从算术思维到代数思维的过渡

从算术思维到代数思维的过渡小学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的。

这个过渡对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战,而且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养。

正如吴正宪老师说的，“揪着今天，你得想着明天，老师心中得一定有整个小学数学阶段中对知识网络和知识的发展很清晰，这样才能自觉地帮助学生，奠定好基础，为学生后续发展最准备。

”那么如何培养学生从算术思维过渡到代数思维呢？从吴正宪老师的讲座“从算术思维到代数思维的过渡”找到了答案！吴老师站在我们一线老师的阵营，讲到了我们一线老师最头痛也是最需要解决的问题。

她以怎样引导学生认识方程为例，讲述了数学教学中如何从算术思维过渡到代数思维。

首先，她向我们提出了三个问题：能顺利辨认方程的样子就是认识方程了吗？能流利地说出方程的定义就是理解方程思想了吗？方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？深刻理解方程的意义？那什么是方程呢？数学教科书说“含有未知数的等式叫做方程”。

作为老师，让学生记住这句话，应该不是一件难事。

但是真正建立方程思想却需要一个漫长的体验、理解、感悟的过程。

在教学中，作为一线教师，我们深深的体会到：学生往往片面认为含有字母的等式才是方程。

于是，找字母、找等号成了学生判断方程的标准。

难道未知数等价于字母吗？“核桃质量+20=50”，“20+□=100”……这些就不是方程吗？式子中的“文字”、“符号”都是学生在接受用字母表示数之前很重要的认知基础。

学生为什么在学习方程时更多的偏向于字母呢？偏重于字母就说明学生的认知已经达到更高的抽象层面了吗？从学生不接受等式中的文字和图形符号，可以推断学生对用字母表示数理解还比较片面，对代数思想没有达到较深刻理解的地步。

既然学生对参与在等式中的字母感受得还不够，我们也可以推测，学生在一些情境中寻求等量关系列方程显得困难是相对必然的现象了。

从（方程）一课谈及“算术〞走向“代数〞——读（新课程小学数学教学实践研究）有感近日，读了（新课程小学数学教学实践研究）第41——57页的内容，里面谈及方程思想，颇有感触，借我执教过的（方程）一课谈及从“算术〞走向“代数〞。

（方程）这节课是（义务教育课程标准实验教科书数学）四年级下册第七单元第七单元的内容。

新世纪小学数学教材依据“由浅入深、循序渐进、螺旋上升〞的教学原则，设置了“天平称物〞等三个问题情境，让学生经历从具体到抽象的过程，逐渐学会用方程表示简单情境中的等量关系。

作为数学思想之一的方程思想，其核心在于建模、化归。

在教学实施时，我先启发学生用自己的言语对事情进行描述，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，这也正是建模的过程。

来看几个小片段：片段一：师：老师今天还带来了一些糖果，请认真瞧啦，我把这包糖果和一个50克的砝码放在天平左盘，在右盘放一个200克的砝码。

天平怎么样了？生：平衡了。

师：谁能找出其中的相等的数量关系？生：50克砝码的质量+糖果的质量=200克。

师：如果用一个式子表示这组相等的数量关系。

该怎样表示呢？请先独立思考，然后在练习本上写一写。

写好的同学可以小声地和同桌交流一下。

师：谁情愿第—个把你写的说给大家听？生1：200-50=150，150+50=200。

师：哦，你是先把糖果的质量算出来，再用一个式子表示相等关系对吗？有不同的表示方法吗？生2：χ+50=200。

〔板书：χ+50=200〕师：能向大家解释一下你写的式子吗？生：这袋糖果的质量我不了解，所以用χ表示，因为糖果的质量+50克砝码的质量是200克，所以我这样表示。

师：表达很完整！想到用χ表示我们不了解的数，好主意！不了解的数也就是“未知数〞。

〔板书：未知数〕未知数只能用χ表示吗？是的，未知数还可以用别的字母表示，但一般情况下，人们使用χ、Y、Z等字母代表未知数。

现在我们比拟一下两种表示方法，你认为那个式子更简单？生齐答：χ+50=200。

如何将学生的算术思维转化为代数思维作者：连丹丹来源：《考试与评价》2019年第09期【摘要】学生一直习惯用算术的方法即逆思考来解决问题，而突然扭转学生的思维，让学生顺向思考，这是学生思维的一次质的飞跃，是教学的难点。

通过由算术法推想方程法，初步建模;在看书中梳理明确解决问题的方法;在质疑中明确用解方程解决问题的价值，逐步使学生将算术思维转化为代数思维，从而选择合理的方法解决问题。

【关键词】逆向 ;顺向 ;算术方程 ;读书从一年到五年，近五年的时间里，学生一直习惯于用算术的方法即逆思考来解决问题。

而突然扭转学生的思维，让学生顺向思考，怕是一时半会儿难以实现。

就要学习用方程法解决问题了，如何尽快让学生理解方程法，并把自己的思维顺转过来，这是最关键的。

因此我设计了关于用方程法解决实际问题的第一课，并且邀请同年组的教师一起研究。

主要想突出：1. 在算术法的基础上推想出方程法，明确什么是方程？2. 实际事例中感受方程法。

3. 知道用方程法解决问题的方法。

一、由算术法推想方程法，初步建模。

出示一个这样的问题：小刚去年身高144厘米，今年身高增加到153厘米。

小刚身高增加了多少厘米？让学生说出信息、问题。

根据学生回答后，我及时将知识整合、梳理：“题中的信息和问题都叫数量。

‘信息’是已经知道的叫已知数量，简称已知量。

‘问题’是让我们求的是未知量。

求小明身高增加了多少就是已知量与已知量运算，求未知量，像这种解决问题的方法就是我们原来学过的‘算术法’，猜一猜这节课我们学什么？”学生：“用方程解决问题”。

那么我们有必要回忆一下：“什么是方程？”同时板书①未知数②等式。

现在请你根据算术法：已知量与已知量运算求未知量，再结合方程的意义：含有未知数的等式，推想一下你认为用方程法解决问题会是什么样的？学生：已知量与未知量运算等于另一个已知量。

我及时肯定学生的想法。

“真会推想，对了。

数学家发明用方程解决问题的时候就是像你这样推想的！快给这种解决问题的方法起个名吧！”学生：“方程法。

从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。

笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。

关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。

学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。

换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。

1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。

建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。

我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。

拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。

五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。

小学数学算术思维向代数思维的迈进—《用字母表示数》课例分析摘要：数的运算在小学数学中占有重要的一席之地，培养小学生的运算能力和代数思维成为培养小学生学习数学的重要手段之一。

本文通过对小学数学课例的分析更加清晰的解析出如何促使小学数学算数思维培养向代数思维的培养。

关键词：小学数学；算数思维；代数思维；从古至今算数的运算都与我们的生活息息相关，我们也将算数的方法运用于生活的方方面面。

算数之于数学它力求寻找多种的方法去解决生活中各种数量关系。

而代数是意在研究数、数量、关系、结构在数学的计算思想上更加注重强调数量间的关系。

算数于小学数学而言是下学生应该掌握的基本思维方式与技能，是数量关系之间的运算，代数是更高阶层的思考数量之间内在联系及自身结构的运算思维，有助于学生构建丰富的数学运算思维，帮助学生更好地发现、运用、理解数及数量之间的关系。

因此，算数与代数与小学生学数学其存在不同的意义，在小学数学的教学中教师更因该关注小学生算数思维和代数思维之间的关系，同时思考如何推进学生有算数思维想代数思维转化。

一、由课例引发的思考从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，数学家们用了 1200 余年。

而本节课要在40分钟的小学数学课堂中来实现这样伟大的人类认知提升。

《用字母表示数》这节教学内容有两个重点：用字母表示数；用含有字母的式子表示数量关系。

“用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃；从数到代数是数学表征的一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数又是一次抽象。

”小学生以具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主过渡，而抽象逻辑思维在很大程度上依赖于感性经验直接相联系的，从上面的描述中可以看出数据符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，而用字母表示数形成的代数式是对数据符号的再次抽象概括，这种“ 认知的飞跃”与小学生的思维特点成为课堂教学的矛盾体。

因而对于小学生来说，从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，初步体验符号在数学中的作用（形式简洁高度概括），进而建立用字母表示数的数学模型具有一定的挑战性。

从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。

而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。

对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。

例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。

我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。

后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。

二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。

学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。

进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。

在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。

通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。

当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。

鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。

从算术思维向代数思维过渡，是学生认知规律的一次飞跃。

《课程标准》指出“用等式的性质解简单的方程”。

等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。

因此我设计了如下教学环节：
一、创设情境，学生了解等量关系。

我先用了一把1米长粗细均匀的木条横放在手指上，通过这一简单的小游戏使学生明白什么是平衡和不平衡，平衡是左右两边的重量相等。

利用鲜明的直观形象帮助学生理解式子的意思。

二、从日常生活理解等量关系
结合具体情境理解等量关系，会用方程表示简单的等量关系。

此过程实质就是引导学生从算术思维到代数思维的过渡，逐渐把未知的数量当成已知的数量。

三、区分方程和等式。

在学习过程中，展出很多式子，学生通过观察、思考，再在组内交流，发现式子的不同，分类概括。

认识方程的特征，归纳出方程的概念。

四、感受数学与生活的密切联系。

联系生活实际用方程讲故事，感受方程与日常生活的联系，提高对数学的兴趣和应用意识。

五、总结归纳。

引导学生回顾方程建模的过程，进一步帮助学生完成从算术思维到代数思维的过渡。

数学思维训练从算术到代数的过渡数学思维在我们的日常生活中扮演着重要的角色，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。

数学的核心是逻辑思维能力的培养，在学习过程中，从算术到代数的过渡对于锻炼学生的思维能力至关重要。

本文将探讨如何通过算术和代数的过渡来培养学生的数学思维。

1. 算术思维的培养算术是数学学习的基础，也是培养学生数学思维的起点。

在算术学习中，我们可以通过以下几个方面来培养学生的算术思维。

首先，培养学生的数字概念。

数字是算术的基本单位，学生需要理解数字的概念以及数字之间的关系。

通过游戏、实例和实际问题的解决，可以帮助学生更好地理解数字。

其次，培养学生的计算能力。

计算是算术的基本内容，学生需要熟练掌握加减乘除等计算方法。

通过多样化的练习和问题解决，可以提高学生的计算能力。

最后，培养学生的问题解决能力。

算术问题常常涉及实际生活中的情境，学生需要通过数学的思维方式解决实际问题。

教师可以设计一些真实的情境问题，引导学生进行推理和解决。

2. 代数思维的引入代数是算术的延伸和拓展，它在数学学习中起着重要的作用。

代数思维是一种抽象思维能力，通过代数学习可以培养学生的逻辑思维和推理能力。

首先，引入变量的概念。

在代数中，变量是一个重要的概念，它可以表示问题中未知的数或者数之间的关系。

学生需要理解变量的含义和使用方法，通过变量的引入，将问题转化为代数表达式。

其次，培养学生的代数表达能力。

代数表达是将实际问题转化为代数形式的重要方法，学生需要掌握代数式的写法和转化方法。

通过练习和问题解决，可以提高学生的代数表达能力。

最后，培养学生的方程求解能力。

方程求解是代数学习的重点内容，学生需要学会通过方程的设立和运算求解未知数的值。

通过练习和实际问题的解决，可以帮助学生提高方程求解的能力。

3. 从算术到代数的过渡在学习过程中，从算术到代数的过渡是一个逐步深化的过程。

在这个过程中，教师需要通过设计合理的教学内容和方法来帮助学生顺利过渡。

探索数学计算的思维方式从算术到代数的过渡与应用探索数学计算的思维方式：从算术到代数的过渡与应用数学作为一门普遍存在于我们日常生活中的学科，对我们的学习和思维方式具有深远的影响。

在数学的学习过程中，从算术到代数是一个重要的过渡阶段。

本文将探讨这一过渡阶段及其在实际应用中的思维方式。

一、算术基础：解决实际问题的初始阶段在学习数学的初期，我们首先接触到的是算术运算。

算术以四则运算为基础，通过加减乘除等运算符号对数字进行组合和计算，解决实际生活中的简单问题。

算术习题主要侧重于培养学生的计算能力和逻辑思维，让学生熟悉数的性质和运算法则。

例如，求解一个简单的加法问题：“若小明有3个苹果，小红有4个苹果，那么他们一共有多少个苹果？”这个问题通过算术运算符号“+”来表示，让学生将3和4相加，得出答案7。

这是一道简单的算数题，通过运算可以轻松求解。

二、代数的引入：引发思维方式的转变随着数学的深入学习，我们逐渐引入代数的概念。

代数是一门研究数与运算之间关系的数学分支，它以字母和符号表示未知数，并借助方程式和不等式等来描述数的关系和运算规律。

代数的引入使得数学问题更加抽象和普遍化，需要我们逐渐转变思维方式。

代数中的变量和常数是核心概念。

变量用字母来表示，它可以是任意一个未知的数，如x、y、z等。

而常数则是一个固定的数值。

通过将问题中的未知数用变量表示，我们可以建立数学方程来描述问题，并通过解方程来求解未知数。

例如，解方程“2x + 3 = 8”，我们需要找到一个数x，使得将其代入方程后等式两边相等。

通过逆运算，我们可以将已知的常数3移动到等式的另一边，得到“2x = 8 - 3”，进一步简化为“2x = 5”。

最后，将等式两边都除以常数2，得到最终的解x = 2.5。

代数中的方程求解是一种重要的思维方式，有助于我们解决更加复杂的数学问题。

三、从算术到代数的过渡：思维方式的转变与应用从算术到代数的过渡并不是一个突兀的变化，而是一个逐渐深化的过程。

一元一次方程教学的几点建议摘要：一元一次方程的引入，在初中数学教学中占着“奠基”作用的重要地位，同时对学生来说又具有开始接触建模思想的重要意义，所以对这部分内容的教学，必须引起足够的重视。

本文主要阐明了在一元一次方程的教学中特别要注意的几个问题，包括引导学生从算术过渡到代数时思维的转变、要重视方程与实际问题的联系、在一元一次方程教学中对学生的主动性、探究性、独立性、合作性的培养和数学思想渗透教育。

关键词：课堂教学知识传授数学思想能力培养方程是应用非常广泛的数学工具,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位。

一元一次方程是代数中的主要内容之一,更是今后学习其他方程、不等式及函数等知识的“基石”,从数学科本身来看，方程是代数学的核心内容。

正是对于它的研究，从而推动了整个代数学的发展。

所以在进行一元一次方程的教学时，必须注意以下几个问题：一、从算术过渡到代数，要弄清楚方程与算术式的区别代数方程与算术算式的区别在于，体现了解决问题的两种不同方法、不同的思维方向。

用算术方法解实际问题，对于提高分析问题中数量关系的能力有着打基础的作用。

算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只含已知数而不包含未知数；因为算式是对问题解决的一种思维过程的表现形式，是思考如何求解问题答案的思维的结果，所以相比于方程而言显得抽象、深奥。

而代数则是通过设未知数，根据问题中的等量关系列出等式，是含有未知数的等式，即方程。

所以在反映数量关系上，方程相比算术式子较直观，较容易理解，也较容易接受，所以学生理解了这点，学生会有一种“原来方程解比算术式来得更简便”的感觉，从而产生了对方程的兴趣。

二、要重视方程与实际问题的联系，体现数学建模思想方程就是实际问题的抽象，是以实际问题为依托的；方程一旦脱离了实际，就成了无源之水，无本之木。

同时，通过列方程解决问题，这是数学建模的问题；而数学建模的过程实际上是抽象概括的过程。

在数学中，抽象和概括总是结合起来运用的，就是从生动﹑丰富的感性材料中，舍去它们的表象性质，从数量关系或空间形式上经过不同层次，不同水平的抽象﹑概括，引出数学概念建立数学理论，形成数学建模。