【学习课件】第三章工业机器人运动学-3逆运动学

3.6.1 D-H参数法物体
Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为关节链中的每一个杆 件建立坐标系的矩阵方法，即D-H参数法。
1.连杆坐标系的建立
连杆坐标系规定如下（参见图）： zi坐标轴沿i+1关节的轴线方向。 xi坐标轴沿zi和zi-1轴的公垂线，且指向离开zi-1轴的方向。 yi坐标轴的方向构成xiyizi右手直角坐标系。
各连杆坐标系建立后,n-1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转 来实现。从n-1系到n系的变换步骤如下:
(1) 令n-1系绕Zn-1轴旋转θn 角, 使Xn-1与Xn平行, 算子为 Rot(z,θn)。
(2) 沿Zn-1轴平移dn, 使Xn-1 与Xn重合, 算子为Trans(0,0,dn)。
(3) 沿Xn轴平移an, 使两个坐 标系原点重合, 算子为 Trans(an,0,0)
cosi


sini
0

0
-sinicosi cosicosi
sini
0
sinisini -cosisini
cosi
0
aicosi
aisini

di 1

第2章 工业机器人运动学
实际中,多数机器人连杆参数取特殊值,如αn=0或dn=0,
可以使计算简单且控制方便。
工业机器人运动学
工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵
一. 连杆参数及连杆坐标系的建立 1、连杆参数 描述该连杆可以通过两个几何参数: 连杆长度an和扭角αn。
图 2-10 连杆的几何参数
第2章 工业机器人运动学
描述相邻杆件n与n-1的关系参数的两个参数： 连杆距离dn和连杆转角θn

规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,

第三章 工业机器人的运动学-3
主要内容
数学基础——齐次坐标变换
机器人运动学方程的建立（正运动学）
机器人逆运动学分析（逆运动学）
三、逆运动学方程
（ Inverse Kinematic Equations ）
3.1 引言 3.2 逆运动学方程的解 3.3 斯坦福机械手的逆运动学解 3.4 欧拉变换的逆运动学解
根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可
求出关节变量θn或 dn。
3.3 斯坦福机械手的逆运动学解
（ Inverse solution of Stanford manipulator）
在第三章我们推导出 Stanford Manipulator 的运动方程和各关节齐次变换式。 下面应用式（3.2）～（3.6）进行求解：
x y x y x y
－ ＋
y
x y
＋ ＋
θ x
－ －
＋ －
就不难确定欧拉角所在的象限。
为 此 ， 我 们 采 用 前 节的 方 法 ， 用 Rot (z, ø － 1 左 乘 式 ) （3.31）有 Rot－1(z,ø T ＝ Rot (y, θ) Rot (z, ψ) ) （3.46）
图3.1 正切函数所在象限
nx n T6 y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
3.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations）
(3.10) (3.11) (3.12)
1T

03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：