基于多目标粒子群算法的直线感应电机机构优化设计

基于多目标优化的机电传动系统参数优化设计方法研究随着科学技术的不断发展，机电传动系统在工业生产中起着至关重要的作用。

机电传动系统的参数优化设计对于提高生产效率、降低能源消耗以及保障设备的可靠性具有重要意义。

然而，由于机电传动系统的复杂性以及多个性能指标的相互制约，传统的单目标优化方法无法很好地解决这个问题。

因此，基于多目标优化的机电传动系统参数优化设计方法的研究变得尤为重要。

本研究旨在探索一种基于多目标优化的机电传动系统参数优化设计方法，以提高机电系统的综合性能。

首先，我们将详细分析机电传动系统的组成和工作原理，包括传动元件、转动部件以及电气控制系统等。

接着，我们将对机电传动系统的性能指标进行归纳和总结，如传动效率、运动平稳性、能源消耗等。

在进行多目标优化之前，我们需要确定各个性能指标的权重。

通过分析不同工况下的重要性和实际应用需求，我们可以合理地确定各个性能指标的权重。

然后，我们利用多目标优化算法（如遗传算法、粒子群优化算法等）对机电传动系统的参数进行优化设计。

核心思想是在给定设计变量的范围内，找到最优的设计方案，使得不同性能指标之间达到最佳的平衡。

在进行多目标优化设计过程中，需要建立机电传动系统的数学模型。

通过建立适当的传动模型、运动模型以及控制模型，我们可以确定机电传动系统的输出与输入之间的关系。

在此基础上，我们可以使用多目标优化算法对机电传动系统进行参数选择，以达到多目标性能指标的最优化。

除了一次性的优化设计，我们还可以使用多目标优化算法进行迭代优化。

具体而言，我们可以通过分步优化的方式，先固定某些参数，再对其他参数进行优化设计，逐步改进机电传动系统的性能。

此外，在进行多目标优化设计时，需要考虑与制造工艺的兼容性。

机电传动系统的设计与制造具有一定的耦合性，因此在进行参数优化设计时，还需要考虑到制造工艺的可实现性以及成本效益。

综上所述，基于多目标优化的机电传动系统参数优化设计方法是一种有效地提高机电传动系统性能的方法。

基于粒子群优化算法的多目标路径规划优化研究多目标路径规划优化是一项重要的研究领域，广泛应用于物流运输、无人飞行器导航、交通流优化等领域。

为了解决多目标路径规划问题中存在的挑战，如路径冲突、时间效率、资源利用率等问题，本文提出了一种基于粒子群优化算法的多目标路径规划优化方法。

首先，我们简要介绍了多目标路径规划问题。

该问题的目标是找到一组路径，以满足多个目标，比如最短路径、最小时间、能源消耗最低等。

然而，由于多个目标之间的冲突和限制，传统的单目标路径规划算法无法直接应用于多目标情况。

粒子群优化算法是一种启发式优化算法，模拟了鸟群或鱼群的行为，并通过粒子的飞行和信息交换来寻找最优解。

基于粒子群优化算法的多目标路径规划优化方法可以将路径规划问题转化为一个多目标优化问题，并通过适应性函数评估解的质量。

具体而言，我们将每个粒子表示为一个路径解，并使用适应性函数来评估解的适应度。

然后，通过更新粒子的速度和位置，不断迭代寻找最优解。

在实际应用中，我们需要将多目标路径规划问题转化为一个数学模型。

以物流运输为例，我们可以将路径规划问题看作是在给定起始点和终止点的网络中寻找一组路径，使得多个目标（例如货物运输时间、运输成本、车辆利用率）达到最优。

通过建立适当的约束条件和目标函数，我们可以将多目标路径规划问题转化为数学模型。

采用基于粒子群优化算法的多目标路径规划优化方法需要进行以下步骤：1. 初始化粒子群：随机生成一组路径解，并初始化粒子的初始速度和位置。

2. 评估适应度：使用适应性函数评估每个粒子的适应度，并确定当前最优解。

3. 更新粒子速度和位置：根据粒子群的最优解和个体的最优解，更新粒子的速度和位置。

4. 收敛判断：判断粒子群的适应度是否达到收敛要求，如果满足条件则停止迭代，否则继续第2步和第3步。

5. 输出优化结果：输出最优的路径解作为优化结果。

基于粒子群优化算法的多目标路径规划优化方法具有以下优点：1. 并行搜索能力：粒子群算法的并行搜索能力可以在较短时间内得到一组较优的路径解，提高了路径规划的效率。

基于多目标粒子群算法的电力系统优化调度一、绪论随着经济的发展，全球能源需求和使用量不断增长，电力系统的优化调度也变得越发重要。

当今电力系统的特点之一是大规模、复杂性高、互联互通，同时在保证整个系统安全、稳定运行的前提下，还需要降低用电成本，合理利用各种能源，减少环境污染。

这就对电力系统优化调度提出了更高的要求和挑战。

传统的电力系统优化调度方法存在许多问题，如计算速度慢，调度效果差，解的有效空间小等。

因此，多目标粒子群算法作为一种新型的优化方法被提出，其具有全局寻优的能力、计算速度快的优点等，成为当前电力系统优化调度的热门研究方法。

本文将重点介绍基于多目标粒子群算法的电力系统优化调度研究。

二、电力系统优化调度电力系统优化调度是指将电力系统中各类可控设备从长期、中期、短期不同时间尺度上进行计划调度，以达到在保证供电安全、稳定的前提下，实现节约用电、优化电力系统结构和维护环境等多目标优化。

在长期调度中，主要考虑电力系统年度计划和规划，如装机容量、负荷预测、送电方式、发电机组配置等；在中期调度中，主要考虑电力系统月度、季度调度，主要包括发电机组出力安排、线路负荷分配等；在短期调度中，主要考虑电力系统日、时段调度，主要包括电力负荷预测、发电机组出力控制、电力市场运行等。

传统电力系统优化调度方法主要采用线性规划、整数规划、动态规划等数学模型，但这些方法虽然基础扎实，但缺乏全局寻优的能力，并不能解决复杂的电力系统优化问题。

三、多目标粒子群算法3.1 算法概述多目标粒子群算法是基于粒子群算法、遗传算法和多目标优化的结合，其基本思想是通过在多目标空间中求解非劣解集合来避免单点搜索陷入局部最优解，从而实现全局优化目标。

3.2 算法流程多目标粒子群算法的主要流程如下：(1)初始化种群，包括每个粒子的位置和速度(2)根据评价函数计算种群中每个个体的适应度(3)更新种群中每个粒子的速度和位置(4)根据多目标优化原则，选择出非劣解集(5)终止条件判断，若满足终止条件则输出非劣解集，否则返回(2)3.3 算法优点多目标粒子群算法具有以下优点：(1)具有强大的寻优能力，能够有效避免单点搜索陷入局部最优解的情况；(2)计算速度快，能够在很短的时间内求解出复杂的非线性多目标优化问题；(3)具有较好的鲁棒性，对模型参数的变化不敏感，实用性较强。

基于粒子群优化算法主动悬架作动器多目标优化设计彭冲;郑玲;李以农【摘要】To achieve high thrust density, low ripple and low copper loss of electromagnetic linear actuator in active suspension system of the electric wheel, a multi-objective optimization design method of tubular Halbach permanent magnet linear synchronous motor using stochastic particle swarm optimization was presented. The analytical formulas of gap magnetic field, induced voltage and electromagnetic force were deduced, and the validity of formulae was verified by FEM. The optimum range of Halbach permanent magnet parameter was obtained through the parametric analysis of gap magnetic field. Setting permanent magnet, gap and slot depth as optimization variables and taking thrust volume coefficient and copper loss coefficient as optimization objective, the actuator structure parameters were optimized with multi-objective stochastic particle swarm optimization based on self-adaptive punishment. The best Pareto optimal solution is selected based on the fuzzy set theory. The results show that after optimization, the actuator structure is more compact, and both the copper loss and thrust ripple decrease significantly. The validity of multi-objective optimization is verified.%为了使电动轮主动悬架系统的电磁直线作动器具有高推力密度、低铜耗和低推力波动特性,提出基于粒子群算法的圆筒形Halbach永磁直线同步电机作动器多目标优化设计方法,推导Halbach直线作动器径向气隙磁场密度、空载感应电动势、电磁力解析式,并采用有限元法对其进行了验证.基于Halbach磁体结构的气隙磁场进行参数化分析,获得磁体参数优化范围,以永磁体、气隙与槽深尺寸为优化变量,以推力体积比系数、铜耗系数为优化目标,采用基于自适应罚函数的多目标随机粒子群优化算法对作动器结构参数进行优化,并利用模糊集合理论对Pareto最优解进行选优.研究结果表明:优化后作动器结构紧凑,且作动器铜耗及波动明显降低,验证了作动器设计的正确性与多目标优化的有效性.【期刊名称】《中南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(048)004【总页数】9页(P968-976)【关键词】电磁作动器;气隙磁场;多目标优化;随机粒子群算法【作者】彭冲;郑玲;李以农【作者单位】重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆,400044;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆,400044;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆,400044【正文语种】中文【中图分类】TM359.4轮边驱动式电动汽车以其空间利用率高、传动链短、开发成本低、能量回收等优点，成为了未来汽车工业最佳选择[1]，然而，轮边驱动电动汽车随着轮毂电机的引入导致整车非簧载质量及车轮转动惯量显著增加，影响着车辆的平顺性和操作稳定性[2]，目前解决方法主要采取电磁可控悬架，相比空气、液压等可控悬架系统，电磁主动悬架系统可提供主动力，可实现在不同的行驶条件下悬架性能最优，显著改善车辆的行驶平顺性和操纵稳定性，成为电动汽车悬架的最佳选择。

基于粒子群算法的动态多目标优化作者：***来源：《粘接》2021年第06期摘要：针对碳二氢生产中的反应器动态优化問题，目前虽然有多种算法对生产过程进行优化，但大部分只是对单一目标进行求解，提出一种更为灵活的反应器动态求解方法。

在该方法中，首先构建碳二氢目标函数，然后采用多目标粒子群算法和分段线性函数参数法结合的方式对目标函数的进行求解，以提高整体搜索能力，得到碳二氢反应器动态优化的最优解。

最后，以实际乙烯碳二加氢化工反应过程为例进行实验验证，结果证明，通过该方法进行求解的目标函数无论是在收敛性，还是在优化的平均值等方面，都比SADE-eCD和NSGA-II算法具有优势，说明该算法在反应器动态优化中是切实可行的。

关键词：动态多目标优化;粒子群算法;碳二加氢;骨干粒子群算法中图分类号：TP301.6 文献标识码：A 文章编号：1001-5922（2021）06-0039-05Abstract：In view of the dynamic optimization of the reactor in the production of carbon dihydrogen， although there are many algorithms to optimize the production process， most of these algorithms only focus on the optimization of a single objective， and a more flexible method of reactor dynamics is proposed. In this method， the C2H objective function is first constructed， and then the objective function is solved by the combination of multi-objective particle swarm algorithm and piecewise linear function parameter method to improve the overall search ability， and the optimal solution for dynamic optimization of the carbon dihydrogen reactor is obtained. Finally， the actual ethylene carbon two hydrogenation chemical reaction process is used as an example for experimental verification， and the results prove that the objective function solved by this method has advantages over the SADE-eCD and NSGA-II algorithms in terms of convergence and average value of optimization， indicating that the algorithm is feasible in reactor dynamic optimization.Key words：dynamic multi-objective optimization; particle swarm optimization; C2 hydrogenation; backbone particle swarm optimization algorithm近年来，随着化学工业的发展，化工过程的动态模拟越来越受重视，分线性等模型也在化工过程建模中普遍存在。

第30卷第6期2013年6月控制理论与应用Control Theory &ApplicationsV ol.30No.6Jun.2013多目标分解随机粒子群优化算法及其在直线电机优化设计中的应用DOI:10.7641/CTA.2013.20502王光辉,陈杰,蔡涛†,李鹏(北京理工大学自动化学院,北京100081;复杂系统智能控制与决策教育部重点实验室,北京100081)摘要:本文提出了一种多目标分解随机粒子群优化算法(MDSPSO).该算法优化过程中,所有粒子按各自固定的权重向量,采用改进Tchebycheff 分解方法,将求解多目标非支配解问题转化为求解多个单目标最优解问题;而后每个粒子在以自身位置、个体历史最优参考位置及群体最优参考位置的几何中心为中心,以中心到自身位置为半径的区域内,随机生成一个新的起始位置,并参考当前的速度更新下一时刻的位置.通过对测试函数多次计算得到的数据进行统计分析,表明MDSPSO 的收敛性和多样性均优于另外3种对比算法.最后针对直线电机磁路复杂、有限元计算费时的问题,使用神经网络拟合直线电机结构参数与性能的关系作为优化设计的模型,应用MDSPSO 算法,优化结构参数.实际测试结果表明,优化后的直线电机推力大、效率高,同时有效控制了其推力波动和生产成本.关键词:多目标优化;改进Tchebycheff 分解方法;随机粒子群优化算法;直线电机中图分类号:TP273文献标识码:AA multi-objective decomposition-based stochastic particle swarmoptimization algorithm and its application tooptimal design for linear motorWANG Guang-hui,CHEN Jie,CAI Tao †,LI Peng(School of Automation,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;Key Laboratory of Complex System Intelligent Control and Decision,Ministry of Education,Beijing 100081,China)Abstract:This article proposes a multi-objective decomposition stochastic particle swarm optimization (MDSPSO)algorithm.In MDSPSO,every particle has a weighted vector constantly.Then,an improved Tchebycheff decomposition method is applied to decompose the multi-objective problem into some single-objective problems.The reference position of every particle is uniformly generated in the zone with the center which is the geometrical center of its current position,the best previous reference position as well as the swarm best reference position.The radius of this zone is the distance from the center to its current position.Then the particle is updated to the new position according to the reference position and its current velocity.The comparisons with the decomposition-based multi-objective particle swarm optimizer (dMOPSO),a multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition (MOEA/D),and nondominated sorting genetic algorithm II (NSGA–II)show that the solutions of MDSPSO can be dominated at least with the best diversity.To reduce the compu-tational time by finite element analysis for optimizing the structure parameters of linear motor,artificial neural network is used as the model to evaluate the performance.Finally,MDSPSO is applied to optimize four objectives simultaneously.The practical result is shown that the optimized linear motor has an increased thrust,improved efficiency,reduced fluctuation and manufacturing cost.Key words:multi-objective optimization;improved Tchebycheff decomposition method;stochastic particle swarm optimization;linear motor1引言(Introduction )许多实际问题是由相互冲突和影响的多个目标组成,当需要使多个目标在给定的区域尽可能同时最佳时,也就需要求解多目标优化问题.智能进化算法具有并行高效、鲁棒性、通用性强等优点,被广泛应用于求解多目标优化问题[1–2].其中粒子群算法以其算法机制简单、性能好、容易实现等优点获得青睐[3].文献[4]提出了一种改进多目标粒子群算法优化电弧炉供电过程,减少了电极消耗,缩短了冶炼时间,延长了炉衬使用寿命,但算法机制复杂;文献[5]提出了基于分解的多目标粒子群算法,将分解方法和粒子群算法相结合并取得了良好的性能.在收稿日期:2012−05−13;收修改稿日期:2013−02−19.†通信作者.E-mail:caitao@.基金项目:国家杰出青年科学基金资助项目(60925011);国家自然科学基金国家重大国际(地区)合作研究项目(61120106010).网络出版时间：2013-06-21 17:49网络出版地址：/kcms/detail/44.1240.TP.20130621.1749.004.html694控制理论与应用第30卷混合有源滤波器多目标优化设计[6]、多目标柔性作业车间调度[7]等实际问题中都采用了改进的粒子群算法算法来作为求解方法.直线电机已广泛应用于工业设备、交通运输等直线运动场合,但相对于旋转电机,直线电机的气隙较大、动定子两端开断,使得气隙磁场波形畸变、磁路复杂、推力波动明显、损耗增加[8–9].直线电机优化设计问题的目的就是优化电机结构参数以提高电机性能,文献[10–11]中在优化电机设计时,是根据一个固定的综合指标来评价电机性能,但实际问题中,电机性能的各指标事先很难进行判定,且指标之间是相互矛盾的,因而需要使用多目标优化算法对各指标同时进行优化,并获得多个解供设计者参考.本文首先提出一种多目标分解随机粒子群算法,随后通过测试函数对算法性能进行验证.在直线电机优化设计中,考虑了直线电机的模型特点,采用神经网络对直线电机进行建模,最后采用多目标分解随机粒子群优化算法,对直线电机结构参数进行优化,提高了电机的推力和效率并降低推力波动和生产成本.2多目标分解随机粒子群优化算法(Multi-objective decomposition-based stochastic particle swarm optimization algorithm)2.1多目标优化问题(Multi-objective optimizationproblem)多目标优化问题的数学形式可以如下描述:min f(x)=(f1(x),···,f m(x)),(1)s.t.x∈Ωn,其中:x为n维决策变量,Ωn为决策变量的可行解空间,f(x)为m个目标函数(f j:Ωn→R m,j=1,···, m)组成,R m为目标空间.通常情况下,单目标优化问题可以得到一个最优解,使得目标函数值最小.但多目标优化问题中,各个目标之间是矛盾的,很难有一个解能同时使几个目标达到最优,为此,多目标优化问题通常是寻找Pareto最优.首先定义如下:定义1已知向量u=(u1,···,u m),v=(v1,···,v m),当且仅当对∀j∈{1,···,m},u j v j且u=v时,则称u支配v,记为u≺v.定义2已知问题(1)的可行解x∗∈Ωn,当且仅当 y∈Ωn使得f(y)≺f(x∗),则可行解x∗为Pareto最优解.所有Pareto最优解的集合称为Pareto 解集(PS),即PS={x∈Ωn| y∈Ωn,f(y)≺f(x)}.Pareto解集(PS)所对应的目标空间中目标函数值为Pareto前沿(PF),即PF={f(x)|x∈PS}.多目标优化问题的求解目标是尽可能全面地找到Pareto最优解,同时使得当前Pareto前沿靠近并充分地覆盖真实的Pareto前沿.2.2多目标分解(Multi-objective decomposition)文献[12]提出一种Tchebycheff分解方法,将多目标优化问题(1)转化为多个单目标优化问题进行求解,本文在此基础上提出一种改进Tchebycheff分解方法,如式(2)所示:min T s(f(x)|(Λ,z∗,z†))=ρmj=1{λj(f j(x)−z∗jz†j−z∗j)}+max1 j m{λj(f j(x)−z∗jz†j−z∗j)},(2)其中:Λ,z∗,z†为已知常数;Λ=(λ1,···,λm)为权重向量,∀λj 0,mj=1λj=1;z∗=(z∗1,···,z∗m),z†=(z†1,···,z†m)分别为优化参考点及归一化参考点,对∀j,z∗j=minx∈Ωn{f j(x)},z†j=maxx∈Ωn{f j(x)},可见对于最小化优化问题,PF是离优化参考点z∗最近的可行解目标空间边界,而归一化参考点z†用来将不同范围的m维目标空间,压缩到同一范围内再进行比较;ρ为较小的非零正实数,用于保证解的支配关系.引理1对∀y1,y2∈R m,若对j=1,···,m有y1jy2j且y1=y2,则T s(y1)<T s(y2).显而易见,此引理1成立.定理1若x∗∈Ωn是单目标优化问题(2)的最优解,则x∗是多目标优化问题(1)的Pareto最优解.证反证法.若x∗不为Pareto最优解,由定义2可知∃x 使得f(x )≺f(x∗).由定义1可知,对∀j∈{1,···,m},f j(x ) f j(x∗)且f j(x )=f j(x∗).由引理1可知,T s(f j(x ))<T s(f j(x∗)),即x∗不是单目标优化问题(2)最优解,与假设矛盾.定理2若x∗∈Ωn是多目标优化问题(1)的Pareto最优解,则∃Λ∗=(λ∗1,···,λ∗m),使得∀x∈Ωn,T s(f(x∗)) T s(f(x)),其中∀λ∗j0,mj=1λ∗j=1,j=1,···,m.证假定 Λ∗,有∀x∈Ωn,T s(f(x∗)) T s(f(x))成立,则对∀Λ=(λ1,···,λm),有∃x ∈Ωn,T s(f(x )) <T s(f(x∗))成立,其中∀λj 0,mj=1λj=1.由式(2)可知对∀j,f j(x )<f j(x∗),即f(x )≺f(x∗),x∗可以被x 支配,与假设矛盾.注1定理1指出单目标优化问题(2)的最优解即为多目标优化问题(1)的Pareto最优解.定理2表明求解多目标优化问题(1)的Pareto最优解总可以转化为某个单目标优化问第6期王光辉等:多目标分解随机粒子群优化算法及其在直线电机优化设计中的应用695题(2)来进行求解.多目标分解优化算法就是将求解多目标优化问题(1)转化为同时求解多个单目标优化问题(2),从而使得算法一次运行即可获得多个Pareto 最优解.2.3随机粒子群优化算法(Stochastic particleswarm optimization algorithm )经典粒子群优化算法首先在可行解空间Ωn 随机初始化一粒子群体,每个粒子每一维有具有一个初始随机位置和随机速度,然后粒子通过参考个体历史最优和群体最优,不断迭代更新粒子的位置,直到满足条件时停止并输出最优解.p i j (t +1) 下一刻位置=p i j (t ) 当前位置+ω·v ij (t )当前速度参考+c 1·r 1·(pb i j (t )−p i j (t ))个体历史最优参考Gb i j+c 2·r 2·(pg ij (t )−p i j (t ))群体最优参考Gg i j,(3)其中:上标i 对应于第i 个个体(i =1,···,N ,N 为种群规模),下标j 对应于粒子的第j 维(j =1,···,n ),t 表示当前迭代的代数;P i =[p i 1···p i n ]T 和V i=[v i 1···v i n ]T 分别表示第i 个粒子的位置和速度,其中|v i j | V max ;ω为惯性因子;P b i =[pb i 1···pb i n ]表示第i 个粒子的个体历史最优位置;P g i =[pg i1···pg i n ]T表示第i 个粒子的群体最优位置;r 1和r 2为[0,1]内的随机数;c 1和c 2分别作为个体历史最优与群体最优的加速因子来计算个体历史最优参考Gb i j 和群体最优参考Gg ij .当确定了参考信息Gb i =[Gb i 1···Gb i n ]T和Gg i =[Gg i 1···Gg i n ]T,结合当前的速度参考信息,粒子i 下一刻的位置P i (t +1)只能按式(4)更新到确定位置.为增加多目标优化问题的Pareto 解集中解的多样性,并提高算法的搜索能力,本文采用随机随机粒子群优化算法[13],该算法根据参考信息随机更新下一刻位置,其粒子更新规则如图1所示.图1粒子位置更新示意图Fig.1Updating rule of particle’s position首先根据式(4)计算当前位置p i j (t )、参考位置p i j +Gb i j 和p i j +Gg i j 三者的中心位置Gc ij :Gc i j = p ij+(p ij +Gb i j )+(p i j +Gg i j ) /3,(4)而后计算当前位置p i j (t )与中心位置Gc ij 的欧氏距离R i j =d (Gc i j ,P i j ).然后在以Gc i j 为中心以R i j 为半径的空间内等概率u (Gc i j ,R i j )生成一样新的位置(p i j ):(p i j ) ∼U (Gc i j ,R ij ).(5)若R ij 为零,则在可行解空间内等概率随机生成新的位置(p i j ),最后按式(6)更新下一刻粒子的位置p i j (t +1).若粒子位置超出可行解空间,重置该粒子位置到最近的可行解空间边界,同时速度置为零.p i j (t +1)=ω·v i j (t )+(p i j ).(6)粒子的速度更新公式如下:v i j (t +1)=ω·v i j (t )+(p i j ) −p ij .(7)2.4多目标分解随机粒子群优化算法(Multiob-jective decomposition stochastic particle swarm optimization algorithm )多目标分解粒子群优化算法(MDSPSO)中,每个粒子不仅具有速度和位置信息,同时具有一个固定的权重向量Λ.为保证权重向量分布均匀,所有权重向量的各维均从集合{0H ,1H ,···,H H}中选择.根据权重和为1要求,共可以组成N =C m −1H +m −1个不同的权重向量.MDSPSO 算法操作步骤如下:步骤1初始化.1)随机生成粒子群体S ={P 1,···,P N },计算粒子适应值,并随机初始化每个粒子的速度;令每个粒子历史最优P b i =P i (i =1,···,N ).2)粒子群体最优集合G ={P 1,···,P N },并随机乱序分配给N 个粒子,作为各自群体最优位置.3)更新z ∗与z †.∀j,z ∗j =min P ∈S{f j (P )},z †j =max P ∈S{f j (P )};4)为每个个体指定一个固定的权重向量Λi .步骤2粒子当前位置更新.对粒子群体S 中所有个体,按式(4)−(7)更新个体的位置与速度,并计算粒子适应值.步骤3个体历史最优位置更新.1)更新z ∗与z †.∀j,z ∗j =min {z ∗j ,min P ∈S{f j (P )}},z †j=max P ∈S{f j (P )}.2)对∀i ,若T s (f (P i )|(Λi ,z ∗,z †))<T s (f (P b i )|(Λi ,z ∗,z †)),则P b i =P i ,否则按步骤4操作,直至完成更新S 和z ∗.步骤4重置停滞粒子位置.696控制理论与应用第30卷1)从G 任意选择两个不同个体i 1,i 2,重新生成一个服从高斯分布N (P i 1−P i 22,|P i 1−P i 2|)的新个体P t,计算粒子适应值f (P t ).2)更新z ∗.∀j,z ∗j =min {z ∗j ,f j (P t )}.3)若T s (f (P t )|(Λi ,z ∗,z †))<T s (f (P i )|(Λi ,z ∗,z †)),则返回P b i =P i =P t ,否则直接返回.步骤5群体最优位置更新.1)令T =S ∪G ,G =∅.2)更新z †.∀j,z †j =max P ∈S∪G{f j (P )}.3)对∀i,G =G∪{P j |min P j∈TT s (f (P j )|(Λi ,z ∗))},T =T \P j,直至完成更新G .4)随机打乱集合G 中的N 个位置乱序随机分配给N 个粒子作为它们的群体最优位置.步骤6如果满足终止条件,则输出G ,否则返回步骤2.注2MDSPSO 算法按每个粒子的权重向量采用改进Tchebycheff 分解方法,将求解多目标非支配解问题转化为同时求解多个单目标最优解问题.粒子位置采用随机生成的策略以增加粒子个体的多样性,从而提高算法对单目标优化问题的搜索能力.同时MDSPSO 算法将所有粒子的权重向量所对应的单目标优化问题的最优位置作为群体最优集合,而每个粒子的群体最优位置将从群体最优集合中随机选择,以保证非支配解的多样性.采用上述策略,MDSPSO 算法一次运行即可获得多个Pareto 最优解,以实现多目标优化问题的求解目标.3算法性能测试(Algorithm performance ver-ification )3.1评价指标(Performance indexes )定义3定义两集覆盖度C (A,B )表示集合B 中能被集合A 中元素支配的元素数目占集合B 中所有元素数目的比例.C (A,B )=|{u ∈B |∃v A :v ≺u }||B |.若集合A 中的解都能支配集合B 中的所有解,则C (A,B )为1,相反则为零.由于两个集合中存在互相无法支配的解,所以采用两集覆盖度C 评价的时候,需要同时计算C (A,B )和C (B,A ),且C (A,B )+C (B,A )不一定为1.定义4定义逆代距I 来衡量当前PF 集合P ∗与真实PF 样本集合P 的距离,同时反映了当前PF 集合P ∗对真实PF 样本集合P 的覆盖程度.I =∀v ∈Pd (v ,P ∗)|P |,其中d (v ,P ∗)=min ∀u ∈P∗ v ,u .对测试函数的真实PF 进行均匀大样本采样,构成集合P ∗.逆代距I GD 越小,表明集合P 距离真实PF 越近,覆盖度越好.3.2测试函数(Test functions )本文选择测试函数及其特征[14]如表1所示,其中WFG 系列二维测试函数具有复杂的特征,较其他二维测试函数更加复杂.在实际问题中,不同目标的取值范围可能是不同的.尽管这些测试函数涵盖了常见实际优化问题中可能存在的特征,但其各目标的取值范围相同或比较接近.因而保持测试函数第一维不变,对于二维测试函数,第二维乘以10作为新的测试函数;对于三维测试函数,后两维分别乘以5,10作为新的测试函数;对于四维测试函数,后三维分别乘以3,6,10作为新的测试函数.表1测试函数Table 1Test functions函数m /n典型特征(具体概念参见文献[14])WFG2(F1)2/10PF 非连续,第二维为多模态WFG5(F2)2/10两维均存在欺骗性模态WFG7(F3)2/10参数相互依赖WFG9(F4)2/10参数相互依赖,存在欺骗性多模态DTLZ2(F5)3/12三维PF,存在多对一映射DTLZ6(F6)3/12PF 为三维曲线,存在多对一映射DTLZ7(F7)3/22PF 非连续,最后一维为多模态DTLZ2(F8)4/12四维DTLZ2DTLZ6(F9)4/12四维DTLZ6DTLZ7(F10)4/22四维DTLZ73.3测试结果比较(Comparison of test results )文献[12]提出了基于差分进化的MOEA/D 算法(简记为ME),并在CEC2009上荣获最佳多目标优化算法;文献[15]提出了NSGA–II 算法(简记为NS),因算法机制简单,效果很好,成为多目标优化问题的经典算法.为了验证MDSPSO 算法(简记为DS)的性能,本文选用NSGA–II,MOEA/D 及dMOPSO 算法[5](简记为dM)作为对比算法,在同一计算机的MATLAB 7.12环境下对表1中测试函数进行20次优化计算,而后对优化结果进行统计分析.对二维测试函数,4种算法的个体数目均为200个(H =199),三维均为300个(H =23),四维均为455个(H =12).基于粒子群算法的DS 算法和dM 算法设置相同,r 1=r 2=2.0,ω=0.7298.改进Tchebycheff 分解方法中,ρ=0.001.dM,ME 和NS 的设置均按各自文献进行最优配置.最终统计结果如表2与表3所示,其中表2为两集覆盖度对比数据,表3为逆代距对比数据及时间统计信息,表中非括号中的数值为均值,括号中的数值为均方差.第6期王光辉等:多目标分解随机粒子群优化算法及其在直线电机优化设计中的应用697表2两集覆盖度Table 2C performance函数C (DS,dM)C (dM,DS)C (DS,ME)C (ME,DS)C (DS,NS)C (NS,DS)F1 1.00000(0.00000)0.00000(0.00000)0.66325(0.28750)0.11625(0.13370)0.06575(0.06898)0.49275(0.06088)F20.37175(0.32997)0.00570(0.03242)0.37900(0.34972)0.06150(0.02843)0.40025(0.39868)0.05500(0.00008)F30.99975(0.00112)0.00000(0.00000)0.40200(0.07181)0.07925(0.01801)0.32525(0.11845)0.00125(0.00222)F40.98850(0.00875)0.00225(0.00472)0.71625(0.36686)0.12900(0.20421)0.31025(0.25293)0.30350(0.18387)F50.31500(0.03441)0.01383(0.00595)0.00117(0.00196)0.09750(0.01895)0.34950(0.36266)0.00083(0.00148)F60.66950(0.03073)0.00000(0.00000)0.00400(0.00503)0.00000(0.00000)0.95883(0.01028)0.00000(0.00000)F70.48183(0.02771)0.00867(0.01051)0.36017(0.09332)0.00717(0.01476)0.73767(0.07205)0.00150(0.00597)F80.40242(0.01657)0.00000(0.00000)0.03154(0.00745)0.00169(0.02142)0.48198(0.06021)0.00000(0.00000)F90.62539(0.02820)0.00000(0.00000)0.00857(0.00996)0.00099(0.00442)0.81231(0.03115)0.00000(0.00000)F100.20769(0.02110)0.01923(0.00921)0.03692(0.06010)0.00560(0.01443)0.84703(0.04525)0.00539(0.00915)表3逆代距与时间代价Table 3I GD performance and time costDSdMMENS函数I DS用时/s I dM用时/s I ME用时/s I NS用时/s F10.12271(0.00688)44.720.41561(0.04036)75.71 1.55382(1.12979)42.880.29362(0.35278)46.14F20.11729(0.01008)45.550.14474(0.03316)75.760.75688(0.30224)42.510.13975(0.03237)46.67F30.06807(0.00012)48.190.21328(0.00857)75.760.39505(0.09018)43.870.07634(0.00801)46.59F40.08080(0.00538)46.880.11298(0.01107)77.160.33791(0.29297)44.050.17687(0.08629)48.08F50.17378(0.00114)71.530.26672(0.01228)124.90.19086(0.00379)63.760.27099(0.01312)103.7F60.03707(0.00003)71.930.07308(0.00021)125.10.03483(0.00098)63.69 4.78374(0.83856)116.7F70.31108(0.00522)73.910.32090(0.00664)128.3 1.54117(1.89982)63.94 1.25173(0.68624)113.6F80.51847(0.00418)126.00.59042(0.05910)231.50.60595(0.06717)99.450.61878(0.03307)247.5F90.10752(0.00149)149.80.17605(0.02140)241.10.26720(0.09470)109.28.68658(1.02340)290.1F100.77037(0.02324)154.71.03551(0.01465)256.32.48086(3.07523)109.22.14478(0.68424)314.1为形象化地描述上述数据,图2−5直观地对比显示了4种算法某次得到的二维测试函数F1−F4的PF.从图2中中间的放大效果图可见,dM 解(dM 算法得到的解,下同)距离真实PF 较远,完全被DS 解支配,因而C (DS ,dM)=1;尽管ME 解有少数能支配DS 解,DS 解依然能支配大部分ME 解,同时ME 解并没有接近真实PF 上两段,因而C (DS ,ME)>C (ME ,DS);NS 解距离真实PF 最近,能被支配的最少,同时能支配的其他算法解最多,但DS 很好地接近了全部真实PF,而NS 解只很好地逼近了真实PF 上3段,故NS 解能支配的也是DS 解上3段中的解,则0.67>C (NS ,DS)>C (DS ,NS).虽然C (NS ,DS)>C (DS ,NS),但NS 解距离下3段真实Pareto 最优解较远,从而使得I NS <I DS .可见两集覆盖度C (A,B )越大,表明前者对后者的支配能力越强,越接近真实PF;若要使逆代距小,解不仅要接近真实PF,同时要尽可能覆盖真实PF.图3−5说明了同样的道理.由于智能算法具有随机性,每次求解结果未必接近,均方差越大表明算法的不确定性越大,比如图5所示,I ME =0.96285,大于表3中所列的平均水平.图2F1函数PF Fig.2PF of F1test function698控制理论与应用第30卷图3F2函数PFFig.3PF of F2test function图4F3函数PFFig.4PF of F3test function图5F4函数PFFig.5PF of F4test function综合可以看出,DS算法具有更优异的收敛性和多样性,算法也更加稳定.与dM算法相比,随机粒子群算法具有更强的随机性,有助于提高多目标算法的搜索能力;而改进的Tchebycheff分解方法,引入求和项,使得引理1中T s(y1)一定小于T s(y2),从而保证了单目标问题最优解一定是多目标问题的Pareto最优解.整体而言,基于分解的多目标优化算法性能要高于基于非支配解排序方法.ME算法由于机制简单,因此计算时间上始终略胜一筹.DS算法中粒子个体搜索能力更强,较dM较少地对粒子进行重置,因此用时也较dM少.基于分解的多目标优化算法无需判断支配关系,当目标维数增加时,时间的增加量也较基于非支配解排序的NS算法增加量少.但基于分解方法的优化过程中,若某个体解没有收敛到单目标问题最优时,此解可能会被其他更优的解支配,如图2−5所示.4直线电机优化设计(Optimal design of lin-ear motor)4.1电机描述(Motor description)如图6所示的直线电机(linear motor,LM)由圆筒型的外部电枢动子和内部永磁定子构成.电枢铁心采用硅钢片叠压而成,共有24槽,每个槽安放一个线圈元件,各相元件连接次序如表4所示.A,B,C三相采用Y接法,构成电机的三相绕组.三相绕组和电枢铁心一起,构成电机的动子.沿径向充磁的永磁体NS极交替分布,等间隔贴放在导磁性的定子杆上,并在永磁体之间使用不导磁铝环隔开,整体组成电机的长定子.沿轴线径向半剖,如图7所示,表5列出了图中标注参数的名称与设置.图63D模型部分剖视图Fig.63D view with cutting和旋转同步电机工作原理类似,当动子电枢绕组中通以三相交流电,在气隙中产生行波磁场,与永磁体产生的气隙磁场相互作用,产生轴向力,使动子沿轴向机械运动,且动子的运动速度和行波第6期王光辉等:多目标分解随机粒子群优化算法及其在直线电机优化设计中的应用699磁场移动速度相同,从而产生稳定的同步直线运动.而行波磁场速度取决于三相电流相位变化速度,所以电流相位变化与动子机械运动引起的电角度变化相同.表4元件连接次序Table 4Winding connection order相位元件连接次序(上标“ ”表示反绕)A 相1→2 →7 →8→13→14 →19 →20B 相3 →4→9→10 →15 →16→21→22 C 相5→6 →11 →12→17→18 →23 →24图7半剖面断裂视图Fig.7The halved cross section表5直线电机模型参数Table 5Model parameters of the LM参数值/mm 参数值/mm 电机外半径R 60气隙δ[1,3]永磁体宽度τm [10,24.3]极距τp 24.3永磁体厚度d h [2,6]槽距τs 20.25定子内半径r 021槽宽ωs [10,16]定子杆厚度d c [8,12]槽深d s [13,23]端部齿宽度ωe[4,12]外壳厚d a5有限元分析方法可用于求解复杂区域的电磁场分布问题,能精确计算电机的电磁分布、推力等性能.在确定起始位置电流相位后,通过瞬时有限元分析计算此位置电机的推力大小,而后沿推力方向动子移动指定步长∆,即动子电角度变化∆×π/τp ,调整电流相位增加∆×π/τp ,再一次分析新位置的电机推力大小.在一对极距范围内不同位置连续计算,则得到电机在一个周期内推力值.不同位置推力的平均值,作为电机的平均推力,记为F 0;不同位置推力的均方差,作为电机的推力波动,记为F r .气隙δ大小决定气隙中的磁压降,对电机性能有决定性影响;永磁体宽度τm 与厚度d h 决定的永磁体体积及气隙磁场分布;槽宽ωs 和槽深d s 决定了线圈体积及电机出力大;端部齿产生电机端部效应,其宽度ωe 设置对电机推力波动有重要影响;同时永磁体和线圈的内外径大小受定子杆厚度d c 影响.因而选择上述7个参数对作为待决策参数变量,优化设计电机的性能.由图2可知,d s =R −(r 0+d c +d h +δ+d a ),因而可将电机的平均推力F 0、推力波动F r 描述如下:F 0=f 0(δ,τm ,d h ,ωs ,ωe ,d c ),F r =f r (δ,τm ,d h ,ωs ,ωe ,d c ).(8)4.2模型建立(Model building )对于智能优化方法,需要循环计算不同参数变量下电机的性能.若每次计算均采用有限元分析计算,其计算量过大.平均一次模型分析大概需要430s,优化迭代过程中,若需要计算模型10000万次,则需要用时近50天.鉴于神经网络对非线性函数的拟合能力,可通过神经网络拟合式(8),用来计算电机的性能.神经网络结构如图8所示:神经网络的决策变量为(δ,τm ,d h ,ωs ,ωe ,d c ),输出为(F 0,F r ),隐层包含为20个神经元.输入层采用Sigmoid,输出采用线性函数,使用改进的Levenberg-Marquardt 训练算法,使得网络输出的均方误差最小.图8神经网络结构Fig.8The architecture of artificial neural network在决策变量的可行域内,采样500个样本,使用有限元计算电机的性能(F 0,F r ),而后将数据用于训练神经网络.为验证神经网络的拟合精度,重新采样50个样本,输入到神经网络中,将输出与有限元计算结果进行对比,F 0误差绝对值的均值为0.8157N,最大为2.6244N,F r 误差绝对值的均值为1.1089N,最大为3.3458N.可见,神经网络达到较好的拟合精度.而500样本计算总用时约2.5天,有效节省了直接采用有限元方法进行计算的时间.4.3多目标优化设计(Multi-objective optimal de-sign )直线电机优化设计的目标是提高电机的推力F 0(N),降低推力的波动F r (N),减少绕组体积700控制理论与应用第30卷V c (cm 3)以降低绕组损耗,同时要控制磁钢使用量(cm 3)来平衡电机的成本.其中:V p =π×[(r 0+d c +d h )2−(r 0+d c )2]×(20τm )/1000,V c =π×[(R −d a )2−(R −d a −d s )2]×(24ωs )/1000.设置4个优化目标为f 1=2000F 0,f 2=F r ,f 3=V cV cmin ,f 4=V p V pmin.注3f 3与f 4可以通过结构参数直接计算获得,而计算f 1与f 2需要求解电机的推力F 0与波动F r .采用神经网络模型来计算F 0与F r 解决了有限元方法耗时过大的问题,从而大大节省了计算时间,降低了设计周期.采用和测试函数中相同的设置,分别采用DS,dM,ME,NS 4种算法优化求解上述4个目标20次.DS 算法平均用时142.3s,比ME 算法的107.2s 高,但低于dM 的239.6s 和NS 的271.0s.由于实际工程问题中真实PF 未知,因此无法通过逆代距来衡量算法性能,这里仅采用两集覆盖度来比较4种算法的性能,如表6所示.表6直线电机优化设计结果的两集覆盖度Table 6C performance of LM optimization designsC (DS,dM)C (dM,DS)C (DS,ME)0.307554(0.02612)0.00810(0.01143)0.02588(0.03967)C (ME,DS)C (DS,NS)C (NS,DS)0.00324(0.00749)0.40665(0.22701)0.00000(0.00000)表7列举了DS 算法得到的4个Pareto 最优解作为例子,采用有限元方法分析表7中的4个设计结果,推力曲线如图9所示.表7直线电机优化设计结果Table 7LM optimization designs符号例1例2例3例4参数δ 2.92 1.93 1.74 1.70τm 23.1622.8022.9321.50d h 5.66 5.12 3.61 5.00ωs 12.8813.2214.0313.40ωe 11.9911.6510.5210.74d c 10.2610.7310.0510.50性能F 02351.753011.463018.023072.21F r 5.5550.2459.4159.52V c 1395.861516.121799.871581.94V p562.11502.68341.52459.30例1中推力波动F r 小,但推力F 0不足.另外3个例子推力F 0与波动F r 符合要求,但例4中绕组V c 体积和磁钢体积V p 的组合更合理,因而按例4中的结构作为电机的优化设计结果,进行加工生产,实物如图10所示.电机的实际推力测试曲线如图9中的实线所示.从图9中可知,例4的推力结果与实测推力的最大误差为2.09%,为有限元数值分析误差,工程上是允许的.优化后的电机,推力大,波动小,效率高,造价合理,符合电机的设计目标.图9电机优化设计Fig.9Optimal motor designs图10实际电机照片Fig.10Picture of manufactured motor5结论(Conclusions )本文提出一种多目标分解粒子群优化算法(MDSPSO),其中改进Tchebycheff 分解方法将多目标优化问题转化为单目标优化问题,并保证了单目标问题的最优解一定是多目标问题的Pareto 最优解;而随机粒子群优化算法具有更强的随机性,增强了算法的搜索能力.通过多个测试函数进行仿真对比,统计表明MDSPSO 的收敛性和多样性上优于所对比的其他3种算法.针对直线电机磁路复杂、有限元计算费时等特点,建立了直线电机的神经网络模型.选择直线电机推力、波动、效率、造价作为优化目标,应用多目标分解随机粒子群优化算法优化设计了直线电机结构参数.实际结果表明,MDSPSO 优化后的直线电机,推力大,波动小,效率高,造价低.第6期王光辉等:多目标分解随机粒子群优化算法及其在直线电机优化设计中的应用701参考文献(References):[1]雷德明,严新平.多目标智能优化算法及其应用[M].北京:科学出版社,2009.(LEI Deming,YAN Xinping.Multi-objective Intelligent Optimiaztion Algorithm and Its Applications[M].Beijing:Science Press,2009.)[2]ZHOU A M,QU B Y,LI H,et al.Multi-objective evolutionary algo-rithms:a survey of the state of the art[J].Swarm and Evolutionary Computation,2011,1(2011):32–49.[3]REYES-SIERRA M,COELLO COELLO C A.Multi-objective par-ticle swarm optimizers:a survey of the state-of-the-art[J].Interna-tional Journal of Computational Intelligence Research,2006,2(3): 287–308.[4]冯琳,毛志忠,袁平.改进多目标粒子群优化算法及其在电弧炉供电优化中的应用[J].控制理论与应用,2011,28(10):1455–1460.(FENG Lin,MAO Zhizhong,YUAN Ping.Improved multi-objective particle-swarm algorithm and its application to electric arc furnace in steelmaking process[J].Control Theory&Applications,2011, 28(10):1455–1460.)[5]MARTINEZ S Z,COELLO COELLO C A.A multi-objective parti-cle swarm optimizer based on decomposition[C]//Proceedings of the 13th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation.New York:ACM,2011,7:69–76.[6]江友华,廖代发,唐忠.混合有源滤波器多目标优化设计[J].控制理论与应用,2010,27(7):916–922.(JIANG Youhua,LIAO Daifa,TANG Zhong.Multi-objective optimal design of hybrid active powerfilter[J].Control Theory&Applica-tions,2010,27(7):916–922.)[7]张静,王万良,徐新黎,等.混合粒子群优化算法求解多目标柔性作业车间调度问题[J].控制理论与应用,2012,29(6):715–722.(ZHANG Jing,WANG Wanliang,XU Xinli,et al.Hybrid particle-swarm optimization for multi-objectiveflexible job-shop scheduling problem[J].Control Theory&Applications,2012,29(6):715–722.)[8]叶云岳,卢琴芬,范承志,等.直线电机技术手册[M].北京:机械工业出版社,2003.(YE Yunyue,LU Qinfen,FAN Chengzhi,et al.Technical Manual of Linear Motor[M].Beijing:China Machine Press,2003.)[9]GIERAS J F,PIECH Z J,TOMCZUK B.Linear Synchronous Mo-tors:Transportation and Automation Systems[M].2nd edition.New York:CRC Press,2011.[10]ASHABANI M,MOHAMED Y,MILIMONFARED J.Optimumdesign of tubular permanent-magnet motors for thrust characteris-tics improvement by combined taguchi-neural network approach[J].IEEE Transactions on Magnetics,2010,46(12):4092–4100. [11]LI L,MA M,CHEN Q.Analysis and design of moving-magnet-type linear synchronous motor for electromagnetic launch system[J].IEEE Transactions on Plasma Science,2011,39(1):121–126. [12]LI H,ZHANG Q F.Multi-objective optimization problem with com-plicated Pareto sets,MOEA/D and NSGA-II[J].IEEE Transaction on Evolutionary Computation,2009,13(2):284–302.[13]CLERC M.Standard particle swarm optimisation from2006to2011[BD/OL].http://clerc.maurice.free.fr/pso/SPSO descriptions.pdf.[14]HUBAND S,HINGSTON P,BARONE L,et al.A review of multi-objective test problems and a scalable test problem toolkit[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation.2006.10(5):477–506.[15]DEB K,PRATAP A,AGARW AL S,et al.A fast and elitist multiob-jective genetic algorithm:NSGA-II[J].IEEE Transactions on Evo-lutionary Computation,2002,6(2):182–197.作者简介:王光辉(1987–),男,博士研究生,主要研究方向为伺服系统、直线电机、人工智能与优化计算;陈杰(1965–),男,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为复杂系统优化与决策、智能控制、约束系统非线性控制;蔡涛(1971–),男,博士,副研究员,主要研究方向为伺服系统、智能控制、非线性控制,E-mail:caitao@;李鹏(1982–),男,博士研究生,目前研究方向非线性系统控制、自适应控制、神经网络、新能源系统.。

基于粒子群算法的多目标优化问题求解研究多目标优化问题是指在一个优化问题中，存在多个目标函数需要同时优化的情况。

目前，多目标优化问题在工程设计、经济决策、交通规划等领域中得到了广泛应用。

然而，由于多目标优化问题困难且复杂，传统的优化算法往往不能很好地解决这种问题。

因此，研究者们提出了基于粒子群算法的多目标优化问题求解方法，以期能够更好地解决这类问题。

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种模拟鸟群觅食行为的随机优化算法，其基本思想是通过个体之间的合作和信息共享，寻找最优解的全局搜索能力。

粒子群算法具有较强的全局搜索能力、简单的计算过程和参数设置，因此被广泛应用于各个领域。

在多目标优化问题中应用粒子群算法时，需要进行适应度评价和解集更新。

适应度评价是指根据个体粒子的目标函数值，量化个体在解空间的优劣。

解集更新是指根据适应度评价的结果，对当前解集进行更新，以寻找更好的解。

在多目标优化问题求解中，经常使用的方法是帕累托前沿法。

帕累托前沿法的核心思想是通过将目标函数优化问题转化为帕累托最优解问题，通过寻找不可被其他解支配的解来确定最优解集。

通过粒子群算法求解多目标优化问题时，可以通过引入帕累托前沿法，对解集进行更新和筛选，以得到更精确的解。

在进行多目标优化问题求解时，需要注意以下几点。

首先，需要选择合适的目标函数，使其能够准确地反映问题的特征和需求。

其次，对于粒子群算法而言，需要设置合适的参数，包括惯性权重、加速常数以及学习因子等，以使算法能够在全局和局部搜索之间取得平衡。

此外，选择合适的解更新策略和适应度评价方法也对算法的性能有着重要影响。

在实际应用中，基于粒子群算法的多目标优化问题求解方法已经取得了一定的成果。

例如，在工程设计中，通过利用粒子群算法求解多目标优化问题，能够获得更优的设计方案。

此外，在城市交通规划中，通过基于粒子群算法的多目标优化方法，能够同时考虑交通流的分配、路网优化和环境保护等多个目标，实现城市交通的可持续发展。

夏永明　1978年2月生,2000年毕业于燕山大学自动化专业,现河南焦作工学院2000级自动化专业在读研究生。

主要研究方向为直线电机理论及应用。

粒子群优化算法在直线感应电机优化设计中的应用焦作工学院(河南省焦作市,454000)　夏永明　付子义　袁世鹰　程志平 摘要　首先介绍了粒子群优化算法(PSO )的基本原理,根据实验提出了改进措施,增强了粒子群优化算法的全局寻优能力。

然后结合直线感应电机的设计特点,利用改进的粒子群优化算法对电机进行了优化设计,取得了较为满意的结果。

叙词　粒子群优化算法　直线感应电机　优化设计Application of Particle Swarm Optimism in Optimistic Design for Linear Induction MotorXia Yongming ,Fu Ziyi ,Yuan Shiying ,C heng Zhiping Abstract :The basic principles of PSO is introduced in this paper,and so me m easures are applied into it to enhance the ability finding the m ost opti-mistic result .We g et the best result using PSO to reso lve the o ptimistic desig n of the linear induction motor. Key words :Particle swarm optim ism Linear inductioin mo to r Opti-mistic desig n 1　前言粒子群优化算法(PSO )是一种源于对鸟群捕食行为的研究而发明的进化计算技术(ev olution-ary co mputatio n ),最先由Eberhart 博士和Kennedy 博士文献[1][2]提出。

电机设计的多目标优化方法随着科技的不断发展和创新，各个领域的技术产品越来越被广泛应用。

其中一个核心技术就是电机设计，它是现代工业中不可或缺的一部分。

电机的设计所涉及的多种参数和指标，如效率、功率、转矩、噪音、耐久性等，这些需求是天然冲突的。

因此，如何在多目标间达到平衡，是设计一款高质量电机的关键。

传统的电机设计遵循着简单的评价标准，例如效率。

然而，简单而有限的效率模型不足以表现电机效能的整体质量。

因此，设计高效率的电机并不一定是最佳的选择。

所以，当其他多个标准被纳入设计过程中，会往往发现优化结果与效率是不相同的。

多目标优化是解决这个问题的有效方法。

多目标优化设计的本质是找到一组最优解，使得所有的目标函数在最优解中都被达成环保、耐久、性能等要求。

因此，在这个设计理念中，每一个目标权重都是相同的（权重越大，相应目标越重要）。

在电机设计中，不同指标的多目标优化可以采用多种工具和方法。

其中，最流行的是优化算法。

这种算法可以通过不断调整变量来寻找最优解，以满足多个目标。

优化算法可以分为线性和非线性，其中非线性优化算法更适用于电机设计这种高度非线性的领域。

其中，最主要的两个非线性优化算法是粒子群算法和遗传算法。

这两种优化算法使用启发式技术来处理多目标问题。

粒子群算法模拟鸟类飞行的方式，以在搜索空间中逐渐优化。

遗传算法则模拟基因组进化的过程，在每一代中产生越来越好的解决方案。

对于很多电机设计者来说，使用现成的优化软件包通常是一个可行的解决方法。

最常用的就是MATLAB工具包，用户可以通过其内置的多目标优化工具箱来进行电机设计的多目标优化。

同时，也可通过自行编写代码来实现。

在实现电机设计的多目标优化时，也需要对不同的目标进行适当的分析，以确定每个指标在达到特定需求时所需的最佳权重。

例如，如果需要一个低噪音电机，则显然需要更多的权重被分配为噪音指标而不是效率指标。

最后，特别值得指出的是，电机设计的多目标优化并不仅仅是找到一个平衡点，但还可以帮助开发者创造全新的变量和目标，从而推进下一代电机技术的进步。