1、β2、…、βn为自变量的系数。

2.3 线性回归分析的模型拟合线性回归分析的模型拟合是指通过最小二乘法来拟合模型，使得因变量Y和自变量X之间的残差平方和最小化。

这样可以得到最优的模型参数估计值。

2.4 线性回归分析的检验线性回归分析的检验包括回归系数的显著性检验、模型拟合度的检验、残差的独立性检验等。

这些检验可以帮助我们判断模型的有效性和可靠性。

三、非线性回归分析3.1 非线性回归分析模型非线性回归分析模型包括指数模型、对数模型、幂函数模型等。

回归分析知识点总结一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的概念回归分析是一种通过数学模型建立自变量与因变量之间关系的方法。

该方法可以用来预测数据、解释变量之间的关系以及发现隐藏的模式。

1.2 回归分析的类型回归分析主要可以分为线性回归和非线性回归两种类型。

线性回归是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。

1.3 回归分析的应用回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、金融学、生物学、医学等。

在实际应用中，回归分析可以用于市场预测、风险管理、医疗诊断、环境监测等方面。

二、回归分析的基本假设2.1 线性关系假设线性回归分析假设因变量和自变量之间的关系是线性的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的。

2.2 正态分布假设回归分析假设误差项服从正态分布，即残差在各个预测点上是独立同分布的。

2.3 同方差假设回归分析假设误差项的方差是恒定的，即误差项的方差在不同的自变量取值上是相同的。

2.4 独立性假设回归分析假设自变量和误差项之间是独立的，即自变量的变化不受误差项的影响。

三、回归分析的模型建立3.1 简单线性回归模型简单线性回归模型是最基础的回归分析模型，它只包含一个自变量和一个因变量，并且自变量与因变量之间的关系是线性的。

3.2 多元线性回归模型多元线性回归模型包含多个自变量和一个因变量，它可以更好地描述多个因素对因变量的影响。

3.3 非线性回归模型当因变量和自变量之间的关系不是线性的时候，可以使用非线性回归模型对其进行建模。

非线性回归模型可以更好地捕捉因变量和自变量之间的复杂关系。

四、回归分析的模型诊断4.1 线性回归模型的拟合优度拟合优度是评价线性回归模型预测能力的指标，它可以用来衡量模型对数据的拟合程度。

4.2 回归系数的显著性检验在回归分析中，通常需要对回归系数进行显著性检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。

4.3 多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这可能导致回归系数估计不准确。