湖北省沙市中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(附答案)

2018—2019学年下学期2017级

期中考试理数试卷

考试时间：2019年4月23日

一．选择题

i．i是虚数单位，复数z满足322zii，则|z|=（ ）

A.5 B.13 C. 13 D.5

ii．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）

A．任意一个有理数,它的平方是有理数 B．任意一个无理数,它的平方不是有理数

C．存在一个有理数,它的平方是有理数 D．存在一个无理数,它的平方不是有理数

iii．过原点O的直线l与椭圆C：)0(12222babyax交于NM,两点，P是椭圆C上异于NM,的任一点．若直线PNPM,的斜率之积为31，则椭圆C的离心率为 （ ）

A．23 B．63 C．33 D．12

iv．用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213nnnnn时，由nk的假设到证明1nk时，等式左边应添加的式子是（ ）

A.22(1)2kk B.22(1)kk C.2(1)k D.21(1)[2(1)1]3kk

v．“14a ”是“不等式2201942xaxx对一切实数x恒成立”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

vi．已知向量(1,1,0),(1,0,2)ab ，且kab与2ab互相垂直，则k的值为（ ）

A．1 B．15 C．35 D．75

vii．若函数21()ln12fxxxax在区间)3,21(上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）

A．(,2] B．,2 C．),310[ D．5(,)2

viii． 已知过双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点且倾斜角为45的直线仅与双曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A．[2,) B．(2,) C．]2,1( D．)2,1(

ix． 如图，在平行六面体1111ABCDABCD中，底面是边长为1的正方形，若1160AABAAD，且13AA，则1AC的长为（ ）

A．5 B．22 C．14 D．17

x．已知axxgxexfx2)1()(,)(，若Rxx21,，使得)()(12xgxf成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．[,)e B．(,]e C．1[,)e D．1(,]e

xi．已知函数()yfx对任意的(,)22x满足'()cos()sin0fxxfxx（其中'()fx是函数()fx的导函数），则下列不等式成立的是（ ）

A．2()()34ff B．2()()34ff

C．(0)2()3ff D．(0)2()4ff

xii．已知a为常数，函数)(ln)(axxxxf有两个极值点)(,2121xxxx，则( )

A．21)(,0)(21xfxf B．21)(,0)(21xfxf

C．21)(,0)(21xfxf D．21)(,0)(21xfxf

二．填空题

xiii．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋at＝6at，(a，t均为正实数)，由以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.

xiv． 121(1)xxdx

xv．已知21,FF是椭圆1422yx的两个焦点,BA,分别是该椭圆的右顶点和上顶点，点P在线段AB上，则21PFPF的最小值为

xvi．若直线ykxb是曲线ln3yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b

三．解答题

xvii．已知Rm,命题p：对任意1,0x，不等式mmx3122恒成立；命题q：曲线xyemx 在任意一点处的切线斜率均大于2．

(Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；

(Ⅱ）若命题pq是假命题，求实数m的取值范围．

xviii．现将一根长为180 cm的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

xix．在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C。

（1）求曲线C的方程；

（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于点A、B，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线l的方程，若不能请说明理由.

xx．如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，3ABC，且PA平面ABCD．

（Ⅰ）证明：平面PAC平面PBD；

（Ⅱ）若平面PAB与平面PCD的夹角为3，试求线段PA的长．

xxi．已知点(,0)Em为抛物线22yx内一定点，过E作两条直线交抛物线于DCBA,,,，且NM,分别是线段CDAB,的中点．

（1）当ABCD时，求△EMN的面积的最小值；

（2）若2m且2ABCDkk，证明：直线MN过定点，并求定点坐标。

ABDCPA

Ｄ

E

B

C

xxii．已知函数322()7(,)fxxaxbxaaabR，且1x时()fx有极大值10.

（Ⅰ）求()fx的解析式；

（Ⅱ）若'()fx为()fx的导函数，不等式1'()(ln1)523fxkxxx（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值.（注：ln20.69,ln31.10,ln51.61）

高二年级期中考试理数答案

i．D

ii．B

iii．B

iv．B

v．A 解：不等式2201942xaxx对一切实数x恒成立14a，故选A。

vi． D

vii．C

viii．A 解：12bea

ix．A

x．C 解：Rxx21,，使得)()(12xgxf成立，则minma()()fxgx，∵min1()(1)fxfe，max()(1)gxga，∴1ae

xi．A

xii．D

xiii．41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋nn2－1＝nnn2－1，所以当n＝6时6a，35t，41at.

xiv．2

xv．115 解：22123PFPFxy，考虑22xy的几何意义即可得212||3PFPFOP，点P在线段AB上，则2min4||5OP，∴212minmin11||35PFPFOP

xvi．2ln3

xvii．（1）若p为真，则3535,22m；

（2）若q为真，则2m；

由题意知，p假或q假，所以p假：352m或352m，或q假：2m

∴352m或2m

xviii．解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为18012453(cm)0154xhxx.

故长方体的体积为2()2(453)Vxxx，而()18(10).Vxxx

令'()0Vx，解得x=0（舍去）或10x，因此x=1.

当0＜x＜10时，'()0Vx；当1015x时，'()0Vx，

故在x=10处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积()(10)3000VxV（cm3），此时长方体的长为20cm，高为15cm.

答：当长方体的长为20cm时，宽为10cm，高为15cm时，体积最大，最大体积为3000cm3。

xix．解：（1）设yxP,，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以3-0，，30，为焦点，

长半轴为2的椭圆。它的短半轴13222b，故曲线C的方程为1422yx

（2）设直线3kxyl：，分别交曲线C于11,yxA，11,yxB，其坐标满足

31422kxyyx 消去并整理得0132422kxxk

故432221kkxx ，41221kxx

若以线段AB为直线的圆过坐标原点，则OBOA，即02121yyxx

而332121221xxkxxkyy，于是0346441222222121kkkkkyyxx

化简得，所以0342k，所以211k直线l的方程为：3211xy

xx． 解：（Ⅰ）证明：PA平面ABCDBDPA， zyxEABDCP

四边形ABCD是菱形 BDAC，

又PAACA ， 所以BD平面PAC，

又BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD． （6分）

（Ⅱ）取DC的中点E，由题易证AECD，分别以AEABAP、、为xyz、、轴，建立空间直角坐标系Axyz(如图)，

设0PAmm．0,0,0,0,0,,3,1,0,3,1,0APmCD

所以3,1,,0,2,0DPmDC ． …………………………（7分）

设平面PCD的法向量为,,xyzn,根据0,0DPDCnn，得3020xymzy，

令xm，则,0,3mn ． …………………………（9分）

平面PAB的法向量可取1,0,0r，

…………………………（10分）

由题，21coscos,323mmnrnrnr，解得1m，

所以线段PA的长为1． …………………………（12分）

xxi．解：AB所在直线的方程为1xtym，代入22yx中，得21220ytym，

设1122(,),(,)AxyBxy，则有1212yyt，从而1211211()2(2)2xxtyymttm．

则211(,)Mtmt．-----------------------------3分

设CD所在直线的方程为2xtym，同理可得222(,)Ntmt．

（1）211||||1EMtt，222||||1ENtt． -----------------------------4分