甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练：选择填空限时练(四)Word版含答案

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 选择填空限时练(四)文(推荐时刻：45分钟)一、选择题1． 已知集合A ＝{y |x 2＋y 2＝1}和集合B ＝{y |y ＝x 2}，那么A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(0，＋∞)D ．{(0,1)，(1,0)}答案 B2． 复数(3＋4i)i(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为(3＋4i)·i＝－4＋3i ，因此在复平面上对应的点位于第二象限，选B. 3．“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析 由α＝2k π－π4(k ∈Z )可得tan α＝－1；而由tan α＝－1得α＝k π－π4(k ∈Z )，应选A.4． 一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积是( )A ．112B ．80C ．72D ．64答案 B解析 依题意得，该几何体的下半部份是一个棱长为4的正方体，上半部份是一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥，故该几何体的体积为43＋13×4×4×3＝80.应选B. 5． 将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采纳系统抽样的方式抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( ) A ．20,15,15 B ．20,16,14 C ．12,14,16D ．21,15,14答案 B解析 依照系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .第353号被抽到，因此第二营区应有16人，因此三个营区被抽中的人数为20,16,14.6． 要取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 要取得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即取得y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.7． 设数列{a n }是等差数列，假设a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝28.8． 某程序的框图如下图，那么运行该程序后输出的B 值是( )A ．5B ．11C ．23D ．47答案 C解析 第一次循环：B ＝2×2＋1＝5，A ＝4； 第二次循环：B ＝2×5＋1＝11，A ＝5； 第三次循环：B ＝2×11＋1＝23，A ＝6； 第四次循环：输出B ＝23，选C.9． 已知概念在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如下图，那么以下表达正确的选项是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C解析 依照函数f (x )的特点图象可得：f (c )>f (b )>f (a )．10．假设实数x ，y 知足不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，那么该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．22答案 C解析 可行域为直角三角形，其面积为S ＝12×22×2＝2.11．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析 如图，∵|BC |＝2|BF |， ∴由抛物线的概念可知∠BCD ＝30°， |AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6. 即F 为AC 的中点，∴p ＝|FF ′|＝12|EA |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x .12．已知函数y ＝f (x )是概念在R 上且以3为周期的奇函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，那么函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，f (x )＝－f (－x )＝－ln(x 2＋x ＋1)；则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32上有3个零点(在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32上有2个零点)．依照函数周期性，可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92上也有3个零点，在⎝ ⎛⎦⎥⎤92，6上有2个零点．故函数f (x )在区间[0,6]上一共有7个零点． 二、填空题13．在区间[0,9]上随机取一实数x ，那么该实数x 知足不等式1≤log 2x ≤2的概率为________．答案 29解析 由1≤log 2x ≤2得：2≤x ≤4，故所求概率为29.14．向量a ＝(－1,1)在向量b ＝(3,4)方向上的投影为________．答案 15解析 设向量a ＝(－1,1)与b ＝(3,4)的夹角为θ，那么向量a 在向量b 方向上的投影为|a |·cos θ＝a ·b|b |＝－1，1·3，432＋42＝15. 15．抛物线y ＝2x 2的准线方程是________．答案 y ＝－18解析 由题意知：抛物线的开口方向向上，且2p ＝12，因此准线方程为y ＝－18.16．下面四个命题：①已知函数f (x )＝sin x ，在区间[0，π]上任取一点x 0，那么使得f (x 0)>12的概率为23；②函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位取得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；③命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥34”的否定是“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<34”； ④假设函数f (x )是概念在R 上的奇函数，那么f (x ＋4)＝f (x )，那么f (2 012)＝0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 ②错误，应该向左平移π6；①使得f (x 0)>12的概率为p ＝56π－16ππ＝23；④f (2 012)＝f (0)＝0.。

某某省某某市铁路中学高考数学专题训练 压轴大题突破练(四)文(推荐时间：60分钟)1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值X 围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值X 围；若不是，请说明理由． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，∵e x >0，∴－x 2＋2>0. 解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是[－2，2]．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立，∵f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立，∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立．即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立． 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. ∴y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增． ∴y <(1＋1)－11＋1＝32.∴a ≥32. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 恒成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的，故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．(1)解 由e ＝12得c a ＝12，即a ＝2c ，∴b ＝3c . 由右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为d ＝217， x a ＋y b＝1化为一般式： bx ＋ay －ab ＝0得|bc －ab |a 2＋b 2＝217，解得a ＝2，b ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 斜率存在时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1，联立消去y 整理可得 (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0.由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即：(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217(为定值)． 当直线AB 斜率不存在时，可求出直线AB 方程为x ＝±2217. 则点O 到直线AB 的距离为2217(定值)． 3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶 点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，且AB ⊥AF 2，如图所示．(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l ′与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值X 围；如果不存在，说明理由．解 (1)设B (x 0,0)，则F 2(c,0)，A (0，b )，由AB ⊥AF 2，可知△ABF 2是以点A 为直角顶点的直角三角形，由BF 1→＝F 1F 2→，可知F 1为BF 2的中点，且|BF 2|＝2|F 1F 2|＝4c .∴|AF 1|＝12|BF 2|＝2c ，而|AF 1|＝a ，故有a ＝2c . ∴椭圆的离心率e ＝12. (2)由(1)，知c a ＝12，得c ＝12a . 于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，B ⎝⎛⎭⎫－32a ，0， △ABF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝12|F 2B |＝a ， ∴⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a ，解得a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (3)由(2)，知F 2(1,0)，l ′：y ＝k (x －1)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1.整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由于菱形的对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，即(x 2－x 1)[x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)]＝0.故k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，则k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0， k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件，知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，14.4．已知向量m ＝(e x ，ln x ＋k )，n ＝(1，f (x ))，m ∥n (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，F (x )＝x e x f ′(x )．(1)求k 的值及F (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )＝－x 2＋2ax (a 为正实数)，若对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，某某数a 的取值X 围．解 (1)由已知可得：f (x )＝ln x ＋k e x， ∴f ′(x )＝1x －ln x －k e x， 由已知，f ′(1)＝1－k e＝0，∴k ＝1， ∴F (x )＝x e x f ′(x )＝x ⎝⎛⎭⎫1x －ln x －1＝1－x ln x －x ，∴F ′(x )＝－ln x －2，由F ′(x )＝－ln x －2≥0⇒0<x ≤1e 2， 由F ′(x )＝－ln x －2≤0⇒x ≥1e 2. ∴F (x )的增区间为⎝⎛⎦⎤0，1e 2，减区间为⎣⎡⎭⎫1e 2，＋∞. (2)∵对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，∴g (x )max <F (x )max .由(1)知，当x ＝1e 2时，F (x )取得最大值F ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1＋1e 2. 对于g (x )＝－x 2＋2ax ，其对称轴为x ＝a ，当0<a ≤1时，g (x )max ＝g (a )＝a 2，∴a 2<1＋1e 2，从而0<a ≤1. 当a >1时，g (x )max ＝g (1)＝2a －1，∴2a －1<1＋1e 2，从而1<a <1＋12e 2. 综上可知：0<a <1＋12e 2.。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{|21}x M x =>，集合2{|log 1}N x x =>，则下列结论中成立的是（ ）A ．M N M =B ．M N N =C ．()U M C N =∅D ．()U C M N =∅ 2.已知i 为虚数单位，则1ii z +=在复平面内对应的点位于 ( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则 ( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题 4.已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是 （ ）A ．25B ．52- C. 2- D ．25．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）Ａ．283π-Ｂ．83π- Ｃ．82π- Ｄ．23π6. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ） A.34 B.45 C.56D.1 7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++= 上，其中m ，n 均大于0，则12m n+的最小 值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．168. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( ) A ．127 B ．255C ．511D ．10239．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将y ＝f (x )的图象向右平移3π个单位长度后，所 得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( ) A. 13B ．3C ．6D ．911. 点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ． 3 C ．4 D ．5 12.定义方程()()'=f x f x 的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()sin (0)g x x x π=<<，()ln (0),h x x x =>3()(0)x x x ϕ=≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ． b a c >>第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）. 13．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是_______________.14.若向量a ，b 满足||1a =，||b = ()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为15.若函数3log y x = 的图像上存在点),(y x ，满足约束条件40210x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为16.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则角C ＝ .三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)17.(本题满分12分) 等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，255a S =．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列}{n b 满足121+⋅++=n n n a a n n b ，求数列}{n b 的前n 项的和．18.(本小题满分12分)为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．(Ⅰ)分别求出a ，b ，x ，y 的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率. 19.（本小题满分12分）如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，D 是BC 的中点， 1AA AB a ==（Ⅰ）求证：1AD B D ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥平面1AB D ； （Ⅲ）求三棱锥1C AB D -的体积.20.（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线x y 542=的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知经过定点M （2,0）且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问在x 轴上是否另存在一个定点P 使得PM 始终平分APB ∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数()(2)e x f x ax =-在1x =处取得极值. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 在[],1m m +上的最小值;(Ⅲ)求证:对任意12,[0,2]x x ∈,都有12|()()|e f x f x -≤.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ， D ，连接EC ，CD .(Ⅰ)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(Ⅱ)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos (sn x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.(Ⅰ)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(Ⅱ)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．凉州区2014届高三年级第一次诊断考试数 学 试 卷（文）答案一 、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）∵0≠d ，∴d a =1 ①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+ ②由①②得：531=a ，53=d …………………5分∴n n a n 5353)1(53=⨯-+= …………………6分(Ⅱ))1111(925)1(1925)1(5353122+-+=+++⋅=+⋅++=n n n n n n n n n n b n…………………8分 ∴)]111()3121()211([925321+-++-+-+=++++n n n b b b b n12925)111(9252++⋅=+-+=n nn n n …………………12分（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：265418=⨯人； 第3组：365427=⨯人； 第4组：16549=⨯人 …………………8分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点，∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BB 1 CC 1,∵B 1D平面 BB 1 CC 1,∴AD ⊥B 1D …………………4分 （Ⅱ）解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. ∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C. ………………………… 7分 ∵DE平面AB 1D ，A 1C平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………9分113113C AB D B ADC ADC V V S BB --==⨯= ……12分20.(本题满分12分)解：（Ⅰ）∵短轴短轴长为4，∴2b=4,解得b=2.又抛物线2y =的焦点为（错误！未找到引用源。

(推荐时间：50分钟)1． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值． 解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ. 由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故OA →·OB →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 2． 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3， 所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.3． 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，棱AA 1与底面ABC 垂直，△ABC为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ， BC 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：平面AB 1F ⊥平面AEF .证明 (1)取AB 中点G ，连接DG ，GC .因为D 是AB 1的中点，所以DG ∥BB 1，且DG ＝12BB 1， 又因为BB 1∥CC 1，CE ＝12CC 1， 所以DG ∥CE 且DG ＝CE ，所以四边形DGCE 为平行四边形，所以DE ∥GC . 又DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，F 为BC 的中点， 所以BC ⊥AF ，由题意知B 1B ⊥平面ABC ，所以B 1B ⊥AF .又因为B 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面B 1BF ，所以AF ⊥B 1F .设AB ＝AA 1＝2，则B 1F ＝6，EF ＝3，B 1E ＝3， 所以B 1F 2＋EF 2＝B 1E 2，所以B 1F ⊥EF ， 又AF ∩EF ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF . 又因为B 1F ⊂平面AB 1F ，所以平面AB 1F ⊥平面AEF .4． 已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ， ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4， ② 由①，得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2. 当q ＝1时，不合题意舍去；当q ＝2时，代入②，得a 1＝2.则a n ＝2·2n －1＝2n . (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0， 所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0， 即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10. 又n ∈N *，故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10.。

甘肃省武威市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(三)文(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ，则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16.(2) 设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角， 可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值． (1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点， 得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ， ∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC.(3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半， 三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n项和为S n ，且S n ＝2b n －2. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220，即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， 当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2) ＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． 即b n ＝2n .(2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ，T n ＝12＋322＋…＋2n －12n③ 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1④∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n ＋32n .。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B＝{y |y ≥0}，则A ×B 等于( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)答案 A解析 由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]． 所以A ×B ＝(2，＋∞)．2． 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C3． 给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④答案 D解析 当a 平行于b 所在平面时，a ，b 可能异面，故①不正确；当a 、b 不相交时，可能a ∥b ，故③不正确；由此可排除A 、B 、C ，故选D.4． 设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于 ( )A.π2B ．－π2C.π4D ．－π4答案 A解析 由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故α－β＝－π2，即β－α＝π2.选A.5． 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2， 所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.6． 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3B ．2C. 5D. 6答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0. 由题意有y 0x 0＝2x 0，又y 0＝x 20＋1，解得x 20＝1，所以ba ＝2，e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.7． 先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m ，n ，则mn 是奇数的概率是( )A.12B.13C.14D.16答案 C解析 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P ＝936＝14.8． 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．4 2B ．2 2C.423D.223答案 B解析 该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，由三棱柱体积公式V ＝S 底h 可得V＝2 2.9． 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递减 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4上单调递增 答案 A解析 变形f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. 又f (－x )＝f (x )，得函数为偶函数，故φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π4.又T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 结合图象知A 正确．10．(2013·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.11．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞)答案 A解析 画出可行域，可知z ＝x ＋my 在点⎝⎛⎭⎫11＋m ，m1＋m 取最大值，由11＋m ＋m 21＋m<2解得1<m <1＋ 2. 12．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0， 构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数．又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4， 即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1. 二、填空题13．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________． 答案 ±3解析 圆心O 到直线y ＝kx －1的距离d ＝1k 2＋1＝12， ∴k ＝±3.14．若执行如图所示的程序框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．答案 23解析 通过框图可以看出本题的实质是求x 1，x 2，x 3的方差，根据方差公式得 输出S ＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.15．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [2－3，2＋3]解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可转化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则圆心到直线l 的距离应小于等于2， ∴|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，∴⎝⎛⎭⎫a b 2＋4⎝⎛⎭⎫a b ＋1≤0，∴－2－3≤a b ≤－2＋3，又直线l 的斜率k ＝－ab ，∴2－3≤k ≤2＋3，即直线l 的斜率的取值范围是[2－3，2＋3]． 16．已知如下等式：3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(33＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．答案17[]3n ＋1－(－4)n ＋1。

甘肃省武威市铁路中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题注意事项：所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不予记分。

第I 卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1．身高与体重有关系可以用________分析来分析 ( )． A ．残差 B ．回归 C ．等高条形图 D ．独立检验2．数列2，5，10，17，x ，37，…中的x 等于 ( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．复数1－i 的虚部是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i4．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数5．下列是对三角形的分类结构图，其中不正确的是 ( )6．已知扇形的弧长为l ，半径为r ．类比三角形的面积公式：21S 底×高，可推知扇形的 面积公式S 扇形等于 ( )A ．22rB ．22lC ．12lrD ．lr9．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是 ( )． A ．相关系数r 变大B ．相关指数R 2变大C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强10．阅读右图所示的程序框图，它的输出结果是 ( )A ．0B ．4π C ．π D ．1＋4π11．不等式3529x ≤-<的解集为 （ ）A ．[2,1)[4,7)- B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-12．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y －＝( )． A ．58.5 B ．46.5 C ．60 D ．75武威铁中2013—2014学年第二学期期中考试答题卡高二数学（文科）第II 卷（非选择题 共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上.13．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 14．当32＜m ＜1时，复数z ＝3m －2＋(m －1)i 在复平面上的对应点位于第________象限．15．函数46y x x =-+-的最小值为 .姓名 班级 考场_______________一、选择题（请用2B 铅笔填涂）16．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，那么m的值可以是() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 D解析因为A∪B＝R，所以m>1，故选D.2．已知z1－i＝2＋i，则复数z的共轭复数为() A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i答案 A解析z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，复数z的共轭复数为3＋i，故选A.3．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的16人中，编号落入区间[1,160]的人做问卷A，编号落入区间[161,320]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为() A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析本题考查系统抽样知识．采用系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，抽取的号码成等差数列8,38,68，…，458，编号落入区间[161,320]的人做问卷B人数5人．4．若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是() A．10 B．100 C．200 D．400答案 B解析∵{1b n}为“调和数列”，∴{b n}为等差数列，b1＋b2＋…＋b9＝90，b4＋b6＝20，b4·b6≤100.5．下图为一个算法的程序框图，则其输出的结果是()A ．0B ．2 012C ．2 011D ．1答案 D解析 本题考查程序框图．根据算法的程序框图可知，p 的值周期出现，周期为4，所以p ＝1.6． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C的一条渐近线，则C 的方程为 ( )A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝1 答案 A解析 画出图形分析知，双曲线焦点在y 轴上， 设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∴ab＝2，① 4a 2－1b 2＝1；②解得a 2＝2，b 2＝1.选A.7． 函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )答案 C解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数， 所以f (x )·g (x )也为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，D ； f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，故选C.8． 等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0， 即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C.9． (2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.10．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， F 2A →＝⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ，F 2B →＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a .F 2A →·F 2B →＝4c 2－⎝⎛⎭⎫b 2a 2>0，e 2－2e －1<0,1<e <1＋ 2.11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)答案 C解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，0≤y ≤12，画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以得－1<－a <1，得实数a 的取值范围是(－1,1)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)答案 D解析 函数f (x )的图象如图所示，结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根，需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 二、填空题13．已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －2－ 3解析 由sin 2α＝sin α，可得2sin αcos α＝sin α， 又0<α<π，所以cos α＝12.故sin α＝32，tan α＝ 3. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. 14．已知函数f (x )＝－3x 2＋ax ＋b ，若a ，b 都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f (1)>0的概率是________． 答案2332解析 由f (1)>0得－3＋a ＋b >0，即a ＋b >3. 在0≤a ≤4,0≤b ≤4的约束条件下， 作出a ＋b >3满足的可行域，如图， 则根据几何概型概率公式可得， f (1)>0的概率P ＝42－12×3242＝2332. 15．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案 16π解析 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.16．某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50, 60)，…，[90,100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案 75% 71解析 及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.。

(推荐时间：60分钟)1． 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t,0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．解 (1)由题知a ＝2，又e ＝12，所以c ＝1，b ＝ 3. 所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4， ① (NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA →|＝|NB →|⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得：(y 1－y 2)[ (m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4， 所以实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 2． 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －m x有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)， 1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －m x有解，即e x x <x －m 有解， 因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x2x ＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ， 因为x ＋12x ≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1， 所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0. 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0.3． 已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2(f ′(x )是f (x )的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <1n(n ≥2，n ∈N *)． 解 (1)当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x(x >0) 解f ′(x )>0得x ∈(1，＋∞)；解f ′(x )<0得x ∈(0,1)．f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．(2)∵f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)， ∴f ′(2)＝－a 2＝1得a ＝－2，f (x )＝－2ln x ＋2x －3， g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0g ′(3)>0. 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(1)<0g ′(2)<0g ′(3)>0，∴－373<m <－9. (3)证明如下：由(1)可知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0， ∴0<ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立．∵n ≥2，n ∈N *，则有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1n. ∴ln 22·ln 33·ln 44·…·ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1n(n ≥2，n ∈N *)． 4． 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，且离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为4π3. (1)求椭圆的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量F 1A →与F 1C →共线，F 1B →与F 1D →共线，且AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解 (1)由几何性质可知：当△PF 1F 2内切圆面积取最大值时，即S △PF 1F 2取最大值，且(S △PF 1F 2)max ＝12·2c ·b ＝bc . 由πr 2＝43π得r ＝233. 又C △PF 1F 2＝2a ＋2c 为定值，S △PF 1F 2＝r 2C △PF 1F 2， 综上得bc 2a ＋2c ＝33； 又由e ＝c a ＝12，可得a ＝2c ，即b ＝3c ， 解得c ＝2，b ＝23，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)①当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时， |AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋2)x 216＋y 212＝1 消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2. 代入弦长公式得：|AC →|＝|AC | ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(k 2＋1)3＋4k 2， 同理由⎩⎨⎧ y ＝－1k (x ＋2)x 216＋y 212＝1消去y 可得⎝⎛⎭⎫3＋4k 2x 2＋16k 2x ＋16k2－48＝0， 代入弦长公式得：|BD →|＝24(k 2＋1)3k 2＋4， 所以|AC →|＋|BD →|＝168(k 2＋1)2(3＋4k 2)(4＋3k 2) ＝16812＋1k 2＋1－1(k 2＋1)2令1k 2＋1＝t ∈(0,1)，则－t 2＋t ＋12∈⎝⎛⎦⎤12，494， 所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14， 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 若集合A ＝{x |0≤x ＋3≤8}，B ＝{x |x 2－3x －4>0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－3≤x <－1或4<x ≤5}B ．{x |－3≤x <4}C ．{x |－1<x ≤5}D ．{x |－1<x <4} 答案 A解析 A ＝{x |－3≤x ≤5}，B ＝{x |x <－1或x >4}，由数轴可知A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或4<x ≤5}．2． 复数z ＝4－3i1－2i的虚部是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 C解析 z ＝4－3i 1－2i ＝(4－3i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝4＋8i －3i ＋65＝2＋i.3． 甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲、乙两组数据的中位数依次是( )A ．83,83B ．85,84C ．84,84D ．84,83.5 答案 D解析 甲组数据的中位数是84，乙组数据的中位数是83.5. 4． 函数y ＝2|log 2x |的图象大致是( )答案 C解析 当log 2x ≥0，即x ≥1时，f (x )＝2log 2x ＝x ； 当log 2x <0，即0<x <1时，f (x )＝2－log 2x ＝1x.所以函数图象在0<x <1时为反比例函数y ＝1x 的图象，在x ≥1时为一次函数y ＝x 的图象． 5． 已知a >b >1，c <0，给出下列四个结论：①c a >c b ；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )；④b a －c >a b －c . 其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 a >b >1⇒1a <1b ，又c <0，故c a >cb，故①正确；由c <0知，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，故a c <b c .故②正确． 由已知得a －c >b －c >1. 故log b (a －c )>log b (b －c )．由a >b >1得0<log a (b －c )<log b (b －c )， 故log b (a －c )>log a (b －c )．故③正确．6． 已知双曲线x 225－y 29＝1的左支上一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是线段MF 2的中点，O 是坐标原点，则|ON |等于( )A ．4B ．2C ．1D.23答案 A解析 设双曲线左焦点为F 1，由双曲线的定义知， |MF 2|－|MF 1|＝2a ，即18－|MF 1|＝10， 所以|MF 1|＝8.又ON 为△MF 1F 2的中位线， 所以|ON |＝12|MF 1|＝4，所以选A.7． 如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A.12B ．2C ．－1D ．－12答案 A解析 k ＝1时，S ＝2， k ＝2时，S ＝12，k ＝3时，S ＝－1， k ＝4，S ＝2，……所以S 是以3为周期的循环． 故当k ＝2 012时，S ＝12.8． 若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0(n >0)y ≥0确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m 的值为 ( )A. 3 B ．－33C.52D ．－73答案 B解析 根据题意，三角形的外接圆的圆心在x 轴上， 则直线x ＝my ＋n 与直线x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1， 即m ＝－33. 9． 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ， a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )A ．[9,10)B ．[7,8)C ．(9,10)D ．[7,8]答案 B解析 注意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )(x －1)≤0， 因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素之和为28，必有a >1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×(7＋1)2＝28，因此由集合A 中所有整数元素之和为28得7≤a <8， 即实数a 的取值范围是[7,8)．10．已知函数f (x )＝a x －1＋3(a >0且a ≠1)的图象过一个定点P ，且点P 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，且n >0)上，则1m ＋4n 的最小值是( )A ．12B ．16C ．25D ． 24答案 C解析 由题意知，点P (1,4)，所以m ＋4n －1＝0， 故1m ＋4n ＝m ＋4n m ＋4(m ＋4n )n ＝17＋4n m ＋4m n ≥25， 所以所求最小值为25.11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由图可知函数的最大值为2， 故A ＝2，由f (0)＝2可得sin φ＝22， 而|φ|<π2，故φ＝π4；再由f ⎝⎛⎭⎫π12＝2可得sin ⎝⎛⎭⎫ωπ12＋π4＝1， 故ωπ12＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即ω＝24k ＋3(k ∈Z )． 又T 4>π12，即T >π3， 故0<ω<6，故ω＝3.12．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 ①显然错误；③容易造成错觉，t max ＝5； ④错误，f (2)的不确定影响了正确性；②正确， 可有f ′(x )<0得到． 二、填空题13．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是________． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆心坐标为(a ，b )，则|b |＝1且|4a －3b |5＝1.又b >0，故b ＝1，由|4a －3|＝5得 a ＝－12(圆心在第一象限，舍去)或a ＝2，故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.14．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为________．答案 12解析 依题意得，该棱锥的体积等于13×(3×4)×3＝12.15．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M .(1)满足∠AMB >90°的概率为________；(2)满足∠AMB >135°的概率为________． 答案 (1)π8 (2)π－28解析 (1)以AB 为直径作圆，当M 在圆与正方形重合形成的半圆内时，∠AMB >90°，所以概率为P ＝π24＝π8.(2)在边AB 的垂直平分线上，正方形ABCD 外部取点O ，使OA ＝2，以O 为圆心，OA 为半径作圆，当点M 位于正方形与圆重合形成的弓形内时，∠AMB >135°，故所求概率P ＝π4×(2)2－12×2×14＝π－28.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝ 22，1＋tan Atan B＝2cb ，则C ＝________. 答案 45°解析 由1＋tan A tan B ＝2c b 和正弦定理得，cos A ＝12，∴A ＝60°.由正弦定理得，23sin A ＝22sin C ，∴sin C ＝22.又c <a ，∴C <60°，∴C ＝45°.。

(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －12x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛2C －π6＝1.∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1，∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B ) ＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6， ∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)如果杉树的树干周长超过60 cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm 到40 cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率． 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株， ∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3． 如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD .(1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ； (2)若SE ＝1，求三棱锥E －SBC 的高．(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE .结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交， 得BC ⊥平面SEF . 由BC 在平面SBC 内， 得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ， 则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3， 所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b nm .(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和． 解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n . ＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b nm 不成立， ∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012)＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b nm 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ， 令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n.(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.。

选择填空限时练选择填空限时练(一)(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 A解析 U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y <12，∴∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.选A. 2． 满足z (2－i)＝2＋i(i 为虚数单位)的复数z 在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 z ＝2＋i 2－i ＝(2＋i )222＋12＝3＋4i 5＝35＋45i.∴z 对应点⎝⎛⎭⎫35，45在第一象限．选A.3． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为 ( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞) 答案 C解析 x ≤0时，由f (－4)＝f (0)得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴x ＝－2，即－b2＝－2，∴b＝4.又f (－2)＝0，∴c ＝4，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)，x 2＋4x ＋4 (x ≤0)，因此f (x )≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1，解得x >0或－3≤x ≤－1.4． 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115 D.3716答案 A解析 直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定 义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故 本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1,0) 和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2. 5． 公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 a 3a 11＝16⇔a 27＝16⇔a 7＝4⇔a 16＝a 7×q 9＝32⇔log 2a 16＝5.6． 以下有关命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，有x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 p ∧q 为假，则至少一个为假，故C 错． 7． 设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题：①c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数；②b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0最多有两个实根． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④答案 C解析 当c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，此时f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．①正确； 当b ＝0，c >0时，f (x )＝x |x |＋c ， 若x ≥0，f (x )＝0无解，若x <0， f (x )＝0有一解x ＝－c ，②正确； 结合图象知③正确，④不正确．8． 若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ，b 的等差中项为12，α＝a ＋1b ，β＝b ＋1a，则α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意知a ＋b ＝1，α＋β＝a ＋1b ＋b ＋1a ＝1＋1a ＋1b ＝1＋1ab ，由a ，b ∈(0，＋∞)，得a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，因而ab ≤14，则α＋β的最小值为5.9． 函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )答案 D解析 由函数解析式得f (x )是奇函数， 故图象关于原点对称，排除A 、B 选项． 根据函数有两个零点x ＝±1，排除C 选项．10．若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.16π3B.19π3C.19π12D.4π3答案 B解析 依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1.设该正三棱柱的外接球半径为R ，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×23＝23，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122＝1912，则该球的表面积为4πR 2＝19π3.11．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 假设方程f (x )＝m 的两个实根x 3<x 4. 由函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列， 可得π2<x 3<x 4<3π2，由题意得x 3＋x 4＝π2＋3π2＝2π，① 2x 3＝π2＋x 4，②由①②可得x 3＝5π6，所以m ＝cos5π6＝－32. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC→＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( )A.263B.433C.463D.233答案 C解析 由题意可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝2，又∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|， ∴|BC →|＝2|AC →|.∴|OC →|＝|AC →|.又∵AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →. ∴|OC →|＝|AC →|＝ 2.如图，在Rt △AOC 中，易求得C (1，－1)，代入椭圆方程得124＋(－1)2b 2＝1⇒b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83.∴c ＝263，2c ＝463.故选C.二、填空题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0，则不等式x ＋xf (x )≤2的解集是________．答案 (－∞，1] 解析 (1)当x ≥0时， 原不等式可化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1，即0≤x ≤1；(2)当x <0时，原不等式可化为x 2－x ＋2≥0， 得⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥0恒成立，即x <0. 综合(1)(2)知x ≤1， 所以解集为(－∞，1]．14．已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF →1|＝3|MF →2|，则此双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x解析 由双曲线的性质可推得|MF →2|＝b ， 则|MF →1|＝3b ，在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF →1|＝c ， cos ∠F 1OM ＝－ac，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－ac ，又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2， 即b a ＝22，因此渐近线方程为y ＝±22x .15．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 由a ⊥b 得，4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232＝6.当且仅当“32x ＝3y ”时， 即y ＝2x 时，上式取“＝”． 此时x ＝12，y ＝1.16．给出以下四个命题，所有真命题的序号为________．①从总体中抽取样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，若记x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，则回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )；②将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ③已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的充分不必要条件；④命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |≥2，则－2<x <2”． 答案 ①②③解析 y ＝cos 2x 向右平移π3得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.。

(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设两集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{y |y ＝x 2}，则用阴影部分表示A ∩B 正确的是( )答案 A解析 A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)， B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,1)，故选A. 2． i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 B 解析 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1.3． 设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1<a 2<a 3，则q >0，且a 1<a 1q <a 1q 2，解得a 1>0，q >1，或a 1<0,0<q <1，所以数列{a n }为递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1<a 2<a 3，所以a 1<a 2<a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．故选C. 4． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12， 所以|a ＋2b |＝2 3.5． 已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析 依题意，①当x >0时， f ′(x )＝2x －1－ln x x 2＝2x 3＋ln x －1x 2，记g (x )＝2x 3＋ln x －1，则函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 注意到g (e －2)＝2e －6－3<0，g (1)＝1>0，函数g (x )在(e－2,1)上必存在唯一零点x 0，e －2<x 0<1，g (x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数； ②当x <0时，f (x )＝x 2－ln (－x )x ，f (－1)＝1>0，结合各选项知，选A.6． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 第一次循环，i ＝1，a ＝2； 第二次循环，i ＝2，a ＝5；第三次循环，i ＝3，a ＝16； 第四次循环，i ＝4，a ＝65>50； ∴输出i ＝4.7． 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数．A 项，偶＋偶＝偶；B 项，偶－偶＝偶，错；C 项与D 项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．8． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB等于( ) A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.9． 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]答案 C解析 OA →·OM →＝－x ＋y ，令z ＝－x ＋y ，做出可行域，求线性规划问题． 10．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.65π cm 3 B ．3π cm 3 C.23π cm 3D.73π cm 3 答案 D解析 由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱的上部去掉一个半径为 1 cm 的半球所形成的几何体，所其体积为V ＝πr 2h －23πr 3＝3π－23π＝73π(cm 3)．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示．为了得到g (x )＝－A cos ωx (A >0，ω>0)的图象，可以将f (x )的图象( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度答案 B解析 由图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝－cos 2x ，代入B 选项得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x . 12．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，则m 的取值范围为( )A ．[0，23]B ．(0，23)C ．(0，23]D ．[0，23)答案 A解析 ∵f (x )在区间(0，π)上是增函数， ∴f ′(x )＝1－2m cos x ＋2(m －12)cos 2x＝2[(2m －1)cos 2x －m cos x ＋1－m ] ＝2(cos x －1)[(2m －1)cos x ＋(m －1)]>0 在(0，π)上恒成立，令cos x ＝t ，则－1<t <1，即不等式(t －1)[(2m －1)t ＋(m －1)]>0在(－1,1)上恒成立， ①若m >12，则t <1－m 2m －1在(－1,1)上恒成立，则只需1－m 2m －1≥1，即12<m ≤23，②当m ＝12时，则0·t ＋12－1<0，在(－1,1)上显然成立；③若m <12，则t >1－m 2m －1在(－1,1)上恒成立，则只需1－m 2m －1≤－1，即0≤m <12.综上所述，所求实数m 的取值范围是[0，23]．二、填空题13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 将sin α－cos α＝12两边平方，得2sin α·cos α＝34，(sin α＋cos α)2＝74，sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 14．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 答案 10解析 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0.所以a m ＝2，则S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.15．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2知f ′(x )＝ax ＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，因为x (2－x )的最大值为1.所以a ≥1.16．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝________. 答案 49解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心， 所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP →||PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.。

中档大题保分练(一)(推荐时间：50分钟)1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(cos(x －B )，cos B )，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，f (x )＝m ·n ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝14. (1)求角B 的值；(2)若b ＝14，BA →·BC →＝6，求a 和c 的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos x ·cos(x －B )－12cos B＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －12cos B＝12(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝12cos(2x －B )， ∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝12， 又∵B 为△ABC 的内角，∴2π3－B ＝π3即B ＝π3. (2)由BA →·BC →＝6，及B ＝π3，得ac ·cos π3＝6，即ac ＝12，在△ABC 中，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 14＝a 2＋c 2－2ac cos π3，a 2＋c 2＝26，从而(a ＋c )2－2ac ＝26，(a ＋c )2＝50， ∴a ＋c ＝5 2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝12a ＋c ＝52，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝22c ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32c ＝22.2． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)均在函数y ＝2x －1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求证：T n <1.(1)解 由条件S nn ＝2n －1，即S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝()2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 又n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式， 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 b n ＝4a n a n ＋1＝4(4n －3)(4n ＋1)＝14n －3－14n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－15＋⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭⎫19－113＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －3－14n ＋1 ＝1－14n ＋1.∵n ∈N *，∴－14n ＋1<0， ∴1－14n ＋1<1，即T n <1.3． 为了了解某居住小区住户的年收入和年饮食支出的关系，抽取了其中5户家庭的调查数据如下表：(1)根据表中数据用最小二乘法求得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝0.31，请预测年收入为9万元家庭的年饮食支出；(2)从这5户家庭中任选2户，求“恰有1户家庭年饮食支出小于1.6万元”的概率． 解 (1)x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝1＋1.3＋1.5＋2＋2.25＝1.6，又b ^＝0.31，代入y ^＝b ^x ＋a ^，解得a ^＝0.05，所以y ^＝0.31x ＋0.05，当x ＝9时，解得y ^＝2.84. 所以年收入为9万元的家庭年饮食支出约为2.84万元．(2)记“年饮食支出小于1.6万元”的家庭为a ，b ，c ；“年饮食支出不小于1.6万元”的家庭为M ，N .设“从5户家庭中任选2户，恰好有1户家庭年饮食支出小于1.6万元”为事件A .所以基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，M )，(a ，N )，(b ，c )，(b ，M )，(b ，N )，(c ，M )，(c ，N )，(M ，N )，共10个基本事件．事件A 包含的基本事件有(a ，M )，(a ，N )，(b ，M )，(b ，N )，(c ，M )，(c ，N )，共6个． 所以P (A )＝610＝0.6.故从5户家庭中任选2户，“恰有1户家庭年饮食支出小于1.6万元” 的概率是0.6.4． 如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且 OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明 (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ， 所以OE ∥平面P AC .因为OM ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ， 所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ， 所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上， 所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC . 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC .因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC .因为BC⊂平面PCB，所以平面P AC⊥平面PCB.。

压轴大题突破练（一)（推荐时间：60分钟）1．已知函数f(x）＝x2－（2a＋1)x＋a ln x(a〉0)．（1)当a＝1时，求函数f（x)的单调增区间;（2）求函数f(x)在区间［1,e]上的最小值．解（1)a＝1时，f(x）＝x2－3x＋ln x，定义域为（0,＋∞)，f′(x)＝2x－3＋错误!，令f′（x）〉0,∴2x2－3x＋1〉0(x>0)，∴0〈x<错误!或x〉1，∴f（x)的单调增区间为错误!,(1,＋∞)．（2)f（x）＝x2－（2a＋1）x＋a ln x，f′（x）＝2x－（2a＋1）＋错误!＝错误!＝错误!.①当0〈a≤错误!时，f（x)在(0,a),错误!上递增,∴f（x)在[1，e］上单调递增，∴f(x）min＝f（1)＝－2a，②当错误!〈a≤1时，f(x)在[1，e］上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝－2a，③当1〈a<e时，f(x)在[1，a)上单调递减，在（a，e）上单调递增，∴f(x)min＝f（a)＝－a2－a＋a ln a。

④当a≥e时，f（x)在[1，e］上递减，∴f(x）min＝f(e)＝e2－(2a＋1）e＋a.综上所述:0<a≤1时，f(x）min＝－2a；1〈a<e时,f(x）min＝－a2－a＋a ln a；a≥e时，f(x)min＝e2－（2a＋1）e＋a.2．已知抛物线x2＝4y，过点A(0,1）任意作一条直线l交抛物线C 于M，N两点，O为坐标原点．（1）求错误!·错误!的值；（2)过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．解(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1,M（x1,y1)，N（x2，y2)，联立方程组错误!消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k, x1x2＝－4,y1y2＝(kx1＋1）(kx2＋1）＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1，故错误!·错误!＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3。

(推荐时间：60分钟)1． 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t,0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．解 (1)由题知a ＝2，又e ＝12，所以c ＝1，b ＝ 3. 所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒ (3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4， ① (NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA →|＝|NB →|⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得：(y 1－y 2)[(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4， 所以实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 2． 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x .(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －m x有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)， 1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －m x有解，即e x x <x －m 有解， 因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x2x ＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ， 因为x ＋12x ≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1， 所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0. 故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0.3． 已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2(f ′(x )是f (x )的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；解 (1)当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x(x >0) 解f ′(x )>0得x ∈(1，＋∞)；解f ′(x )<0得x ∈(0,1)．f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．(2)∵f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)， ∴f ′(2)＝－a 2＝1得a ＝－2，f (x )＝－2ln x ＋2x －3， g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0g ′(3)>0. 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(1)<0g ′(2)<0g ′(3)>0，∴－373<m <－9. 4． 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，且离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2的内切圆面积的最大值为4π3. (1)求椭圆的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量F 1A →与F 1C →共线，F 1B →与F 1D →共线，且AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解 (1)由几何性质可知：当△PF 1F 2内切圆面积取最大值时，即S △PF 1F 2取最大值，且(S △PF 1F 2)max ＝12·2c ·b ＝bc . 由πr 2＝43π得r ＝233. 又C △PF 1F 2＝2a ＋2c 为定值，S △PF 1F 2＝r 2C △PF 1F 2， 综上得bc 2a ＋2c ＝33； 又由e ＝c a ＝12，可得a ＝2c ，即b ＝3c ， 解得c ＝2， b ＝23，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)①当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时， |AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)x 216＋y 212＝1 消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2. 代入弦长公式得：|AC →|＝|AC | ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝24(k 2＋1)3＋4k 2， 同理由⎩⎨⎧ y ＝－1k (x ＋2)x 216＋y 212＝1消去y 可得⎝⎛⎭⎫3＋4k 2x 2＋16k 2x ＋16k2－48＝0， 代入弦长公式得：|BD →|＝24(k 2＋1)3k 2＋4， 所以|AC →|＋|BD →|＝168(k 2＋1)2(3＋4k 2)(4＋3k 2) ＝16812＋1k 2＋1－1(k 2＋1)2令1k 2＋1＝t ∈(0,1)，则－t 2＋t ＋12∈⎝⎛⎦⎤12，494， 所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14， 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。

某某一中2013—2014（Ⅰ）期中考试高三数学试题 文科本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，则 M ⋂N ＝（ ） A ．{2,4,6}B ． {2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ． {1,3,5}2．已知复数z=1+i,则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x > Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >4．下列命题中错误．．的是 （A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5．= 600tan （ ）A ．3B ．3-C ．33D ．33- 6．已知{}n a 为等比数列，若1064=+a a ，则9373712a a a a a a ++的值为 （ ）A ．10B ．20C ．60D ．1007．已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．218．在△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则角B=（ ） A ．6πB ．3πC ．6π或65πD ．3π或32π 9．已知向量(1,2),(4,)a x b y =-=，若a b ⊥，则93x y +的最小值为（ ） A ．23．12 C ．6 D ．3210．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则)12(πf ＝( )A ．0 B. 2 C ．-2 D ．23-11．若非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b ｜，则(A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b ｜ (C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b ｜12．已知a 为常数，函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点)(,2121x x x x <，则A.)(1x f >0, )(2x f >－21B. )(1x f <0, )(2x f <－21C. )(1x f >0, )(2x f <－21D. )(1x f <0, )(2x f >－21某某一中2013—2014（Ⅱ）期中考试高三数学试题 文科第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

某某省某某市铁路中学高考数学专题训练 中档大题保分练(四)文(推荐时间：50分钟)1．已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ， B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos Ccos A .(1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值． (1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32，∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos Ccos A，∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A ＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ， ∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值，S OACB 的最大值为2＋534.2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 s 与18 s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率．解 (1)由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的人数为： 50×0.16＋50×0.38＝27， 所以该班成绩良好的人数为27.(2)由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的有50×0.06＝3(人)，设为x ，y ，z ； 成绩在[17,18)的有50×0.08＝4(人)，设为A ，B ，C ，D ， 设取出的两个成绩为m ，n ，若m ，n ∈[13,14)时， 有xy ，xz ，yz 3种情况；若m ，n ∈[17,18)时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18)内时，A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD zzAzBzCzD共有12种情况．所以基本事件总数为21种，事件“|m －n |>1”所包含的基本事件有12种． 所以P (|m －n |>1)＝1221＝47.3． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，AB ＝2，BC ＝2，且侧面P AB 是正三角形，平面P AB ⊥平面ABCD ，E 是棱P A 的中 点．(1)求证：PC ∥平面EBD ； (2)求三棱锥P －EBD 的体积．(1)证明 在矩形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 交点为O ， 连接EO ，则O 是AC 中点． 又E 是P A 中点，所以EO 是△P AC 的中位线， 所以PC ∥EO .又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC ∥平面EBD .(2)解 取AB 中点H ，连接PH ， 则由P A ＝PB ，得PH ⊥AB .又平面P AB ⊥平面ABCD ，且平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴PH ⊥平面ABCD . 取AH 中点F ，连接EF ，由E 是P A 中点，得EF ∥PH ，EF ＝12PH ，∴EF ⊥平面ABCD . ∴V P －EBD ＝V P －ABD －V E －ABD ＝13S △ABD ·PH －13S △ABD ·EF ， 由题意可求得S △ABD ＝2，PH ＝3，EF ＝32， 则V P －EBD ＝13×2×3－13×2×32＝66.4．设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n .(1)求{a n }的通项公式和S n ； (2)求证：T n <13；(3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由． (1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2. 又因为f (x )＝x 3， 所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13.(3)解 由(2)知T n ＝n3n ＋1，所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3m ＋12＝14·n3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n .当m ＝2时，134＝3n ＋4n ，n ＝16，符合题意；当m ＝3时，199＝3n ＋4n ，n 无正整数解；当m ＝4时，2516＝3n ＋4n ，n 无正整数解；当m ＝5时，3125＝3n ＋4n ，n 无正整数解；当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解；当m≥7时，m2－6m－1＝(m－3)2－10>0，则6m＋1m2<1，而3n＋4n＝3＋4n>3，所以，此时不存在正整数m，n，且1<m<n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m＝2，n＝16，且1<m<n，使得T1，T m，T n成等比数列．。

(推荐时间：60分钟)1． 已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当a <0时讨论函数f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 f ′(x )＝x －2ax ＋a －2＝(x －2)(x ＋a )x (x >0)．(1)当a ＝1时，f ′(x )＝(x －2)(x ＋1)x ，f ′(1)＝－2，∴所求的切线方程为y －f (1)＝－2(x －1)， 即4x ＋2y －3＝0.(2)①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝(x －2)2x ≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当－a <2，即－2<a <0时， ∵0<x <－a 或x >2时，f ′(x )>0； －a <x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减； ③当－a >2，即a <－2时， ∵0<x <2或x >－a 时，f ′(x )>0； 2<x <－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减． (3)假设存在这样的实数a 满足条件，不妨设x 1<x 2. 由f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 知f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1成立，令g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x －2x ，则函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )＝x －2ax－2≥0，即2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1在(0，＋∞)上恒成立． ∴a ≤－12，故存在这样的实数a 满足题意，其范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 2． 已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ于点M ，设点M 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A 、B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ∈⎝⎛⎭⎫35，45，若弦AB 的中点为R ，求直线OR 斜率的取值范围． 解 (1)由题意，得|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ | ＝|CQ |＝4>23，所以点M 的轨迹是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)， 由题意，直线l 的斜率不可能为0， 故可设直线l ：x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1消去x ，得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m2.S ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2m 2＋3m 2＋4，由S ∈⎝⎛⎭⎫35，45，解得1<m 2<6， 即m ∈(－6，－1)∪(1，6)． 因为R (x 0，y 0)是AB 的中点，所以y 0＝y 1＋y 22＝－m 4＋m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋m 2. 故直线OR 的斜率k ＝y 0x 0＝－m 4∈⎝⎛⎭⎫－64，－14∪⎝⎛⎭⎫14，64.3． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x <1时，f (x )＝－x 3＋x 2，由(1)，知函数f (x )在[－1,0]和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减， 在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0， 所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0； 当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x ) max ＝a . 综上所述，当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2. 4． 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重合． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过A 作椭圆C 的两条动弦AB 、AC ，若直线AB 、AC 的斜率之积为14，试问直线BC 是否经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵2p ＝4，∴p ＝2，抛物线的焦点为F (1,0)， ∴椭圆的一个焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又∵c a ＝22，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0,1)．当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0， 设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)， k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意． 故直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋m ， 并代入椭圆方程，整理得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得 2k 2－m 2＋1>0，②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2(m 2－1)1＋2k 2，由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即4(kx 1＋m )(kx 2＋m )－4(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋4＝x 1x 2， 亦即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0， 2(4k 2－1)(m 2－1)1＋2k 2－16k 2m (m －1)1＋2k 2＋4(m －1)2＝0， 整理得(m －1)(m －3)＝0，又∵m ≠1，∴m ＝3，此时直线的方程为y ＝kx ＋3， 所以直线BC 恒过一定点P (0,3)．。