六年级奥数-分数裂项

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本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：

1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn

1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算： 知识点拨 教学目标

分数裂项计算

2 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11abababababba （2）2222ababababababba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】 111111223344556 。

【巩固】 111......101111125960

【巩固】 2222109985443

【例 2】 111111212312100

公式的变式

11221…nnn()

当n分别取1，2，3，……，100时，就有

112121122231123234112342451121002100101… 例题精讲

3 111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101……………()()()

2100101200101199101

求和公式推导：

S1=1+2+3+4+5

+ S1=5+4+3+2+1

【例 3】 111113355799101

【巩固】 计算：1111251335572325

【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

4 3×13×(12−15)+⋯

【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288

方法一：

=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128

=12×(12−14+⋯+114−116+116−118)×128

方法二：

=[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128

=16×(22+26+212+220+230+242+256+272)

=16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9)

=16×2×(1−12+12−13+⋯+18−19)

【巩固】 11111111612203042567290_______

【巩固】 11111113610152128

一项隔一项来拆项

=1+12×(1−13)+16+13×(12−15)+115+14×(13−17)+128

【巩固】 计算：1111111112612203042567290＝

=12−(12−13)−⋯(19−110)

【巩固】 11111104088154238 。

5 =13×(12−15+15−18+⋯114−117)

【例 5】 74.50.1611111813153563133.753.23

【例 6】 计算：11111123420261220420

=(1+2+⋯+20)+(1−12+12−13+⋯+120−121)

【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270=

。

【巩固】 计算：1122426153577

____。

【巩固】 计算：1111111315356399143195

【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900 ．

=1−12+1−16+⋯+1−19900

=99−(12+16+⋯+19900)

6 【例 7】 111123234789

【巩固】 计算：1111232349899100

【巩固】 计算：1111135246357202224

=14×(11×3−13×5+12×4−14×6+⋯+120×22−122×24)

【巩固】 999897112323434599100101

=1−11×2×3+1−22×3×4+1−33×4×5+⋯1−9999×100×101

【例 8】 11111123423453456678978910

=13×(11×2×3−12×3×4+⋯+17×8×9−18×9×10)

【例 9】 计算：57191232348910

．

=2+31×2×3+3+42×3×4+⋯+9+108×9×10

7

【例 10】 123456121231234123451234561234567

=1−11×2+31×2×3−11×2×3+41×2×3×4−11×2×3×4+⋯+71×2×3×4×5×6×7−11×2×3×4×5×6×7

【巩固】 计算：23993!4!100! .

【例 11】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)

=2×12×(1−11+2)+3×13(11+2−11+2+3)+⋯+50×150×(11+2+⋯+49−11+2+⋯+50

【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)（）

【例 12】

5667788991056677889910

【巩固】

36579111357612203042

=35+67+56+3+43×4+4+54×5+5+65×6+6+76×7