类型二 利用基本不等式求最值
命题角度 1 无附加条件型
例 2 设 f(x)＝x52＋0x1.
(1)求 f(x)在[0，＋∞)上的最大值；
解 当 x＝0 时，f(0)＝0， 当 x>0 时 ∴f(x)＝x52＋0x1＝x＋501x≤25. 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立， ∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
练习 2 求函数 y＝x－1 3＋x(x＞3)的最小值.
解 ∵y＝x－1 3＋x＝x－1 3＋x－3＋3，x＞3， ∴x－3＞0，x－1 3＞0， ∴y≥2 x－1 3·x－3＋3＝5.
当且仅当x－1 3＝x－3， 即x＝4时，y有最小值5.
命题角度 2 有附加条件的最值问题
例 3 函数 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值. 解 ∵函数 y＝x＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正， ∴f(x)＝x＋501x在[2，＋∞)上是减函数，且 f(2)＝20. ∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.
反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足 “一正、二定、三相等”，缺一不可，可以 通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值. 如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数 的单调性求解.
即 a＝ 2，b＝ 22时取等号.
3.若不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立， 则a的取值范围是_(_－__2_,2_]_.
解析 不等式4(a－2)x2＋2(a－2)x－1<0， 当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意； 当 a－2≠0 时，要使不等式恒成立，需Δa－＝24<a0－，22＋16a－2<0， 解得－2<a<2，所以a的取值范围为(－2,2].
3.运用基本不等式求最值时把握三个条件
①“一正”——各项为正数； ②“二定”——“和”或“积”为定值； ③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件 缺一不可.
谢 谢 观 看！
m＋n＝1， 当且仅当mn ＝mn ，
即 m＝n＝12时取等号.
∴m1 ＋n1min＝4.
练习 3 设 x，y 都是正数，且1x＋2y＝3，求 2x＋y 的最小值. 解：∵1x＋2y＝3， ∴131x＋2y＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×131x＋2y ＝134＋yx＋4yx≥134＋2 yx·4yx ＝43＋43＝83.
在直线 mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则m1 ＋1n的最小值为_4__. 解析 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)， ∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1， 方法一 m1 ＋1n＝mm＋nn＝m1n≥m＋1 n2＝4， 2 当且仅当 m＝n＝12时，取等号.
方法二 m1 ＋1n＝(m＋n)m1 ＋1n ＝2＋mn ＋mn ≥2＋2 mn ·mn ＝4，
当且仅当yx＝4yx，即 y＝2x 时，取等号. 又∵1x＋2y＝3，∴x＝23，y＝43. ∴2x＋y 的最小值为83.
课后巩固：
1.若不等式 ax2＋bx－2>0 的解集为x－2<x<－14
，则 a＋b 等于
A.－18
B.8
√C.－13
D.1
解析 ∵－2 和－14是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根.
∴－2＋－14＝－ba， －2×－14＝－2a，
∴a＝－4， b＝－9，
∴a＋b＝－13.
2.设 a>b>0，则 a2＋a1b＋aa1－b的最小值是
A.1
B.2
C.3
√D.4
解析 a2＋a1b＋aa1－b＝a2－ab＋ab＋a1b＋aa1－b
＝a(a－b)＋aa1－b＋ab＋a1b≥2＋2＝4，
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，
必修5
第三章 不等式
ห้องสมุดไป่ตู้章末复习
知识梳理
1.“三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是：
①二次 函数 图象与x轴的交点；
②相应的一元二次 方程 的实根； ③一元二次 不等式 的解集端点. 解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余 两个，并灵活转化.
2.基本不等式 利用基本不等式证明不等式和求最值的区别 ①利用基本不等式证明不等式，只需关注不 等式成立的条件. ②利用基本不等式求最值，需要同时关注三 个限制条件：一正；二定；三相等.
小结：
1.不等式的基本性质 不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解 不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法 对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解， 要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程 ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元 二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.
