从算术到代数的跨越 初一年(上)数学

一元一次方程（第一课时）教学设计杨立东【学习目标】1、理解方程的概念；了解方程的解、一元一次方程的概念，会检验某一个数是否为某一个方程的解。

2、能根据题意设未知数，然后找等量关系,再根据等量关系列出方程。

3、感受方程意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想。

【本节重点】一元一次方程和方程的解的概念，能根据题意设未知数，列方程。

【本节难点】体会找等量关系，会用方程解决简单实际问题。

【学法指导】教师通过引导，学生通过合作共同探究新知，解决问题。

【教学过程】引入：今年暑假，有一个四年级的小朋友问了老师一道数学题，我想请在座的同学帮老师教教他。

问题1：学校图书馆有故事书140本，科技书70本，从周一至周五，这两类书每天被借出的本数一样多，周末统计显示所剩的故事书是科技书的3倍。

问：故事书、科技书各剩多少本？［设计意图］我们面对的是刚刚进入初中学段的学生，设计这样的引例有三个想法：①七年级的学生，他们一方面憧憬未来，另一方面对自己可能还信心不足，选一个小学的题目作为引例，让他们不觉得今天的学习有压力，心情很自然的放松了；四年级的题，他们认为自己会做，教学弟学妹做题是一件开心而有意义的事，因而乐意做；②此题，估计七年级的学生10%的人会用算术方法求解，不会做的学生中可能有50%以上的人看不懂参考答案。

因而选此题可以彰显出方程的意义，使学生渴望学。

③中小衔接在贯穿于课堂的点滴之中，而且不显山露水。

新课：参考答案是这样的：140－70＝703－1＝270÷2＝3535＋70＝105 （35×3＝105）你看懂了吗？（小学四年级分析应用题通常会用到哪些方法？）分析：根据题可得，两组量的关系式：被借出的科技书与被借出的故事书一样多；所剩的故事书是所剩科技书的3倍。

因此可画出线段图如下：被借出的科技书科技书70本被借出的故事书故事书140本假如我们设所剩的科技书为x本，那么，可得线段图：被借出的科技书x科技书70本x x被借出的故事书故事书140本显然，根据被借出的科技书与被借出的故事书一样多，我们可以得到：140－3x＝70－x假如我们设借出的科技书为y本：被借出的科技书y科技书70本被借出的故事书y故事书140本显然，根据所剩的科技与故事书的关系，我们得到：3(70－y)=140-y或问题2：你能对前面所见过的式子分类吗？1、140－70＝702、70÷2＝353、140-3x4、70-y5、3(70－y)=140-y6、140－3x＝70－x7、练习1：下列各式，哪些是等式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？①3a+4；②x+2y=8；③5-3=2；④y=10；⑤；⑥；⑦x+2≠3⑧3a-2a<0；⑨；⑩答：等式有②③④⑤⑨⑩方程有②④⑤⑨⑩一元一次方程有④⑨⑩［设计意图］①承上启下，这些式子是学生为解决问题1得来的，根据分类自然引出方程与一元一次方程的定义，关注了知识的生成，把握住了知识的孕育点；②在课堂中自然渗透分类思想问题3：由前面的学习我们知道问题1的答案就是35，那35是我们列出的方程的解吗？3(70－y)=140-y解将x＝35代入方程：左边＝3×(70-35)=105右边＝140-35=105因为左边＝右边所以 x＝35是方程解。

第一讲跨越——从算术到代数“加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操,体操能使你身体健康,动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷,有了正确的思想,你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚;华罗庚,我国现代有世界声誉的数学家,初中毕业后,靠自学成才,在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献．纵观历史,数学的发展创造了数学符号,新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的,并将这样一步一步地继续走下去,数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中,人类创造用符号代替语言、文字的方法,这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”,而“代数”可以理解为“以符号替代数字”,即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”用字母表示数是数学发展史上的一件大事,是由算术跨越到代数的桥梁,是人类发展史上的一个飞跃,也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言,能更普遍地说明数量关系,在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．例题讲解例1观察下列等式9—l=8, 16—4＝12,25—9＝16,36—16＝20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来：．河南省中考题思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”,是由特殊到一般的思维过程,是发明创造的基础．例2 某商品2002年比2001年涨价5％,2003年又比2002年涨价10％,2004年比2003年降价12％,则2004年比2001年．A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％思路点拨设此商品2001年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断．例3 计算)200113121)(20021211()2001131211)(200213121(++++++-+++++++ 思路点拨 直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．例4 有—张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割成4片,以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问： 1经5次分割后,共得到多少张纸片2经n 次分割后,共得到多少张纸片3能否经若干次分割后共得到2003张纸片为什么 江苏省竞赛题 思路点拨 从简单情形人手,发现纸片数的特点是解本例的关键．例5在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问：右图上角的数是多少思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件．例6如图,在图1中,互补重叠的三角形共有4个,在图2中,互不重叠的三角形共有7个,在图3中,互不重叠的三角形共有10个,…,则在第n 个图形中,互不重叠的三角形共有______个用含n 的代数式表示． 重庆市中考题思路点拨 从三角形个数规律或图形生成特点入手． 例71计算：)20051211()20041211()200513121(+++-+++⨯+++)200413121(+++⨯ ； 广西竞赛题 2设A =100510041005100410041003100410034343323221212222222222⨯++⨯+++⨯++⨯++⨯+ ,求A 的整数图3图2图1部分． 2008年北京市竞赛题思路点拨 对于1,直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,将复杂的数值计算转化为简单的式的计算；对于2,从分析A 中第n 项)1()1(22+⨯++n n n n 的特征入手．例8有这样的两位数,交换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如,29就是这样的两位数,因为2111219229==+,请你找出所有这样的两位数． 思路点拨 设原数为ab ,则新数为ba ,发现ba ab +的特点是解本例的关键．例9现有a 根长度相同的火柴棒,按如图1摆放时可摆成m 个正方形,按如图2摆放时可摆成n 2个正方形．（1） 用含n 的代数式表示m ；当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时,求a 的最小值．思路点拨 设图3中有3p 个正方形为什么这样设,无论怎样摆放,火柴棒的总数相同,这样可以建立含m 、n 、p 的等式．链接：① 用字母表示数,有利于运用代数式揭示问题中的数量关系,便于找到数量的相依关系或相等不等关系,具有设元意识,会用代数式表示,是由算术习惯向代数过渡的重要步骤,是突破算术方法的定势的关键．② 本例的3个小题,反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第1小题是研究具体对象,第2小题是归纳出一般规律,第3小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题．有些问题涉及的量比较多,关系复杂,我们就需要引入不同的字母,便于把数量关系表示出来,在解题中我们不需或不能求出所有字母的值,只需求出关键的字母的值,这种方法我们称之为“设而不求”．图3图2图1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅基础训练1．给出下列算式：21112⨯=+,32222⨯=+,43332⨯=+,……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律： ． 福州市中考题 2．已知：3223222⨯=+,8338332⨯=+,154415442⨯=+,……,若bab a ⨯=+21010 b a 、为正整数,则b a += ． 2003年武汉市中考题3．若)(n m +人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要 天． 假定每个人的工作效率相同 江苏省竞赛题 4．某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车．全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么需要的时间是 ． 河南省竞赛题 5．一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成,现两队联合承包,完成这项工程需要 天． A ．b a +1 B ．b a 11+ C. b a ab + D ．ab1 6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10％,三月份比二月份减少10％,那么三月份比一月份 ．A ．增加10％B ．减少10％C ．不增不减D ．减少1％ 河南省中考题7．如图,在长方形ABCD 中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积,其面积是 ．A ．2c ac ab bc ++- B ．2cac bc ab +--C ．ac bc ab a -++2D ．ab a bc b -+-22河北省中考题8．为了绿化环境、美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是 ．A ．S 1＞S 2B ．S 1< S 2C ．S 1=S 2D ．无法比较 9．从1开始,连续的奇数相加,和的情况如下： 211=； 22431==+； 239531==++； 24167531==+++； 252597531==++++；1请你推测出,从1开始,n 个连续的奇数相加,它们的和s 的公式是什么2计算：①191715131197531+++++++++； ②2523211917151311+++++++．3已知225)12(531=-++++n ,求整数n 的值．10．从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路两段路的长度不等但坡度相同．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％,又知小明上学途中花10分钟,放学途中花12分钟． 1判断a 与b 的大小；2求a 与b 的的比值． 江苏省竞赛题 11.观察下列各正方形图案,每条边上有n 2≥n 个圆点,每个图案中圆点的总数是S ．按此规律推断出S 与n 的关系式是 ． 2001年广西中考题 12．如图,将面积为2a 的小正方形与面积为2b 的大正方形放在一起b >a >0,用b a 、表示ABC 的面积为 ． 天津市竞赛题13．已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为．14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：1第4个图案中有白色地面砖 块；2第n 个图案中有白色地面砖 块． 2003年南昌市中考题 15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是 ． A ．50 B ．2345678910 C ． 00 D ．70江苏省竞赛题 16．给出两列数：l,3,5,7,9,…,2001和1,6,1l,16,21,…,2001,同时出现在两列数中的数的个数为 ．A ．199B ．200C ． 201D ．202 重庆市竞赛题 17．—种商品每件进价为a 元,按进价增加25％定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利 ．A ．aB ．0.15aC ．aD ．a 山东泰安市中考题18．如果用a 名同学在b 小时内搬运c 块砖,那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是 ．A ．b a c 22B ．ab c 2C ．2cab D ．22c b a19．已知nn a a 1111+=+ n =l,2,3,…2002．求当11=a 时,20032002433221a a a a a a a a ++++ 的值．20．在一次数学竞赛中,组委会决定用NS 公司的赞助款购买一批奖品,若以1台NS 计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书,可各买多少 湖北省黄冈市竞赛题 21．将1~16这16个整数填入44⨯方格中,使每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等,如图所示,恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了,请你将这擦掉的8个数设法恢复出来．22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会,国际上常用恩格尔系数记作n 来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为：%100⨯=消费支出总额食品消费支出总额n ,各类家庭的恩格尔系数如下表所示：根据上述材料,解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间,该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元,其中食品消费支出总额每年平均增加200元,1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平,已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．求：11997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元2设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n m 为正整数．请用m 的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数m n ,并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数百分号前保留整数．3按这样的发展,该乡将于哪年开始进入小康家庭生活该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标 桂林市中考题21038124914答案： +n=nn+1 3.()m m n n+ 分钟 9.1S=n 2 2①100 ②132-52=144 3n=1510.1a<b,2把骑车走平路时的速度作为“1”,则 ,得0.8a +1.2b =561.2a +0.8b ,得a b =38. =4n-41214.118;24n+2 设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为a+1+a+2+•…+a+100=100a+5050.第一列数可表示为2m+1,第二列数可表示为5n+1,由2m+1=5n+1,得n=25m,m=0,5,10 (1000)提示:每一名同学每小时所搬砖头为cab块,c 名同学按此速度每小时搬砖头2c ab 块.19.提示:a 1=1,a 2=12,a 3=13……,a n =1n ,原式=20022003. 20.设每台计算器x 元,每本数学竞赛讲座书y 元,则100x+3y=80x+5y,解得x=5y,故可购买计算器100(3)10085x y y x y +⨯==160台,书100(3)1008x y y y y+⨯==800本.21.提示:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ,则 4S=1+2+3+…16=16172⨯,得S=34. 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格中擦掉的数都可以表示为x 的代数式,•再将主对角线上的数相加应得34,•即30+4x=34,解得x=1.于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.2n m =48002008000500m m ++,即n m =482805mm++当m=2003-1997=6时.n 6=48268056+⨯+⨯≈=55%.3取n=,即482805m m ++=12,解得m=16,即1997+16=2013<2020年,所以,2013•年该村进入小康生活,并能实现十六大提出的目标.提高训练1．用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形,按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需棋子_________枚用含n 的代数式表示． 2008年海南省中考题2．如图,一块拼图卡片的长度为cm 5,两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为cm 9,则n 块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为______cm 用含n 的代数式表示． 2008年长春市中考题3．如果a 是一个三位数,现在把1放在它的右边得到一个四位数,这个四位数是 ． A ．11000+a B ．1100+a C ．110+a D ．1+a 重庆市竞赛题 4．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y 为第n 层n 为正整数三角形的个数,则下列关系式中正确的是 ．A ．44-=n yB ．n y 4=C ．44+=n yD ．2n y =吉林省中考题5．某商场经销一批电视机,进价为每台a 元,原零售价比进价高%m ,后根据市场变化,把零售价调整为原零售价的%n ,调整后的零售价为每台 元． A ．%)%1(n m a ⨯+ B ．%%)1(n m a +C ．%)1%)(1(n m a -+ D ．%)1%(n m a -⨯ 2008年广东省竞赛题 6．已知n 是整数,现有两个代数式：132+n ,214-n ．其中,能表示“任意奇数”的 ．图3图2图1●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●n 1块⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲A ．只有1B ．只有2C ．有1和2D ．一个也没有7．有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割成4片,以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问： 1经五次分割后,共得到多少张纸片 2经n 次分割后,共得到多少张纸片3能否经若干次分割后共得到2003张纸片 why 第17届江苏省竞赛题8．如图,用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面,观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时,白色瓷砖为______块；当白色瓷砖为2n n 为正整数块时,黑色瓷砖为______块． 宜昌市中考题9．在图甲中取阴影等边三角形各边的中点,连成一个等边三角形,将其挖去,得到图乙；对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法,得到图丙,如此继续．如果图甲的等边三角形面积为1,则第n 个图形中所有阴影三角形面积的和为______．第18届江苏省竞赛题10．已知21=x ,nn x x 111-=+n =1,2,3,…,则2004x =______． 重庆市竞赛题 11．老师报出一个5位数,同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数,学生甲、乙、丙、丁的结果分别是 34567,34056,23456,34956．老师判定4个结果中只有一个正确,答对的是 ．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 第16届“五羊杯”竞赛题 12．如图,正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m ,n ,那么△AEG 的面积的值 ．A ．只与m 的大小有关nm D GF EC BAB．只与n的大小有关C．与m,n的大小都有关D．与m,n的大小都无关第19届江苏省竞赛题13．有四个互不相同的正整数,从中任取两个数组成一组,并在同一组中用较大的数减去较小的数,再将各组所得的差相加,其和恰好等于18．若这四个数的乘积是23100,求这四个数．天津市竞赛题。

第一讲 从算术到代数的跨越一、基础知识●算术与代数“算术”可以理解为“计算的方法”，在小学阶段，它被限定在整数和分数范围内。

主要研究的专题有基本的四则运算、整除、求余、奇偶性、质数与合数等。

“代数”(algebra)可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式(algebra expression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．请同学们思考以下几个问题： 1. 如何用字母表示奇数、偶数？2. 如何用字母表示被3除余1的所有数？3. 请将数列0，3，8，15，24，35，……的通项写出来？ ● 有理数在小学学习的整数和分数基础上引入负数概念后，我们所研究的数集扩大到了有理数范围。

引入负数后，一些固有的观念需要改变，请同学们思考以下几个问题： 1. 两个有理数相加，其和是否一定大于任一加数？ 2. 两个有理数相减，其差是否一定小于被减数？ 3. -1，0，1有怎样的计算特性？二、例题例题分为两类：一是为了说明“字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系”的题目；二是与有理数相关的题目。

第一部分例1. 观察下列等式9—1=8． 16—4=12. 25—9=16． 36—16=20.这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来：_____(2001年河南省中考题)思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．22(2)4(1)n n n +-=+ 例2.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n ≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数按此规律推断出S 与n 的关系式是________(2001年广西中考题) 解：S=4n-4注：例1和例2表明了代数（字母表示数）“能更普遍地说明数量关系”。

3.1.1从算术到方程一、教学目标：（1）通过对多个实际问题的分析，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解一元一次方程的概念，领悟一元一次方程的意义和作用.（2）在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.（3）使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，体会建立数学模型的思想.教学重点、难点：使学生理解问题情境，探究情境中包含的数量关系，最终用方程来描述和刻画事物间的相等关系．教学方法：启发和讲授二、教学过程：1、小学时我们曾见过如同2x=4, 3x+1=4, 5x-7=8这样的式子什么样的式子我们称之为方程？我们把含有末知数的等式称之为方程判断下列式子是不是方程，正确打“√”，错误打“x ”．(1) 1+2=3( ) (4) x+2＞8 ( )(2) 1+2x=4 ( ) (5) x+y=2 ( )(3)x+1-3 ( )引出课题：3.1.1 从算术到方程2、问题1：世界上最大的动物是蓝鲸.一只蓝鲸重124吨，比一头大象体重的25倍少1吨.问这头大象重几吨？问题2：汽车匀速行驶途径王家庄、青山、翠湖、秀水四地（如图）。

翠湖距青山50千米，距秀水70千米。

请问王家庄到翠湖的路程有多远？小结：列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是问题中的数量关系。

列方程：既可用已知数，也可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。

3、数学应用例1根据下列条件列出方程：（1）X的两倍与3的差是5；（2）某数的1/3与15的差的3倍等于2；（3）比某数的5倍大2 的数是17；（4）某数的3/4与它的1/2的和为5.提示：做上面的题时请注意怎样设未知数，怎样建立等量关系，特别注意关键字“大、小、多、少”，“和、差、倍、分”的含义.例2 ：用一根长24cm的铁丝围成一个长方形，使它长是宽的1.5倍，长方形的长、宽各应是多少?4、练习：（1）、根据下列问题，设未知数，列出方程：①、环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m?②、甲种铅笔每枝0.3元，乙种铅笔每枝0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20枝，两种铅笔各买了多少枝？③、一个梯形的下底比上底多2㎝，高是5㎝，面积是40㎝2，求上底.一元一次方程的概念只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次）方程叫做一元一次方程。

初一新生正处于人生转折期，心理和学业波动大，教育人士提醒初一新生家长——从容应对“初一变化”9月1日，琼琼就升读初一了，最近，琼琼妈有些焦虑：“琼琼读小学时，对于她的一切，我基本上是大包大揽，上了中学，孩子的心理和生理都发生了变化，性格叛逆，我也明白教育方式必须随之改变，要放手让孩子自己做判断，可是又不敢完全撒手不管，究竟怎样才是合理指导呢？”其实，有琼琼妈这种想法的家长不在少数，既担心青春期孩子的管教问题，又操心他们的学习成绩。

在孩子的成长道路上，初一是一个尤为重要的时期，因为这个阶段，孩子正处于青春期，人生观、世界观正在形成；学业上，课程量加大，知识面拓宽，需要掌握更灵活的学习方法……为此，记者采访了经验丰富的初一老师,为准初一新生家长答疑解惑，做好开学准备。

初一新生常见问题从小学进入初中，整个学习生活环境发生了变化，孩子的心理上或多或少会产生波动，不可避免地会出现一些问题。

广州市第13中学的冯颖轩老师接受记者采访时指出，初一新生常见的问题主要表现在学习和人际交往上。

尖子生易遭遇大滑坡孩子刚进入初中，学习成绩很不稳定，有些曾经的尖子生成绩直线下滑，而平时学习一般的有可能突飞猛进，也有可能会更差。

初一是重新“排队”的阶段，一切变化皆有可能。

其中的原因很多，其一，班级范围扩大，孩子面临的竞争对手多了，相比之下自己有可能稍逊一筹；其二，小学阶段内容不多，每次考试前都是反复训练，取得高分较容易，而初中课程多，学习方法也更灵活，学生之间的差距也就拉大了。

人际交往有困难初一新生在人际交往方面会碰到很大困难，通常无法快速融入集体生活，而是喜欢搞小团体，找到两三个朋友后便成天黏在一起。

小团体式的交友方式有利有弊，好的一点是孩子快速找到知心朋友，在新环境中不会感到孤单，但同时一些不好的习惯也会影响彼此，比如，一个同学剪了新发型，其他两个马上跟着改变，着装方面也力求统一。

家长应该提前提醒孩子，主动跟大多数同学沟通，发展健康的友谊关系。

北师大七年级数学上册的教学计划（精选19篇）北师大七年级数学上册的教学计划篇1一、学情分析通过七年级上学期的学习，学生在用字母代替数的数学计算、理解和综合应用等方面都得到了一定的发展，对图形有初步的感知，对数据统计和统计图形的认识有进一步的提高，通过数与代数，空间与图形和统计与概率的学习，学生正处于形象思维向逻辑抽象思维的转变。

从上册数学期末考试成绩来看，本班优秀率达到36%，基本达到预期目标，但及格率只达到60%多，与预期尚有一定的差距。

总体上来看，仅管绝大多数学生学习很努力，也掌握了一定的学习数学的方法和技巧，但基础知识的不扎实成为制约他们学习的瓶颈，造成班级发展不平衡，两极分化现象严重。

二、教育教学指导思想坚持党的__大教育方针，以《初中数学新课程标准》为基准，将新课程改革落到实处。

以提高学生的基础知识和基本技能为根本任务，制定切实可行的教学计划，重点培养学生创新思维和应用数学的能力。

通过本学期的数学教学，进一步培养学生学习数学的兴趣，激发其求知欲望。

本学期以新课程理念指导教研工作，紧紧围绕课程实施中的基本问题。

深入而全面展开教学研究。

总结课程实施过程中形成的经验，与教师共同探讨，共同寻找解决问题的方法，提升各自的研究水平和能力，努力实现三维目标。

三、本学期教学的主要任务和要求本期教材任务为完成沪教版七年级下数学教科书教材的数学五章节内容的教学，并进行一次学区联考和一次期末统考本期教材任务为完成沪科版七年级下数学“实数”、“一元一次不等式与不等式组”、“整式乘除与因式分解”、“分式”、“相交线、平行线与平移”、“频数分布”的章节内容教学。

四、教材内容的重点和难点分析第六章实数这部分的内容是七—九年级“数与代数”部分的重要内容，是在有理数之后，对数系的又一次扩展，是今后学习函数、方程、不等式等知识的基础。

第七章一元一次不等式与不等式组是在学生掌握了有理数的大小比较、等式及其性质、一元一次方程和不等式组等知识的基础上进行的。

第三章代数式大单元教学设计活动设计：设计更多具有层次性和挑战性的教学活动，让学生在活动中逐步深化对知识的理解和应用.合作学习：鼓励学生进行小组合作学习，通过互相讨论和启发，促进学生之间的交流和分享，提高学习效率和质量.信息技术融合：充分利用信息技术手段，如数学软件、多媒体教学资源等，将抽象的数学知识直观化、具体化，帮助学生更好地理解和掌握.单元教学结构图教学设计课题代数式学习活动设计教师活动学生活动设计意图情景引入：科赫雪花，也被称为科赫曲线，是一种由瑞典数学家赫尔格·冯·科赫（Helge von Koch）在1904年提出的分形曲线.它的形态独特，类似于雪花，因此得名.科赫雪花的构造过程充满了数学的魅力和趣味性，科赫雪花的构造始于一个等边三角形，具体步骤如下：首先，画一个等边三角形作为起点，然后将三角形的每条边等分为三段，然后以中间一段为底边，向外作一个等边三角形，并去掉原来的中间一段，如此往复即可得到.如果用a表示等边三角形的边长，那么第二个图形中红色方框内的线段长度之和为多少？新知探究：1.果果在暑暑假间取北京天安门观看升旗仪式，假设果果所住宾馆距离天安门广场s千米，出租车的平均速度学生尝试理解科赫雪花的形成过程，尝试解答教师提出的问题.学生回答：1.vs2.mn为学生创造一个有趣的学习情境，激发激发学生的学习兴趣，同时为后面渗透数学文化做铺垫.引导学生用字母在思考数学问题.由简单的文字语言转化为符号语言，培养学活动一：列代数式表示数量关系6. 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写；当“-1”乘字母时，只要在那个字母前加上“-”号.练习：判断下列式子中，哪些是代数式 （1）4x+5y （2）3y （3）2x+3y≠2（4）2+1=3 （5）10 （6）3x>0练习：判断下列各式是否符合代数式书写格式，若不符合，请指出不符合哪条要求，并写出规范格式(1) 4×a (2) xy6 (3)aa-1 (4) (5) (m+n) ÷2思考：字母式子除了能表示数与等量关系以外，还能表示什么呢？正方体的底面积和体积怎样计算？ S 表示正方体的底面积，V 表示正方体的体积.你能用字母表示正方体的底面积和体积公式吗？除了正方形和正方体，我们还学过哪些图形的面积或者公式？用公式表示一些常见图形的面积，请填写下表： 图形名称 面积公式长方形 ab S =正方形2a S =y 311学生回顾前面学习过的有理数的运算法则和运算律，举手回答计算45+32+68+55时，可以利用加法交换律和结合律；计算36×25+36×75时，可以利用乘法分配律；计算125×25×32时，可利用乘法交换律和结合律.学生填表（2）有理数乘法交换律和结合律ba ab =)()(bc a c ab =（3）有理数乘法分配律ac ab c b a +=+)(看一看这些公式与以往的文字公式相比，你有什么感觉？你知道历史上第一个开始用字母表示数的人是谁呢？你知道最早有意识地系统使用字母来表示数的人是谁吗？他就是法国数学家韦达.韦达一生致力于对数学的研究，做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.自从韦达系统使用字母表示数后，引出了大量的数学发现，解决了很多古代的复杂问题.再来看情景引入的问题：第二个图形中红色方框内的线段长度之和3443a a l =⨯=. 因此第二个线段之和l 与原来正三角形边长a 是成正比例的量，它们成正比例关系.学生思考，发表看法教师总结用字母表示数的优越性，解释为什么要用字母表示数，同时介绍相应的数学文化.通过情景引入的案例让学生再次强化用字母表示数的过程，同时理解正比例关系.渗透数学文化，了解数学历史.综合考察学生对本节知识的掌握情况情景引入学校阶梯教室第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位，问：（1）第2排、第3排、第4排各有多少个座位？（2）第n排有多少个座位？（用含n 的代数式表示）（3）假设教室无限大，那么第2025排有多少个座位？新知探究在研学旅行中，有一节课是制作航天模型，我校七年级有300名同学参加了航模制作，其中有25的同学制作了a个模型，其余同学每人制作3个模型.你能用代数式表示他们制作的航天模型的总个数吗？（1）他们共制作模型个；（2）当a＝3时，他们共制作模型个；（3）当a＝4时，他们共制作模型个.（4）a能为-2吗？a能为3吗？一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同数值时，代数式的值也一般不同. 用火柴棒按如下方式搭小鱼典例精析例1.搭20条“小鱼”用多少根火柴棒？搭100条“小鱼”呢？填表：从所填的数据看，所用火柴棒的根数随所搭“小鱼”条数的增加而 ．（填“减少”或“增加”）例2.当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，求下列各代数式的值： （1）24b ac -；（2）2()a b c ++；分析：（1）什么叫代数式的值？（2）用负数代替字母时，需要注意些什么？ 教师总结：计算代数式的值就像下面的机器一样，输入字母等于的数字，通过代数式的计算法则，得到的结果就是代数式的值.例3.中国电力发展迅速，2024年6月规模以上工业发电量达到7685亿千瓦时，同比增长a%，请你预测一下，如果按照当前速度增长，明年6月的发电量将能达到多少亿千瓦时？若a=2.3,明年6月的发电量将能达到多少亿千瓦时？24b ac-242⨯⨯＝（－1）－（－3）12425+＝＝；（2）当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，2()a b c ++2＝（2－1－3）24＝（－2）＝为学习一元二次方程判别式打基础1.计算时，先代入，再计算；2.代数式的值是由字母的取值决定，所以必须先写“当···时”，表示在此情况下求得.3.不能笼统地说代数式的值是多少，只能说，当字母取何值时，代数式的值是多少.解：明年6月的发电量为 7685×（1+a%）（亿千瓦时）, 当a=2.3时，明年6月的发电量为7685×（1+2.3%）=7861.8（亿千瓦时）.和步骤.学生通过思考过程，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生分析问题的能力.归纳求解代数式的值的注意事项和常见易错点.通过国家统计局的数据编辑成例题，让学生注意关注周围的世界，理解数学来源于生活，又服务于生活.代数式分析：（1）增长率是什么意思？（2）怎样计算明年的发电量？例4.已知8a－8b+17=1,3ab－2＝10，求5a－2ab+5b的值.分析：1.字母a、b的值是什么？2.能否很快求出a、b的值？3.你能求出a－b和ab的值吗？4.如何求代数式的值？例5.芷涵对变成非常感兴趣，经过不断努力，不但成绩直线上升，而且现在还能设计程序计算呢！如图就是芷涵设计的一个程序.当输入x的值为2024时，你能求出输出的值吗？当输入x的值为2025时，你能求出输出的值吗？例6.在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为m的正方形.（1）用a、b，m表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝9，b＝8，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.再来看情景引入的问题：学校阶梯教室第1排有18个座位，往后每排比前一排多2个座位，问：（1）第2排、第3排、第4排各有多少个座位？（2）第n排有多少个座位？（用含n 的代数式表示）（3）假设教室无限大，那么第2025排有多少个座位？分析：第1排：18个座位；第2排：18+2＝20个座位，比第1排多2个座位；18+2第3排：20+2＝22个座位；比第1排多2×2个座位，18+2×2；第4排：22+2＝24个座位，比第1排多2×3个座位，18+2×3；......以此类推课堂训练1.如图所示，某水渠的横断面为梯形，如果水渠的上口宽为a m，水渠的下口宽和深都为b m.(1)请你用代数式表示水渠的横断面面积；(2)计算当a ＝3、b ＝1时，水渠的横断面面积.2.下面的三角形是由火柴棒围成的.第1个 第2个第3个 第4个（1）第n 个图形需要多少根火柴围成？（2）第2024个图形需要多少根火柴围成？1．我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．义的例子中不正确的是（）A ．若葡萄的价格是3元/千克，则3aB ．若a 表示一个等边三角形的边长，则C ．某校七年级共有3个班，每个班平均有D ．若3和a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则【答案】D正确，故C 不符合题意；D 、若3和a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30a +表示这个两位数，此选项错误，故D 符合题意． 故选：D ．2．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（ ）A ．3x =，4y =B ．=1x -，1y =-C ．2x =，1y =-D ．2x =-，3y =【答案】D【分析】本题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A 、把3x =，4y =输入， ∵x y <，∴223451x y -=-=≠，不符合题意； B 、把=1x -，1y =-输入， ∵x y =，∴()()221121x y -=---=≠，不符合题意； C 、把2x =，1y =-输入， ∵x y >，∴()222131x y +=+-=≠，不符合题意； D 、把2x =-，3y =输入， ∵x y <，∴()22231x y -=--=，符合题意． 故选：D3．某数m 的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是（ ） A ．2152m -B ．21(5)2m -C ．2(5)12m -D ．2512m -【答案】D【分析】本题考查了列代数式．数m 的平方为2m ，2m 的5倍是25m ，再表示25m 与1的差，最后表示出差的一半，即可．【详解】解：某数m 的平方的5倍与1的差的一半，用代数式表示是2512m -．故选：D ．4．下面各式中，符合书写要求的是（ ） A ．8a B ．1xC ．5x yD ．()2x y +【答案】D【分析】本题主要考查了代数式的书写．根据代数式的书写要求，逐项判断即可求解． 【详解】解：A 、应该是8a ，故本选项不符合题意； B 、应该是x ，故本选项不符合题意； C 、应该是5xy ，故本选项不符合题意； D 、()2x y +，书写正确，故本选项符合题意； 故选：D5．4m n +=，则代数式331m n +-的值为 ． 【答案】11【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，运用整体思想是本题的关键．利用整体代入法即可求得代数式的值． 【详解】解：4m n +=，∴()3313134111m n m n +-=+-=⨯-=，故答案为：11．6．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x 值为2，第一次输出的结果是1，第二次输出的结果为4，…，第2024次输出的结果为 ．【答案】41，2121，212珠笔共需()34m n +元． 故答案为：()34m n +．9．如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H 与杯子数量n 的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H = ．①杯子底部到杯沿底边的高h ；②杯口直径D ；③杯底直径d ；④杯沿高a ．【答案】h an +【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H 等于杯子底部到杯沿底边的高h 加上n 个杯子的杯沿高na 即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：H h an =+， 故答案为：h an +；10．某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a 千克，需付 元（用含a 的代数式表示）． 【答案】4a【分析】本题考查了代数式的运用，掌握运用代数式表示数或数量关系是的方法是解题的关键．【详解】解：根据题意得，580%4a a ⨯=， 故答案为：4a ．11．已知有理数a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，求1325c dab e +++的值． 【答案】162或152-【分析】本题考查代数式求值，涉及倒数定义与性质、相反数定义与性质、绝对值定a3．已知代数式2326y y -+的值是8，那么264y y -的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【分析】本题主要考查代数式的代入求值．根据代数式2326y y -+的值是8，可求出2322y y -=的值，由此即可求解．【详解】解：23268y y -+=，∴移项，2322y y -=，∴()2222464232y y y y ==⨯-=-，故选：D ．4．若345x y z ==，则22x y z +-= ． 【答案】0【分析】本题考查“三元一次方程的应用”，先设345x y z k ===，即可得到345x k y k z k ===，，，然后代入即可得到答案．【详解】解：设345x y z k ===， ∴345x k y k z k ===，，，∴2264100x y z k k k +-=+-=，故答案为：0．5．将长方形ABCD 分割成如图所示的7个正方形，其中两个正方形内的三块空白为长方形．若两个阴影部分周长之和为68，则长方形ABCD 的周长为 ．【答案】58【分析】题目主要考查列代数式，设正方形①的边长为x ，正方形②的边长为y ，则43CD x AB y ===，设3,4x k y k ==，根据题意确定k =1，即可得出边长，然后求周长即可，找准图中各边的关系是解题关键． 【详解】解：设正方形①的边长为x ，正方形②的边长为y ，则左下角正方形的边长为2y ，右上角正方形边长为3x ，∴43CD x AB y ===，设3x k =，则4y k =，∵两个阴影部分周长之和为68，∴342468x y ⨯+⨯=即3217x y +=，∴9817k k +=，解得：k =1，∴正方形①的边长为33x k ==，正方形②的边长为44y k ==，∴412,2317AB x AD y x ===+=，∴长方形的周长为：()1217258+⨯=，故答案为：58．6．如图，正方形 ABCD 与正方形 EFGC 的边长分别为 a 、b ， B 、C 、G 三点在同一直线上， 连接 BD BF 、．(1)求阴影部分图形的面积（用含 a 、b 的代数式表示）；(2)若 8,15a b ab +==，求阴影部分图形的面积．【答案】(1)()2132a b ab ⎡⎤+-⎣⎦(2)192【分析】此题考查了利用数形结合解决问题的能力以及完全平方公式的应用，关键是能根据图形达到正确的数量关系并列式计算．（1）根据正方形与三角形的面积公式即可求出答案；（2）把已知代入（1）式即可求出答案．【详解】（1）解：阴影部分的面积可表示为：()2221122a b a b a b +--+ 2222111222a b a ab b =+--- 2212a ab b ()2132a b ab ⎡⎤=+-⎣⎦； 阴影部分的面积是()2132a b ab ⎡⎤+-⎣⎦； （2）当8,?15a b ab +==时， 原式()22831511191922=⨯==⨯⨯-． 7．如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中图中所示的方式任意框出4个数，若任意框出的数为图2中的a ，b ，c ，d 四个数，请根据数表中的规律解决如下问题：(1)若17b =，则d = ；c = ；(2)a 与c 的数量关系是 ；(3)当79a c +=时，求22a b c d +++的值．【答案】(1)22，21∴1x =±时771y x y =±=±=±，；时，； ∴6x y -=±，∴()236x y -=，故选A ．2．如图数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a …，第n 个数记为n a ，则20a = ．【答案】210【分析】此题考查了数字变化规律问题，通过归纳出第n 个数记为()112n n +，再进行求解即可．【详解】解：根据题意知 11,a =2123a =+=，31236a =++=，4123410,a =+++=，则()112312n a n n n =++++=+， ()201202012102a ∴=⨯⨯+=， 故答案为：210．3．【阅读材料】如何化简整式()()()42a b a b a b +++-+呢？数学教材第76页提示，可以把()a b +看成一个整体，进而()()()()()()42421555a b a b a b a b a b a b +++-+=+-+=+=+．“看成一个整体”在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学问题的解决中应用广泛．请参考阅读材料，解决以下问题：【尝试应用】（1）填空：已知22x y -=，1xy =-，则()()2x y xy y ---=______；【拓展探究】（2）若关于x 的一元一次方程107x x k -=-+的解是1x =，求关于y 的方程()()2238302183y y k --=--+的解是多少；【迁移提升】（3）如图，OB OC 、分别为定角AOD ∠内的两条动射线，当OB OC 、运动到如图的位置时，AOC BOD m ∠+∠=︒，AOB COD n ∠+∠=︒，求AOD ∠的度数．【答案】（1）3；（2）3=±y ；（3）2m n AOD +⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）首先由22x y -=得()22x y y -=-，然后将()22x y y -=-，1xy =-，代入()()2x y xy y ---之中进行计算即可得出答案；（2）首先设28y a -=则方程()()2238302183y y k --=--+可转化为330213a a k -=-+，进而得107a k -=-+，然后结合已知可得出1a =，进而得 281y a -==，由此解出y 即可；（3）设AOB α∠=，BOC β∠=，COD θ∠=，则AOC AOB BOC αβ∠=∠+∠=+BOD BOC COD βθ∠=∠+∠=+，然后将m αθ+=︒代入2m αβθ++=︒之中得 2m n β-⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭，继而由AOD αβθ∠=++可得出答案； 此题考查了求代数式的值，解一元一次方程，角度的计算，理解题意，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．【详解】（1）∵22x y -=，∴222x y y -=-，即()22x y y -=-，又∵1xy =-，。

整式加减-第1讲从算术到代数的跨越第一讲从算术到代数的跨越一、基础知识●算术与代数“算术”可以理解为“计算的方法”，在小学阶段，它被限定在整数和分数范围内。

主要研究的专题有基本的四则运算、整除、求余、奇偶性、质数与合数等。

“代数”(algebra)可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式(algebra expression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．请同学们思考以下几个问题：1.如何用字母表示奇数、偶数？2.如何用字母表示被3除余1的所有数？3.请将数列0，3，8，15，24，35，……的通项写出来？●有理数在小学学习的整数和分数基础上引入负数概念后，我们所研究的数集扩大到了有理数范围。

引入负数后，一些固有的观念需要改变，请同学们思考以下几个问题：1.两个有理数相加，其和是否一定大于任一加数？2.两个有理数相减，其差是否一定小于被减数？3.-1，0，1有怎样的计算特性？二、例题例题分为两类：一是为了说明“字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系”的题目；二是与有理数相关的题目。

第一部分例1. 观察下列等式9—1=8．16—4=12.25—9=16．36—16=20.这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n 的等式表示出来：_____(2001年河南省中考题)按此规律推断出S与n的关系式是________ (2001年广西中考题) 例3. 在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据。

计算图中空白部分的面积，其面积是( )．A. bc－ab＋ac＋c2 B．ab一bc—ac＋c2。