第二章轨迹与方程本章在上章建立的空间点与径向量及有序实数组的对应基础上，先介绍平面曲线的方程，然后过渡到曲面与空间曲线方程的研究，从而建立轨迹与方程的对应。
§2.1平面曲线的方程教学目的：正确理解空间曲线与曲线方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲线方程的基本方法.教学重难点:正确的理解空间曲线方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲线方程.教学过程:一.曲线的一般方程1.平面曲线(包括直线): 具有某种特征性质的点的集合,即:①曲线上的点都具有这些性质;②具有这些性质的点都在曲线上.反映: 曲线上的点)(yx满足一定的互相制约的条件.一般用方程),F或x(y,y=来表达.f)(x2. 定义2.1.1 当平面上取定了坐标后,如果一个方程与一条曲线有着关系: (1) 满足方程的)x必是曲线上某个点的坐标; (2) 曲线上任何一点的坐标满足这个(y,方程,那么这个方程就叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形.由上定义可得:①研究曲线的几何问题转化为研究其方程的代数问题.②已知曲线,要求它的方程,实际上就是在给定的坐标下,将这条曲线上的点的特征性质,用关于曲线上的点的两个坐标yx,的方程来表达.例1求圆心在原点,半径为R的圆的方程.解: 根据圆的定义,圆上任意点)(yM在圆上的充要条x,M的特征性质,即)(y,x=件是M到圆心O的距离等于半径R,即R应用两点距离公式,得 R y x =+22 (1) 两边平方得 222R y x =+ (2) 由于方程(2)与(1)通解,所以(2)即为所求圆的方程.完全类似的,可以求圆心在),(b a 半径为R 的圆的方程是:222)()(R b y a x =-+-.注: 求曲线的方程,有时在化简过程中,会增添不属于给定条件的内容, 此时,必须从方程的开始检查一下,把方程中代表那些不符合给定条件的点限制掉.例2已知两点)2,2(--A 和)2,2(B ,4=-的动点M 的轨迹方程.解: 动点M 4=-用点的坐标来表达就是,4)2()2()2()2(2222=-+--+++y x y x (3) 移项得,4)2()2()2()2(2222+-+-=+++y x y x 两边平方整理得 ,2)2()2(22-+=-+-y x y x (4) 再两边平方整理得 2=xy (5) 因为方程(2)和(3)同解,而方程(4)与(3)却不同解,但当方程(4)附加了条件02≥-+y x , 即2≥+y x 后,方程(4)与(3)同解,从而方程(4)与(3)同解,所以方程)2(,2≥+=y x xy为所求动点M 的轨迹方程.二.曲线的参数方程当动点按照某种规律运动时，与它对应的径向量也将随着时间t 的不同而改变（模与方向的改变），这样的径向量，称为变向量，记做(t r .如果变数)(b t a t ≤≤的每个值对应于变向量的一个完全确定的值（模与方向）)(t r ，那么就说是变数t 的向量函数，并把它记做：＝(t r ， )(b t a ≤≤ （6）设平面上取定的标架为},;{21e e O ,向量就可以用它的分量来表达,这样的向量函数（6）就可以写为 21)()((e t y e t x t r += )(b t a ≤≤ （7）定义2.1.2 若取)(b t a t ≤≤的一切可能取的值,如图2-2,由（7）表示的径向量(t r 的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径向量，而这径向量可由t 的某一值)(00b t a t ≤≤通过（7）完全决定，那么就把表达式（7）叫做曲线的向量式参数方程，其中t 是参数。
由于曲线上点的径向量(t r 的分量为)(),(t y t x ，所以曲线的参数方程也常写成下列形式： ⎩⎨⎧==),(),(t y y t x x )(b t a ≤≤ (8) (8)式叫做曲线的坐标式参数方程..从(8)式中消去t (若可能的话),可以得到曲线的普通方程:0),(=y x F例3 已知直线l 通过定点),,(000y x M ,并且它与非零向量),(Y X v =共线,求直线l 的方程.解: 设),(y x M 为直线l 上的任意点,并设00,r OM r OM ==如图2-3,那么点M 在l 上的充要条件为向量M 0与共线,也就是 t M =0这里的t 是随着点M 而定的实数.又因为 =M 00r -所以 0r -=v t即 0r r =+v t这就是直线l 的向量式参数方程,式中的)(+∞<<-∞t t 为参数.小结：1. 直线l 的向量式参数方程为: 0r =+t2. 直线l 的坐标式参数方程为: ⎩⎨⎧+=+=Yty y Xt x x 00 3. 直线l 的对称式方程或标准方程为: Yy y X x x 00-=- 4. 直线的一般方程:0=++C By Ax ,其中).(,,00Xy Yx C X B Y A --=-==5. 给定两直线: ,0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 21,l l 的方向向量分别为:},{},,{222111A B v A B v -=-=, 则有如下结论:01 两直线21,l l 相交的充要条件为: 2121B B A A ≠ 02 两直线21,l l 平行的充要条件为: 212121C C B B A A ≠= 03 两直线21,l l 重合的充要条件为:212121C C B B A A == 04 在直角坐标系下,两直线21,l l 的交角为:22222121212121),(cos B A B A B B A A l l +⋅++±=∠ 从而有 2121122121),(B B A A B A B A l l tg +-±=∠. 例4. 一个圆在一直线上无滑动的滚动,求圆周上的一点P 的轨迹.解: 取直角坐标系,设半径为a 的圆在x 轴上滚动,开始时点P 恰好在原点O (图2-4),经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到A 点,圆心移到C 的位置,这时有++==. 设),(CA CP ∠=θ, 于是向量对x 轴所成的有向角为),2(),(θπ+-=∠则)2(sin )2cos(θπθπ--+--=a a a =a a )cos ()sin (θθ-+-又 θa AP ==, ∴ a a ==,θ所以 a a )c o s 1()s i n (θθθ-+-= (9)(9)就是P 点轨迹的向量式参数方程,其中)(+∞<<-∞θθ为参数.设点P 的坐标为),(y x ,那么由(9)式容易得P 点的坐标式参数方程为:⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x , )(+∞<<-∞θ取πθ≤≤0 时,消去参数θ,便得到P 点的轨迹在πθ≤≤0时的一段普通方程:.2arccos 2y ay ay a a x ---= 注：例5、例6、例7（见课本71—76）作业布置：8,6,37877-P§2.2曲面的方程教学目的：正确理解空间曲面与曲面方程的意义，并初步熟悉根据已知条件建立空间曲面方程的基本方法.教学重难点: 正确的理解空间曲面方程的意义, 并掌握根据已知条件建立空间曲面方程.教学过程:一.曲面的一般方程：1. 空间中建立直角坐标系，把曲面（作为点的轨迹）上的点的特征性质，用点的坐标y x ,与z 之间的关系式来表达，一般用方程0),,(=z y x F （1）或者 ),(y x f z = （2）来表达.2. 定义2.2.1如果一个方程(1)或(2)与一个曲面∑有着关系: a. 满足方程(1)或者(2)的),,(z y x 是曲面∑上的点的坐标; b. 曲面∑上任何一点的坐标),,(z y x 满足方程(1)或(2),那么方程(1)或(2)就叫做曲面∑的方程,而曲面∑就叫做方程(1)或(2)的图形.注：① 方程无实解时，不表示任何图形，称它为虚曲面.如 01222=+++z y x ;② 方程有时只代表一个点. 如 0)1(222=++-z y x③ 方程有时只代表一条直线. 如 022=+y x (z 轴)3. 举例说明怎样从曲面上点的特征导出其方程.例1 求连结两点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B 的线段的垂直平分面的方程.解: 垂直平分面可以看成两定点A 和B 为等距离的动点),,(z y x M 的轨迹,因此垂直平分面上的点M =,而 222)3()2()1(-+-+-=z y x222)4()1()2(-+++-=z y x从而得 =-+-+-222)3()2()1(z y x 222)4()1()2(-+++-z y x 化简得 07262=-+-z y x为所求得垂直平分面的方程.例2 求坐标面xoz 和yoz 所成二面角的平分面方程.解: 因为所求的平分面是与两坐标平面xoz 和yoz 有等距离的点的轨迹,因此点),,(z y x M 在平分面上的充要条件是x y =,所以x y ±=,或写成0=±y x ,因此所求的平分面的方程是0=+y x 与0=-y x .4. 球面方程的特征球面方程: 2222)()()(r c z b y a x =-+-+-.有如下结论:① 球面方程是三元二次方程,平方项系数相等,交叉项消失.② 反过来,若三元二次方程0222=+++++++++L Kz Hy Gx Fzx Eyz Dxy Cz By Ax ,当0≠==C B A , 0===F E D 时,方程可化为 0222222=++++++l kz hy gx z y x , 配方得到: l k h g k z h y g x -++=+++++222222)()()(. (3)a. 当0222>-++l k h g 时, (3) 表示实的球面.b. 当0222=-++l k h g 时, (3) 表示空间一点.(点球)c. 当0222<-++l k h g 时, (3) 表示无实图形.(虚球面) 二. 曲面的参数方程：1. 平面曲线的参数方程 ＝21)()((e t y e t x t r += (单参数的向量函数)2. 对空间曲线有下列的定义:定义: v u z v u y v u x v u ),(),(),(),(++=],[],,[d c v b a u ∈∈取一切值 −−−→←=),(v u r OM 点M 在曲面∑上.则曲面∑的参数方程(向量式)为:v u z v u y v u x v u ),(),(),(),(++= (v u ,为参数)曲面∑的坐标式方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x .注: a. 曲面参数方程的表达形式不唯一.b. 曲面参数方程与普通方程可以互相转化.例3 求中心在原点,半径为r 的球面的参数方程.解: 设M 是以坐标原点为中心, r 为半径的球面上的任一点,M 在xoy 坐标面上的射影为P ,而P 在x 轴上的射影为Q .又设在坐标面上的有向角,),(φ=∠OP i Oz 轴与OM 的交角θ=∠zOM ,(图2-11),那么++==r )cos (θ=且j r j QP )sin sin ()φθφ==r )cos sin ()φθφ==所以 r r r )c o s ()s i n s i n ()c o s s i n (θφθφθ++=这就是中心在原点,半径为r 的球面的向量式参数方程.它的坐标式参数方程为:⎪⎩⎪⎨⎧===θφθφθc o s s i n s i nc o s s i n r z r y r x （4） 上式中的φθ,为参数，它们的取值范围分别是：πφππθ<≤-≤≤,0.例4 求以z 轴为对称轴,半径为R 的圆柱面的参数方程.解: 设M 是圆柱面上的任意一点,M 在xoy 坐标面上的射影为P ,再设xoy 坐标面上有向角ϕ,P 在x 轴上的射影为Q ,那么 PM QP OQ OM r ++==而 R )cos (φ=,R )sin (φ=,u =, 所以 u R R ++=)sin ()cos (φφ 这就是圆柱面的向量参数方程,它的坐标式参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===u z y R x φφs i nc o s （5） 上式中的u ,φ为参数，它们的取值范围分别是：+∞<<-∞<≤-u ,πφπ.空间曲面的参数方程与平面上的曲线的参数方程一样,它的表达形式也不是唯一的.比如例1中,如果把参数θ改为由OP 到OM 的有向角,那么球面的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===,sin ,sin cos ,cos cos θφθφθr z r y r x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-≤≤-πφππθπ22. （6）三、球坐标系与柱坐标系球坐标系空间中与坐标原点的距离为r 的人一点，总可以吧它看成在在以原点为中心，半径为r 的球面上，因此当我们吧球面半径r 看成变量时，公式（4）就说明了空间一点M 的位置，如图2-11所示，如果吧r 改写成ρ，并设)22(),(),0(πθπθπϕπϕρρ≤≤-=∠≤<-=∠≥=POM xOP M O的值都确定，那么便有,sin ,sin ,cos cos θρϕθρϕθρ===z coa y xM 点的位置也就被确定了，反过来，空间M 点的位置如果已经确定，那么三个值θϕρ,,也就确定了(如果M 点是原点，那么,0=ρϕ与θ分别在ππ到-与22ππ到-内任意取定；如果M 在z 轴上，但不是原点，那么这时ϕ可以在ππ到-内任意取定，而22ππθ-=或)。
