数学模型与数学建模.ppt

讲者：李教授，XX大学数学系副教授。
感谢您的聆听！
数学建模的基本步骤
1
研究问题
了解和分析实际问题，明确目标和需求。
2
建立模型
根据实际问题，选择适当的数学模型，并进行建模。
3
求解模型
利用数学工具和方法求解建立的数学模型。
4
模型分析
对求解的结果进行分析和评价，寻找优劣及改进方案。
数学建模中的数学工具及其应用
优化方法
优化方法可以帮助 我们寻找问题的最 优解或最佳决策。
统计学方法
统计学方法可以帮 助我们分析和理解 数据，揭示其中的 规律和趋势。
线性代数
线性代数在数学建 模中有广泛的应用， 如矩阵运算、线性 方程组的求解等。
概率论与数 理统计
概率论与数理统计 可以帮助我们分析 和预测随机现象， 并进行决策和风险 评估。
结论
数学建模的重要性
数学建模是将数学与实践相结合的要途径，对推动科学和社会的发展具有重要意义。
《数学建模讲座》PPT课件
# 数学建模讲座PPT课件 ## 概述 本讲座将介绍以下内容： 1. 什么是数学建模 2. 数学建模的意义 3. 数学建模的基本步骤 4. 数学建模中的数学工具及其应用
什么是数学建模
1 定义
数学建模是指利用数学语言和工具对真实世界中的问题进行化简、抽象和数学描述的过 程。
将知识转化为实践的能力
通过数学建模，我们可以将抽象的数学理论应用于实际问题的求解与分析。
建立对世界的更深理解
数学建模可以帮助我们深入分析问题，寻找最佳解决方案，从而提高对世界的理解。
Q&A
1 时间
讲座时间：2021年6月15日，上午10点至11点。

6
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
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《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介

y
•
a
o
•
•
b
x
CHENLI
19
4 模型求解
证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由
2
g(0)0,f(0)0,可得
f()0,g()0,
2
2
令 h ( ) f ( ) g ( )则 , h ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) 0 ,
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分类： 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。
CHENLI
13
5）按建模目的分类： 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。
6）按对模型结构的了解程度分类：
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等。
优决策控制等。
6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。
CHENLI
11
模型的分类
1）按变量的性质分类：
离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
•要有严密的数学推理，模型本身要正确；
•要有足够的精确度。
4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理
以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方
法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计
算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数
近似、有效数字等）。
CHENLI
10
5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最

和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。

投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法

数学建模案例解析
04
经济学案例：供需平衡模型
供需平衡理论
通过数学语言描述市场需求与供给之间的平衡关 系，涉及价格、数量等关键变量。
建模过程
收集相关数据，建立需求函数和供给函数，通过 求解方程组找到均衡价格和均衡数量。
模型应用
预测市场趋势，分析政策对市场的影响，为企业 决策提供支持。
物理学案例：热传导模型
Lingo在数学建模中的应 用案例
展示Lingo在数学建模中的实 际应用，如线性规划、整数规 划、非线性规划等优化问题的 求解。
其他数学建模相关软件与工具简介
Mathematica软件
简要介绍Mathematica的特点和功能，以及其 在数学建模中的应用。
SAS软件
简要介绍SAS的特点和功能，以及其在数学建模 中的应用。
数据预处理
包括数据清洗、缺失值处 理、异常值检测等，保证 数据质量。
数据可视化
利用图表、图像等手段展 示数据，便于理解和分析 。
数据分析方法
如回归分析、时间序列分 析、聚类分析等，用于挖 掘数据中的信息和规律。
数学建模常用方法
03
回归分析
线性回归
通过最小二乘法拟合自变量和因 变量之间的线性关系，得到最佳
模型应用
预测舆论走向，分析社会热点问题，为政府和企业提供决策支持。
数学建模软件与工
05
具介绍
MATLAB软件介绍及使用技巧
MATLAB概述
简要介绍MATLAB的历史、功能和应用领域 。
MATLAB常用函数
列举并解释MATLAB中常用的数学函数、绘 图函数、数据处理函数等。
MATLAB基础操作
详细讲解MATLAB的安装、启动、界面介绍 、基本语法和数据类型等。

( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。

•对任意的，有f()、 g()
•至少有一个为0，
16
本问题归为证明如下数学命题： 数学命题:（本问题的数学模型）
已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任意的 ，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在0， 使f(0)= g(0)=0
模型求解 证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由 f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0
的解答
解
释
数学模型 的解答
12
实践
理论
实践
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成 数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答
将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 象 用现实对象的信息检验得到的解答
13
4、建模实例：
例1、椅子能在不平的地面上放稳吗？
• 模型假设 • 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面
• 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模 有关的概念：
3
• 原型（Prototype）
• 人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、 管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、 实际问题等。
• 模型（Model)
• 为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、 提炼而构成的原型替代物称为模型。模型有 直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、 数学模型等。
• 一个原型可以有多个不同的模型。
4
数学模型：
由数字、字母、或其他数学符号组成、描 述实际对象数量规律的数学公式、图形或算 法称为数学模型
数学建模：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
5

数学建模
• 数学建模简介 • 大学生数学建模竞赛 • 数学建模的步骤 • 初等数学模型
• 数学建模简介 1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假 设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表 达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即 用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、 积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研 究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
• 大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的， 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。经过两 三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学 在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与 应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我 国10城市的大学生数学模型联赛。 • 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一 新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中 国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学 建模竞赛，每年一次。十几年来这项竞赛的规模 以平均年增长25%以上的速度发展。
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙 T 建模 热传导定律 Q k d 双层玻璃模型 T T T T T T 1 a a b b 2 Q k k k 1 1 2 1 d l d
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2019年795个 学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2019年竞赛的选手达到25000多名。 2019年竞 赛的选手达到25000多名。 • 2019年全国967所高校一万余支队伍、三万多名 大学生参加2019年度的数学建模竞赛，山东省有 59所高校，近七百支队参加竞赛。

2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见

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1. 1数学模型与数学建模
• 从而解释或描述某一系统或过程.数学模型对我们其实并不陌生.如牛 顿第二定律F=ma就是一个典型的数学模型;欧姆电路定律I=U/R也是 一个数学模型;历史上著名的七桥问题的答案更是一个巧妙的数学模 型。
• 七桥问题18世纪东普鲁士哥尼斯误被普列格尔河分为四块.它们通 过七座桥相互连接(图1. 2).当时.城里的市民热衷于这样一个游 戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发.经每座桥一次且仅一次到 出发点?实时控制，其控制过程原理方框图 如图8-1所示。由A/D转换器把由传感器采集来的模拟信号转 换成为数字信号，送计算机处理，当计算机处理完数据后， 把结果或控制信号输出，由D/A转换器转换成模拟信号，送 执行元件，对控制对象进行控制。可见，ADC和DAC是数字 系统和模拟系统相互联系的桥梁，是数字系统的重要组成部 分。
科的专门知识外.还常常需要较广阔的应用数学方面的知识.以开拓思 路.
• N模型求解本环节对建立的模型可以采用解方程、问图形、证明定
理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法.特别是计
算机技术进行求解.确定模型所涉及关键参量的结果.
• V模型分析对模型结果及算法进行理论上的分析.
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1. 1数学模型与数学建模
• 初始状态:x(0)=0,y(0)=h.x‘(0)=vcos0,y'(0)=vsin0.但如果考虑空气 阻力.问题的理解似乎并不那么简单.比如:空气阻力和什么因索有关? 关系如何?阻力对投掷距离的影响怎样?如果考虑这些附加问题会对建 立模型
• 那么.为什么还要再根据实际问题不断去修正、完善数学模型呢?实 际中.建立问题的模型不一定一次就能成功.不成功时自然需要根据实 际问题对模型加以改进、调整.最终让模型接近现实原形.否则.建立不 能反映实际状况的模型又有什么用呢?然而·模型只能近似描述实际问 题.不能苛求与真实事物完全吻合.

二、解答数学模型问题的一般步骤
（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景； （2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模
型、几何模型、概率模型、统计模型等）; （3）求解数学问题，获得数学模型的解答； （4）回到实际问题，检验模型，解释结果。
三、初中数学建模的几种题型
1、建立“方程(组)”模型 2、建立“不等式(组)”模型 3、建立“函数”模型 4、建立“几何”模型 5、建立“概率”与“统计”模型
数学建模（第一课）

一、数学模型思想在初中数学中的意义
所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方 法对所要解决的实际问题进行的一种刻画 。一般地，通过建立 数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。
数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并 进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时， 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
现实生活中同样也广泛存在着数量之间的 不等关系。如市场营销、生产决策、统筹 安排、核定价格范围等问题,可以通过给出 的一些数据进行分析，将实际问题转化成 相应的不等式问题，利用不等式的有关性 质加以解决。
例9、小明准备用50元钱买甲、乙两种饮料 共10瓶。已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶 4元，则小明最多能买多少瓶甲饮料？
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升 高3cm；
（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，
得：
解得： m 4

n

6
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6
个．
方法归纳：本题考查了列一元一次方程和列二元 一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组

2019/3/25 信息工程大学 韩中庚
数学技术= 数学建模+科学计算
19
3、数学模型无处不在
计算机技术
数学模型宝库
航空航天技术 工程设计技术
工程制造技术 政治、经济、社会、 军事等信息技术
2019/3/25
信息工程大学 韩中庚
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3、数学模型无处不在
实际中，要用数学知识去解决实际问题，就一 定要用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问 题，这种刻画的数学表述就是一个数学模型。
第1章 数学建模入门
主要内容
数学建模与能力培养； 数学模型无处不在；
数学模型与数学建模； 数学建模的案例分析； 几个数学建模问题。
2019/3/25 信息工程大学 韩中庚 2
1、数学建模与能力培养
• 数学建模越来越火了！
• 关心的人越来越多了！ • 社会关注越来越多了！ • 参与的人越来越多了！ • 文章成果越来越多了！ • 出版的书越来越多了！ • 竞赛规模越来越大了！ • 竞赛水平越来越高了！ • 竞赛获奖越来越难了！
2019/3/25 信息工程大学 韩中庚 14
2、数学建模的方法
（4）如何做好数学建模？
Mathematical modeling cannot be learned by reading books or listening to lectures, but only by doing!---Practice!
－－－COMAP：Solomon A. Garfunkel
2019/3/25
信息工程大学 韩中庚
15
3、数学模型无处不在
• 21世纪是知识经济的时代，信息的社会； • 当今社会正在日益数学化； • 数学无处不在已成为不可争辩的事实；