重庆南开中学初中班主任(数学)张克张老师

重庆市南开中学2024－2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．2x x=B ．2104x x ++=C ．240x -=D ．2240x x ++=3．在反比例函数3k y x -=图象的每一支曲线上y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）A ．3k >B ．0k >C ．3k <D ．0k <4．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 与ADE V 是以点A 为位似中心的位似图形，相似比为1:3，点A 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0-，点B 的坐标是()2,2-，则点D 的坐标是（ ）A ．()3,4-B ．()4,6-C ．()4,5-D ．()3,5-5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年一季度新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为（ ）A ．()3101y x =+B ．()()210101101y x x =++++C ．21010y x x =++D ．()2101y x =+6的值应在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间7．若13a c eb d f ===，则3232ac e bd f -+-+的值为（ ）A ．13B ．1C ．1.5D ．38．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n 个小三角形，这里的n =（ ）A ．87B ．74C ．62D ．539．如图正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 为边AB 上一动点，连接DE ，作CF DE ^于点F ，连接OF ．若BDE α∠=，则DOF ∠的度数为（ ）A ．2αB ．30α°+C ．45α°-D ．602α°-10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，以此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数），已知1a x =．并规定：111n na a +=-，123n n T a a a a =××K ，123n n S a a a a =+++¼+．则①25a a =；②1231000211x T T T T x -+++¼+=-；③对于任意正整数k ，()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--成立，以上结论中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．计算：101()(2)2p -+-＝ ．12．已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=的一个根是2，则2m = ．13．一个不透明的箱子里装有a 个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a 的值为 ．14．若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线 条．15．如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数()40y x x =>与()20y x x=-<的图象上，点C 、D 在x 轴上，AB 、BD 分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积为 ．16．若关于x 的不等式组()02422x m x x -ì>ïíï-<-î的解集为0x >，且关于y 的分式方程1322y m y y -=---有非负整数解，则所有满足条件的整数m 的值的和是 ．17．如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=°，过点B 作BE AB ^交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为 ．18．若一个四位自然数A ，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A 去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A 为“活泼数”，例如2521A =，因为225221-=，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B ，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B 为“可爱数”，例如1425，因为211-=，541-=，故1425是一个“可爱数”．对于一个“活泼数”A abcd =，规定：22()a b b cd F Aab×+-=+，对于一个“可爱数”B mnpq =，规定：()G B p n =-，则(5611)(3142)F G ´= ；当B 的百位数字为4时，若()3()9G B F A +是整数，则所有满足条件的奇数四位数A 的和是 ．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（1）解方程：11322x x x-=---（2）解不等式组：()328143x x x x ì--£ïí+-<ïî．20．先化简，再求值：22122121x x x x xx x x ---æö-¸ç÷+++èø，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．21．学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B 作ABC ∠的角平分线，交AC 于点F ，连接BE 、DF ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，DE 平分ADC ∠，交AC 于点E ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB =，① ，∴DAC BCA ∠=∠．∵DE 平分ADC ∠，BF 平分CBA ∠，∴12ADE ADC ∠=∠，12CBF ABC ∠=∠．∵ADC CBA∠=∠∴② ，∴()ASA ADE CBF V V ≌．∴DE BF =，DEA BFC ∠=∠．∴③ ，∴四边形BEDF 是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．22．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x 分钟，将所得数据分为5个组别（A 组：90100x ££；B 组：8090x £<；C 组：7080x £<；D 组：6070x £<；E 组：060x £<），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B 组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80.②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E 频数14b 28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c 83④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．请你根据以上信息，回答下列问题：(1)a =______，b =______，c =______；(2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）(3)已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？23．四边形ABCD 中，AB CD ∥，BC AB ^，12AB =，6DC =，8BC =．动点P 从A 点出发，沿A B ®方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q 从点A 出发，沿折线A D C ®®方向以每秒2个单位的速度运动，当Q 点到达C 点时，P 、Q 两点都停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒，1y AP DQ =+，(1)请直接写出1y 关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y 的图象，并写出函数1y 的一条性质；(3)若函数2y x b =+的图象跟函数1y 的图象有两个交点，请直接写出b 的取值范围．24．新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔，商家用1600元购进笔记本，800元购进签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．(1)求每本笔记本和每支签字笔的进价？(2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%，商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价应定为多少元？25．如图，直线122y x =+分别与x 轴，y 轴交于点A ，点C ，点P 是反比例函数(0)k y k x =¹图象与直线AC 在第一象限内的交点，过点P 作PB x ^轴于点B ，且6AB =．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 是直线PB 右侧反比例函数图象上一点，且92APD S =V ，直线PD 交y 轴于点E ，点M ，N 是直线AC 上两点，点M 在点N 的左侧且MN AP =，求EM DN +的最小值及此时点N 的坐标；(3)在（2）的条件下，点F 为反比例函数图象上一点，若45PEF PAB ∠-∠=°，请直接写出所有符合条件的点F 的横坐标．26．在ABC V 中，90BAC ∠=°，AB AC =，D 为线段BC 上一点（点D 不与B ，C 重合），连接AD ．(1)如图1，105ADB ∠=°，CD =BD 的长度；(2)如图2，D 为BC 中点，E 为平面内一点，连接DE ，CE ，AE ，BE ，将线段DE 绕D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接AF ，90FAC ECB ∠+∠=°，G 为线段EC 上一点，AG CE ^，求证：2CE AG =+；(3)如图3，P ，H 为射线AD 上两个点，90BHA ∠=°，2AP BH =，将BNP △沿直线BP 翻折至BHP V 所在平面内得到BKP △，直线PK 与直线AB 交于点T ．若AB =BP 取得最小值时，请直接写出APT △的面积．1．D【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．2．B【分析】本题主要考查了根的判别式．利用根的判别式对选项中方程根的情况依次进行判断即可．【详解】解：2x x=，则20x x-=，所以2(1)41010D=--´´=>，则此方程有两个不相等的实数根．故A选项不符合题意．210 4x x++=，则2114104D=-´´=，所以此方程有两个相等的实数根．故B选项符合题意．240x-=，2041(4)160D=-´´-=>，所以此方程有两个不相等的实数根．故C选项不符合题意．2240x x++=，22414120D=-´´=-<，所以此方程没有实数根．故D选项不符合题意．故选：B．3．A【分析】此题考查反比例函数图象的性质，根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到30k ->，解可得k 的取值范围．【详解】解：根据题意得：30k ->，3k \>，故选：A ．4．B【分析】本题考查的是位似变换，以点A 为坐标原点，原来的x 轴为x 轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点D 在新坐标系中的坐标，进而求出点D 的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．【详解】以点A 为坐标原点，原来的x 轴为x 轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为 ()12-,，∵ABC V 与ADE V 是以点A 为位似中心的位似图形，相似比为1:3，∴点D 在新坐标系中的坐标为 ()13,23-´´，即 ()3,6-，则点D 在原坐标系中的坐标为()4,6-，故选：B ．5．B【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：()101x +，故三月份新产品的研发资金为：()2101x +，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：()101x +，故三月份新产品的研发资金为：()2101x +，今年一季度新产品的研发资金()()210101101y x x =++++，故选：B ．6．B【分析】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．6=∵91516<<∴34<<∴9610<<的值应在9和10之间．故选：B ．7．A【分析】先用b 、d 、f 分别表示出a 、c 、e ，再代入要求的式子即可．【详解】解： 由13a c eb d f ===， 333b a ，dc ，f e \===，()323232132332333323a c e a c e a c eb d f ac e a c e -+-+-+\===-+´-´-´-+，故选：A ．【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．8．B【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．设图形n 中三角形的个数是(n a n 为正整数），列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律第n 个图形三角形个数为(1)(21)2n n n ++-，依此规律即可得出结论．【详解】解：设图形n 中三角形的个数是(n a n 为正整数），1211a ==+Q ，26(12)3a ==++，311(123)5a ==+++，417(1234)7a ==++++，(1)12(21)(21)2n n n a n n n +\=++¼++-=+-．()1011010121015519742a \=´´++´-=+=．故选：B ．9．C【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出OD OC =，90DOC DFH EFC ∠=∠=∠=°，利用三角形内角和定理得出BDE OCH α∠=∠=，利用AAS 即可证明ODN OCN V V ≌，得出OF 平分EFC ∠，利用三角形外角性质即可得答案．【详解】解：如图，过点O 作OM CF ^于M ，ON DE ^于N ，设CF 、BD 交于点H ，∵正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC BD ^，OD OC =，∵CF DE ^，∴90DOC DFH EFC ∠=∠=∠=°，∵DHF OHC ∠=∠，∴BDE OCH α∠=∠=，在ODN △和OCM V 中，90OND OMC ODN OCM OD OC α∠=∠=°ìï∠=∠=íï=î，∴ODN OCN V V ≌，∴OM ON =，∴OF 平分EFC ∠，∴1452EFO OFC EFC ∠=∠=∠=°，∴45DOF EFO BDE α∠=∠-∠=°-．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．10．D【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案．【详解】解：∵1a x =，111n n a a +=-，∴211a x =-，31x a x-=，4a x =，511a x =-，∴25a a =，故①正确；∵123n nT a a a a =××K ∴1T x =，212111x T a a x x x===--g ，3123111x x T a a a x x-===--g g g ，41234T a a a a x ==-g g g ，5123451x T a a a a a x-==-g g g g ，61234561T a a a a a a ==g g g g g ，∴1234560T T T T T T +++++=，∵100061664¸=L ，12310001234211x T T T T T T T T x-+++¼+=+++=-，故②正确；由①②可得n n a T 、分别是以3和6为周期的数列，当k 为奇数时：()()3333233323k k k k k k T S S T S S ++++-=--()333132k k k T a a +++=-+11·1x x æö=-+ç÷-èø211x x x--=-，2331321111k k k x x x x x xT T T ------=---=--，∴()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--，当k 为偶数时：()()3333233323k k k k k k T S S T S S ++++-=--()333132k k k T a a +++=-+11·1x x æö=+ç÷-èø211x x x-++=-，()2331321111k k k x x x T T T x x x----++--=---=--，∴()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--，故③正确；故选：D ．11．3【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为3 ．【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键．12．1【分析】先将x =2代入220x x m -+=，然后求解关于m 的方程，再代入求值即可．【详解】把2x =代入220x x m -+=，得：22220m -+=，∴1m =-∴21m =．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解是解答本题的关键．13．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25，50.25a\=，解得20a =，经检验：20a =是原方程的解，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．14．3【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，从而求出这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数．【详解】设多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=720°，解得n=6，∴从这个多边形的一个顶点引出对角线是：6﹣3=3（条），故答案为3．【点睛】本题考查多边形的对角线，多边形内角与外角，关键是要先根据多边形的内角和公式求出边数.15．53##213【分析】设A （a ，4a），a ＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD ，OE ，OC ，OF ，EF ，利用三角形的面积公式，即可得答案．【详解】解：设点A 的坐标为（a ，4a ），a ＞0，则OD =a ，OE =4a ，∴点B 的纵坐标为4a，∴点B 的横坐标为-2a ，∴OC =2a ，∴BE =2a ，∵AB ∥CD ，∴12EF BE OF OD ==，∴EF =13OE =43a ，OF =23OE =83a，∴S △BEF =12EF •BE =12×43a ×2a =13，S △ODF =12OD •OF =12×a ×83a =43，∴S 阴影=S △BEF +S △ODF =13+43=53．故答案为：53．【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．16．8-【分析】先按照不等式组的性质求出不等式的解集，进而确定m 取值范围；再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值，最后求和即可．【详解】解：()02422x m x x -ì>ïíï-<-î①②，解不等式①得x m >，解不等式②得0x >，Q 不等式的解集为：0x >，0m \£．解分式方程1322y m y y -=---，方程两边同时乘以()2y -得，()132y y m -=-+，解得：52m y +=．25m y \=-，0m £Q ，250y \-£，52y \£．Q 分式方程1322m y y y--=--有非负整数解，20y \-¹，0y ³，2y \¹且0y ³，y \的值为：0，1．m \对应的值为：5-，3-．\符合条件的所有m 的取值之和为：()538-+-=-．故答案为：8-．【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，解题的关键在于求出m 取值范围以及求出分式方程的解．17【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．由菱形的性质得4AB BC CD ===，AB CD ∥，60BAD BCE ∠=∠=°，再由三角形中位线定理得122FH AB ==，AB FH ∥，然后证()AAS FHG CEG ≌△△，得12EG GH EH ===，进而由勾股定理即可得出结论．【详解】解：Q 菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=°，4AB BC CD \===，AB CD ∥，60BAD BCE ∠=∠=°，F Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，\12EH BE =，FH 是ABE V 的中位线，\122FH AB ==，AB FH ∥，\AB FH CD ∥∥，BE AB ^Q ，FH BE \^，CD BE ^，90FHE BEC °\∠=∠=，906030CBE \∠=°-°=°，\122CE BC ==，\BE ===，\12EH BE ==FH CE \=，在FHG △和CEG V 中，FHG CEG FGH CGE FH CE ∠=∠ìï∠=∠íï=î，()AAS FHG CEG \≌△△，\12EG GH EH ===在Rt FHG V中，由勾股定理得：GF ，18． 126905【分析】本题考查因式分解及新定义的运算，理解定义是解决问题的关键．根据题意即可求得(5611)(3142)F G ´的值，结合“活泼数”A abcd =，“可爱数”B mnpq =，百位数字为4，可得()33()93(23)G B m F A a b -=+-+是整数，可知30m -=，3，6，根据“可爱数”可知只有33m -=符合题意，进而可得()13()923G B F A a b =+-+是整数，得231a b -+=±，即24a b -=-或22a b -=-，求得a ，b 得值，结合“活泼数”定义及条件为奇数即可求得所有得满足条件的奇数四位数A 的和．【详解】解：由题意可得：2566211(5611)(3142)1256F G ´+-´´==+ ∵“活泼数”A abcd =，则22b a cd -=，∴22()a b b cd F A a b×+-=+()2222a b b b a a b ×+--=+222a b b a a b×-+=+()()2a b a b a b-+=+2a b =-，则()()3()933323F A F A a b éù+=+=-+ëû，∵“可爱数”B mnpq =，百位数字为4，则1p m =+，4n =，∴()143G B p n m m =-=+-=-，∵()33()93(23)G B m F A a b -=+-+是整数，30m \-=，3，6，当30m -=时，3m =，则4p =，4n =，不符题意，舍去；当33m -=时，6m =，则7p =，4n =，15q n =+=，符合题意；当36m -=时，9m =，则10p =，不符题意，舍去；()13()923G B F A a b \=+-+是整数，231a b \-+=±，24a b \-=-或22a b -=-，当24a b -=-时，1,6a b ==；2,8a b ==；1635A \=或2860A =（偶数，不符题意，舍去）；当22a b -=-时，1,4;2,6;3,8a b a b a b ======；1415A \=或2632A =（偶数，不符题意，舍去）或3855A =，1635141538556905\++=故答案为：12，6905．19．（1）无解；（2）1312x -£<【分析】本题考查了解分式方程和求一元一次不等式组解集．（1）分式方程两边都乘以()2x -，把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：（1）方程两边都乘以()2x -得：()1132x x =---，解得：2x =．检验：当2x =时，2220x -=-=，所以原分式方程无解；（2）()328143x x x x ì--£ïí+-<ïî①②，解不等式①得：1x ³-，解不等式②得：132x <，所以，不等式组的解集是1312x -£<．20．21x x +；1．【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x 2=x +1代入即可．【详解】解：原式=(1)(1)(2)(1)x x x x x x -+--+×2(1)(21)x x x +-=21(1)x x x -+×2(1)(21)x x x +-=21x x +，∵x 2﹣x ﹣1=0，∴x 2=x +1，∴21x x +=11x x ++=1．21．①AD CB ∥ ②ADE CBF ∠=∠ ③DE BF P ④形成的四边形是平行四边形【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．（1）作ABC ∠的平分线，其中交AC 于F 即可；（2）由于()ASA ADE CBF V V ≌，根据全等三角形的性质得到()ASA ADE CBF V V ≌根据等角的补角相等可得DE BF =，DEA BFC ∠=∠，则DE BF P ，根据平行四边形的判定即可得到结论．【详解】如图，点F 即为所作；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB =，AD CB ∥，∴DAC BCA ∠=∠．∵DE 平分ADC ∠，BF 平分CBA ∠，∴12ADE ADC ∠=∠，12CBF ABC ∠=∠．∵ADC CBA∠=∠∴ADE CBF ∠=∠，∴()ASA ADE CBF V V ≌．∴DE BF =，DEA BFC ∠=∠．∴DE BF P ，∴四边形BEDF 是平行四边形．命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形．故答案为：①AD CB ∥ ②ADE CBF ∠=∠ ③DE BF P ④形成的四边形是平行四边形．22．(1)10，39，80；(2)八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；(3)718．【分析】（1）在扇形统计图中，先求出“B 组”所占的百分比，再求出“A 组”所占的百分比，确定a 的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b 的值，再根据中位数的定义求出c 的值；（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．【详解】（1）解：根据扇形统计图可知，“B 组”所占的百分比为144100%40%360´=，所以“A 组”所占的百分比为140%25%18%7%10%----=，即10a =；100142813639b =----=；八年级的中位数在B 组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为8080802+=，即80c =；故答案为：10，39，80；（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；（3）()143980010%40%600718100+´++´=（人），答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．23．(1)()()1100531058x x y x x ì-££ï=í-<£ïî(2)图见解析，当05x ££时，1y 随x 的增大而减小（答案不唯一）(3)06b <£【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等：（1）作DH AB ^于点H ，得到矩形DCBH ，当05x ££时，点Q 在线段AD 上，当58x <£时，点Q 在线段CD 上，列分段函数即可；（2）根据（1）中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数1y 的性质；（3）通过一次函数图象的平移解决问题．【详解】（1）解：如图，作DH AB ^于点H ，Q AB CD ∥，BC AB ^，DH AB ^，\90C B DHB Ð=Ð=Ð=°，\四边形DCBH 是矩形，\8DH BC ==，6BH CD ==，\1266AH AB BH =-=-=，\10AD ===，Q 动点Q 从点A 出发，沿折线A D C ®®方向以每秒2个单位的速度运动，\点Q 从点A 到点D 用时：()1025s ¸=，从点A 到点C 用时：()()10628s +¸=，当05x ££时，点Q 在线段AD 上，102DQ AD AQ x =-=-，AP x =，\110210y AP DQ x x x =+=+-=-；当58x <£时，点Q 在线段CD 上，2210DQ x AD x =-=-，AP x =，\1210310y AP DQ x x x =+=+-=-；综上可知，()()1100531058x x y x x ì-££ï=í-<£ïî；（2）解：1y 的图象如下图所示，由图可知，当05x ££时，1y 随x 的增大而减小，当58x <£时，1y 随x 的增大而增大；（3）解：如图，当06b <£时，函数2y x b =+的图象跟函数1y 的图象有两个交点．24．(1)每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；(2)每本笔记本的售价应定为11元．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程以及一元二次方程是解此题的关键．（1）设每本笔记本的进价是x 元，则每支签字笔的进价是()6x -元，根据“商家用1600元购进笔记本，800元购进签字笔，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍”列出分式方程，解方程即可；（2）设每本笔记本的售价为y 元，则每本笔记本的销售利润为()8y -元，每天可售出()14205160100.5y y -+´=-本，根据“笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：设每本笔记本的进价是x 元，则每支签字笔的进价是()6x -元，根据题意得：800160026x x=´-，解得：8x =，经检验，8x =是所列方程的解，且符合题意，6862x \-=-=，答：每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；（2）解：设每本笔记本的售价为y 元，则每本笔记本的销售利润为()8y -元，每天可售出()14205160100.5y y -+´=-本，根据题意得：()()()8160105240270y y --+-´=，整理得：2241430y y -+=，解得：121113y y ==，，当11y =时，141411100%100%21.4%10%1414y --´=´»>，符合题意；当13y =时，141413100%100%7.1%10%1414y --´=´»<，不符合题意，舍去，答：每本笔记本的售价应定为11元．25．(1)反比例函数解析式为6y x=；(2)EM DN +的最小值为，此时(4,4)N ；(3)符合条件的点F 5-．【分析】（1）先求出点A 坐标，利用6AB =求出点P 的坐标，继而求出反比例函数解析式即可；（2）过点D 作y 轴的平行线交直线AC 于点K ，根据面积求出点D 坐标，再求出直线PD解析式，得到点E 坐标，继而求出线段MN 长，将点D 沿着射线PA 方向平移个单位长度得到点(3,1)D ¢--，连接MD ¢，D E ¢，则四边形DD MN ¢是平行四边形，则D M DN ¢=，当点E 、M 、D ¢共线时取等号，此时EM DN +最小，最小值为D E ¢的长，据此求出最小值和点N 坐标即可；（3）分两种情况讨论①当EF 在ED 左侧时，②当EF 在ED 右侧时，根据条件分别求出点F 的横坐标即可．【详解】（1）解：在一次函数122y x =+中，令0y =时，4x =-，4\=OA ，6AB =Q ，2OB \=，当2x =时，12232y =´+=，(2,3)P \，Q 点P 在反比例函数图象上，6k \=，\反比例函数解析式为6y x=；（2）解：如图，过点D 作y 轴的平行线交直线AC 于点K ，设点6,D a a æöç÷èø，2a >，则1,22K a a æö+ç÷èø，92APD ADK PDK S S S =-=Q △△△，\11692(24)222a a æö´+-´+=ç÷èø，整理得：2120a a +-=，解得3a =或4a =-（舍去），(3,2)D \，设直线PD 的解析式为y kx b =+，3223k b k b +=ìí+=î，解得15k b =-ìí=î，\直线PD 的解析式为5y x =-+，)5(0,E \，(4,0)-Q A ，(2,3)P，MN AP \==将点D 沿着射线PA方向平移个单位长度得到点(3,1)D ¢--，连接MD ¢，D E ¢，则四边形DD MN ¢是平行四边形，则D M DN ¢=，EM DN EM D M D E \+=³¢¢+，当点E 、M 、D ¢共线时取等号，此时EM DN +最小，最小值为D E ¢的长，(3,1)D ¢--Q ，(0,5)E ，\直线D E ¢的解析式为25y x =+，D E ¢=，由12225y x y x ì=+ïíï=+î，解得21x y =-ìí=î，(2,1)M \-，则(4,4)N ，EM DN \+的最小值为，此时(4,4)N ；（3）解：①当EF 在ED 左侧时，如图所示，设PE 与x 轴交于点Q ，则(5,0)Q ，5OE OQ \==，则45OEQ OQE ∠=∠=°，Q 当0x =时，1222y x =+=，(0,2)C \，则2OC =，过点M 作MH y ^轴，垂足为H ，90MHE COA \∠=∠=°，2MH OC ==，4HE OA ==，()SAS MHE COA \V V ≌，HEM CAO \∠=∠，则45PEM HEM OEQ PAB ∠=∠+∠=∠+°，45PEF PAB ∠-∠=°Q ，45PEF PAB \∠=∠+°，PEF PEM \∠=∠，即点E 、M 、F 共线，则点F 为直线25y x =+与反比例函数6y x=图象的交点，由6y x y ì=ïíï=î得22560x x +-=，解得x =或x =，点F ②当EF 在ED 右侧时，如图，ES x ∥轴，则45SEP ∠=°，则4545PEF FES PAB ∠=∠+°=∠+°，FES PAB \∠=∠，则EF AP ∥，\直线EF 的解析式为152y x =+，由6152y x y x ì=ïïíï=+ïî得210120x x +-=，解得5x =-或5x =-，\在ED 右侧的点F 横坐标为5-综上分析，符合条件的点F 或5-．【点睛】本题考查了反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．26．(1)BD =；(2)(3)APT S V 【分析】（1）作DE AC ^于E ，由Rt CDE △求得DE ，由Rt ADE V 求得AE ，由Rt ABC △求得BC ，进一步得出结果；（2）可证得()SAS ADF BDE V V ≌，从而得出EBD FAB ∠=∠，BE AF =，可证得EBA AOE ∠=∠，从而点E B O A 、、、共圆, 从而得出45BEC BAD ∠=∠=°，从而12BEC BAC ∠=∠，12EH AF ==，EH BH =，进而得出点E 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，从而AE AC AB ==，可得出AH 是BE 的垂直平分线, 从而EAH BAH ∠=∠，AEH ABH ∠=∠，进而证得GAH AHG ∠=∠，从而AG GH =，进一步得出结论；（3）作CE AD ^于E ，可证得ACE BAH ≌V V ，从而得出AE BH =，进而得出 CP CA ==从而得出点P 在以C BC 交C e 于点 P ¢，可得出当点P 运动在P ¢处时，BP 最小， 作AH BC ^于H ，可求得APC △的面积，根据BPT CPA ∽V V ，可求得BPT △的面积，进一步得出结果．【详解】（1）如图1，作DE AC ^于E ，∴AB AC =，90BAC ∠=°，∴45B C ∠==°∠，在Rt CDE △中，CD =45C ∠=°，∴由勾股定理得：DE CE ==，在Rt ADE V 中，1054560DAC ADB C ∠=∠-∠=°-°=° ，DE =∴1AE =∴1AC AE CE =+=，在Rt ABC △中，1AC =，45C ∠=°，∴BC =+，∴BD BC CD =-=（2）证明：如图2，设AD 和CE 交于点O∴AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ^，∵90BAC ∠=°∴12AD BD CD BC ===，∵线段DE 绕D 顺时针旋转90°得到线段DF ，∴90EFD ∠=°，DE DF =，∴90ADB EDF ∠==°，∴ADF BDE ∠=∠，∴()SAS ADF BDE V V ≌，∴EBD FAB ∠=∠，BE AF =，CAF CAD ∠=∠，∴4545EBA CAF ∠+°=∠+°，∴EAB CAF ∠=∠，∵90ADC ∠=°，∴90BCE COD ∠+∠=°，∵AOE COD ∠=∠，∴90BCE AOE ∠+∠=°，∵90BCE CAF ∠+∠=°，∴CAF AOE ∠=∠，∴EBA AOE ∠=∠，∴点E B O A 、、、共圆，∴45BEC BAD ∠=∠=°，∴12BEC BAC ∠=∠，12EH AF ==，EH BH =，AB AC =，∴点E 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴AE AC AB ==，∵AG CE ^，∴12EG CG CE ==，∵EH BH =，AE AB =，∴AH 是BE 的垂直平分线，∴EAH BAH ∠=∠，AEH ABH ∠=∠，∵BH AG ∥，∴BAG ABH ∠=∠，∴GAH BAH BAG EAH AEH ∠=∠+∠=∠+∠，∵AHG EAH AEH ∠=∠+∠，∴GAH AHG ∠=∠，∴AG GH =，∴EG EH GH AF AG =++，∴22EG AG +，∴2CE AG =+；（3）如图3，作CE AD ^于E ，∴90AEC ∠=°，∴90EAC ACE ∠+∠=°，∵90BAC ∠=°，∴90BAH CAE ∠+∠=°，∴BAH ACE ∠=∠，∵AB AC =，90AEC AHB ∠=∠=°，∴()ACE BAH AAS V V ≌，∴AE BH =，∵2AP BH =，∴2AP AE =，∴CP CA ==∴点P 在以C BC 交C e 于点P ¢，∴当点P 运动在P ¢处时,BP 最小，如图4，作AH BC ^于H ，。

八年级（下）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列因式分解中，正确的是（ ）A. B. m 2−n 2=(m−n )23x 2−x =x(3x−1)C. D. x 4−2x 2y 2+y 4=(x 2−y 2)2x 2−3x−4=(x +4)(x−1)2.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A. B. (x +y)(x−2y)=x 2−xy +y 23x 2−x =x(3x−1)C. D. (a−b )2=(a−b)(a−b)m 2−n 2=(m−n )23.若分式的值是为正数，则x 的取值范围为（ ）x +1x 2+6A. B. C. D. x >−1x =−1x ≥−1x <−14.若x =1是一元二次方程x 2+kx -3=0的一个根，则k 的值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. −2−45.将方程x 2+4x +1=0配方后得到的形式是（ ）A. B. C. D. (x +2)2=3(x +2)2=−5(x +4)2=−3(x +4)2=36.根据下列条件，能判定平行四边形ABCD 是矩形的是（ ）A. ，B. AB =CD AD =BC AB =BCC. D. ，AC =BDAB//CD AD//BC7.若关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A. B. 且a <14a ≤14a ≠0C. 且 D. a ≥−14a ≠0a ≥−148.在x 3-4x 2+5x -k 中，有一个因式为（x +2），则k 的值为（ ）A. B. 34 C. 2D. −34−29.若关于x 的方程=m 无解，则m 的值为（ ）x−1x−2−m2−x A. 0 B. C. 0或 D. 1或−1−1−110.已知AB =AC ，AD 为∠BAC 的角平分线，D 、E 、F …为∠BAC 的角平分线上的若干点．如图1，连接BD 、CD ，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD 、CD 、BE 、CE ，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD 、CD 、CE 、BF 、CF ，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（ ）A. 24对B. 28对C. 36对D. 72对11.已知关于a 的一元二次方程5a 2-a -11=0的两实数根分别为m ，n ，则直线y =-mnx +m +n 一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12.如图，正方形ABCD 中，以AD 为底边作等腰△ADE ，将△ADE 沿DE 折叠，点A落到点F 处，连接EF 刚好经过点C ，再连接AF ，分别交DE 于G ，交CD 于H ．在下列结论中：①△ABM ≌△DCN ；②∠DAF =30°；③△AEF 是等腰直角三角形；④EC =CF ；⑤S △HCF =S △ADH ，其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.使分式有意义的x 的取值范围是______．xx−114.如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC =8，BD =6，则菱形的高为______ ．15.若a +b =5，ab =-2，则a 2b +ab 2= ______ ．16.如图▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，E 是CD 边的中点，连接OE ，若▱ABCD 周长为20，BD =8，则△ODE 的周长为______ ．17.设x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x -1=0的两个根，那么x 13-11x 1-3x 22-16= ______ ．18.4月23日为“世界读书日”，校团委计划募集若干本图书捐赠给社区留守儿童．实际募集的图书比计划增加了51本，从而使每位受赠者在所得书本数量不变的情况下，受赠人数比原计划的两倍少17人．已知实际受赠人数超过50人，但不超过60人，则原计划募集图书______ 本．三、计算题（本大题共3小题，共28.0分）19.分解因式；（1）2x 3−8x 2+8x （2）．(x−2y )2−4(2x−y )220.化简（1）2xx−2+x +22−x （2）．2x−6x 2−4x+4÷12−4xx 2+x−6⋅1x +321.解方程（1）=22xx−1−4x−1x 2−x（2）（x -2）（x +3）=5．四、解答题（本大题共5小题，共50.0分）22.先化简，再求值：÷（a +2-），其中a 是方程x 2+3x -1=0的解．a−33a 2−6a 5a−223.2009年9月开始运营的成渝动车，路线全长315km ，伴随动车的开通，成渝两地进入了“两小时经济圈”．2015年10月成渝高铁即将开通运营，时空距离将再次拉近，昔日“蜀道难，难于上青天”，今日“川渝通，通于斩天堑”．高铁路线全长294km ，平均运行速度将是动车的1.8倍，运行时间有望减少l 小时零5分钟，开通后成渝都将跨入“一小时经济圈”，住在重庆，工作在成都将不再是梦想．（1）求动车的平均速度；（2）重庆到成都的动车票价为110元/人，预计高铁票价为160元/人．高铁开通后，一个15人的旅行团想要由重庆到成都旅游，部分人乘坐高铁，其余乘坐动车，若要使单程票价总额不超过2280元，则最多可以安排多少人乘坐高铁？24.如图，正方形ABCD 中，点M 为DA 延长线上一点，连接BM ，过点C 作CN ∥BM ，交AD 于点N ，在CD 延长线上取一点F ，使BM =CF -DN ，连接BF ，交CN 于点E ．（1）∠F =30°，BC =2，求DF 的长度；3（2）求证：BC =EC ．25.商人陈某打算对现有门面进行转型投资．经过考察，发现其门面所在的融侨公园附近有几所规模不小的学校却没有相应的文具店．为了保证投资利益，陈某决定针对某些常用文具进行调研．该门面在开学前采购了一种今年新上市的文具袋，准备9月份（9月1日至9月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销量y（个）与销售时间x天之间有如下关系：y=-2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知销售价格z（元/个）与销售时间x之间的函数关系满足如图所示的函数图象．（1）求z于x的函数关系式；（2）在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，第x天的日销售利润为1125元，求x．26.已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作OE⊥CD于点E，且BC=4cm．点P从点B出发，沿折线BO-OE-ED运动，到点D停止．点P在BO上2以cm/s的速度运动，在折线OE-ED上以1cm/s的速度运动．当点P与点B不重合，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ左侧作矩形PQMN，使MQ=32 PQ，设点P的运动时间为t（s）（1）点P从点B运动到点O所需的时间为______（s）；当点P在线段OE上运动时，线段OP的长为______（用含t的代数式表示）；（2）当点N落在AB边上时，则t的值为______；（3）设矩形PQMN与△BOC重叠部分的面积为S（cm2），请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（4）在点P、O重合之前的整个运动过程中，作矩形PQMN关于直线PQ的轴对称图形PQM′N′，取CO中点K，是否存在某一时刻，使△PN′K为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、原式=（m+n）（m-n），错误；B、原式=x（3x-1），正确；C、原式=（x2-y2）2=（x+y）2（x-y）2，错误；D、原式=（x-4）（x+1），错误．故选B．A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；B、原式提取x得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式及平方差公式分解得到结果，即可做出判断；D、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断．此题考查了因式分解-运用公式法，提公因式法，以及十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A．不是乘积的形式，错误；B．符合因式分解的定义，正确；C．两边都是乘积的形式，错误；D．m2-n2=（m+n）（m-n），错误；故选B．认真审题，根据因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，进行分析，据此即可得到本题的答案．本题主要考查了因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，牢记定义是解题的关键，要注意认真总结．3.【答案】A【解析】解：∵分式的值为正数，x2+6＞0，∴x+1＞0，解答，x＞-1，故选A．若分式的值是正数，则只需分子和分母同号．本题主要考查了分式的值．根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：根据题意将x=1代入方程，得：1+k-3=0，解得k=2．故选：B．根据一元二次方程的根的定义，方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=1代入方程就得到一个关于k的方程，就可以求出k的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．5.【答案】A【解析】解：∵x2+4x+1=0∴x2+4x=-1∴x2+4x+4=-1+4∴（x+2）2=3故选A．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】C【解析】解：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴A不能判定；∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴B不能判定；∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴C能判定；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴D不能判定；故选：C．由平行四边形的判定方法和矩形的判定方法得出A、B、D不能判定，C能判定，即可得出结论．本题考查了矩形的判定方法、平行四边形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0有实数根，∴△=b2-4ac=12-4×a×1=1-4a≥0，解得：a≤，∵方程ax2+x+1=0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a≤且a≠0．故选B．由关于x的一元二次方程ax2+x+1=0有实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0．同时考查了一元二次方程的定义．8.【答案】A【解析】解：设另一个因式为：（x2-6x+m），则：x3-4x2+5x-k=（x+2）（x2-6x+m）=x3-4x2+（m-12）x+2m，∴m-12=5，解得：m=17，∴-k=2m=2×17=34，∴k=-34．故选A．认真审题，根据多项式中含有x3-4x2，并且进行因式分解后含有一个因式（x+2），所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案．本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．9.【答案】D【解析】解：方程去分母，得：x-1+m=m（x-2），（1-m）x=1-3m，当1-m=0时，整式方程无解，即m=1；当x-2=0时，即x=2，分式方程无解，把x=2代入（1-m）x=1-3m得：2（1-m）=1-3m，解得：m=-1，∴m=1或-1，故选：D．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是明确分式方程无解的条件．10.【答案】C【解析】解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．则有8个点，即第8个图形中有全等三角形：=36（对）．故选：C．根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．11.【答案】D【解析】解：因为关于a的一元二次方程5a2-a-11=0的两实数根分别为m，n，可得：-mn=>0，m+n=>0，可得：直线y=-mnx+m+n一定不经过第四象限，故选D.根据根与系数关系得出-mn和m+n的正负性，再解答即可．此题考查一次函数问题，关键根据根与系数关系得出-mn和m+n的正负性．12.【答案】B【解析】【分析】首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°，由此可以判定③正确，②错误，再证明AC∥DF，推出S△DFA=S△FDC，由此判断⑤正确，根据ASA可以判断①正确，在△EAF中，由∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由此判断④错误．本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造圆利用圆的有关性质解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，连接AC、以D为圆心DA为半径画圆．∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°∵△DEF是由△DEA翻折得到，∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，∴∠AFC=∠ADC=45°∴∠EFA=∠EAF=45°，∴∠AEF=90°，∴∠DEF=∠DEA=45°，∵EA=ED=EF，∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，∴∠DAF=∠DFA=22.5°，∴∠ADF=180°-∠DAF-∠DFA=135°，∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=45°，∴∠DCF=180°-∠CDF-∠DFC=67.5°，∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，∴∠HCF=∠FHC，∴△CFH是等腰三角形，故③正确．②错误，∵∠ACD=∠CDF，∴AC∥DF，∴S△DFA=S△FDC，∴S△ADH=S△CHF，故⑤正确，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠BAM=∠CDN，在△ABM和△DCN中，，∴△ABM≌△DCN，故①正确，在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，∴CE=CK＜CF，∴CE≠CF故④错误．∴①③⑤正确，选B．13.【答案】x≠1【解析】解：∵分式有意义，∴x-1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．14.【答案】4.8【解析】解：菱形的面积是：AC•BD=×8×6=24，菱形的边长是：AB===5，设菱形的高是h，则5h=24，解得：h=4.8．故答案是：4.8．首先根据对角线求得菱形的面积，再根据菱形的面积等于底乘以高，即可求得菱形的高．本题主要考查了菱形的面积的计算，正确理解菱形的面积的两种计算方法是解题的关键．15.【答案】-10【解析】解：∵a+b=5，ab=-2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=-2×5=-10．故答案为：-10．直接提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质的应用，能求出EO+DE的值是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质得出AD=BC，AB=CD，DO=BO=BD，求出BC+DC=10，DO=4，根据三角形的中位线求出EO=BC，求出DE+EO的值，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，DO=BO=BD，∵▱ABCD周长为20，BD=8，∴BC+DC=10，DO=4，∵BO=DO，E是CD边的中点，∴DE=DC，EO=BC，∴DE+EO=（BC+DC）=10=5，∴△ODE的周长为DO+DE+EO=4+5=9．故答案为：9．17.【答案】-99【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x-1=0的两个根，∴x12=-5x1+1，x22=5x2+1，x1+x2=-5，∴x13-11x1-3x22-16=-5x12+x1-11x1-3（-5x2+1）-16=-5（-5x1+1）-10x1+15x2-3-16=15（x1+x2）-5-3-16=-99，故答案为：-99．根据x1，x2是一元二次方程x2+5x-1=0的两个根，得到x12=-5x1+1，x22=5x2+1，x1+x2=-5，然后化简所求代数式，再整体代入求值即可．本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是，此题难度不大．解：设原来的受赠人数是x 人，每位受赠者得到y 本图书，则计划捐赠给社区儿童的图书的数量是xy 本；实际捐赠给社区儿童的图书的数量是xy+51本，实际受赠人数是2x-17人，所以xy+51=（2x-17）y ，整理，可得x=17+（1），又因为50＜2x-17≤60，所以34≤x≤38（2），由（1）（2），可得2≤y≤3，所以y=3，x=17+=34，34×3=102（本）．答：原计划募集图书102本．故答案为：102．根据题意，设原来的受赠人数是x 人，每位受赠者得到y 本图书，则计划捐赠给社区儿童的图书的数量是xy 本；然后判断出实际捐赠给社区儿童的图书的数量是xy+51本，实际受赠人数是2x-17人，再根据实际捐赠给社区儿童的图书的数量=每位受赠者得到的图书的数量×实际受赠人数，列出方程，根据50＜实际受赠人数≤60，求出x 、y 的值是多少，进而求出原计划募集图书多少本即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，找出合适的不等关系，进而列出不等式组是解答此类问题的关键．19.【答案】解：（1）原式；=2x(x 2−4x +4)=2x(x−2)2（2）原式=x 2−4xy +4y 2−4(4x 2−4xy +y 2)=x 2−4xy−16x 2+8xy =−15x 2．+4xy =x(−15x +4y)【解析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式合并即可得到结果．此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20.【答案】解：（1）原式=；2x x−2−x +2x−2=x−2x−2=1（2）原式=．2(x−3)(x−2)2×(x−2)(x +3)−4(x−3)×1x ＋3=1−2(x−2)=−12x−4【解析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：（1）去分母得：2x 2-4x +1=2x 2-2x ，解得：x =，12经检验x =是分式方程的解；12（2）方程整理得：x 2+x -11=0，这里a =1，b =1，c =-11，∵△=1+44=45，∴x =．−1±352【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程-公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：原式=÷a−33a(a−2)a 2−4−5a−2=•a−33a(a−2)a−2(a+3)(a−3)=13a(a +3)=，13(a 2+3a)∵a 是方程x 2+3x -1=0的解，∴a 2+3a =1，∴原式==．13(a 2+3a)13【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a 是方程x 2+3x-1=0的解得出a 2=1-3a ，代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．23.【答案】解：（1）设动车的平均速度为xkm /h ，则高铁的平均速度为1.8xkm /h ，由题意得-=，315x 2941.8x 6560解得x =140，答：动车的平均速度为140km/h．（2）设可以安排a人乘坐高铁，则（15-a）人乘坐动车，由题意得110a+160（15-a）≤2280，解得a≥2.4，∵a是整数，∴a最小取整数3．答：最多可以安排3人乘坐高铁．【解析】（1）设动车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为1.8xkm/h，根据运行时间有望减少l小时零5分钟，列出方程解答即可；（2）设可以安排a人乘坐高铁，则15-a人乘坐动车，根据单程票价总额不超过2280元，列出不等式解答即可．此题考查分式方程，一元一次不等式的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∠BCF=90°，33∴CF=BC•cot∠F=2×=6，3∴DF=6-2．（2）在CD上截取CH=ND，如图，则可证Rt△BCH≌Rt△CDN∴BH=CN=BM，∠HBC=∠NCD，又HF=CF-CH=CF-DN=BM，∴BH=FH∴∠FBH=∠BFH故∠FBC=∠FBH+∠HBC=∠BFH+∠NCD=∠BEC∴BC=EC．【解析】（1）由正方形的性质可知∠BCF=90°，由∠F=30°，BC=2结合三角函数可求得CF的长，再由线段间的关系可得出结论；（2）构造辅助线充分利用BM=CF-DN这个条件是关键，然后利用等角对等边的性质去证明．本题考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质以及特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）利用特殊角的三角函数值；（2）找到∠BEC=∠EBC．本题属于中档题，（1）没有难度，（2）稍微有点难度，解决该类型的题时，找边相等要想到两边所在的三角形为等边或者等腰三角形．25.【答案】（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，{38=6k+b则有：，解得：，{k =12b =35即z =x +35，12当20＜x ≤30时z =45，综上：z =；{12x +35，(1≤x ≤20)45，(20＜x ≤30)（2）当1≤x ≤20时，W =yz -20y =（-2x +80）（x +35）-20（-2x +80），12=-x 2+10x +1200当20＜x ≤30时，W =yz -20y =45（-2x +80）-20（-2x +80）=-50x +2000，即W ={−x 2+10x +1200，(1≤x ≤20)−50x +2000，(20＜x ≤30)9月30日的价格为45元，日销售量为20个，9月份当1≤x ≤20时日销售利润为：W =-x 2+10x +1200=-（x 2-10x +25）+1225=-（x -5）2+1225，当9月5日时日利润最大为1225元．当20＜x ≤30时，利润为W =-50x +2000，当x 增加时W 减小，故为x =21时最大．最大日销售利润为950元，综上9月份日销售利润最大为1225元．故把W =1125代入W =-（x -5）2+1225中，可得：x =15，在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，第15天的日销售利润为1125元．【解析】（1）根据图象得出销售价格z 与销售时间x （天）的关系为一次函数关系，进而求出即可；（2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而求出函数关系式，代入解答即可．此题主要考查了二次函数与一次函数的应用和一元二次方程的应用，根据已知得出利润与销量之间的函数关系式是解题关键．26.【答案】2；t -2；3或143【解析】解：（1）OB=BC=2cm ，则点P 从点B 运动到点O 所需的时间是=2，故答案是2，t-2；（2）当点N落在AB边上时，P在OE上，则PQ=CD=BC=2，则PN=QM=PQ=3=t，解得：t=3．当MN在AB上，P在CD上时，（t-2）=4，解得：t=．故答案是：或3；（3）P从B到O的时间是2秒，则BQ=t，重合部分是△BPQ，则S=t2；当2＜t≤3时，如图2．S△OBC=×42=4，QC=4-t，则S△QCG=（4-t）2，则S=4-（4-t）2=-t2+4t-4；当3＜t≤4时，如图3，QM=3，BQ=t，则QC=4-t，则S△QCG=（4-t）2，BM=t-3，则S△BMH=（t-3）2，则S=4-（4-t）2-（t-3）2=-t2+7t-；当P在DE上时，PQ=2+（t-4）=t-2，当MN在AB上时，（t-2）=4，解得：t=．当4＜t≤时，如图4．PC=2+（t-4）=t-2，CM=（t-2）．BM=4-CM=4-（t-2）=7-t，则S△BMH=（7-t）2=（14-3t）2．则S=4-（14-3t）2=-t2+t-；当＜t≤6时，重合部分是S=S△OBC=4．则PN'=t，KG=t-1，PG=3-t，GN'=t+t-3=t-3．当PK=KN'时，3-t=t-3，解得：t=；在直角△PKG中，PK2=（t-1）2+（3-t）2，当PN'=PK时，（t-1）2+（3-t）2=（t）2，解得：t=2-16或-2-16（舍去）．在直角△KN'G中，N'K2=（t-3）2+（t-1）2，当N'K=PN'时，（t-3）2+（t-1）2=（t）2，解得：t=（舍去）或．总之，t=2-16或或．（1）求得OB的长，则P到O的时间就可求得，进而求得OP的长；（2）点N在AB上，PQ=2，则PN=QM=PQ，据此即可求得；（3）首先求得P在OE上，且MN在AB上时t的值，以及P在DE上，且MN 在AN上时t的值，然后分情况进行讨论即可求解；（4）过K作KG⊥NP于点G，当PK=KN'时，PG=N'G，从而求得t；当PN'=PK 时，利用勾股定理求得PK，然后列方程求得t．本题考查了正方形的性质和等腰三角形的判定与性质，正确进行讨论是解决本题的关键．。

NO.1突然接到有段时间没有联系的张老师发来的小任务的时候，心里不禁有一些惊喜。

回头想想，好像那个让人惊心动魄的日子也就几个月之前的事情，几个月前，我还在为着那纸南开的录取通知书而埋头苦读，在操场上挥洒汗水，身边的还是那几个可爱的姑娘……一切都还历历在目。

那段日子辛苦，但是却真真切切值得怀念。

而此时此刻，当我坐在南开的自习室里面，敲打下这字字句句的时候，我明白，那段日子更是不悔，幸福，让我自豪的。

关于考前准备如果要说中考制胜的关键，我想应该就是“总结”。

不管是什么学科，这都是最重要的。

刷题当然也很关键，毕竟熟能生巧。

但是我一向不是使用题海战术的人，苦学不如巧学，我没有这么多时间来把一套又一套的辅导题目做完，那是很盲目的。

要想把课外习题运用到最佳，我一般会选择我自己最不熟悉的，或者是原来考试和做题的过程中不会做，做错过的题型抓出来练习。

但并不能是做题做完了就完了，一定要做总结。

不过也不是仅仅只把题目抄到本子上，更重要的是你要明白自己的错点到底在哪里，不然你第二次做还是卡在一样的地方。

不过文理科还是稍微有一些差距的。

总结相较起来比较适合文科（尤其是英语，因为英语的点很零碎。

）例如说，英语，我就拿一个本子专门记录错点（注意是错点不是错题），然后分类（如这是词汇拼写，这个是词语搭配）。

每做错一道题，就把这道题的错点写在相应的位置，这样下一次考试的时候一翻就翻到了。

政治也是如此，把每种题型对应的点写到书上，答题的时候一翻就到了。

理科的话则更加注重于理解了。

把自己的每一道错题搞得清清楚楚，每一个点都弄透彻了，也就基本没什么问题了。

关于中考期间心态一定要好！任何一套卷子遇到不会做的都很正常，所以说如果在考试过程中遇到不会做的题不要慌张。

在考试之前对自己的要求不能太高。

考完一科忘一科就行了。

然后就是时间安排，遇到一道不会做的题，给自己五分钟时间思考，想不出来就跳。

难题遇到也是很正常的事情，但要清楚自己的能力范围在哪里。

重庆市南开中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．75 B C ．0 D ．3-2．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．64a a a ÷=B ．()32624a a =C ．236a a a ⋅=D ．22243a a a -= 4．下列事件是必然事件的是（ ）A ．黄河入海流B ．白发三千丈C ．鱼戏莲叶间D ．千山鸟飞绝 5．一个正方形的面积是27，估计这个正方形的边长在（ ）A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间 6．小南准备观察液体中的扩散现象，他先用水管匀速在空脸盆内注满水，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开．为了验证墨水扩散速度与水的运动有关，小南在脸盆底部扎了一个口匀速放水．在整个过程中，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是（ ） A ． B ．C ．D ．7．下列说法正确的是（ ）A ．等腰三角形一边上的中线也是这条边上的高B ．面积相等的两个三角形全等C ．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部D ．两直线平行，内错角互补8．如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B 处，选对岸正对的一棵树A ，然后沿河岸直行20m 到达树C ，继续前行20m 到达点D 处，再从点D 处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A 正好被树C 遮挡住的点E 处时，停止行走，此时DE 的长度即为河岸AB 的宽度．小开这样判断的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA9．如图1，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）A ．200B ．175C ．150D ．12510．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 为BC 边上靠近点C 的三等分点，且AB BE =，若阴影部分面积为4，则ABC V 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图，已知AB CD ∥，BAC ∠的角平分线与CD 交于点E ，F 为射线AB 上的一个动点，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，且FG EG =．若AEF α∠=，则ECG ∠的度数为（ ）A ．452α︒- B ．30α︒+ C ．45α︒- D ．2α12．在整式()231a -，()254a a -+，()28419a a -+前添加“+”或“-”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M ．例如：()()()22222231548419618618618a a a a a a a a ----+--+=--=+=+，则2618M a =+，当1a =时，M 的化简求值结果为：2611824M =⨯+=．下列说法正确的个数为（ ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数；②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a 有且只有一个，此时14a =-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题13．世界上最小的鱼是生活在澳大利亚东海岸的胖婴鱼，它的质量约为0.0000012千克，将数据0.0000012用科学记数法表示为．14x 的取值范围是．15．已知8的立方根是x ，16的算术平方根是y ，则y x =．16．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y （棵）与参与活动人数x （人）的变化关系如下表所示：观察表中数据可知，该班有人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵．17．一个不透明口袋中装有红，黄，绿三种颜色的玻璃球共16个，每个球除颜色外完全相同，其中黄球和绿球一共12个，若从袋中任意摸出一球恰好摸到红球的概率是． 18．已知ABC V 两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为． 19．如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边的F 点上，已知4CF =，8AB =，则AD =．20．如图，在等边ABC V 中，点D 为线段AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，点E 为线段AC下方一点，连接CE ，且C D C E =，BDC ACE ∠=∠，连接BE 交AC 于点M ，点F 为线段AC延长线上一点，AD CF =，连接EF ．已知2AD =，则CM 的长为．21．如图，在ABC V 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，BAC ∠与BCA ∠的角平分线交于点D ，延长AD 交BC 于点E ，过点E 作EF AC ⊥于点F ，过点E 作EH CD ⊥交AC 于点H ，则下列结论：①135ADC ∠=︒；②HF GF =；③2222AC CE AE +=；④DEC HEF S S ∆∆=，正确的有．（填序号）22．对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M 为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M 的百位数字和个位数字互换位置，得到M '，规定()99M M F M '-=．已知A 、B 均为“2阶等差中项数”，其中31010A x y =++，10070B m n =++（18x ≤≤，1y ≤，m ，9n ≤，且x ，y ，m ，n 均为正整数）．令()()F A k F B =，当()()303F A F B --为完全平方数时，则满足条件的所有k 之和为．三、解答题23．计算：(1)())2020241113-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； (2)()3263272372a a a a a a ⋅+⋅÷+；(3)()()222525m n m n --+；(4)()()3131x y x y +--+．24．先化简，再求值：()()()()24332253a b a b a b a b b a ⎡⎤-+--++÷⎣⎦，其中4a =，23b =-． 25．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为BC 延长线上一点．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段BD 的垂直平分线，与边AC ，BC 分别交于点E ，F ，在线段AB 上截取AH ，使得AH AE =，连接EH ；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，连接BE ，DE ，求证：HE CD =．（请补全下面的证明过程） 证明：∵AB AC =，AH AE =，∴AB AH AC AE -=-，∴①______．∵EF 是BD 的垂直平分线，∴______②，∴EBD EDC ∠=∠．∵AB AC =，∴③______．在ECD V 中，CED ACB EDC ∠=∠-∠，HBE ABC EBD ∠=∠-∠，∴CED HBE ∠=∠．在EBH △和DEC V 中，()()BH EC BE ED ⎧=⎪⎨⎪=⎩已证④已证 ∴()SAS EBH DEC V V ≌．∴HE CD =．26．“五月五是端阳，插艾叶戴香囊，吃粽子撒白糖，龙船下水喜洋洋．”端午是我国传统节日，也是集拜神祭祖，祈福辟邪，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某校为了更好地调动学生参与端午活动的积极性，采取抽样调查的方法，调查了学生感兴趣的四项端午习俗项目：插艾叶，戴香囊，吃粽子，赛龙舟，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了______名学生，扇形统计图中m 的值为______；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有3000名学生，请估计该校对插艾叶项目感兴趣的学生有多少人？ 27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，过点A 作AD CB ⊥于点D ，延长DA 至点E ，使得DE AC =，过点E 作EF AB ∥，交CB 的延长线于点F ，连接CE ．(1)求证：ACB DEF V V ≌；(2)若50FCE ∠=︒，70CEF ∠=︒，求FCA ∠的度数．28．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法．请阅读材料：例题：计算()()()()234188345189234189345188+++⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+的值．解：设34188M =++⋅⋅⋅+，则原式()()()21892189378M M M M =++-++=． 请解决下列问题：(1)计算：()()()()2342024345202523420253452024______---⋅⋅⋅-⨯+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-⨯++++=L；(2)已知23a b a b-=+，求42332a b a b a b a b -+---的值；(3)证明：若n 为正整数，则代数式()()()223581n n n n +++++的值一定是某个整数的平方．29．如图1，已知八边形ABCDEFGH 相邻的两边互相垂直，且AB AH =，DC DE =，动点P 从八边形顶点A 出发，沿着八边形的边以每秒cm a 的速度逆时针运动，当P 运动到点E 时调头，以原来的速度原路返回，到A 点处停止运动．PAH V 的面积为()2cm S ，运动时间为t （秒），S 与t 的图象如图2所示，请回答以下问题：(1)AB =______cm ，DE =______cm ，=a ______cm/s ；(2)当点P 第一次在边CD 上运动时，求S 与t 的关系式；(3)点P 在返回过程中，当时间t 为何值时，AHP △为等腰三角形？请直接写出t 的值．。