分式方程(第3课时)

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x－2 1 3． (2012· 宁波)分式方程 ＝ 的解是 x＝8. x＋4 2 2x 4． (2013· 绍兴)分式方程 ＝ 3 的解是 x＝3. x－1
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5． (2013· 嘉兴)杭州到北京的铁路长 1 487 千米． 火 车的原平均速度为 x 千米/时，提速后平均速度增加了 70 千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 小时， 1 487 1 487 则可列方程为 － ＝3 . x x＋70
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【思路点拨】先解关于 x 的分式方程，求得 x 的 值，然后再依据 “解是非正数 ”建立不等式求 a 的取 值范围． 解析： 去分母， 得 a＋ 2＝ x＋ 1.解得 x＝ a＋ 1.∵x≤0 且 x＋ 1≠0， ∴ a＋ 1≤0 且 a＋ 1＋ 1≠ 0， ∴a≤－ 1 且 a≠ － 2.故选 B.
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(2013· 乐山 )甲、 乙两人同时分别从 A， B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地，已知 A， C 两 地间的距离为 110 千米，B，C 两地间的距离为 100 千 米，甲骑自行车的平均速度比乙快 2 千米 /时，结果两 人同时到达 C 地， 求两人的平均速度． 为解决此问题， 设乙骑自行车的平均速度为 x 千米 /时，由题意列出方 程，其中正确的是 ( 110 100 A. ＝ x＋ 2 x 110 100 C. ＝ x－ 2 x A ) 110 100 B. ＝ x x＋ 2 110 100 D. ＝ x x－ 2

D. 甲、乙、丙
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
基础通关
能力突破
素养达标
8. 某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10
％，则这种商品每件的进价为
240
元.
9. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种
畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1 200元，购进乙种粽子的
2 400 元.
1
2
3
3 600 元，每台笔记本电脑的价格是
4
5
6
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10
⁠
第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
基础通关
能力突破
素养达标
其他问题
3. 某实验室现有浓度为30％的盐酸50克，要配制浓度为25％的稀盐
酸，需加入 x 克水.下面是小华所在的学习小组所列的关于 x 的方程，你
认为正确的是(
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款
每件让利 m 元，采购人员发现(2)中的所有购买方案所需资金恰好相
同，试求 m 值.
解：(3)设购买资金为 W 元，
由题意，得 W ＝0.7×50 a ＋(40－ m )(300－ a )＝( m －5) a ＋12 000－300
m，
由题意，得14 750≤50 a ＋40(300－ a )≤14 800，
解得275≤ a ≤280.
∵ a 是正整数，
∴ a 的取值可以为275，276，277，278，279，280.

3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.

知识点
4．【2020·孝感】某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、 丙三种农产品，已知 1 kg 乙产品的售价比 1 kg 甲产品的售价 多 5 元，1 kg 丙产品的售价是 1 kg 甲产品售价的 3 倍，用 270 元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍． (1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元．
BS版八年级下
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程 第3课时 分式方程的应用
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13 见习题
解：设乙店的利润为 w 元． 由题意得 w＝(180－130)a＋(180×0.9－130)b＋(180×0.7－ 130)(150－a－b)＝54a＋36b－600＝54a＋36×1502－a－600＝36a ＋2 100.∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
知识点
∴a≤b，即 a≤1502－a，解得 a≤50. ∵w 随 a 的增大而增大， ∴当 a＝50 时，w 取得最大值，此时 w＝36×50＋2 100＝3 900. 答：乙店利润的最大值是 3 900 元．
知识点
解：设甲种货车每辆车可装 x 件帐篷，乙种货车每辆车可装 y 件 帐篷，依题意有x1＝0x0y0＋＝2800y，0，解得xy＝＝8100.0，
经检验，xy＝＝81000，是原方程组的解，且符合题意． 答：甲种货车每辆车可装 100 件帐篷，乙种货车每辆车可装 80
件帐篷．

这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化
为整式方程，再解整式方程．
问题2
你能试着解分式方程
90 30+v
=
60 30-v
吗？
问题3 这些解法有什么共同特点？
总结：
这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化
为整式方程，再解整式方程．
思考：
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母
解：移项、合并，得 50x =sv.
解得
x=
sv 50
.
检验：由于v，s 都是正数，当x
=
sv
时x（x+v）≠0，
所以，x
=
sv 50
50 是原分式方程的解，且符合题意.
sv
答：提速前列车的平均速度为 50 km/h．
探究列分式方程解实际问题的步骤
上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形 式，这在分析问题寻找规律时经常出现．例2中列出的 方程是以x 为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，
思考： （1）这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？ （2）你想怎样解决这个问题？关键是什么？
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量）， 也可以表示已知数（量）.
探究列分式方程解实际问题的步骤
例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间， 列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km， 提速前列车的平均速度为多少？
八年级 上册
15.3 分式方程 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了分式方程的概念并能够 解简单的分式方程的基础上，进一步巩固可化为 一元一次方程的分式方程的解法，归纳出解分式 方程的一般步骤，能够列分式方程解决简单的实 际问题．

华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》（第3课时）教学设计一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是华师大版数学八年级下册第16.3节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的解法，通过将分式方程转化为整式方程，让学生理解分式方程的解法实质，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了分式的概念、性质和运算，对分式有了一定的认识。

但是，对于分式方程的解法，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将分式方程转化为整式方程，让学生通过已有的知识解决新的问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能运用到实际问题中。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。

2.难点：如何将分式方程转化为整式方程，以及如何运用分式方程解决实际问题。

五. 教学方法1.自主学习：让学生在课堂上自主探究分式方程的解法。

2.合作交流：引导学生分组讨论，分享解题心得。

3.实例讲解：通过具体例子，让学生理解分式方程的解法在实际问题中的应用。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示分式方程的解法。

2.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式方程的概念，让学生回顾分式的性质和运算。

2.呈现（10分钟）展示分式方程的解法，引导学生将分式方程转化为整式方程。

3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）讲解一些典型的分式方程案例，让学生进一步理解分式方程的解法。

5.拓展（10分钟）引导学生运用分式方程解决实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，让学生明确分式方程的解法及其在实际问题中的应用。

3.4.3 分式方程（三）●教学目标（一）教学知识点1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.2.用分式方程来解决现实情境中的问题.（二）能力训练要求1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型.（三）情感与价值观要求1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.●教学重点1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.●教学难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.●教具准备实物投影仪投影片三张第一张：做一做，（记作§3.4.3 A）第二张：例3，（记作§3.4.3 B）第三张：随堂练习，（记作§3.4.3 C）●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.Ⅱ.讲授新课出示投影片（§3.4.3 A ）［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元. （1） ［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数.［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要.同学们尽管提出符合情境的问题.［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x102000元，根据题意，得 x 102000=x96000+500 解这个方程，得x=12经检验x=12是原方程的解，也符合题意.所以每年各有12间房屋出租.［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得：第一年每间房屋的租金为1296000=8000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8500（元）.［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元.第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得x 96000= 500102000+x 解，得x=8000x+500=8500（元）经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意.所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元.［师］我们利用分式方程解决了实际问题.现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情.出示投影片（§3.4.3 B ）［生］审清题意，找出题中的等量关系.［师］很好.某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32. ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m 3的水费与超出5 m 3部分的水费.［师］下面我们就来用等量关系列出方程.［师生共析］设超出5 m 3部分的水，每立方米收费设为x 元，则1月份， 张家超出 5 m 3的部分水费为（17.5－1.5×5）元，超出 5 m 3的用水量为x 55.15.17⨯-m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯-； 李家超出 5 m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出 5 m 3的用水量为x 55.15.27⨯-m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-） m 3 根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x 55.15.27⨯-+5）×32 解这个方程，得x=2.经检验x=2是所列方程的根.所以超出5 m 3部分的水，每立方米收费2元.Ⅲ.随堂练习出示投影片（§3.4.3 C ）［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本.硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21） ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题. ［生］解：设软皮本的价格为x 元，则硬皮本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )21(15+本.根据题意，得， x 15= x )211(15++1解，得x=5经检验x=5是原方程的根，也符合题意，所以（1+21）x=23×5=7.5（元） 故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元.Ⅳ.课时小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.Ⅴ.课后作业习题3.8图3－4Ⅵ.活动与探究如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为 3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？（2003年吉林省中考题）［过程］分析题目中的等量关系：王老师骑车速度=王老师步行速度×3;王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟. ［结果］设王老师步行速度为x km/h ，则骑自行车的速度为3x km/h. 依题意，得x 35.032+⨯=x 5.0+6020 解得x=5经检验x=5是原方程的根，这时3x=15答：王老师步行速度为5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h.●板书设计。

间内,有下列三种方案:
方案一:请甲队单独施工完成此工程;
方案二:请乙队单独施工完成此工程;
方案三:甲、乙两队合作完成此工程.以上三种方案哪一种 Nhomakorabea用最少?
解:(2)方案一,费用为2 000×20=40 000(元);
方案二,费用为1 400×30=42 000(元);
方案三,费用为(2 000+1 400)×12=40 800(元).
A.
C.

+

=4
B.
=4
D.
+

-

+


-
+
=200

-
-

=200
3.A,B 两地相距 180 km,新修的跨海大桥开通后,在 A,B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%,
而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1 h,若设原来的平均车速为 x km/h,则根据题意可列方程为


根据题意,得 + = .解这个方程,得 x=30.







经检验,x=30 是所列方程的根. x= ×30=20.
∴甲队单独完成此工程所需时间为 20 天,乙队单独完成此工程所需的时间为 30 天.
(2)若请甲队施工,公司每日需付费用2 000元;若请乙队施工,公司每日需付费用1 400元.在规定时
他步行到学校少用20 min,且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍,李老师到家开门、取手机、启
动电瓶车等共用4 min.
(1)求李老师步行的平均速度;
解:(1)设李老师步行的平均速度为 x m/min,则他骑电瓶车的平均速度为 5x m/min.

作业布置与反馈
1. 作业布置：
（1）请同学们完成课后练习题，巩固今天课堂上所学的分式方程解法及其应用。
（2）选取一个实际问题，运用所学的分式方程知识进行解决，并将解题过程和答案写在作业本上。
（3）阅读一篇关于分式方程在实际问题中的应用的文章，并写一篇读后感，分享你的收获和体会。
2. 作业反馈：
（1）我将及时批改同学们的作业，并给出具体的评价和反馈。对于正确完成作业的同学，我会给予肯定和鼓励；对于存在问题的同学，我会指出存在的问题，并给出改进建议。
反思改进措施
一、教学特色创新
1. 实际问题引入：我用了生活实例来引入新课，学生们都很感兴趣，这一点我觉得做得不错。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生自己尝试解决问题，这样能更好地让他们理解分式方程的应用。
3. 小组项目学习：让学生们分组解决实际问题，这样既能培养他们的合作意识，也能提高他们解决问题的能力。
4. 组织学生进行小组讨论或研究，分享各自搜集到的分式方程相关资料，相互学习和交流，提高合作能力。
5. 鼓励学生利用课余时间，参加学校或社区举办的数学讲座或活动，拓宽自己的数学视野，提升自己的数学素养。
课后拓展
1. 拓展内容：
（1）阅读材料：《分式方程的应用案例》、《分式方程在实际问题中的应用》等，让学生进一步了解分式方程的实际应用。
学具准备
Xxx
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学方法与策略
1. 针对本节课的教学目标和学生的实际情况，采用讲授法、案例研究和项目导向学习相结合的教学方法。通过教师的讲解，使学生掌握分式方程的解法；通过案例分析，让学生体会分式方程在实际问题中的应用；通过项目学习，培养学生解决实际问题的能力。

《分式方程》（第3课时）教案doc初中数学[教学目标]1. 明白分式方程的意义, 会解可化为一元一次方程的分式方程.2, 了解分式方程产生增根的缘故, 会判定所求得的根是否是分式方程的增根.3. 会列出方程解决简单的实际咨询题, 并能依照实际咨询题的意义检验所得结果是否合理.此外, 通过经历〝实际咨询题一建立数学模型(方程)一讲明、应用与拓展〞的过程, 体验解决咨询题的差不多策略, 进展应用意识和解决咨询题的技能．[教学过程(第三课时)]1. 情境创设课本以3个实际咨询题, 引导学生学习用分式方程解决实际咨询题的差不多方法, 进一步感受〝实际咨询题一建立方程一求解并讲明〞的过程.有时, 所列出的分式方程尽管有解, 但解却不符合实际情形, 这时原实际咨询题无解, 例3的设置正是为了表达这一点．2. 探究活动采纳〝个人摸索一小组交流一汇报方案’’的方式, 尝试从不同角度寻求解决咨询题的方法, 并能用文字、图表等手段清晰地表达解决咨询题的过程, 并会讲明结果的合理性. 例如:关于例4, 有以下两种解决方案可供选择:假设每小组有x名学生, 可得分式方程: , 解得x=10, 即每小组有10名学生；假设原先每人平均做c面彩旗, 可得分式方程：, 解得x=8, 从而确定每个小组有 10名学生.例5能够仿惯例4设计解决方案, 但由于例5中的数量关系较例4略为复杂, 因此可用表格的方式进行分析, 找出数量之间的相等关系, 从而得到方程．如：依照〝乙公司比甲公司人均多捐20元〞, 得方程:通过例6的探究和求解, 让学生感受在解决实际咨询题时, 存在如此的现象: 所列方程以及求得的根尽管正确, 但不符合咨询题的实际意义, 因此原实际咨询题仍旧无解.解分式方程(组)的检验是不可缺少的步骤．只是要注意检验的目的有两个方面：一方面是看所得数值是不是原方程的增根, 另一个方面, 关于应用题来讲, 还要检查所得的解是否合乎实际意义。

依题意，得2×
＝
，解得 x ＝80.

+
检验：当 x ＝80时， x ( x ＋10)＝7 200≠0.∴原方式方程的解为 x ＝80.
答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元.
1
2
3
第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
知识梳理
课时学业质量评价
(2)水果批发商销售这种赣南脐橙时，每箱定价为100元，最后300箱按
数量 .
⁠
第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
测评等级(在对应方格中画“√”)
易错题记录
知识梳理
A□
B□
课时学业质量评价
C□
D□
第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
知识梳理
课时学业质量评价
1. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中
的一些悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用.已知一片银杏树叶一
第十五章
15.3
第3课时
分式
分式方程
分式方程的实际应用
——销售及其他问题
第3课时 分式方程的实际应用——
销售及其他问题
知识梳理
课时学业质量评价
销售问题是分式方程的应用题中不可或缺的一类问题，这个问题中涉及
利润
的量与量之间的关系如下：售价－进价＝ 利润 ，利润率＝ 进价 .
×100％，售价＝标价×
折扣 ，销售额＝售价×
九折销售，售完这两批赣南脐橙后批发商共获利多少元？
解：(2)


＋

பைடு நூலகம்
× − ×100＋300×100×0.9－40 000－90 000

分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量 =5m3.
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则
今年的水价为
1
1 3
x
元/m3,根据题意，得
30 15 5.
1
1 3
x
x
解得
x 3. 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
3 2
1
1 3
2(元/m3
).
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
解得x=10. 经检验，x=10是原方程的解，
答：原计划平均每月的绿化面积为10 km2.
随堂练习
6.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知 A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水 中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4. 解得 x=±18.
x=－18（不合题意，舍去），
经检验，x=18是原方程的根. 答：船在静水中的速度为18千米/小时.
课堂小结
分式方程的 应用
常见类型
行程问题、工程问题、数字问题、 顺逆问题、利润问题等
一般解题步骤
课程讲授
1 分式方程的应用
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的
水价为
1
1 3
x元/m3,根据题意，得
30 15 5.
1
1 3
x
x
解得 x 3 .
2
经检验，x 3 是原方程的根.
2
3 2

8.5 分式方程 (第3课时)学习目标：会列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。

学习重点：如何结合实际分析问题，列出分式方程学习难点：相等关系的探索学习过程：一、复习巩固1、 解分式方程的一般步骤：2、练习：解方程：（1）13-x =x 4;（2）1210-x +x215-=2.二、例题讲解例1．为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。

这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做 4面。

如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？例2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。

问甲、乙两公司各有多少人？例3、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？总结用分式方程解实际问题的一般步骤：学生练习：第56页1、2三、小结 本节课你学到了哪些知识？ 你有什么感想？当 堂 检 测1、解方程：x 300－x2480=42、小丽与小明同时为艺术节制作小红花，小明每小时比小丽多做2朵，那么小明做100朵小红花与小丽做90朵小红花所用时间相等吗？3、改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1/3，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵数？4、市为了构建城市立体道路网络，决定修建一条轻轨铁路，为使工程提前半年完成，需将原定的工作效率提高25%。

原计划完成这项工程需要多少个月？。

某市从今年1月1日起调整居民用水价 格，每立方米水费上涨三分之一 ，小 丽家去年12月份的水费是15元，而今 年7月份的水费则是30元．已知小丽家 今年7月份的用水量比去年12月份的用 水量多5立方米，求该市今年居民用水 的价格．
解 : 设该市去年居民用水价格为每立方米x元, 1 则今年的水价为每立方米1 x元, 3 由题意得 30 15 5 x 1 1 x 3 解这个方程,得x 1.5 经检验x 1.5是这个方程的根. 1 1.5 (1 ) 2 3 答 : 该市居民用水的价格为每立方米2元.
解 : 设第一年每间房屋租金为X元, 第二年每间租金为( X 500 )元, 96000 102000 由题意得 x x 500 x 8000 经检验x 8000是原方程的根 x 8000 8500 答 : 第一年每间房屋租金为 8000 元, 第二年则为8500 元.
农机厂到距15千米的某地检修农机。一部分人骑自行车先 走，过了40分，其余的人乘汽车出发。结果他们同时到达。 若汽车的速度是自行车的3倍，求两种车的速度。 2 相等关系：骑车的时间— =乘车的时间
3
自行车路程=乘车路程；
骑车速度的3倍=乘车速度
v
自行车
s 15
t
15 x 15 3x
解：设自行车的速度是x千米/时， 汽车的速度为3 x千米/时。 依题意得:
甲
v
8x 7x
s
28 28
t
28 8x
28 28 1 7 x 8x 4
乙
28 7x
三、小结
列分式方程解应用题与一元一次方程 解应用题的方法与步骤基本相同，不同点 是，解分式方程必须要验根。一方面要看 原方程是否有增根，另一方面还要看解出 的根是否符合题意，原方程的增根和不符 合题意的根都应舍去。

1.理清速度、路程和时间对应的式子 2.关键词:“相同的时间” 3.数量关系:“提速前的路程÷提速前 的速度=提速后的路程÷提速后的速 度”,从而建立方程.
表达问题时,用字母不仅可以表示未 知数(量),也可以表示已知数(量).
这里的字母v,s 表示已知数据,设提速前列车
的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km 所
A. 720 720 2B. 720 720 2
x (x 20%)x
(1 20%)x x
C. 720 720 2D. 720 720
(1 20%)x x
x 2 (1 20%)x
1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污
管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时 间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,
新课标 人
数学
8年级/上
八年级数学·上 新课标 [人]
第十五章 分 式
学习新知
检测反馈
解下列方程.
(1) (x 1)2 3x 1 2 0;
x2
x
(2) 2x 1 1 1. x 3x
解:
(1)x 1.(2)x 4 . 3
学习新知
例1 两个工程队共同参与一项筑路工
程,甲队单独施工1个月完成总工程
时间非负、人数为正整数等.
(3)在一些实际问题中,有时直接 设问题所求的量为未知数可能比 较麻烦,可以间接地设未知数.
知识小结
列分式方程解应用题按下列步骤进行:
(1)审题了解已知量与所求各量所表示 的意义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数; (3)找出能够表示题中全部(或大部分) 含义的相等关系,列出分式方程;
1.关键词：“增加” 2.“5月份的销售量比4月份的销售量 增加20件”

.

乙：


＝1.6×
，解得 x ＝65，经检验， x ＝65是原方

−
程的解.
B 型玩具的单价 ，乙所列方程
则甲所列方程中的 x 表示
中的 x 表示 用520元购进 A 型玩具的数量
1
2
3
4
5
6
7
8
；
⁠
(2)该经营者准备用1 350元以原单价再次购进这两种型号
的玩具共200个，则最多可购进 A 型玩具多少个？
1
2
3
4
5
6
7
8
7. [情境题·低碳环保·2023·聊城二模]金师傅近期准备换车，
看中了价格相同的两款国产车(情况如下图).
(1)用含 a 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
【解】新能源车的每千米行驶费用为
1
2
3
4
5
6
7
8
×.

＝ (元).


(2)已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
为学生们购进 A ， B 两款文化衫，每件 A 款文化衫比每件
B 款文化衫贵10元，用600元购进 A 款文化衫和用480元购
进 B 款文化衫的数量相同.
(1)求 A 款文化衫和 B 款文化衫每件各多少元？
1
2
3
4
5
6
7
8
【解】设 B 款文化衫每件 x 元，则 A 款文化衫每件( x ＋10)元，
×50＝
×60，

＋
解得 x ＝300，
经检验， x ＝300是所列方程的解.
答：这个学校九年级学生有300人.

第五章 分式与分式方程
4
第3课时
分式方程
分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤及常用基本关系
1.列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：弄清题意，找出已知量，未知量，以及所求
量.
（2）设未知数：直接设未知数：设欲求的量为x；
间接设未知数：为了列方程简便，设与所求量有关的其
他的量为x.
1
2
3
4
5
6
系数化为1得x＝5.
经检验，x＝5是该方程的解.
故减少的长度是5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8.某体育场计划安装12 000个观众座位，原计划每天安装x个

座位，实际平均每天安装的座位数比原计划多 ，结果提前

100
20天完成安装任务，则原计划每天安装座位_______个.

点拨：根据题意可得
－ ＝20，

+

解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意.
故原计划每天安装座位100个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9.【2023·重庆南开中学期中】从人人互联、人物互联，到
物物互联，再到人、网、物三者的结合，5G技术最终将构
建起万物互联的智能世界.如果5G网络峰值速率是4G网络
−
＝25％

A.
B.150－x＝25％
C.x＝150×25％
D.25％x＝150
1
2
3
4
5