湖北省沙市中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
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沙市中学2017年春季高二年级期中考试文数试卷
考试时间：2017年4月18日 上午8:00-10:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
i．下列说法中错误的是（ ）
A．给定两个命题,pq，若pq为真命题，则pq、都是假命题；
B．命题“若2320xx，则1x”的逆否命题是“若1,x，则2320xx”；
C．若命题1:,212xxpxR，则0:pxR，使得001212xx；
D．函数()fx在0xx处的导数存在，若'00:(=0:pfxqxx）；是()fx的极值点，则p是q
的充要条件.
ii．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第四组抽取的学生编号为（ ）145，150)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在150～185cm(含150cm，不含185cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）
A．9i？ B．8i？ C．7i？ D．6i？
iii．已知直线10()axyaR是圆22:(1)(2)4Cxy的一条对称轴，过点(2,)Aa向圆C作切线，切点为B，则||AB（ ） A．6
B．10
C．14 D．32
iv．已知集合[2,2],[1,1]AB，设{(,)|,}PxyxAyB，在集合P内随机取出一个元素(,)xy为点Q的坐标，则点Q到点(0,1)的距离不大于2的概率为（ ）
A．14 B．4 C．2 D．8
v．函数()fx的定义域为R，且满足(2)1f，()fx的导函数'()fx的图象如右图，若正实数,ab
满足(2)1fab，则11ba的取值范围为（ ）
A．1(,3)2 B．2(,2)3 C．(1,4) D．13(,)32
vi．如图所示，函数)0()23()(23adxbacbxaxxf在1x与xm处分别取得极大和极小值，且(0)3f．若5m，且方程axf8)(有三个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A． 1(,3)6 B．23(,)32 C．1(,3)11 D．13(,)112
vii．已知点A是抛物线24xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足||=||PAmPB，当m取最大值时，点P恰好在以AB、为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）
A．5+12 B．2+12 C．52 D．2+1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
viii．椭圆122myx的长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 ．
ix．曲线lnyxx在1x处的切线与曲线2yaxax相切，则a ．
x．已知定义在R上的函数fx满足21f，且fx的导函数'1fxx，则不等式
2112fxxx的解集为 .
xi．在平面直角坐标系中，ABC的顶点,AB分别是离心率为e的圆锥曲线221xymn的焦点，顶x y
O
点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当0mn时，有(sinsin)sineABC．类似地，当0,0mn时，有e（
）sinC．
三、解答题：本题共6小题，共70分，
xii．（12分）已知命题p：函数32()39,Rfxxxaxa在区间[1,2]上单调递减，命题q：不等式|2|4xax的解集为R，若 “pq”为真，求实数a的取值范围．
xiii．（12分）某学校在高二年级学生中进行了一次有关数学学习时长与学习效果的跟踪调查，为期一个月，共调查了120人。其中日平均学习数学时间超过40分钟的有70人，不超过40分钟的有50人。在一个月后的月考成绩中，日平均学习数学时间超过40分钟的学生中有42人成绩提升，不超过40分钟的学生中有18人成绩提升。
（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（Ⅱ）画出等高条形图；
（Ⅲ）检验学习时长是否与成绩提升有关，可靠性有多大。
附： ))()()(()(22dbcadcbabcadnK
（Ⅰ）2×2的列联表：
（Ⅱ）等高条形图：
月考成绩
学习时长 有提升 没有提升 合计
超过40分钟
不超过40分钟
合计
xiv．（12分）已知函数321()252ln3fxxxxx.
（Ⅰ）求函数()fx的极值点；（Ⅱ）求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值.
P(Kk2) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 xv．（12分）已知函数()ln1fxxax.
（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；
（Ⅱ）若在y轴右侧，函数2()(1)hxaxax的图象都在函数()fx图象的上方，求整数a的最小值．
xvi．（12分）设椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足112BFFF，且2ABAF．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、2F三点的圆恰好与直线
330xy相切，求椭圆C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设直线l：ykxm (其中k、mZ)
与椭圆C交于不同两点,MN，与双曲线22:1412xyD交于不同两点,EF．问是否存在
直线l，使向量0NFME，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在，请说明理由．
xvii．（10分）已知函数()|||21|fxxax()aR．（Ⅰ）当1a时，求()3fx的解集；
（Ⅱ）若()|21|fxx的解集包含集合1[,1]2，求实数a的取值范围．
i．D
ii．D
iii．C
iv．B
v．A
vi．C 解：函数)(xf的导函数为bacbxaxxf2323)(2'
如图可知：函数)(xf的图像过点（0，3），且0)1('f得 03023233cdbacbad
依题意babxaxxfaxbabxaxxf2323)()0(3)23()(2'23
由abf90)5(' ① 若方程()8fxa有三个不同的根，当且仅当满足
)1(8)5(faf ② 由①②得：3111378325aaaa
所以 当3111a时方程axf8)(有三个不同的根
vii．D 解：(2,1)P，12||2,||22PFPF，∴2222a，∴12121e
viii．4或14
ix．1
x．2xx
xi．|sinsin|AB
xii．解：当命题p为真命题时，应有a[1,)； ………………3分
当命题q为真命题时，应有a(2,)， ………………6分
∵ “pq”为真．∴即p真或q至少有一个为真，………………7分
p假：1a，q真：2a，
………………9分
∴p假或q真为：1a或2a
故，实数a的取值范围是(,1)(2,)． ………………12分
xiii．解：（1）2×2的列联表：
月考成绩
学习时长 有提升 没有提升
合计
超过40分钟 42 28 70
没有超过40分钟 18 32 50
合计 60 60
120
（2）等高条形图：
（3）假设学习时长与成绩提升无关，计算
2120(42322818)168=6.726.6357050606025k，所以有理由认为学习时长与成绩提升无关是不合理的，即我们有99%的把握认为学习时长与成绩提升有关。
xiv．（1）2'()(1)(2)fxxx，∴2x是极值点；………………6分
（2）max14()(2)2ln23fxf，min10()(1)3fxf。 ………………12分
xv．（1）()ln1fxxax，11'()axfxaxx，0x，………………1分
①当0a时，'()0fx，∴ ()fx在(0,)上是增函数；………………2分
②当0a时，'()0fx解得10xa，
∴()fx在1(0,)a上单调递增；在1(,)a上单调递减．………………4分
（2）令2()()()ln(21)1gxfxhxxaxax，依题意知()0gx在(0,)上恒成立．
∴212(12)1(21)(1)'()2(21)axaxaxxgxaxaxxx ……………6分
①当0a时，∵0x，∴g'()0x，∴ g()x在(0,)上是增函数；
又∵(1)320ga，与题意不符，舍去． ………………8分
②当0a时，'()0gx解得1(0,)2xa，∴()gx在1(0,)2a上是增函数，在1(,)2a上是减函数，故max11()()ln(2)24gxgaaa ………………10分
若()0gx在(0,)上恒成立，则需max11()()ln(2)024gxgaaa
令1()ln(2)4aaa，则()x在(0,)上是减函数，且1(1)ln204，1()02
∴当1a时，()0a，故整数a的最小值为1． ………………12分
xvi．解：（Ⅰ）由题意知1(,0)Fc，2(,0)Fc，(0,)Ab，∵112BFFF知1F为2BF的中点，AB⊥2AF ∴2RtABF中，22222BFABAF，22222(4)(9)ccba，又222abc
