湖北省荆州市沙市中学高二(下)期中数学(理)试卷
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2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设命题p：∃x0∈R，x02+2x0+3＞0，则￢p为（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∃x∈R，x2+2x+3≤0
C．∀x∈R，x2+2x+3≤0 D．∃x∈R，x2+2x+3=0
2．已知A，B是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为﹣，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．双曲线H1与双曲线H2：﹣=1具有相同的渐近线，且点（2，）在H1上，则H1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
5．已知点A（2，0），直线l：x=1，双曲线H：x2﹣y2=2，P为H上任意一点，且到l的距离为d，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
6．已知双曲线H：﹣=1，斜率为2的动直线l交H于A，B两点，则线段AB的中点在一条定直线上，这条定直线的方程为（ ）
A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+2y=0 D．x﹣2y=0
7．如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．已知抛物线x2=﹣y+1与x轴交于A，B两点（A在B的左边），M为抛物线上不同于A，B的任意一点，则kMA﹣kMB=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
10．已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=1，AC=BD=4，BD与α所成角的正弦值为，则CD=（ ）
A．5 B． C．6 D．7
12．给出以下命题：
（1）直线l：y=k（x﹣3）与双曲线﹣=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直线有3条；
（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=++，则P，A，B，C四点共面；
（3）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2﹣+2，则P，A，B，C四点一定不共面；
（4）直线θ=（ρ∈R）与曲线ρ=（ρ∈R）没有公共点．
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．）
13．曲线x2﹣xy+2y+1=0（x＞2）上的点到x轴的距离的最小值为
．
14．已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=
．
15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为 ．
16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2．，A1关于直线bx+ay=0的对称点在圆（x+a）2+y2=a2上，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设P： =（m，m﹣1，m+1）与=（1，4，2）的夹角为锐角．Q：点（m，1）在椭圆+=1的外部．若P与Q有且只有一个正确，求m的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．
（1）若EF⊥PA，求的值；
（2）求二面角P﹣BD﹣E的大小．
19．过（4，0）的直线与抛物线y2=4x交于A（x1y1），B（x2，y2）两点．
（1）求证：x1x2，y1y2均为定值．
（2）求证：以线段AB为直径的圆经过一定点，并求出该定点的坐标．
20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+1=0．
（1）写出圆C的普通方程；
（2）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（3）过直线l的任意一点P作直线与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的最小值．
21．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，），又A1（﹣1，0）．点M在直线CD上，点N在直线BC上，且=λ， =λ（λ∈R）．
（1）求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；
（2）过点P（1，1）能否作一条直线l，与曲线S交于E、F两点，且点P是线段EF的中点．
22．设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求证：直线RT恒过一个定点．
2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设命题p：∃x0∈R，x02+2x0+3＞0，则￢p为（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∃x∈R，x2+2x+3≤0
C．∀x∈R，x2+2x+3≤0 D．∃x∈R，x2+2x+3=0
【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+2x0+3＞0，则￢p为：∀x∈R，x2+2x+3≤0．
故选：C．
2．已知A，B是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为﹣，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为﹣得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合隐含条件求得E的离心率．
【解答】解：由题意方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），
设M（x0，y0），∴，
则，整理得：，① 又，得，即，②
联立①②，得，即，解得e=．
故选：D．
3．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】找出△PF1F2内切圆半径与P点纵坐标的关系，要使△PF1F2内切圆半径最大可得P点的纵坐标最大，由此求得△PF1F2内切圆半径的最大值．
【解答】解：由椭圆+=1，得a2=25，b2=16，∴c2=a2﹣b2=9，则c=3，
如图，
∵=，
∴2c•|yP|=（2a+2c）•r，则r=|yP|，
要使△PF1F2内切圆半径最大，则需|yP|最大，
∵|yP|≤b=4，
∴△PF1F2内切圆半径的最大值为．
故选：C．
4．双曲线H1与双曲线H2：﹣=1具有相同的渐近线，且点（2，）在H1上，则H1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用两个双曲线渐近线相同设出双曲线的方程，利用待定系数法进行求解即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线H1与双曲线H2：﹣=1具有相同的渐近线，
∴设双曲线H1的方程为﹣=λ，（λ≠0），
∵点（2，）在H1上，
∴λ==3﹣1=2，
即双曲线H1的方程为﹣=2，即﹣=1，
即a2=40，b2=10，c2=40+10=50，
即a=2，b=，c=5，
则H1的一个焦点为（5，0），渐近线方程y=±x=±x，
不妨设y=x，即x﹣2y=0，
则焦点到渐近线的距离为d==，
故选：B
5．已知点A（2，0），直线l：x=1，双曲线H：x2﹣y2=2，P为H上任意一点，且到l的距离为d，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设P（x，y），根据两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行化简即可． 【解答】解：设P（x，y），则x2﹣y2=2，即x2﹣2=y2，
则=====，
故选：A
6．已知双曲线H：﹣=1，斜率为2的动直线l交H于A，B两点，则线段AB的中点在一条定直线上，这条定直线的方程为（ ）
A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+2y=0 D．x﹣2y=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB中点为M（x0，y0）．
则， =1，
相减可得=，
即=2•
又=2，y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，
则2•=2，
即x0=y0，即x0﹣y0=0．
故线段AB的中点在直线x﹣y=0上．
故选：B
7．如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，
