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(完整word版)六年级奥数分数裂项

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(完整word版)六年级奥数分数裂项 1 / 8

分数裂项计算

教课目的

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，能够分为察看、改造、运用公式等过程。好多时候裂项的方式不易找到，需要进行适合的变形，或许先进行一部分运算，使其变得更为简单了然。

本讲是整个奥数知识系统中的一个精髓部分， 列项与通项概括是密不行分的，因此先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。

知识点拨

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法 . 裂项分为分数裂项和整

数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。碰到裂项的计算题时，要认真的

察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂

的计算，一般都是中间部分消去的过程， 这样的话， 找到相邻两项的相像部分， 让它们消去才是最根本的。

(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数， 即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前方， 即 a b ，

a b

那么有 1 1 1 1

a b b a ( )

a b (2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：

1 ， 1 形式的，我们有：

n ( n 1) (n 2)

( n 1) ( n 2) ( n n 3)

n ( n 1

(n 2) 1 [ 1

1) (n 1 ]

1) 2 n (n 1)(n 2)

1 1 [ 1 1

n ( n 1) (n 2) (n

3) 3 (n 1) (n ]

n 2) (n 1) (n 2) (n 3)

裂差型裂项的三大重点特点：

（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将 x

提拿出来即可转变为分子都是 1 的运算。

（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”

（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常有的裂和型运算主要有以下两种形式：

1-2-2-1. 分数裂项 . 题库 教师版 page 1 of 8 (完整word版)六年级奥数分数裂项

2 / 8 （ 1） a 2 2 2 2

b ab1 1 （ 2） a b a ba b

a b a b a b b a a b a b a b b a 裂和型运算与裂差型运算的 比：

裂差型运算的中心 是“两两抵消达到 化的目的” ，裂和型运算的 目不 有“两两抵消”型的，同 有 化 “分数凑整”型的，以达到 化目的。

例题精讲

【例 1 】 1 1 1 1 1 。

2 2 3 3 4 4 5 5

1 6

【稳固】 1 1 ...... 1

11 11 12 60 10 59

【稳固】 2 2 L 2 2

9 9 8 4 4 3 10 5

【例 2 】 1

1 1 1

3 L L 1

1 2 1 2 1 2 L 100

公式的 式

1 2

1 2 ⋯ n n (n 1)

当 n 分 取 1， 2， 3，⋯⋯， 100 ，就有

1 2 1 1 2 12

1 2 2 3

1 2

1 2 3 3 4

1 2

1 2 3 4 4 5

1 2

1 2 ⋯ 100 100 101

1-2-2-1. 分数裂项 . 题库 教师版 page 2 of 8 (完整word版)六年级奥数分数裂项 3 / 8

1 1 1 ⋯ 1

1 1 2 1 2 3

1 2 ⋯ 100

2 2 2 ⋯ 2 2

1 2 2 3 3 4 99 100 100 101

2 ( 1 1 1 1 1 )

2 2 3 3 ⋯

99 100 100 1 4 101

2 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 ⋯

99 100 100 )

4 101

2 (1 1 )

101

100 2 101 200

101 99 1 101

乞降公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1

【例 3 】 1 1 1 L 1

3 3 5 5 7 101 1 99

【稳固】 计算： 25 1 1 1 L 1

3 3 5 5 7 25 1 23

【稳固】 251 251 251 251 251

4 8 8 12 12 16 L

2004 2004 2008 2000

【稳固】 计算： 3 2 4 5 6 7 1

5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2

1 1 1 ) + ?

3 × ×( -

5

3 2

1-2-2-1. 分数裂项 . 题库 教师版 page 3 of 8 (完整word版)六年级奥数分数裂项 4 / 8

【例 4 】 计算： (1 1 1 1 1 1 1 1 ) 128

8 24 48 80 120 168 224 288

方法一：

= ( 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

) ×128 2 ×4 4 ×6 6 ×8 8 ×10 10 ×12 12 × 14 14 ×16 16 ×18

1 1 1 1 1 1 1

= 2 ×( 2 - 4 + ? + 14 - 16 + 16 - 18 ) ×128

方法二：

= [ 1 ×(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 )] ×128

8 3 6 10 15 21 28 36 2

2 2 2 + 2 2 + 2 + 2 +

= 16 ×( + + 12 + 30 )

2 2 2 6 20 42 56 72 2

2 2 2 2 2

= 16 × ( 1 ×2 + 2 ×3 + 3 ×4 + 4 ×5 + 5 ×6 + 6 ×7 + 7 ×8 + 8 ×9 )

= 16 ×2 ×(1 - 1 1 1 1 1

2 + - + ? + - )

2 3 8 9

【稳固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______

6 12 20 30 42 56 72 90

1 1 1 1 1 1

【稳固】 1

6 10 15 21 28

3

一项隔一项来拆项

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= 1 + ×(1 - ) +

6 + ×( - ) +

15 + ×( -

7 ) +

2 3 3 2 5 4 3 28

【稳固】 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝

2 6 12 20 30 42 56 72 90

1 1 - 1 1 1

= - ( ) - ? ( - )

2 2 3 9 10

【稳固】 1 1 1 1 1 。

10 40 88 154 238

1 1 1 1 1 1 1

= × ( - + - + ? - )

3 2 5 5 8 14 17

1-2-2-1. 分数裂项 . 题库 教师版 page 4 of 8 (完整word版)六年级奥数分数裂项

5 / 8 7

&

【例 5 】 18 1 1 1 1 1 3 15 35 63 13

3

【例 6 】 计算： 1 1 2 1 3 1 4 1 L 20 1

2 6 12 20 420

1 1 1 1 1

= ( 1 + 2 + ? + 20 ) + (1 - + - + ? + - )

2 2 3 20 21

1 1 1 1 1 。 【稳固】 计算： 2008 2009 2010 2011 2012=

18 54 108 180 270

【稳固】 计算： 1 1 2 2 4 ____。

2 6 15 35 77

【稳固】 计算： 1 1 1 1 1 1 1

3 15 35 63 99 143 195

【稳固】 计算： 1 5 11 19 29 L 9701 9899 ． 2 6 12 20 30 9702 9900

= 1 - 1 1 1

+ 1 - + ? + 1 -

2 6 9900

1 1 1

= 99 - ( + + ? + )

2 6 9900

【例 7 】 1 1 L 1

2 3 2 3 4 8 9 1 7

1-2-2-1. 分数裂项 . 题库 教师版 page 5 of 8

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小学六年级奥数 裂项第一讲

小学六年级奥数 裂项第一讲

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小学六年级奥数 裂项第一讲

一、教学目标：1. 掌握分数裂项的基本原理。

2．掌握裂差和裂和的联系与区别

二、重点难点：裂项的技巧去分数运算

三、教学内容：知识梳理

1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。

2、分数裂项的技巧

分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。

第一类：“裂差”型运算。

当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。

两项的裂差非常重要，一定要掌握。

第二类：“裂和”型运算。

当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。 学习好资料

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四、归纳总结

1、裂差型基本形式：

2、裂项和基本形式： 学习好资料

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3、裂项的实质和意义

裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；

裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。

五、课堂检测

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

例1仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？ 学习好资料

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分析:先通分（把分母都变成各分母之积），分母相同后，再相加或者相减，把两项整理成一项，注意步骤的完整

例2 仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？ 学习好资料

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在此处键入公式。

在此处键入公式。

分母拆分为两个数字的乘积，分子拆分为两个数字的差或和，分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。

六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版

六年级上册数学竞赛试题分数裂项求和方法总结_通用版

本文由一线教师精心整理/word可编辑

1 / 3 分数裂项求和方法总结

（一） 用裂项法求1(1)nn型分数求和分析：因为

111nn＝11(1)(1)(1)nnnnnnnn（n为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1nnnn

【例1】 求111......101111125960的和。

（二） 用裂项法求1()nnk型分数求和：分析：1()nnk型。（n,k均为自然数）因为

11111()[]()()()nknknnkknnknnknnk所以1111()()nnkknnk

【例2】 计算11111577991111131315

（三） 用裂项法求()knnk型分数求和：分析：()knnk型（n,k均为自然数）

11nnk＝()()nknnnknnk＝()knnk 所以()knnk＝11nnk

【例3】 求2222......1335579799的和

（四） 用裂项法求2()(2)knnknk型分数求和： 分析：2()(2)knnknk

（n,k均为自然数）211()(2)()()(2)knnknknnknknk

【例4】 计算：4444......135357939597959799

（五） 用裂项法求1()(2)(3)nnknknk型分数求和分析：1()(2)(3)nnknknk（n,k均为自然数） 本文由一线教师精心整理/word可编辑

2 / 3 【例5】 计算：111......1234234517181920

(完整word版)六年级奥数分数裂项

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分数裂项计算

教课目的

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，能够分为察看、改造、运用公式等过程。好多时候裂项的方式不易找到，需要进行适合的变形，或许先进行一部分运算，使其变得更为简单了然。

本讲是整个奥数知识系统中的一个精髓部分， 列项与通项概括是密不行分的，因此先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。

知识点拨

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法 . 裂项分为分数裂项和整

数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。碰到裂项的计算题时，要认真的

察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂

的计算，一般都是中间部分消去的过程， 这样的话， 找到相邻两项的相像部分， 让它们消去才是最根本的。

(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数， 即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前方， 即 a b ，

a b

那么有 1 1 1 1

a b b a ( )

a b (2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：

1 ， 1 形式的，我们有：

n ( n 1) (n 2)

( n 1) ( n 2) ( n n 3)

n ( n 1

(n 2) 1 [ 1

1) (n 1 ]

1) 2 n (n 1)(n 2)

1 1 [ 1 1

n ( n 1) (n 2) (n

3) 3 (n 1) (n ]

n 2) (n 1) (n 2) (n 3)

裂差型裂项的三大重点特点：

（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将 x

六年级分数计算技巧一 裂项

六年级分数计算技巧一 裂项

小学数学六年级数学分数计算技巧1

目录

1.分数的计算技巧--裂项法

1.11

nn+1=1

n-1

n+1分母是两个数乘积，分子为这两个数的差

1.2d

n(n+d)=1

n-1

n+d分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差

1.31

nn+d=1

d1

n-1

n+d分母是两个数的乘积，分子=1

1.41

nn+1n+2=1

21

nn+1-1

n+1n+2

分子为1，分母是三个连续自然数乘积

1.51

nn+1n+2(n+3)

=1

3⋅[1

nn+1n+2-1

n+1n+2n+3

1.6a+b

a×b=a

a×b+b

a×b=1

b+1

a=1

a+1

b

例题1.1

2+1

6+1

12+⋅⋅⋅+1

9900

分母是两个数乘积，分子为这两个数的差

=1-1

2+1

2-1

3+1

3-1

4+⋅⋅⋅+1

99-1

100

=1-1

2+1

2-1

3+1

3-1

4+⋅⋅⋅+1

98-1

99+1

99-1

100(

通过裂项，除了首位中间的所有项都消去了)

=1-1

100

=99

100

例题2.3

1×4+3

4×7+3

7×10+⋅⋅⋅+3

97×100

分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差

=1-1

4+(1

4-1

7)+(1

7-1

10)+∙∙∙+(1

94-1

97)+(1

97-1

100)

=1-1

4+(1

4-1

7)+(1

7-1

10)+∙∙∙+(1

94-1

97)+(1

97-1

100)

=1-1

100

=99

100

例题3.2

15+2

35+2

63+⋅⋅⋅+2

143

有些时候分母不会直接给出两个数相乘，需要你去仔细观察

=2

3×5+2

5×7+2

7×9+⋅⋅⋅+2

11×13

=1

3-1

5+1

5-1

7+1

7-1

9+⋅⋅⋅+1

9-1

11+1

11-1

13

=1

3-15+1

5-1

7+17-1

9+⋅⋅⋅+1

9-1

11+1

11-1

13

=1

3-1

13

=13-3

39=10

39

例题4.1