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第二章平面与直线一、直角坐标系、放射坐标系以及直角坐标系中的向量计算1.直角坐标系和放射坐标系（1）定义5.1：i ，j ，k 以O 为起点，为单位向量且两两垂直，则O ；i ，j ，k 为空间的一个以O 为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O ；i ，j ，k }。
如果向量形成右手系，则成为右手直角标架或右手直角坐标系。
i ，j ，k 称为该直角坐标系的基向量。
（2）定义5.2：不要求i ，j ，k 为单位向量且两两垂直，只要求不共面，则称为仿射标架或放射坐标系。
（3）定理5.1：v =x i +y j +z k ，称（x ，y ，z ）为向量v 在该坐标系{O ；i ，j ，k }下的坐标，记为v =（x ，y ，z ）。
（4）定义5.3：规定P 的坐标为向量→OP 的坐标，向量→OP 称为P 点的定位向量或矢径。
（5）8个卦限（逆时针，上层，右下角），x 轴为一半长。
2.直角坐标系中的向量运算（1）线性运算（仿射可）①a ±b =（a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3）；②λa =（λa 1，λa 2，λa 3）；（2）内积（仿射不可）①a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；②|a |=232221a a a ++；③cos∠（a ，b ）=232221232221332211b b b a a a b a b a b a +++++++；cosα=2322211a a a a ++；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；·向量a 与x、y、z 轴的夹角称为向量a 的方向角，其余弦称为a 的方向余弦。
·把与三个方向余弦成比例的三个数（该向量的坐标），称为该向量的一组方向数。
（3）外积（仿射不可）a ×b =（a 2b 3-a 3b 2）i +（a 3b 1-a 1b 3）j +（a 1b 2-a 2b 1）k （4）混合积（仿射不可）（a ，b ，c ）=321212131313232c b b a a c b b a a c b b a a ++3.距离公式和定比分点公式（1）距离公式21221221221z -z y -y x -x ）（）（）（++=P P （2）定比分点公式（坐标形式）：P 1P=λPP 2λλλλλλ++=++=++=1z 1y y 1x 212121z z y x x ；；·中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛+++2a ,2a ,2a 332211b b b ·重心公式：⎪⎭⎫⎝⎛++++++3c a ,3c a ,3c a 333222111b b b 4.题型①向量运算二、平面方程1.平面方程（1）平面的向量形式的点法式方程：N ·（P -P 0）=0平面的坐标形式的点法式方程：A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0——平面法向量[垂直]N =（A ，B ，C ）（2）平面的一般式方程（普通方程）：Ax+By+Cz+D=0（A ，B ，C 不能同时为0）平面的一般式方程（向量形式）：N ·P+D=0定理6.1：平面方程是三元一次方程，反之三元一次方程必表示平面。
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解一、直线方程的求解在空间解析几何中，直线是两点间的最短路径，它可以用直线方程来表示。
直线方程一般可以采用两种常见的形式：点向式和一般式。
1. 点向式直线方程设直线上一点为P(x,y,z)，直线的方向向量为a(i,j,k)，则该直线的点向式方程可以表示为：(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(i,j,k) (1)其中(x1,y1,z1)为直线上已知的一点的坐标，t为参数。
根据这个方程就可以唯一确定直线上的任意一点。
2. 一般式直线方程一般式直线方程是通过直线上的两个不重合的点的坐标来表示的。
设直线通过点P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)，则一般式直线方程的表示形式为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1) (2)或者简化为：(x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c (3)其中a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1。
二、平面方程的求解平面是空间中的一个二维平面，可以用平面方程来表示。
平面方程一般可以采用三种常见的形式：一般式、点法式和截距式。
1. 一般式平面方程一般式平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为常数。
一般式平面方程中的法向量可以通过已知法向量的坐标和平面上的一点来确定。
2. 点法式平面方程设平面上一点为P(x,y,z)，平面的法向量为n(A,B,C)，则点法式平面方程可以表示为：n · (P-P0) = 0 (5)其中·表示点乘运算，P0为平面上已知的一点的坐标。
3. 截距式平面方程截距式平面方程可以表示为：x/a + y/b + z/c = 1 (6)其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、直线与平面方程的求解在空间解析几何中，求解直线与平面的交点，可以通过将直线方程代入平面方程，得到交点的坐标。
第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21=。
设M 的坐标),(y x 有2222)6(21)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x此轨迹为椭圆2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。
A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。
解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x yM .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a +=.3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ⋅=.设(,)M x y 在Rt BNM中 222()a x y AM++=. (1) 在Rt BNM中222()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得:22222244()2()x y a x y m a +--=-.4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct c y t =⎧⎪⎨=⎪⎩11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H 123123(,)33x x x y y y ++++5.任何一圆交等轴双曲线2xy c =于四点11(,)c P ct t ,22(,)cQ ct t ,33(,)c R ct t 及44(,)cS ct t .那么一定有12341t t t t =.证明:设圆的方程22220x y Dx Ey F ++++=.圆与等轴双曲线交点(,)c ct t,则代入得2222220.c Ec c t Dct F t t++++=整理得:24322220.c t Dct Ft Ect c ++++=可知(1,2,3,4i =是它的四个根,则有韦达定理1234t t t t ⋅⋅⋅=242(1)1c c-=.8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程. ⑴32x y =; ⑵ ()0,212121>=+a a yx ; ⑶()0,0333>=-+a axy y x .解:⑴⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 32令θ4cos a x =,代入方程212121a y x =+ 得θθθ42212212121sin ,sin cosa y a a a y ==-=∴参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ44sin cos a y a x . ⑶令,tx y =代入方程0333=-+axy y x得()031233=-+atx x t()[]03132=-+⇒at x t x3130t at x x +==⇒或当0=x 时,;0=y 当313t at x +=时,3213tat y += 故参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x .§2.2 曲面的方程1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。
空间解析几何中的平面方程在空间解析几何中，平面方程是一个重要的概念。
通过平面方程，我们可以描述和表示平面在三维坐标系中的位置和性质。
本文将介绍平面方程的定义、常见形式以及如何根据给定条件求解平面方程的过程。
一、平面方程的定义平面是三维空间中的一个二维图形，可以通过其中的一点和一个法向量来确定。
在解析几何中，平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的三个分量，D为平面到原点的距离。
二、平面方程的常见形式根据平面方程的一般形式，我们可以得到一些常见的形式，如点法式、截距式和三点式。
1. 点法式点法式用一个平面上的点和该平面的法向量来确定平面方程。
设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，法向量为n(A, B, C)，则该平面的方程可以表示为Ax + By + Cz - (Ax₁ + By₁ + Cz₁) = 0。
2. 截距式截距式利用平面与三个坐标轴的截距来确定平面方程。
设平面与x 轴、y轴、z轴的截距分别为a、b、c，则该平面的方程可以表示为x/a + y/b + z/c = 1。
3. 三点式三点式通过平面上的三个点来确定平面方程。
设平面上的三个点为P₁(x₁, y₁, z₁)、P₂(x₂, y₂, z₂)、P₃(x₃, y₃, z₃)，则该平面的方程可以表示为|(x - x₁) (y - y₁) (z - z₁)||(x - x₂) (y - y₂) (z - z₂)| = 0|(x - x₃) (y - y₃) (z - z₃)|三、求解平面方程的过程根据给定的条件，我们可以利用向量运算和线性方程组的方法来求解平面的方程。
例如，已知平面过点P₁(x₁, y₁, z₁)、点P₂(x₂, y₂, z₂)和点P₃(x₃, y₃, z₃)，我们可以按照以下步骤求解平面方程：1. 计算平面的法向量n根据向量的减法和叉乘公式，计算向量P₁P₂和向量P₁P₃的叉乘，得到平面的法向量n。
