人教A版高中数学高二必修5学案 第三章 不等式 章末复习提升

（新课标）2015-2016学年高中数学第三章不等式（三）教学设计新人教A版必修5从容说课通过投影仪展示实际情景，回忆基本不等式：2ba ab +≤的推导与证明过程，以及应用的条件：一正、二定、三等.复习对基本不等式展开的一些简单应用，通过数与形的结合，让学生进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，让学生对基本不等式2ba ab +≤的结构特征达到充分认识，并能够灵活把握，为本节课基本不等式的实际应用，打下坚实的基础.在本节课的教学过程中，仍强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值.本节课设置的具体例题会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理，重点是解决实际问题.对具体例题的分析和求解过程中，设置思考项，让学生探究，层层铺设，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在本节课的研究过程中，要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，进而构建他们更完善的知识网络，培养与锻炼他们的数学建模能力.根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.依据学生平时的学习兴趣、习惯、方法、能力等，通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱是本节课的重点之一，构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.教学重点 1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题;2.让学生探究用基本不等式解决实际问题;3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.教学难点 1.学生探究用基本不等式解决实际问题;2.基本不等式应用时等号成立条件的考察;3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.教具准备实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题;2.让学生探究用基本不等式解决实际问题;3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师前两节课我们已经复习了解不等式及简单不等式的证明.复习了简单线性规划问题的解法与一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的联系.进而巩固简单线性规划问题的解法的步骤和过程，并展开一些应用.本节课我们将复习构建基本不等式解决函数的值域、最值问题及继续探究用基本不等式解决实际问题.请同学们回忆下，用基本不等式时的注意点是什么？生 （齐声）应用时要注意条件：一正、二定、三等.很好.看出同学们对基本不等式掌握的非常好，下面我们就来研究基本不等式的应用.(此时，老师用投影仪陆续给出问题)推进新课【例1】当0＜x ＜2时，求函数y =x （2-x ）的最大值.师 函数y =x （2-x ）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？生 可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式.师 平均值定理是对正数而言的，由于x ，2-x 都是正数，所以y =x (2-x )≤(22x x -+)2在什么条件下“≤”取“=”？生 当且仅当x =2-x ，即x =1时，取等号.此时，y 的最大值为1.师 把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行.通过这个例题，请同学们回忆下如何用基本不等式求最值？（教师板演） 生 运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现，即 当a ,b ∈R +,a +b =k(定值)时，ab ≤(2b a +)2=42k (定值).①当且仅当a =b 时,取“=”.不等式①可以在求函数的最大值时使用.当a ,b ∈R +,ab =m(定值)时，a +b ≥2ab =2m(定值).②当且仅当a =b 时，取“=”.不等式②可以在求函数的最小值时使用.师 这位同学讲得非常好，讲得很全面.请继续思考下面的问题. ［合作交流］【例2】若正数x ，y 满足6x +5y =36，求xy 的最大值.（教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学上黑板板演） 师 已知是两正数和的等式.要求两数积的最大值，该如何转化用基本不等式呢？生 已知是两正数和的等式.要求两数积的最大值，可以由 y x y x 56256•≥+,得到23630≤xy ,即可解出xy 的最大值. （板演）解：因为x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以 xy y x y x 3056256=•≥+.当且仅当6x =5y 时，取“=”.因为6x +5y =36，则23630≤xy ，即554≤xy .所以xy 的最大值为554. （教师结合学生的板演，作及时点拨）师 函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？生 可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化.师 很好.大家不妨用换元法来尝试下.设32+=x u ,则2x =u 2-3，所以y =u 2+u 16 -3=u 2+u 8 +u 8 -3≥33288u u u ••-3=9. 当且仅当u u 82=，即u = 2时，取“=”.当u = 2时，232=+x .所以当21=x 时，y 有最小值9.师 换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化.（教师结合学生的板书有漏洞或错误，可以边纠正，边点拨，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤.这样能真正突出学生学习的主体地位）师 应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：（１）函数式中诸元素是否为正数；（２）诸元素的和或积是否为定值；（３）判断“=”是否成立.师 请同学们继续思考下面的问题.［例题剖析］【例3】为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为200 m 2的长方体二级净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米400元,中间一条隔墙建造单价为每平方米100元,池底建造单价为每平方米60元.一般情形下,净水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最底?师 为了求出此例中的最值我们可以先建目标函数，再求解.生 设净水池长为x m,则宽为x 200m,高为h m,则总造价f(x )=400(2x +2·x 200)·h+100·x200·h+60×200 =800h(x +x225)+12 000(x ＞0). 当且仅当xx 225 (x ＞0),即x =15时上述不等式取到等号.故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低.师 这位同学解得非常好.对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证.用基本不等式创设不等量关系也是经常采用的方式方法，请同学们以后在解决有关最值问题是要注意这条解题思路的灵活应用.课堂小结师本节课我们复习了哪些知识、方法？同学们用这些知识、方法解决了什么问题？通过本节课的复习，同学们又有什么收获呢？生我们以基本不等式为基础，由具体问题，构建基本不等式来解决有关函数的值域、最值问题.探究用基本不等式解决实际问题.掌握了解决实际应用题的一般程序，即审题、建模、研究模，再回到实际问题验证作答.师同学们总结得很好.通过本节课的复习，我们进一步感受到，数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活，也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用，应当正视数学的地位和作用，并且能够认真地去学习数学.布置作业复习参考题P115，Ｂ组1、2.板书设计本章复习（三）复习引入题组基本不等式例方法归纳2ba ab +≤方法引导小结实例剖析（知识方法应用）示范解题习题详解（课本第115页复习参考题） Ａ组1.723151125＋＜＋.2.化简得A ={x ｜-2＜x ＜3},B ={x ｜x ＜-4或x ＞2},所以A ∩B ={x ｜2＜x ＜3}.3.当k ＜0时，一元二次不等式2k x 2+k x -83－＜0对一切实数x 都成立，即二次函数y =2k x 2 +k x 83－在x 轴下方，Δ＝k 2-4(2k)( 83－)＜0,解之，得 -3＜k ＜0.当k ＞0时，二次函数y =2k x 2+k x 83－开口朝上，一元二次不等式2k x 2+k x 83－＜0不可能对一切实数x 都成立.所以-3＜k ＜0.4.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++0,0,0834＜＜＞y x y x 表示的平面区域内的整点坐标是(-1,-1) .5.设每天派出Ａ型车x 辆，Ｂ型车y 辆，成本为z ，所以题目中包含的限制条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤.2606048,40,70y x y x 目标函数为z=160x +252y ,把z=160x +252y 变形为z x y 25216340+-=,得到斜率为6340-,在y 轴上的截距为z 2521.随z 变化的一族平行线，在满足可行域的整点中，点Ｍ(7,1)使得x 取得最小值.所以每天派出Ａ型车７辆，Ｂ型车１辆，成本最小. 答：电视台每周应播映连续剧甲２次，播映连续剧乙４次，才能获得最高收视率.6.设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为xy S 21=xy ，扇形的周长为Z=2x +y ≥2xy 2=4S .当2x =y ，即x =S ,y =2S 时， Z 可以取到最小值，最小值为4S .7.设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为P=2x +y ，扇形的面积为16)22(41)2(21212122p y x y x xy Z =+≤⨯==.当2x =y ,即4px =,2p y =时，可以取到Z 的最大值，半径为4p时扇形面积最大值为162p . 8.设汽车的运输成本为y ,y =(b v 2+a )×v sa sbv v s +=,当 s b v=v sa ，即v=b a b a 且≤c 时，y 有最小值.y =s b v+v sa sbv v sa ⨯≥2 =2s ab ，最小值为2S ab .当b a＞c 时，由函数y =s b v+v sa 的单调性可知v=c 时y 有最小值，最小值为s b v+c sa.B 组1.D2.(1){x ｜x ＜-2或-2＜x ＜43或x ＞6}；(2){x ≤-1或32≤x ＜43或x ＞3}.3.m=1.4.设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z.则目标函数为z=20x +40y .所以约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,6,102,10y x y x y x y x5.因为x 2+y 2是区域内的点到原点的距离的平方，所以，当 ⎩⎨⎧=--=+-,033.042y x y x 即x a =2,y a =3时，(x 2+y 2)的最大值为１ 3. 当⎩⎨⎧=--=-+,033,022y x y x 即x c =1,y c =0时，(x 2+y 2)的最小值为 1.6.按第一种策略购物.设第一次购物时的价格为P 1，购物n kg ，第二次购物时的价格为P 2，仍购n kg ,按这种策略购物时两次购物的平均价格为222121p p n n p n p +=+.若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1p m kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2p m kg 物品，两次购物的平均价格为21212122p p p m p m m+=+.比较两次购物的平均价格：所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.一般地.如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.备课资料备用例题【例1】 已知0＜x ＜31，求函数y =x （1-3x ）的最大值.分析一：原函数式可化为y =-3x 2+x ，利用二次函数求某一区间的最值.解法一：（利用二次函数法可获得求解）（解略）分析二：挖掘隐含条件，∵3x +1-3x =1为定值，且0＜x ＜31，则1-3x ＞0；可用均值不等式.解法二：∵0＜x ＜31，∴1-3x ＞0.∴y =x （1-3x ）=31·3x （1-3x ）≤31（2313x x -+）2=121.当且仅当 3x =1-3x ,即61=x 时,121max =y .【例2】求y =sin x +xsin 5的最小值，x ∈（0，π）.错解:∵x ∈（0，π）,∴sin x ＞0.∴y =sin x +xsin 5≥25.∴y mi x =25.错因：y =25的充要条件是sin x =xsin 5,即sin 2x =5，这是不存在的.正解：∵x ∈（0，π）,∴sin x ＞0.又y =sin x +x x x x x sin 42sin 4sin 1sin sin 5+≥++＝,当且仅当xx sin 1sin =,即sin x =1时，取“=”，而此时xsin 4也有最小值4，∴当sin x =1时，y min =6.【例3】已知正数x 、y 满足2x +y =1，求yx11+的最小值.错解:∵1=2x +y ≥2xy2，∴221≤xy ,即221≥xy .∴242221211=•≥≥+xyy x ,即y x 11+的最小值为24.错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错.正解一：∵2x +y =1，∴.223122)11)(2(11+≥+++++-=+xyy x y x y x yx当且仅当yxyx 2=，即y =2x 时，取“=”.而⇒⎩⎨⎧=+=122y x x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,222,221y x ,即此时y min =3+22.正解二：∵yxx y y y x x y x y x 232211++=+++=+ (以下同一).小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容.【例4】 已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围.解法一：由x ＞0,y ＞0,则xy =x +y +3⇒xy -3=x +y ≥2xy ,即（xy ）2-2xy +3≥0.解得xy y ≤-1(舍)或xy ≥3，当且仅当x =y 且xy =x +y +3,即x =y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［9,+∞).又x +y +3=xy ≤(2yx +)2⇒(x +y )2-4(x +y )-12≥0⇒x +y ≤-2(舍)或x +y ≥6，当且仅当x =y 且xy =x +y +3,即x =y =3时取“=”，故x +y的取值范围是［6,+∞).解法二：由x ＞0,y ＞0,xy =x +y +3(x -1)y =x +3知x ≠1,则13-+=x x y ,由y ＞0⇒13-+x x ＞0x ＞1,则9514)1(2514)1(14)1(5)1(131322=+-•-≥+-+-=-+-+-=-+=-+•=x x x x x x x x x x x x x xy ,当且仅当x -1=14-x (x ＞0),即x =3,并求得y =3时取“=”，故xy的取值范围是［9,+∞).6214)1(2214)1(11414113=+-•-≥+-+-=+-+=-+-+=-++=+x x x x x x x x x x x x y x .当且仅当x -1=14-x (x ＞0),即x =3,并求得y =3时取“=”，故xy的取值范围是［9,+∞).点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧.总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的.【例5】 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0.技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理.解：（１）设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+='•+2222412214h a a a h a 消去h′,解得112+=h a (a ＞0).(2)由)1(33122+=h h h a V ＝(h ＞0),得2121,)1(31=•=++=hh h h hh V 而.所以V≤61,当且仅当hh 1=,即h=1时取等号，故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米。

第三讲不等式一、 核心要点 1、 不等式的性质〔1〕不等式的基本性质：〔同向不等式可加不可减，可乘不可除〕〔尽量减少加和乘的次数〕A 、对称性：a b b a <⇔>；B 、传递性：c a c b b a >⇔>>,；C 、可加性：c b c a b a +>+⇔>；D 、可乘性：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,；E 、加法法那么：d b c a d c b a +>+⇔>>,;F 、乘法法那么：bd ac d c b a >⇔>>>>0,0;G 、乘方法那么：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a nn ; H 、开方法那么：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a n n.〔2〕比较两数或两式的大小方法：〔作差法步骤：作差—变形——定号〕A 、作差法：对于任意b a ,，①b a b a >⇔>-0；② b a b a =⇔=-0；③ b a b a <⇔<-0；B 、作商法：设0,0>>b a ，那么①b a b a >⇔>1；② b a b a =⇔=1；③ b a ba<⇔<1. 备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-；平方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+. 2、 不等式的解法；〔1〕一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 及)0(02><++a c bx ax 的解法：〔0<a 转化为0>a 〕 A 、假设方程02=++c bx ax 的0>∆且两实根分别为)(,2121x x x x <，那么不等式02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x <<；B 、假设方程02=++c bx ax 的0=∆且两相等实根分别为21x x =，那么不等式02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ；C 、假设方程02=++c bx ax 的0<∆，那么不等式02>++c bx ax 的解集为R ，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ.〔2〕分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解〔具体见模块〕； 〔3〕高次不等式的解法：序轴标根法〔过程见模块〕；〔4〕无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式〔具体见模块〕； 〔5〕绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法〔具体见模块〕. 3、 基本不等式：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2〔当且仅当b a =时取“=〞〕〔一正二定三相等〕.〔1〕特例：0>a ，21≥+a a ；2≥+abb a 〔b a ,同号〕. 〔2〕变形：①2)(222b a b a +≥+；②222b a ab +≤；③2)(2b a ab +≤；〔3〕扩展：),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab ba .〔备注：调和≤几何≤算术≤平方〕. 4、 均值定理：+∈R y x ,.〔1〕如果S y x =+〔定值〕，那么4)2(22S y x xy =+≤〔当且仅当y x =时取“=〞〕“和定积最大〞. 〔2〕如果P xy =〔定值〕，那么P xy y x 22=≥+〔当且仅当y x =时取“=〞〕“积定和最小〞. 5、 判断二元一次不等式〔组〕表示平面区域的方法—“选点法〞：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、 线性规划中常见代数式的几何意义：〔1〕22y x +表示点),(y x 与原点)0,0(之间的距离；〔2〕22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；〔3〕x y表示点),(y x 与原点)0,0(连线的斜率； 〔4〕ax b y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质： 题型一：不等式的性质：例1、如果c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，那么以下选项中不一定成立的是〔〕 A 、ac ab >B 、0)(>-a b c C 、22ab cb <D 、0)(<-c a ac练1：设10<<<a b ，那么以下不等式成立的是〔〕A 、12<<b abB 、0log log 2121<<a b C 、222<<a b D 、12<<ab a练2：+∈R m b a ,,，并且b a <，那么一定成立的是〔〕 A 、m b m a <++b a >C 、b a m b m a >--D 、abm b m a >-- 题型二：比较数〔式〕的大小与比较法证明不等式：例2、假设0,>b a 且b a ≠，试比较33b a +与22ab b a +的大小.解：由于222222233))(()2)(()())(()()(b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a ab b a b a -+=+-+=+-+-+=+-+ 又0,>b a 且b a ≠，所以0))((2>-+b a b a ，所以2233ab b a b a +>+.练3：假设0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小.答案：)(2))(())(())(())((2222222y x xy y x y x y x y x y x y x y x y x --=+---+=+---+由于0<<y x ，所以0<-y x 且02<-xy ，故0)(2>--y x xy ，所以))(())((2222y x y x y x y x +->-+.练习4：设0,0>>b a 且b a ≠，试比较b a b a 与a b b a 的大小.综上所述，a b b a b a b a >.题型三：不等式的关系，求目标式的取值X 围：例3、〔10某某理〕41<+<-y x 且32<-<y x ，那么y x z 32-=的取值X 围是.)8,3(所以8323<-<y x ，故y x z 32-=的取值X 围是)8,3(.练习2：设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值X 围.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，那么)()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，得1,3==n m .所以)1()1(3)2(f f f +-=-.因为4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f .练习3：〔10某某〕设y x ,为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，那么43yx 的最大值是.27考点二、一元二次不等式及其解法： 题型一：一元二次不等式的定义：例1、以下不等式中，一元二次不等式的个数为〔〕 ①013)1(2<+-+x x m ；② 22>-x x；③0652≥++-x x ；④ 0)1)((<+++a x a x .A 、1B 、2C 、3D 、4题型二：简单一元二次不等式的求解： 例2、求以下一元二次不等式的解集：〔1〕652>-x x ；〔2〕01442≤+-x x ；〔3〕672>+-x x ；〔4〕0962>-+-x x .解：〔1〕由652>-x x ，得0652>--x x .又方程0652=--x x 的两根是1-=x 或6=x ，所以原不等式的解集为}61|{>-<x x x 或.〔3〕由672>+-x x ，得0672<+-x x ，而0672=+-x x 的两个根是1=x 或6=x . 所以不等式0672<+-x x 的解集为}61|{<<x x .〔4〕原不等式可化为0962<+-x x ，即0)3(2<-x ，所以不等式的解集为Φ. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)对不等式左侧因式分解，假设不易分解，那么计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集. 练1：求以下不等式的解集： 〔1〕02322<++-x x ； 〔2〕0622<-+-x x ； 〔3〕01442>++x x ；〔4〕x x 10252≤+.练2：设集合}73)1(|{2+<-=x x x A ，那么Z A 中有个元素.6 练3：解以下不等式：〔1〕01522>-+x x ；〔2〕122->x x ；〔3〕222-<x x . 答案：〔1〕}35|{>-<x x x 或；〔2〕}1,|{≠∈x R x x 且；〔3〕Φ. 题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于x 的不等式0222<-+a ax x .〔因式分解—比较两根大小—分类讨论求解〕解：原不等式可化为0))(2(<-+a x a x ，对应的一元二次方程的根为a x a x 2,21-==， 〔1〕当0>a 时，21x x >，不等式的解集为}2|{a x a x <<-.〔2〕当0=a 时，原不等式化为02<x ，无解.〔3〕当0<a 时，21x x <，不等式的解集为}2|{a x a x -<<.综上所述，原不等式的解集为：0>a 时，}2|{a x a x <<-；0=a 时，Φ；0<a 时，}2|{a x a x -<<. [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(假设方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式． 练4：解关于的不等式：〔1〕0)(322>++-a x a a x ； 〔2〕04)1(22>++-x a ax .答案：〔1〕原不等式0)(322>++-a x a a x 可化为0))((2>--a x a x .①当0<a 时，2a a <，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ②当0=a 时，2a a =，所以原不等式的解集为}0,|{≠∈x R x x 且； ③当10<<a 时，2a a >，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ④当1=a 时，12==a a ，所以原不等式的解集为}1,|{≠∈x R x x 且； ⑤当1>a 时，，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或.〔2〕 Ⅰ〕当0=a 时，原不等式可化为042>+-x ，解得2<x ，所以原不等式的解集为}2|{<x x ；练5：解不等式02)2(2>---x m mx .答案：0)1)(2(02)2(2>-+⇒>---x mx x m mx〔1〕当0=m 时，原不等式转化为0)1(2>-x ，即01>-x ，得不等式的解集为}1|{>x x .考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于所有的实数x 都成立，某某数a 的取值X 围. 解：假设0=a ，那么原不等式可化为01<--x ，即1->x ，不合题意，故0≠a .令1)1()(2-+-+=a x a ax x f ，因为原不等式对任意R x ∈都成立，所以二次函数)(x f 的图像在x 轴的下方.[题后感悟] 不等式恒成立问题方法总结：(1))0(02≠>++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；(2))0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ；练1：假设关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围.答案：当0=a 时，原不等式可化为022>+x ，其解集不为R ，故0=a 不满足题意，舍去；练2：假设关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围.答案：〔1〕当012=-a ，即1±=a 时，〔2〕当012≠-a ，即1±≠a 时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)1(4)1(01222a a a ，练3：假设不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，某某数a 的取值X 围. 答案：因为2=a 时，原不等式为04<-，所以2=a 时成立.当2≠a 时，由题意得⎩⎨⎧<∆<- 002a ，即⎩⎨⎧<----< 0)4)(2(4)2(422a a a a ，解得22<<-a . 综上两种情况可知22≤<-a .题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、假设不等式02≥++c bx ax 的解集为}21|{≤≤-x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集.(1) 给出一元二次不等式的解集，那么可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知c b a ,,之间的关系；练4：不等式022>++bx ax 的解集为}11|{<<-x x ，求022<++a bx x 的解集 所以320)2)(3(060122202222<<-⇔<+-⇔<--⇔<--⇔<++x x x x x x x a bx x .那么不等式022<++a bx x 的解集为}32|{<<-x x .题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离〞．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速h km /40的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m s 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：22005.005.001.01.0x x s x x s +=+=乙甲，.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．解：由题意，对于甲车，有1201.01.02>+x x ，即01200102>-+x x .解得30>x 或40-<x (舍去).这说明甲车的车速超过h km /30，但根据题意刹车距离略超过m 12，由此估计甲车不会超过限速h km /40. 对于乙车，有10005.005.02>+x x ，即02000102>-+x x .解得40>x 或50-<x (舍去).这说明乙车的车速超过h km /40，超过规定限速. [题后感悟](1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； ③解不等式(或求函数最值)； ④回扣实际问题．考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法： 题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式 〔1〕0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； 〔2〕0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； 〔3〕⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥ 0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ； 〔4〕⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 例1、〔12某某理〕不等式0121≤+-x x 的解集为〔〕 A 、]1,21(-B 、]1,21[-C 、),1[)21,(+∞--∞ D 、),1[]21,(+∞--∞练2：不等式31≤+x x 的解集是.}210|{≥<x x x 或 解析：21000)12(01202103131≥<⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒≥-⇒≤-⇒≤-+⇒≤+x x x x x x x x x x x x x 或.题型二：高次不等式的解法：〔序轴标根法〕序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿〔前提：保证因式分解后x 的系数为正〕. 例2、解不等式：0)2)(1)(1)(2(≤--++x x x x解：设)2)(1)(1)(2(--++=x x x x y ，那么0=y 的根分别是2,1,1,2--，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是}21,12|{≤≤-≤≤-x x x 或.练3：〔10全国Ⅱ〕不等式0162>---x x x 的解集为〔〕 A 、}32|{>-<x x x 或B 、}312|{<<-<x x x 或 C 、}312|{><<-x x x 或D 、}3112|{<<<<-x x x 或 练4：不等式02322>++-x x x 的解集是.),2()1,2(+∞-- 题型三：无理不等式的解法：〔化无理不等式为有理不等式〕〔1〕⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x g x f x g x g x f ；〔2〕⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)( 0)(0)(x g x f x g x f . 例3、解不等式125->-x x .解：原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<-≥- 01025x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x ， 解Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x ，解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22 1 25x x x ，即1<x 或21<≤x ，所以2<x ，那么原不等式的解集为}2|{<x x . 练5：解不等式0231≤---x x 的解集.解：移项231-≤-x x ，那么⎩⎨⎧-≥-≥-x x x 123 01⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤4331x x ⇒143≤≤x ，练6：解不等式〔1〕x x x 211322+>+-；〔2〕x x x 211322+<+-.解：〔1〕原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<+≥+- 02101322x x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(132 0210132x x x x x x那么原不等式的解集为}0|{<x x .考点五：绝对值不等式的解法：〔选修4—5〕 〔1〕a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||； 〔2〕a x a x a x a a x -<>⇔>⇔>>或22)0(||；〔3〕a m x a m a m x a a a m x +<<-⇔<-<-⇔><-)0(||；〔4〕a m x a m x a m x a m x a a m x -<+>⇔-<->-⇔>>-或或)0(||. 例1、〔08某某文科〕不等式2||2<-x x 的解集为〔〕 A 、)2,1(-B 、)1,1(-C 、)1,2(-D 、)2,2(-解析：)2,1(210202222||2222-∈⇔<<-∈⇔<-->+-⇔<-<-⇔<-x x R x x x x x x x x x 且且.练1：〔04全国〕不等式3|1|1<+<x 的解集为〔〕 A 、)2,0(B 、)4,2()0,2( -C 、)0,4(-D 、)2,0()2,4( --解析：24201133113|1|1-<<-<<⇔-<+<-<+<⇔<+<x x x x x 或或. 练2：〔07某某〕设函数3|12|)(++-=x x x f ，假设5)(≤x f ，那么x 的取值X 围是.]1,1[- 解析：21222|12|53|12|5)(+-≤-≤-⇔+-≤-⇔≤++-⇔≤x x x x x x x x f⎩⎨⎧≤≤-⇔≤-≥⇔⎩⎨⎧+-≤--≤-⇔1111212 122x x x x x x x 练3：〔09某某〕不等式0|2||12|<---x x 的解集为.)1,1(-解析：0)2()12(|2||12||2||12|0|2||12|2222<---⇔-<-⇔-<-⇔<---x x x x x x x x110)]2()12)][(2()12[(<<-⇔<----+-⇔x x x x x .练4：假设不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，某某数a 的取值X 围.解：不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|3||4|-+-x x 表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意R x ∈恒成立，显然1|)3||4(|min =-+-x x ，又a x x >-+-min |)3||4(|，故1<a ，所以实数a 的取值X 围是)1,(-∞.考点六：基本不等式和均值定理：〔一正二定三相等〕 题型一：通过加减项配凑成基本不等式： 例1、1>x ，求11-+x x 的最小值以及取得最小值时x 的值.练1：5<x ，求函数124+-=x y 的最大值.得132=+-≤y ，所以函数的最大值为1.练2：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：令1>+=x t ，那么练3：求41622++=x x y 的最大值.题型二：“1〞的变换： 例2、0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练4：2,0,0=+>>b a b a ，那么b a y 41+=的最小值是题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、假设正数b a ,满足3++=b a ab ，那么：〔1〕ab 的取值X 围是；),9[+∞〔2〕b a +的取值X 围是.),6[+∞ 0)3(2=+-+t a t a ,04)3(2≥--=∆t t ，得9≥t 或1≤t 〔舍〕.〔2〕判别式法，令)0(>=+t t b a ，那么a t b -=，代入原式得3)(+=-t a t a ，整理得032=++-t at a ，0)3(42≥+-=∆t t ，解得6≥t 或者2-≤t 〔舍〕.备注：以上〔1〕〔2〕也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决. 练5：假设0,>y x 满足xy y x =++62，那么xy 的最小值是.18 练6：假设0,>y x 满足2=++xy y x ，那么y x +的最小值是练7：〔10某某〕0,>y x 满足822=++xy y x ，那么y x 2+的最小值是〔〕 A 、3B 、4C 、29D 、211考点七：简单线性规划问题：题型一：线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤- 1122y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值.题型二：线性约束条件，探求分式目标关系最值问题： 例2、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求112++=y x z 的取值X 围.题型三：线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量y x ,满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量y x ,满足例1中的约束条件，且目标函数y ax z +=〔其中0<a 〕仅在)4,3(处取得最大值，求a 的取值X 围.题型六：最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤- 1 22y x m y x y x ，且目标函数y x z 32+=在)6,4(处取得最大值，求m ，例7、y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--01553 0632 032y x y x y x ，求使y x +取得最大值的整数y x ,.解：不等式组的解集为三直线01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部〔不含边界〕，设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 的交点分别为C B A ,,， 那么的坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ， 作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， 所以当l 过C 点时最大为1963，但不是整数解，又由19750<<x 知x 可取3,2,1， 当1=x 时，代入原不等式组得2-=y ，所以1-=+y x ；当2=x 时，得0=y 或1-，所以2=+y x 或1；当3=x 时，1-=y ，所以2=+y x ，故y x +的最大整数解为⎩⎨⎧==02y x 或⎩⎨⎧-==13y x .ABCxyO1l 3l2l练习：线性规划问题综合练习练1：假设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤2 2 2y x y x ，那么y x z 2+=的取值X 围是〔〕A 、]6,2[B 、]5,2[C 、]6,3[D 、]5,3(练2：满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整数〔横纵坐标都是整数〕有〔〕 A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个练3：y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，那么22y x z +=的最大值和最小值分别是〔〕A 、1 , 13B 、2 , 13C 、54 , 13D 、552, 13 练4：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥-+ 2 03062y y x y x 表示的平面区域的面积为〔〕A 、4B 、1C 、5D 、无穷大练5：y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥+ 3055x y x y x ，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数个，那么的值为〔〕A 、3-B 、3C 、1-D 、1练6：3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和)1,1(-，那么m 的取值X 围是〔〕 A 、)6,3(-B 、)6,0(C 、)3,0(D 、)3,3(-练7：满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是〔〕A 、1BD 、3 练8：假设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值为9，那么实数=m 〔〕A 、2-B 、1-C 、1D 、2练9：实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+013042022y x y x y x ，试求11++=x y z 的最大值和最小值.结合图像可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即3max ==MB k z ，此时2,0==y x ；练10：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥ 222 x y x x y ，那么y x z 3-=的最小值为.8-练11：假设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥- 022 0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，那么a 的取值X 围是.练12：平面区域D 由以)1,3()2,5()3,1(C B A 、、，为顶点的三角形内部和边界组成，假设在区域D 上有无穷多个点),(y x 可使目标函数my x z +=取得最小值，那么=m . 1。

课题: 《不等式》复习小结授课类型：复习课【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。

【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。

【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。

【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)有两相异实根有两相等实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b + 1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 22a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。

【步步高】2014-2015学年高中数学第三章不等式复习课新人教A版必修5【课时目标】1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题．2．掌握简单的线性规划问题的解法．3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．不等式—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—不等关系—⎪⎪⎪⎪—不等式的性质—实数比较大小—一元二次不等式—⎪⎪⎪—一元二次不等式的解法—一元二次不等式的应用—简单线性规划—⎪⎪⎪⎪—二元一次不等式组与平面区域—简单线性规划—简单线性规划的应用—基本不等式—⎪⎪⎪⎪—算术平均数与几何平均数—基本不等式的应用一、选择题1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A．a－b<0 B．0<ab<1C.ab<a＋b2D．ab>a＋b答案 C2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－12，－13]，则不等式x2－bx－a<0的解是( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5. ∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)． 3．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40答案 C解析 作出可行域如图所示.由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4．不等式x －1x≥2的解为( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋x ≠0⇔－1≤x <0.5．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1)B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2C ．ab 有最大值2＋1D ．ab 有最小值2(2＋1) 答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256 B.83 C.113 D ．4 答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a＝b ＝65时取等号)．二、填空题7．已知x ∈R ，且|x |≠1，则x 6＋1与x 4＋x 2的大小关系是________．答案 x 6＋1>x 4＋x 2解析 x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)∵|x |≠1，∴x 2－1>0，∴x 6＋1>x 4＋x 2.8．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.9．若x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为____．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： a b /万吨 c /百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析 设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min＝3×1＋6×2＝15.三、解答题11．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M . (1)若3∈M ，且5∉M ，求实数a 的取值范围． (2)当a ＝4时，求集合M .解 (1)∵3∈M ，∴3a －59－a <0，解得a <53或a >9；若5∈M ，则5a －525－a<0，解得a <1或a >25.则由5∉M ，知1≤a ≤25，因此所求a 的范围是1≤a <53或9<a ≤25.(2)当a ＝4时，4x －5x 2－4<0.4x －5x 2－4<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0x 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －5<0x 2－4>0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >54－2<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <54x <－2或x >2⇔54<x <2或x <－2. ∴M ＝{x |x <－2或54<x <2}．12．当x >3时，求函数y ＝2x2x －3的值域．解 ∵x >3，∴x －3>0.∴y ＝2x 2x －3＝x －2＋x －＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥2x －18x －3＋12 ＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3， 即x ＝6时，上式等号成立，∴函数y ＝2x2x －3的值域为[24，＋∞)．【能力提升】13．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 a 2＋1ab ＋1a a －b ＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a a －b ＝a (a －b )＋1a a －b ＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 14．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案 (259，4916]解析 由(2x －1)2<ax 2成立可知a >0，整理不等式可得(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a，即2－a＋a －a <x <2＋a＋a －a ，亦即14<12＋a <x <12－a ，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结新人A 教版必修5一、选择题1．(2015·四川理，1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A ，再按并集的意义求解．[答案] A[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．2．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C ．另解：可取特值检验．∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C ．3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1 [答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D ． 解法2：化为：2x 2＋7x －9≤0， 即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1.4．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x＋2y≥22x ＋y，∴22x ＋y≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ． 5．(2014·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．6．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [答案] 36[解析] 由基本不等式可得4x ＋a x≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立．故a2＝3，a ＝36.8．已知：a 、b 、x 、y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．[答案] ab ≥xy[解析] ab ＝ab ·(1a ＋1b)＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，xy ≤x 2＋y 22＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab ≥xy .三、解答题9．(1)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )； (2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．[分析] (1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，各边长均为正数．再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加．(2)由ab ＝a ＋b ＋3出发，求ab 的范围，关键是寻找ab 与a ＋b 之间的联系，由此联想到基本不等式a ＋b ≥2ab .[解析] (1)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边， 不妨设a ≥b ≥c >0则a >b －c ≥0，b >a －c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab . ∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2. (2)令ab ＝t (t >0)． ∵a ，b 均为正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3或t ≤－1(舍去)， ∴ab ≥3， 故ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．10．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根： (1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2. [解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2. (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2>2x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －18>2m －78－m －18＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤9或m ≥25m >17m ∈R，∴m ≥25.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －78－m －8＋4<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <9或m >25m >27，∴m >27.一、选择题11．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1}[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，选B ． 12．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1[答案] C[解析] 取a ＝12，b ＝13验证可知选C ．13．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2[答案] A[解析] 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b＝0，∴v >a .14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[答案] D[解析] 作出可行域如右图所示，由于ω＝y －1x ＋1可理解为经过点P (－1,1)与点(x ，y )的直线的斜率，而k PA ＝0－11－－＝－12，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－12，1)．二、填空题15．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．[答案] 20[解析] 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立．故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．16．(2014·苏州调研)若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－12)[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．三、解答题17．已知a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] 11－a －(1＋a )＝a21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a . 18．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。

第三章 不等式学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x 轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化． 知识点二 规划问题 1．规划问题的求解步骤． (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解． 2．关注非线性：(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域． (2)常见的非线性目标函数有①y －bx －a，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；②x －a2＋y －b 2，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )的距离．知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围． 解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， 对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)，①当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]，满足题意； ②当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，M ＝{－1}[1,4]，不满足题意； 当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1＜a ＜4，a ＜－1或a >2，解得2<a ≤187，综上可知，当M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，187]．反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x 1<x 2≤4，要是用求根公式来解就相当麻烦，用⎩⎪⎨⎪⎧f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0则可化归为简单的一元一次不等式组．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 答案 2解析 因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )， 所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >1，1＋m ＝6a，1·m ＝a⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.类型二 规划问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．上下平移直线l 0，可得当l 0过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z 越大还是越小． 跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．解 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中， 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)， 即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度1 无附加条件型 例3 设f (x )＝50xx 2＋1. (1)求f (x )在[0，＋∞)上的最大值； (2)求f (x )在[2，＋∞)上的最大值． 解 (1)当x >0时，有x ＋1x≥2，∴f (x )＝50x x 2＋1＝50x ＋1x≤25. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y ＝x ＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f (x )＝50x ＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f (2)＝20.∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为20.反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解． 跟踪训练3 求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解 ∵y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3，x ＞3， ∴x －3＞0，1x －3＞0， ∴y ≥21x －3x －＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3， 即x ＝4时，y 有最小值5.命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．答案 4解析 方法一 y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn≥1m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取等号．方法二 1m ＋1n ＝(m ＋n )(1m ＋1n)＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，n m ＝mn，即m ＝n ＝12时取等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值． 跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋2y＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x 时，取等号．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2 答案 B解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时，纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1，得A (2,1)，所以z max ＝4×2＋2×1＝10.2．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为{x |－2<x <－14}，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1 答案 C解析 ∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－14＝－ba，－－14＝－2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a ＋b ＝－13.3．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析a2＋1ab＋1a a －b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a a－b＝a(a－b)＋1a a －b ＋ab＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝2，b＝22时取等号．1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．40分钟课时作业一、选择题1．若a<0，－1<b<0，则有( )A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a答案 D解析∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，ab2<0.∴ab >a ，ab >ab 2. ∵0<1＋b <1,1－b >1>0，∴a －ab 2＝a (1－b 2)＝a (1＋b )(1－b )<0， ∴a <ab 2， ∴a <ab 2<ab .2．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．0<a <2 C ．a ＝0或a ＝2 D ．0≤a ≤2答案 B解析 原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x ＋y －a 中，结果异号，即－a (1＋1－a )<0，故0<a <2. 3．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( ) A ．{x |x <－8或x >－3} B ．{x |x ≤－8或x >－3} C ．{x |－3≤x ≤2} D ．{x |－3<x ≤2}答案 B解析 原不等式可化为x －2x ＋3－2≤0，即－x －8x ＋3≤0，即(x ＋3)(x ＋8)≥0且x ≠－3，解得x ≤－8或x >－3.4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞)答案 B解析 可行域如图阴影部分，yx －1的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得y x －1>1或yx －1<－1.5．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2答案 B解析 ∵a 2＋a <0， ∴a (a ＋1)<0，∴－1<a <0. 取a ＝－12，可知－a >a 2>－a 2>a .6．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8 答案 C 解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5， 因为x >－1，所以x ＋1>0， 所以y ≥2x ＋9x ＋1－5＝2×3－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立， 此时a ＝2，b ＝1， 所以a ＋b ＝3. 二、填空题7．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 因为x >0，y >0，x 3＋y4＝1，所以x 3＋y 4≥2x 3·y4＝ xy3(当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号)， 即xy3≤1，解得xy ≤3，所以xy 的最大值为3.8．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________． 答案 [25，＋∞)解析 令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－m －，m －116＞1，f ＞0解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ＞17，m ∈R ，∴m 的取值范围是{m |m ≥25}． 9．函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值是________． 答案24解析 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0； 当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24， 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.10．已知a >0，b >0且a ≠b ，则a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小关系是________________．答案 a 2b ＋b 2a>a ＋b解析 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a )＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋b ab，又∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .三、解答题11．已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图．利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．所以生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润． 13．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，求b a的最大值．解 题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ，y ＝bc，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1，且目标函数为z ＝y x，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．上述区域表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C (12，72)，此时z max ＝7，即b a的最大值为7.。

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基本不等式学习目标1。

掌握基本不等式及其他几种变形形式，掌握基本不等式取等的条件.2。

运用基本不等式求代数式的最值，能够解决一些简单的实际问题。

3。

激情投入，热情高效，在高效课堂中体会学习的乐趣.学习重点难点1. 从不同角度探索不等式2ba +≥ab （a 〉0，b 〉0）的多种形式。

2. 理解基本不等式2ba +≥ab （a>0，b>0）等号成立条件。

3. 用基本不等式及变形形式求代数式的最大（小）值及解决一些简单的实际问题.自学案阅读教材并完成下面几个问题。

1， 想一想：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+. “="什么条件下成立？为什么？2,(变形形式）想一想,下列公式可以如何得到？（1）若R b a ∈,，则 ab b a 222≥+ （当且仅当b a =时取“=”)(2)若R b a ∈,，则 222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“="）(3)若*,R b a ∈，则 ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”)（4）若R b a ∈,,则 22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“="）3， 解决下面两个问题并体会在基本不等式应用过程中有什么基本规律？(1）用篱笆围成一个面积为100M 2的矩形菜园,问长，宽各为多少时，所用篱笆最短？（2)用篱笆围成一个周长为36M 的矩形菜园，问长,宽各为多少时，菜园面积最大？你觉得规律是 探究案一。