试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析.ppt
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试验误差的分析及数据处理
x n x1 x2 xn
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
实验设计与数据处理ppt
一．实验误差分析
二．实验数据整理
三．实验数据分析（直观分析法、方差分析、 回归分析）
一．郑少华、姜奉华《试验设计与数据处理》，中国建材工业出版社，2004年3月第 1版，51.727/Z429
（适合材料科学与工程、化工、机械、农业、医药等专业） 一．方萍、何延《试验设计与统计》，浙江大学出版社，2003年6月第1版 （适合环境与资源相关专业、生命科学、农业科学、医学） 一．[美]Douglas C.Montgomery著《实验设计与分析》 中国统计出版社，1998年6月第1版（电工等专业 ） 一．杨德《试验设计与分析》，中国农业出版社 二．王万中《试验的设计与分析》，高等教育出版社
（一）实验的分类
验证性实验：对已知的理论进行验 证，以加深对理论的认识
探索性实验：为了揭示尚未完全认 识的事物，发现其发生与发展的规 律，以完成工程与科研任务，具有 很强的探索性 （工程中经常碰到）
• 实验准备→实验→实验数据分析处理
• 1．实验准备 ①提出问题，弄清实验目标 ②设计实验方案（实验设计） ③拟订实验大纲 ④实验设备、测试仪器的准备
因素也称为因子， 它是在进行实验 时重点考察的内 容。
因素一般用大写 字母ABC……来标 记，如因素A、因 素B、因素C等。
因素分类：
1. 可控因素（温 度、时间、种 类、浓度……）
2. 不可控因素 （风速、气 温、……）
② 选择因素的原则
01
抓住主要因素（将影响较大的因素选入试验）同时要考虑
最大限度地提高实验效率
最大限度地提高实验精度
对实验过程优化的方法
B
3．实验设计基本要素
指标——因素——02源自用来衡量试验效果好坏的特征值。
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT优秀课件
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
13
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
10
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln 宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
3
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
6
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
试验设计与数据处理-李云雁-全套 第1章 误差分析
（2）三者关系
有系统误差的试验
精密度 ：A＇ ＞ B＇ ＞ C＇
准确度： A ＇＞ B ＇＞ C ＇ ，A ＇ ＞B，C
1.5 试验数据误差的统计假设检验
1.5.1 随机误差的检验 2 检验（ 2 -test） 1.5.1.1
（1）目的： 在试验数据的总体方差 2 已知的情况下， 对试验数据的随机误差或精密度进行检验。 （2）检验步骤：
2 (n1 1) s12 ( n2 1) s2 s n1 n2 2
两组数据的精密度或方差有显著差异时
t
x1 x2
2 s12 s2 n1 n2
服从t分布，其自由度为：
2 ( s12 n1 s2 n2 )2 df 2 2 2 2 2 ( s1 n1 ) ( s2 n2 ) (n1 1) (n2 1)
说明：
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
xG
n
x1 x2 ...xn ( x1 x2 ...xn )
（2）说明：
可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求
（3）精密度判断
①极差（range）
R xmax xmin
②标准差（standard error）
n n
R↓，精密度↑
( xi x)
1 n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。 几何平均值≤算术平均值
[误差理论与数据处理][课件][第01章][绪论]
![[误差理论与数据处理][课件][第01章][绪论]](https://img.taocdn.com/s1/m/f4d28ba5f605cc1755270722192e453610665b0c.png)
压表进行测量。
1-9
误差理论与数据处理
【例1-3 】
检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在
50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差
均小于2V，问这只电压表是否合格？
【解】 由公式2，该电压表的引用误差为
rm
U m Um
2 100
2%
由于
2% 2.5%
所以该电压表合格。
1-10
误差理论与数据处理
【例1-4 】
某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100uA，求测 量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。
【解】 根据题意得
s 1.0，xm 100 A, x1 100A, x2 80A, x3 20A
由公式1可知，最大绝对误差为
xm xms% 1001.0% 1A
准确度高。
度高，准确度低。 密度亦高。
1-27
误差理论与数据处理
常用质量名词术语
重复性（repeatability）
指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量 所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性 来定量表示。
一成不变的，在一定
条件下可以相互转化。
也就是说一个具体误
差究竟属于哪一类，
应根据所考察的实际 问题和具体条件，经 _3
分析和实验后确定。 标准差
均值 某次测得值
期望值(真实值)
+3
奇异值 1-23
误差理论与数据处理
误差性质的相互转化
如一块电表，它的刻度误差在制造时可能 是随机的，但用此电表来校准一批其它电表 时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这 一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度 不准，用它来测量某电源的电压时必带来系 统误差，但如果采用很多块电表测此电压， 由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正 有负，就使得这些测量误差具有随机性。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT课件
（1）定义
绝对误差＝试验值－真值
或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知 可以估计出绝对误差的范围：
或
x
x xt
x max
绝对误差限或绝对误差上界
xt
x max
.
14
绝对误差估算方法： ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：
（1）目的： 在试验数据的总体方差 2 已知的情况下， 对试验数据的随机误差或精密度进行检验。
（2）检验步骤： ①计算统计量 2
若试验数据 x1, x2 , , xn 服从正态分布，则
.
30
2 (n 1)s2 2
服从自由度为 df n 1 的 2 分布
②查临界值 2 (df )
—— 显著性水平
.
10
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
.
6
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
➢ 客观真实值——真值 ➢ 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实
验过程中
.
7
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值（true value）
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
试验设计与数据处理——第1章误差分析
(1 ) 2
(df1 , df 2 ) F F (df1 , df 2 )
2
则判断两方差无显著差异，否则有显著差异
单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ：
左侧（尾）检验 ：
若 F F(1 ) (df1, df2 )
则判断该方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小
第1章 试验数据的误差分析
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学 实验过程中 客观真实值——真值
1.1 真值与平均值
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（1）定义
绝对误差＝试验值－真值 或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知
可以估计出绝对误差的范围：
或
x x xt x max
xt x x max
绝对误差限或绝对误差上界
x ER x
或
x ER x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x x xt xt
相对误差限或相对误差上界
max
∴
x xt (1 ER )
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
② t检验
双侧检验 ： 若 t t
2 s2 ，则 都服从正态分布，样本方差分别为 s 和
(df1 , df 2 ) F F (df1 , df 2 )
2
则判断两方差无显著差异，否则有显著差异
单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ：
左侧（尾）检验 ：
若 F F(1 ) (df1, df2 )
则判断该方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小
第1章 试验数据的误差分析
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学 实验过程中 客观真实值——真值
1.1 真值与平均值
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
（1）定义
绝对误差＝试验值－真值 或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知
可以估计出绝对误差的范围：
或
x x xt x max
xt x x max
绝对误差限或绝对误差上界
x ER x
或
x ER x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x x xt xt
相对误差限或相对误差上界
max
∴
x xt (1 ER )
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
② t检验
双侧检验 ： 若 t t
2 s2 ，则 都服从正态分布，样本方差分别为 s 和
《实验设计与数据处理》课程小结PPT
42
Origin 简介
OriginLab公司的产品 最新版本为 V7.5 Pro 通用的科技绘图和数据分析软件 定位于基础级和专业级之间 国际科技出版界公认的标准作图软件 科学和工程研究人员的必备软件之一 主页：/
44
Origin绘制的图形 (2D部分)
24
（2）指标叠加法
所谓指标叠加法，就是将多指标按照某种 计算公式进行叠加，将多指标化为单指标， 而后进行正交实验直观分析。
25
26
27
三、回归分析
一元线性回归方程的建立
（1）、数学模型
y
8
7
yi = a + bxi +εi
6
y对x的回归方程
5
y = a + bx
4
3
y 称为变量y的理论 2
39
Matlab简介
Matlab作为线性系统的一种分析合仿真 工具，1984年被MathWork公司开发并 作为产品推向市场。
Matlab建立在向量、数组和矩阵的基础 上，人机界面直观，输出结果可视化， 可解决工程、科学计算和数学学科的许 多问题，深受用户欢迎。
40
Mathematica简介
n
Q i2 [yi(abix)]2 min i1 29
回归系数a、b计算式
b
xi yi n x y
xi 2
2
nx
a y b x
30
一元线性回归方程
含铁量/μg
铁标准曲线
300
250
0.88, 250
200
0.631, 200
150
0.48, 150
100
0.279, 100 y = 280.78x + 13.625
Origin 简介
OriginLab公司的产品 最新版本为 V7.5 Pro 通用的科技绘图和数据分析软件 定位于基础级和专业级之间 国际科技出版界公认的标准作图软件 科学和工程研究人员的必备软件之一 主页：/
44
Origin绘制的图形 (2D部分)
24
（2）指标叠加法
所谓指标叠加法，就是将多指标按照某种 计算公式进行叠加，将多指标化为单指标， 而后进行正交实验直观分析。
25
26
27
三、回归分析
一元线性回归方程的建立
（1）、数学模型
y
8
7
yi = a + bxi +εi
6
y对x的回归方程
5
y = a + bx
4
3
y 称为变量y的理论 2
39
Matlab简介
Matlab作为线性系统的一种分析合仿真 工具，1984年被MathWork公司开发并 作为产品推向市场。
Matlab建立在向量、数组和矩阵的基础 上，人机界面直观，输出结果可视化， 可解决工程、科学计算和数学学科的许 多问题，深受用户欢迎。
40
Mathematica简介
n
Q i2 [yi(abix)]2 min i1 29
回归系数a、b计算式
b
xi yi n x y
xi 2
2
nx
a y b x
30
一元线性回归方程
含铁量/μg
铁标准曲线
300
250
0.88, 250
200
0.631, 200
150
0.48, 150
100
0.279, 100 y = 280.78x + 13.625
《试验设计与数据处理》第1章
※2 随机误差的检验
卡方检验：适用于一个总体方差 显著性 的检验
水平
1.3 试验数据误差的估计与检验
※2 随机误差的检验
2 s1 F 2 s2
F检验：适用于两组具有正态分 布的数据之间精密度的比较。 F (1 / 2) (df1, df2 ) F F( / 2) (df1, df2 )
标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：
n n n n
di
i 1
2
n
( xi x )
i 1
2
n
2 x ( x ) i i /n 2 i 1 i 1
n
当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：
s
d
i 1
xt x
最大绝对误差的估算： x max 用仪器的精度等级估算； 用仪器最小刻度估算
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：
xi 相对误差: 相对误差 绝对误差 100% 真值 x0
1-2 误差的来源和分类
1. 误差定义：
算术平均误差
设试验值xi与算术平均值 x 之间的偏差为di，则算术平均误差定 n n 义式为： xi x d i i 1 i 1 n n 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一 定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数 据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程 度。
2. 误差的来源
(1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差
近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关
卡方检验：适用于一个总体方差 显著性 的检验
水平
1.3 试验数据误差的估计与检验
※2 随机误差的检验
2 s1 F 2 s2
F检验：适用于两组具有正态分 布的数据之间精密度的比较。 F (1 / 2) (df1, df2 ) F F( / 2) (df1, df2 )
标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：
n n n n
di
i 1
2
n
( xi x )
i 1
2
n
2 x ( x ) i i /n 2 i 1 i 1
n
当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：
s
d
i 1
xt x
最大绝对误差的估算： x max 用仪器的精度等级估算； 用仪器最小刻度估算
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：
xi 相对误差: 相对误差 绝对误差 100% 真值 x0
1-2 误差的来源和分类
1. 误差定义：
算术平均误差
设试验值xi与算术平均值 x 之间的偏差为di，则算术平均误差定 n n 义式为： xi x d i i 1 i 1 n n 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一 定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数 据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程 度。
2. 误差的来源
(1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差
近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关
误差分析与数据处理PPT课件
用标准差估值 ：
n
(xi x)2
i1
n 1
（6—10）
式中： n 为有限次， x 为算式平均值，代替真值 T ，
x
n
xi n
i 1
2021
( sj )
T
100%
( bc )
x
100%
（6—3） （6—4）
之所以要采用相对误差来评价被测值的精度，是因为对不同的被测 值，绝对误差难以评定测量精度的高低。
2021
13
例如，采用两种方法来测量h1 100mm的尺寸，分别获得测量误
差为 L1 10m和 L2 8m，很明显后一种方法测量结果的
冲击或振动）等所造成的误差。
2021
9
过失误差的数值远远大于系统误差，已经不属于误差范围，必须 剔除掉。过失误差无规律可循，只要多加警惕，细心操作，一般都可 以避免。应当指出，上述误差可以在一定条件下相互转化。对于某一 具体误差，在一条件下是系统误差，在另一条件下可能是随机误差， 反之亦然。例如：按一定公称尺寸制造的量块，存在着制造误差，其 中就某一块量块制造的误差的数值来说，若用以进行标定或测量，所 造成的误差是系统误差；但是，就此量块整批而言，则该量块的制造
x T 测量某一参数所得的测量值 与该参数的真值 之差 为绝对误
差。即：
xT
它与被测参数有相同的单位。
测量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定
的情况下，其真值是可知的。例如：三角形的内角和为 1 8 0 ，一个整 的圆周角为 3 6 0 。为了使用上的方便和要求，在有些情况下，可以采用
四、随机误差的评定指标
任何测试与观察总是不可避免的存在误差，这种误差具有随机性。
n
(xi x)2
i1
n 1
（6—10）
式中： n 为有限次， x 为算式平均值，代替真值 T ，
x
n
xi n
i 1
2021
( sj )
T
100%
( bc )
x
100%
（6—3） （6—4）
之所以要采用相对误差来评价被测值的精度，是因为对不同的被测 值，绝对误差难以评定测量精度的高低。
2021
13
例如，采用两种方法来测量h1 100mm的尺寸，分别获得测量误
差为 L1 10m和 L2 8m，很明显后一种方法测量结果的
冲击或振动）等所造成的误差。
2021
9
过失误差的数值远远大于系统误差，已经不属于误差范围，必须 剔除掉。过失误差无规律可循，只要多加警惕，细心操作，一般都可 以避免。应当指出，上述误差可以在一定条件下相互转化。对于某一 具体误差，在一条件下是系统误差，在另一条件下可能是随机误差， 反之亦然。例如：按一定公称尺寸制造的量块，存在着制造误差，其 中就某一块量块制造的误差的数值来说，若用以进行标定或测量，所 造成的误差是系统误差；但是，就此量块整批而言，则该量块的制造
x T 测量某一参数所得的测量值 与该参数的真值 之差 为绝对误
差。即：
xT
它与被测参数有相同的单位。
测量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定
的情况下，其真值是可知的。例如：三角形的内角和为 1 8 0 ，一个整 的圆周角为 3 6 0 。为了使用上的方便和要求，在有些情况下，可以采用
四、随机误差的评定指标
任何测试与观察总是不可避免的存在误差，这种误差具有随机性。
试验设计与数据处理(第三版)
试验设计与数据处理（第三版）引言试验设计与数据处理是实验科学中至关重要的一部分。
良好的试验设计可以最大限度地减少误差，提高数据的可靠性和准确性。
数据处理则是对实验数据进行统计分析和解释的过程，通过合理的数据处理方法，我们可以从数据中提取出有用的信息，进一步深入研究问题。
本文档是《试验设计与数据处理》第三版，旨在提供一套系统的试验设计与数据处理方法和原则，帮助实验者更好地进行实验研究。
一、试验设计试验设计是指在实验过程中确定实验方案的过程。
良好的试验设计应该具备以下几个要素：1.目标明确：明确实验的研究目标和问题，确定实验需要探究的变量。
2.采样方法：确定合适的采样方法，保证样本的代表性和可靠性。
3.随机分组：如果实验需要进行随机分组，确保每组之间的随机性和均衡性。
4.控制变量：控制实验过程中可能引入的干扰变量，以提高实验结果的可靠性。
5.重复实验：适当重复实验以验证实验结果的可靠性和稳定性。
6.双盲设计：在可能的情况下，采用双盲设计以减少主观偏差的影响。
二、数据处理数据处理是试验结果的统计分析和解释过程，通过数据处理可以得到结论并回答实验问题。
常见的数据处理方法包括：1.描述统计：对数据进行总体特征的描述，包括均值、方差、标准差等。
2.图表绘制：使用统计图表对数据进行可视化展示，比如直方图、散点图、箱线图等。
3.假设检验：根据样本数据对总体参数进行假设检验，判断样本结果是否有统计学意义。
4.相关分析：分析变量之间的相关性，使用相关系数进行量化描述。
5.回归分析：确定变量之间的线性关系，建立线性回归模型并进行参数估计和显著性检验。
三、实例分析为了更好地理解试验设计和数据处理的应用，下面以一个实例进行说明。
实例：药物对癌症的治疗效果我们假设有一种新型药物用于治疗癌症，我们希望通过实验研究来验证其治疗效果。
1.实验设计：–目标明确：验证新型药物对癌症的治疗效果。
–采样方法：随机抽取癌症患者作为实验样本。
检验误差与数据处理详细版.ppt
例：将2.3421修约到小数点后第二位2.3421 将8351修约到百数位8351
（2）指定将数值修约成几位有效数字 例：将12.1498修约成二位有效数字12.1498
将1298修约成三位有效数字1298
演示课件
2、进舍规则 （1）拟舍弃数字最左一位数字小于5，则舍去， 其余各保留数字的位数不变。 例：12.1498 12.1（修约到一位小数）
三、误差的消除（p106）
（一）控制随机误差 多次测量
（二）消除系统误差
1、修正 2、消除产生系统误演示差课件的原因
四、误差的表示方法（p107）
（一）绝对误差 所获得的结果减去被测量的真值。
（二）相对误差 绝对误差与被测量的（约定）真值 之比。
（三）区别几个概念 1、精密度 测量数值的分散程度。反映随机误差
不确定度可以是标准差或者其倍数。 以标准差表示的不确定度称为标准不确定度； 以标准差的倍数表示的不确定度称为扩展不 确定度。
（四）粗大误差的剔除（p108） 当误差服从正态分布时，误差大于3σ是个小概
率事件，一般不会发生，应予剔除。 发生概率小于2.7‰的事件为小概率事件，一
般不会发生。
演示课件
第二节 数据处理及数值修约
4、 有效位数 从左边第一个非零数字算起所 有有效数字的个数。
确定有效数字、有效演示位课件 数 的方法（p110）
5、修约间隔
系确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的 数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。
例如：修约间隔为0.01,修约值即应在0.01的整 数倍中选取,相当于修约到小数点后第二位;
检验误差与数据处理
演示课件
第一节 检验误差
一、误差的概念及误差的形成（p304）
（2）指定将数值修约成几位有效数字 例：将12.1498修约成二位有效数字12.1498
将1298修约成三位有效数字1298
演示课件
2、进舍规则 （1）拟舍弃数字最左一位数字小于5，则舍去， 其余各保留数字的位数不变。 例：12.1498 12.1（修约到一位小数）
三、误差的消除（p106）
（一）控制随机误差 多次测量
（二）消除系统误差
1、修正 2、消除产生系统误演示差课件的原因
四、误差的表示方法（p107）
（一）绝对误差 所获得的结果减去被测量的真值。
（二）相对误差 绝对误差与被测量的（约定）真值 之比。
（三）区别几个概念 1、精密度 测量数值的分散程度。反映随机误差
不确定度可以是标准差或者其倍数。 以标准差表示的不确定度称为标准不确定度； 以标准差的倍数表示的不确定度称为扩展不 确定度。
（四）粗大误差的剔除（p108） 当误差服从正态分布时，误差大于3σ是个小概
率事件，一般不会发生，应予剔除。 发生概率小于2.7‰的事件为小概率事件，一
般不会发生。
演示课件
第二节 数据处理及数值修约
4、 有效位数 从左边第一个非零数字算起所 有有效数字的个数。
确定有效数字、有效演示位课件 数 的方法（p110）
5、修约间隔
系确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的 数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。
例如：修约间隔为0.01,修约值即应在0.01的整 数倍中选取,相当于修约到小数点后第二位;
检验误差与数据处理
演示课件
第一节 检验误差
一、误差的概念及误差的形成（p304）
试验设计和数据处理
二、关于实验设计与数据处理
本课程中主要应用的是数理统计中的统计方法理论，主要考
虑的是与实验设计有关的分析并解释实验结果的统计方法。 如误差检验、方差分析、回归分析等。。
凡是涉及到数据的问题，只要数据中包含有相当大的实验误
差，则获得满意结果的唯一稳妥的处理方法就是统计方法， 除此之外别无他择。
（二）间接测量法
把直接测量代入某一特定的函数关系式中，通过计算求出未知 物理量的大小，这种方法——间接测量法。 例如，用毕托管测量气流速度 ，直接测量压差值 h。 计算的特定函数关系式为
式中： h —— U 型差压计的读数；
h 2 1 2g （1—2） 1000 1
为了回答这个问题，调查组沿着该河干流和支流进行了实地 考察，在不同的地段采集鱼样共144条（由假设拟定抽样调 查的方案）；对采集来的鱼样进行分类、称重、测量长度， 然后用有机溶剂提取鱼肉中的DDT，测定鱼肉中的DDT含 量（从调查和试验中获取数据）。很明显，这项调查并不是 去捕捞河里所有的鱼，144个DDT测定值代表着从河中之鱼 DDT含量这个总体中收集的一个样本，利用收集到的数据 可以比较不同地段和不同鱼种之间鱼肉中DDT的含量，并 确定鱼的长度和重量与DDT含量之间是否有定量关系等等 （分析数据——从样本推断总体）。
• 1. 2 数据测量的分类
一、按计量的性质分为：检定、检验和校准
• 检定：由法定计量部门,为确定和证实计量器具是否完全满足检定规程的要求而进行的 全部工作。检定是由国家法定计量部门所进行的测量，在我国主要是由各级计量院所 以及授权的实验室来完成，是我国开展量值传递最常用的方法。检定必须严格按照检 定规程运作，对所检仪器给出符合性判断，既给出合格还是不合格的结论，而该结论 具有法律效应。检定方法一般分为整体检定法和分项检定法两种。 检测：对给定的产品、材料、设备、生物体、物理现象、工艺过程或服务，按照一定 的程序确定一种或多种特性或性能的技术操作。检测通常是依据相关标准对产品的质 量进行检验，检验结果一般记录在称为检测报告或检测证书的文件中。 校准:在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示的量值，或实物量具或参考物 质所代表的量值，与对应的由标准所呈现的量值之间关系的一组操作。 二、按测量目的的分类分为：定值测量和参数检验 定值测量:按一种不确定度确定参数实际值的测量。其目的是确定被测量的量值是多少 , 通常预先限定允许的测量误差。 参数检验：以技术标准、规范或检定规程为依据，判断参数是否合格的测量。其目的 是判断被检参数是否合格，通常预先限定参数允许变化的范围（如公差等）。
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1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
1.3.2 系统误差（systematic error）
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
n
x
x1 x2 ... xn
xi
i 1
n
n
适合：
等精度试验值 试验值服从正态分布
（2）加权平均值(weighted mean)
n
xW
w1x1 w2 x2 ... wn xn w1 w2 ... wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
wi——权重
加权和
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
试验设计与数据处理
（第三版）
Experiment Design and Data Processing
引言
0.1 试验设计与数据处理的发展概况
20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇 （R．A．Fisher）提出了方差分析
20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化
0.2.2 数据处理的目的
通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试
验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并
能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。
第1章 试验数据的误差分析
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
1.3.3 过失误差 （mistake ）
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差
（1）定义
绝对误差＝试验值－真值
或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知
可以估计出绝对误差的范围：
或
x
x xt
x max
绝对误差限或绝 ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：
绝对误差=量程×精度等级%
（2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成
（3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律
1.4 试验数据的精准度
1.4.1 精密度（precision）
（1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
表示当前样本对总体数据的估计； 表示样本均数与总体均数的相对误差； 样本个数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较
好地代表总体样本
1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
di —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)
（4）几何平均值（geometric mean）
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
1
x G n x1x2 ...xn ( x1x2 ...xn ) n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。
几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值（harmonic mean）
误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
➢ 客观真实值——真值 ➢ 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实
验过程中
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值（true value）
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次