第2讲 跨越——从算术到代数

一元一次方程——从算式到方程教学目标1、认识目标：知道什么是一元一次方程，方程的意义。

2、能力目标：经历具体问题抽象出方程，让学生尝试归纳一元一次方程的概念，懂得一元一次方程的含义。

3、情感、态度与价值观：体验数学知识来源于生活，同时又效劳于生活。

培养学生独立思考的习惯，建立方程思想。

教学重难点教学重点：一元一次方程的概念和含义。

教学难点：具体问题转化成方程问题。

学情分析在小学算术中，学生学习了用算式的方法解决实际问题，随之知识的深入，设元直接参与计算，形成方程越来越方便。

本节课是根底，是思想的一个转折点，所以对于学生和认知的继续都有着很重要的意义。

教法教学方法：引导学生对身边事物的观察，倡导学生参与探究归纳，师生互动概述发生过程。

“教无定法教必有法〞，教学方法的得当才能完本钱节课教学目标的有效完成。

根据初一学生的学情和班级学生的不同学情制定人人可用，人人可尽其用的教学方法和环节设计师本节课教法的关键。

综合考虑我设计了上述教学方法。

教学手段：运用多媒体，实现现代化教学手段辅助教学过程学法学生的学法本是教学的最高追求。

首先，教师营造的环境，引导学生进入佳境，从熟悉的到陌生的，让学生下意识的运用自己的学情去探寻未知的领域并形成自己的储藏。

在这个过程中，下意识的学习能力的运用将会使自己开掘更高或更多的能力和知识，也会收获丰富的情感、价值观。

教学过程一、创设情境，思想转变开篇讲述数学开展史，进而引入用字母表示未知数的代数领域，字母可以像数字一样参与计算，引出未知数的伟大意义，从而引入方程思想。

1、讲述算术和方程的不同意义。

2、引出未知数x，丢番图的故事。

二、师生合作，列式总结通过故事，将未知量全部用字母表示。

再通过寻找等量关系，列出等式，总结概念一：方程的概念。

比照发现方程的优点。

三、稳固提升，习题演练出例如题，并通过算术方法和方程方法进行解答感受他们的不同和意义。

小洁：你了解方程吗？讲述方程的知识：1、方程的概念；2、方程的特点；3、方程的元；4、方程的解归纳一元一次方程通过方程的特点归纳出特殊些一类方程：一元一次方程；并分析出它的特点。

从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。

笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。

关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。

学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。

换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。

1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。

建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。

我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。

拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。

五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。

超越数和代数数是数学中的两个重要概念，它们分别指的是不能被方程的整数系数解的数和可以被方程的整数系数解的数。

超越数与代数数的研究对于数论和代数学的发展有着重要的意义。

超越数是指不能被任何代数方程的整数系数解的数。

换句话说，对于任意给定的代数方程，如果它的系数都是整数，而有理数解不存在，那么这个数就被称为超越数。

最早提出超越数概念的是19世纪的法国数学家利普舍茨。

他通过研究指数函数和对数函数的关系，发现了超越数的存在性。

代数数是指可以被某个代数方程的整数系数解的数。

例如，平方根、立方根、开4次方等等都是代数数，因为它们满足了某个整系数的代数方程。

代数数的研究可以追溯到古希腊时期，当时人们已经研究过二次方程和三次方程的解法。

超越数和代数数的区别在于它们的性质和研究方法。

超越数的研究一直是数学家们关注的焦点之一。

早在19世纪末和20世纪初，利普舍茨、希尔伯特等数学家就开始研究超越数的性质，提出了一系列的定理和算法，而这些研究成果也为数论和代数学的发展奠定了一定的基础。

一个重要的超越数是圆周率π。

通过数学推导可以得到，π是一个无理数，即不是有理数的小数形式。

更进一步地，利普舍茨证明了π是超越数，也就是说，π不能被任何代数方程的整数系数解。

这一结果对于数学界来说是具有划时代意义的。

此后，人们对超越数的研究越来越深入，出现了一系列的超越数，如自然对数的底e、黎曼猜想中的黎曼函数ζ(2)等。

超越数与代数数是数学中两个重要的概念，它们相互之间有一种内在的联系。

根据勒让德的证明，任意两个超越数之间的和、差、乘积、除法，都是超越数。

这一结论给出了超越数间的基本运算规则，为研究超越数提供了一定的便利。

超越数和代数数的研究对于数论和代数学的发展都非常重要。

通过对超越数的研究，可以推动数论领域的发展，揭示数的性质和规律；同时，超越数的研究也对代数学的研究有所启发，推动了代数方程论和多项式理论的发展。

综上所述，超越数与代数数是数学中两个重要的概念，它们分别指的是不能被方程的整数系数解的数和可以被方程的整数系数解的数。

第二讲式、代数式与不等式用字母表示数，数学研究的对象便从数扩展到式。

式本身不仅是代表数的符号，也是表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。

按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。

数学式是数学研究的基本对象。

一、数学符号简史古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符号。

欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。

中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。

公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是一项重大贡献，但是他们仍然以文字表述为主。

最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。

现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486年）中，首见此符号。

1631年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“×”和字母x混淆。

除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。

等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。

表示方程的符号，世界各国很不相同，可以说五花八门。

19世纪末20世纪初国际交往的扩大，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。

中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。

满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。

1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题：详见《中学代数研究》38P1859年《代微积拾级》出版算起，w z y x ,,,取代天、地、人、元的过程，前后经历了半个世纪之久。

二、数学符号语言——代数式自学《中学代数研究》40~38P三、字母表示数自学《中学代数研究》42~40P四、解析式解析式——用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。

代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。

/view/8cac18c9a1c7aa00b52acbdf.html代数思想在中低年级是如何体现的从小学阶段到初中阶段，学牛的思维将从算术思维过渡到代数思维。

为了更好的完成从算术思维到代数思维的过渡，我们所使用的青岛版教材，就有意识地在不同年级、不同知识领域渗透代数思想，使学生的代数思维得到有效的训练与提高，实现从小学到中学数学学习的成功跨越。

教材中关于代数思想的渗透，我认为包含了这几个方面：1、用宁母、符号或图片表示特定的数；例如：一年级学习10以内的加减法时学生解答过类似这样的习题：6+□=9 10-□=5，二年级学习表内乘除法时，8×□=56 。

7xa=21在学习了四则运算后还有一些稍复杂的，如5×◇+36÷6=51，13×△-7×△=48，(25+ )×7=287等，在这些题中既渗透了用符号表示数，也渗透了方程的思想。

在一年级还有用图片表示数的例子，如：桃子+苹果=9桃子+苹果+梨=12苹果+梨=5桃子=?苹果=?梨=?这样的练习题，利用算数思维很难给学生讲明白，这就要求我们教师和学生都要转变思维方式尝试用“代数”的思维来解决。

这就是代数思想的原型。

2、用含有字母的式子表示运算定律和运算性质；用字母表示加法交换律，加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律并引导学生用宁母表示相关的运算定律。

这些运算定律及运算性质的探索过程，是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，使学生在学习和认识数学上有了一次飞跃。

3、用含有宁母的式子表示常见的计算公式；比如：五年级上册用s=ah表示平行四边形的面积，用s=ah/2表示三角形的面积公式，六年级圆的面积，圆柱、圆锥的体积等等都用字母表示，渗透了代数思想。

4、用含有字母的式子表示常见的数量关系。

在教学中有一些算术方法解决较难而方程处理比较简单的问题，我们可以让学生自己去体会，去比较，为方程思想的建立奠定一个良好的基础。